ÉQUATIONS DE MAXWELL TD EM4 - Lycée François 1er

ÉQUATIONS DE MAXWELL
TD EM4
Exercice EM4.1 : Puissance dissipée dans un conducteur par induction
On considère un cylindre conducteur (conductivité γ) d’axe Oz, de rayon Ret de
hauteur h. Il est soumis à un champ magnétique variable #» B=B0cos ωt# » uz.
On suppose #» E(M) = E(r, t)# » uθ.
1. Calculer #» E.
2. Calculer la puissance moyenne dissipée.
3. Citer et expliquer des applications.
Exercice EM4.2 : Bilan énergétique pour un solénoïde dans l’ARQS
1. Un solénoïde d’axe zcomporte nspires par unité de longueur. Il est assez long pour
pouvoir être considéré comme infini. Rappeler l’expression du champ magnétique
créé par ce solénoïde lorsque le courant Iest constant.
On étudie dans la suite le cas d’un courant variable. Il est donné par i(t) =
I0exp(−t/τ). On suppose néanmoins que cette variation est assez lente pour pou-
voir faire l’approximation des régimes quasi-stationnaires. Au fur et à mesure de
la décroissance de i, l’énergie emmagasinée par le solénoïde va décroître (C.f. :
E= 1/2Li2). Nous étudions ici plus en détail cette décroissance.
2. Donner la conditions portant sur τ, la vitesse de la lumière cet le rayon Rdu
solénoïde pour que cette approximation puisse être faite. Rappeler la forme que
prennent les équations de Maxwell dans ce cas.
3. Montrer que dans ce cas le champ magnétique est le même que ce lui qui serait
obtenu en régime statique, avec un courant qui vaut i(t)à l’instant t. Donner
l’expression de ce champ magnétique, puis déterminer l’expression de l’énergie
volumique magnétique umcorrespondante.
4. On s’intéresse maintenant au champ électrique. On admet que le champ électrique
se met sous la forme −→ E=E(r, t)−→ uθ
En utilisant l’équation de Maxwell-Faraday et en appliquant le théorème de
Stokes, montrer que −→ E=−r
2
dB
dt
−→
uθ. En déduire l’expression de −→ E, puis celle de
l’énergie volumique électrique ue.
5. Montrer que ue/um=r
2cτ 2. En déduire que ueumici. Dans la suite, on
négligera donc uedevant um.
6. Calculer l’expression du vecteur de Poynting −→ Π, et vérifier que l’équation de
conservation de l’énergie électromagnétique (équation de Poynting) est bien vé-
rifiée.
7. Bilan d’énergie global : on considère une portion de solénoïde de longueur hselon
l’axe zdu solénoïde (volume intérieur du solénoïde, compris entre z= 0 et z=h
par exemple). Calculer l’énergie Uem que contient cette portion à l’instant t, ainsi
que le flux ΦΠdu vecteur de Poynting −→ Πà travers la surface délimitant cette
portion.Vérifier que la variation dUem
dt de Uem au cours du temps est égale à −ΦΠ.
Exercice EM4.3 : Énergie électromagnétique dans un condensateur
On étudie un condensateur plan. Les armatures ont la forme de disque d’axe Oz et
de rayon a. Ce condensateur est supposé idéal, c’est-à-dire qu’on néglige tout effet de
bord. L’armature 1 est située en z= 0 et l’armature 2 en z=e. On repère un point
de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z). On notera (# » ur,# » uθ,# » uz)la base
correspondante. L’espace entre les armatures est défini par 0< z < e et 0< r < a.
Le milieu entre les armatures est assimilable au vide (permittivité ε0et perméabilité
µ0). L’armature 1 porte la charge positive Qet l’armature 2 la charge négative −Q.
Le condensateur plan étant suppose idéal, la charge surfacique est uniforme sur une
armature (σsur l’armature 1 et −σsur l’armature 2).
1. On suppose pour commencer que la charge est constante. On rappelle que le champ
électrique entre les armatures est alors uniforme et s’écrit ~ E=σ
ε0
# »
uz(cf. Chap
EM1). Retrouver l’expression de la capacité du condensateur puis exprimer l’éner-
gie électrique WC=1
2CU2du condensateur en fonction du champ électrostatique
−→
E, de S,eet ε0. Retrouver ainsi sur cet exemple l’expression de la densité volu-
mique d’énergie électrique ue.
2. On s’intéresse maintenant à la charge du condensateur à travers un résistor sous
une tension d’alimentation U0. On considère que Q(t) = CU0(1 −exp(−t/τ )).
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(a) On suppose que la charge Qvarie suffisamment lentement pour que l’expres-
sion du champ électrique soit la même que celle obtenue en électrostatique.
Le champ électrique −→ E(t)s’exprime donc en fonction de la charge surfacique
instantanée σ(t)au même instant tselon la même relation qu’en régime sta-
tionnaire. Écrire, en fonction de t,ε0,U,eet τ, la densité surfacique de
charge σ(t)et le champ électrique −→ E(t).
(b) En appliquant le théorème d’Ampère généralisé, déterminer le champ ma-
gnétique entre les armatures s’écrit pour r < a.
(c) Calculer le vecteur de Poynting en r=a(à la limite de l’espace entre les
armatures).
(d) En déduire la puissance rayonnée sortant de l’espace entre les armatures. Dé-
terminer alors l’énergie électromagnétique qui est entrée dans l’espace com-
pris entre les armatures pendant la charge du condensateur (c’est-a-dire entre
t= 0 et tinfini). Comparer avec l’énergie emmagasinée par le condensateur.
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