CHAPITRE IV Dr

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CHAPITRE IV Dr. L. HAMMAL
MODELE QUANTIQUE DE L'ATOME
1- NOTION DE LA MECANIQUE QUANTIQUE (ONDULATOIRE)
1a) Dualité onde - corpuscule : Postulat de De Broglie
A toute particule (corpuscule) de masse m et de vitesse v est associée une
onde de longueur d'onde λ. On applique ainsi à la matière (exemple : un électron) le
caractère combiné d’onde et de particule.
La relation de De Broglie s'écrit :
λ
λλ
λ = h/mv
λ : longueur d'onde, h : constante de Planck, mv : quantité de mouvement.
Exemple : calculer la longueur d’onde associée à chacun des systèmes
matériels suivants :
- un véhicule de masse 5 tonnes roulant à une vitesse de 80 km/h
- un proton d’énergie cinétique égale à 50 ev.
2b) Principe d'incertitude d'Heisenberg
Il est impossible de définir avec précision à la fois la position et la vitesse
d'une particule. Cela se traduit par la relation :
∆x . ∆px ≥ h/2π
∆x : incertitude sur la position, ∆px = m∆v : incertitude sur la quantité de
mouvement
Exemple : calculer l’incertitude sur la vitesse ou sur la position dans les cas
suivants :
-une fusée spatiale de masse 10 tonnes dont la vitesse est connue à 40 km/h
près. -un électron dont la position est connue à 2 A° près.
2 - THEORIE QUANTIQUE DES ORBITES ELECTRONIQUES
2a) Signification physique de la fonction d’onde
La fonction d’onde ψ est une sorte de fonction d’amplitude. La théorie classique des ondes
mécaniques montre que l’énergie transportée par l’onde est proportionnelle au carré de
l’amplitude de l’onde. Dans le cas des ondes sonores, par exemple, l’intensité du son est
proportionnelle à l’énergie dépensée pour le produire. Généralisant ces faits expérimentaux

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mécaniques, MAXWELL, à l’aide de sa théorie électromagnétique de la lumière, a montré que
l’intensité lumineuse en un point est proportionnelle au carré de l’amplitude du champ électrique
en ce point. Si on fait intervenir les photons, on peut dire que plus l’intensité est grande en un
point, plus ce point reçoit un grand nombre de photons. On peut exprimer autrement ce fait en
disant que la probabilité de présence des photons est grande en ce point. La probabilité de
présence des photons est donc proportionnelle au carré de l’amplitude de l’onde lumineuse.
C’est cette dernière interprétation qui est la plus fructueuse dans le cas de l’onde associée
aux électrons. La probabilité de présence de l’électron en un point x, y ,z de l’espace est
proportionnelle au carré ψ
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de l’amplitude de l’onde associée. On voit donc tout l’intérêt qui
s’attache au calcul de la fonction y puisque les valeurs maxima de cette fonction vont donner les
régions de l’espace où se trouvera le ou les électrons.
2b) Équation de Schrödinger
Ψ est une fonction purement mathématique, elle n’a pas de signification physique,
est une fonction des coordonnées de l’électron. elle est définie par les 3 nombres
quantiques : n, l et ml : Ψ n,l, m
Exemple : l’orbitale 2s est représentée par la fonction d’onde : Ψ 2,0,0
On appelle orbitales atomiques, les fonctions d'ondes des électrons atomiques.
En 1926, Schrödinger a montré que la fonction d'onde et l'énergie E sont solution
d'une équation aux dérivées partielles du second ordre.
[(
-
h
2
/8
π
2
m).
∆
+ V]
Ψ
= E
Ψ
m : masse de l'e-
V : Opérateur énergie potentiel
E : énergie totale de l'électron, appelée valeur propre
Ψ : fonction d'onde appelée fonction propre
Cette équation peut se mettre sous la forme :
H
Ψ
= E
Ψ
C'est le principe fondamental de la mécanique quantique.
H = (-h
2
/8π2m). ∆ + V ; est appelé opérateur Hamiltonien d'hydrogène

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∆ = ∂
2
/∂x
2
+ ∂
2
/∂y
2
+ ∂
2
/∂z
2
; est le Laplacien
La résolution de cette équation conduit aux différentes valeurs de E et Ψ :
En = me
4
/
(
8
ε
0
2
h
2
n
2
)
C'est la même expression que celle trouvée par Bohr. Avec la mécanique
quantique on peut aussi expliquer la quantification de l'énergie. Pour la fonction
d'onde Ψ (orbitale atomique), elle fait intervenir trois nombres appelés "nombres
quantiques" qui caractérisent l'état d'un électron. Ces trois nombres sont : n ; l et m
2c) Conditions imposées à la fonction d’onde
L’interprétation physique de la fonction d’onde comme fonction de probabilité amplitude
se retrouve dans certaines conditions mathématiques auxquelles elle doit satisfaire. Ces
conditions mathématiques ou conditions aux limites ne sont que l’expression d’une réalité
physique :
• il faut que la fonction d’onde ψ(x, y, z) soit uniforme, c’est-à-dire ait une valeur unique en
chaque point de l’espace. En effet, la probabilité de trouver l’électron en un point ne peut avoir
qu’une seule valeur en ce point,
• il faut que y soit une fonction continue, c’est-à-dire qu’elle ne peut être infinie en un
point. Si la probabilité de présence de l’électron est infinie en un point, cela signifie que
l’électron reste fixé en ce point, ce qui est incompatible avec des propriétés ondulatoires,
• il faut que y soit nulle à l’infini. La probabilité de trouver l’électron infiniment éloigné du
noyau est nulle,
• enfin il faut que l’intégrale =1
(où dv est un élément de volume) étendue à tout l’espace soit égale à l’unité puisque la
probabilité de trouver un électron dans tout l’espace est égale à l’unité. C’est la condition de
normalisation. En fait on prend plutôt le produit ψ·ψ* car la fonction d’onde peut être imaginaire.
2e) Valeurs propres de la fonction d’onde - Valeurs propres de l’énergie
L’équation de SCHRÖDINGER permet par son intégration de déterminer les valeurs de y
qui la satisfont. Parmi ces valeurs, seules celles qui satisfont également aux conditions
précédentes sont physiquement acceptables : ce sont les valeurs propres de la fonction d’onde.
Les conditions aux limites précédentes restreignent le nombre des valeurs que l’on peut
donner aux paramètres entrant dans l’équation. Le seul paramètre inconnu est E car le potentiel U
peut être déterminé lorsqu’on connaît les charges en présence. Dans le cas de l’atome

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d’hydrogène, par exemple, c’est le potentiel créé par le noyau central. Le nombre des valeurs
possibles de E est donc limité. Ces valeurs sont les valeurs propres de l’énergie. Une analogie
grossière fera mieux comprendre la raison pour laquelle le nombre des valeurs propres de
l’énergie est limité. On sait qu’un système d’ondes stationnaires peut s’établir sur une corde, mais
que les conditions aux limites imposent une relation entre la longueur d’onde et la longueur de la
corde : les nœuds et les ventres sont distants de λ /2 et on a forcément soit un nœud, soit un ventre
aux extrémités de la corde. Si un électron tourne autour du noyau, l’onde associée se propage sur
un cercle (pour simplifier). Si la longueur de la circonférence n’est pas égale à un nombre entier
de longueurs d’ondes, on aura en chaque point superposition d’une infinité d’ondes ayant toutes
les phases possibles et la somme des amplitudes sera nulle en ce point. Si au contraire, la
longueur de la circonférence est un nombre entier de longueurs d’ondes, un système stable
d’ondes stationnaires s’établira. Remarquons en passant que cette condition suffit à retrouver
l’hypothèse de BOHR à partir de la valeur d’onde de DE BROGLIE.
2f) Solution de l’équation de SCHRÖDINGER dans le cas de l’atome d’hydrogène
Atome d’Hydrogène
coordonnées polaires Sphériques
Il s’agit d’étudier la fonction d’onde pour une particule de masse réduite
soumise à une interaction proton-électron . 
L’étude est menée en coordonnées sphériques :

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; ;
; ;
Puisque r est fonction de x, y, z, de même que ψ, l’équation différentielle du second ordre est à
coefficients variables. La solution est assez longue mais peut être conduite jusqu’au bout de façon
rigoureuse. Il est commode, étant donné la symétrie sphérique du champ de forces, de passer en
coordonnées polaires r, θ , ϕ , ces trois lettres ayant leur signification habituelle.
Ce système, bien que compliqué, résout logiquement le système.
Pour le cas de l’orbite circulaire du 1
er
électron de l’atome d’hydrogène, r est une constante et dr
= 0. De même, θ est constant et d θ = 0, et donc sin θ = 1.
La figure ci-dessous représente des fonctions et des densités de probabilités
pour les premiers niveaux d'énergie :