Equilibre en stratégies strictement dominantes

Les jeux simultanés (exemple pierre papier ciseaux)
Les joueurs rationnels choisissent simultanément leurs actions et reçoivent un gain qui dépend des
stratégies choisies par l’ensemble des joueurs.
Jeux à information complète :
Chaque joueur connaît l’ensemble des actions qu’il peut entreprendre,
Chaque joueur connaît l’ensemble des actions possibles pour les autres joueurs,
Chaque joueur connaît les préférences des autres joueurs, Chaque joueur connaît les gains
résultant de ces actions.
Tout ce qu’un joueur connaît est de connaissance commune .
La connaissance commune
Supposons qu’on parle d’une information qu’on appelle X.
X est de connaissance commune si tout le monde connaît X Et tout le monde sait que tout le
monde connaît X
Et tout le monde sait que tout le monde sait que tout le monde connaît X...
Et ce indéfiniment.
⇒ Implication des concepts de rationalité et de connaissance commune sur le comportement
(stratégique) des joueurs.
Motivations - 1
1/ Comment décrire une situation de jeu ?
Définition & représentation d’un jeu sous la forme normale .
2/ Comment résoudre le problème inhérent à un jeu ?
Jeux à somme non nulle : stratégies dominantes et dominées.
Stratégie dominante : quelle est ma meilleure stratégie alors que stratégie dominée : quelle est la stratégie perdante
(qu’on écarte). A partir de ça, on donne :
Un Concept de solution et méthode de résolution :
Equilibre en stratégies dominantes et
Elimination itérative des stratégies strictement dominées Pour les jeux à somme nulle, stratégies
prudentes.

Motivations - 2
Cependant, notions insuffisantes pour avoir une idée précise de ce qui va se passer dans un jeu.
Stratégie rationalisable, meilleure réponse et équilibre de Nash .
Stratégies pures vs.mixtes , interprétées comme l’ incertitude d’un joueur à propos de ce qu’un
autre joueur va faire.
Résultat d’existence de Nash (1950) : tout jeu sous forme normale admet au moins un EN en
stratégies mixtes.
Applications : concurrence imparfaite, problèmes de pollution, malédiction des ressources.
Plan
(plan incomplet)
1
Introduction
2
Représentation du jeu sous forme normale
3
Stratégies dominantes, stratégies dominées
Stratégies dominantes
2. Représentation du jeu sous forme normale
Un exemple : le dilemme du prisonnier
Deux individus sont arrêtés car suspectés d’une série de crimes et emprisonnés dans des cellules
différentes.
Ils sont interrogés séparément par un représentant de l’ordre cherchant à obtenir une confession
de chaque suspect.
Si 1 seul joueur avoue les crimes (coupable), il est récompensé : peine limitée à 1 an de détention,

l’autre écope de 5 ans.
Si les deux confessent leurs actes : peine de 3 ans de prison. Si aucun n’avoue les crimes (non
coupable), possible de les
confondre pour un des crimes : 2 ans de prison.
Jeu de la colombe et du faucon
C’est une variante du dilemme du prisonnier, métaphore pour décrire le comportement agressif des firmes sur un
marché.
2 animaux qui s’affrontent ou peuvent s’affronter pour la conquête d’un territoire ou de la nourriture.
Soit V la valeur d’une ressource que se disputent 2 joueurs. 2 stratégies possibles : faucon vs.
colombe.
Si les 2 joueurs adoptent un comportement "pacifique" (colombe), alors ils partagent la ressource et obtiennent
chacun V /2.
Un joueur adoptant l’autre stratégie "agressive" (faucon) n’abandonnera pas (une partie de) la
ressource.
Donc il laissera jamais une partie de la ressource.
Jeu de la colombe et du faucon - 2
Si un seul des 2 joueurs adopte la stratégie agressive, il récupère toute la ressource, et obtient V
contre 0 pour l’autre.
Enfin, si les 2 joueurs sont agressifs, un combat devient inévitable et fait supporter un coût C /2 à
chaque joueur.
L’issue du combat est incertaine, chaque joueur a 1 chance sur 2 de remporter le combat et la
ressource.

Représentation
(C = stratégie colombe et F = stratégie faucon)
1/ et 2/ Deux joueurs, chacun dispose de 2 stratégies : { C , F } .
3/ Résultats possibles : (C,C), (C,F), (F,C) et (F,F).
4/ Gains associés à n’importe quel profil de stratégies.
(C, C)  (V/2 , V/2) (C, F)  ( 0, V) (F, C) - (V, 0) (F, F)  ( (1/2)0 + (1/2)V -(C/2), (1/2)0 + (1/2)V -(C/2)
Représentation sous la forme d’un tableau 2 × 2.
Dans chaque cellule figurent les gains associés au résultat : 2 valeurs, une pour chaque joueur.
Par convention, les stratégies du premier joueur sont indiquées en ligne et son gain est la première
valeur.
C
F
C
V/2, V/2
0, V
F
V, 0
(V – C) / 2, (V – C) /2
Remarque
Variante du dilemme du prisonnier :
Situations où les joueurs ont un intérêt à coopérer et où poursuivre son propre intérêt est
préjudiciable... Mais individuellement rationnel.
Incapacité à s’engager à adopter telle ou telle stratégie.
(impossible de communiquer pour s’engager, donc comme on sait pas ce qu’il va faire, il pourrait ne pas coopérer,
donc on a intérêt à poursuivre juste son propre intérêt).
Jeu de la poule mouillée (autre variante de ce jeu)
Quand V < C ...
Histoire inspirée du film Rebel without a cause (1955) :
Jeu de la poule mouillée - 2
Deux individus foncent l’un vers l’autre au volant de leurs voitures. Ils doivent décider s’ils stoppent
ou bien s’ils continuent.
Le premier qui s’écarte de la trajectoire perd la face ; mais conserve la vie sauve (0).

2
L’autre peut s’arrêter ensuite et gagne (V). Si les deux continuent... Accident (
V −C
). (maisavec C
> V donc gain négatif)
Enfin, si les deux s’arrêtent en même temps, ils ont fait preuve d’autant de courage l’un que
l’autre et récupèrent V/2.
Le jeu de la pièce
Jeux à somme nulle : ce que gagne un joueur, l’autre le perd. Jeu à 2 joueurs.
La règle : chaque joueur prend une pièce de 1 euro dans sa main et la place soit côté pile soit côté
face visible.
Les gains : si les 2 présentent le même côté de la pièce, J1 paie 1 euro à J2. Sinon, c’est J2 qui paie 1
euro à J1.
Formalisation
La représentation sous forme normale d’un jeu spécifie :
Qui sont les joueurs,
2 joueurs, J1, J2
Quelles sont les actions qu’ils peuvent entreprendre,
Chaque joueur a 2 stratégie, (P, F)
Quels sont les résultats possibles,
4 cas possibles : (P, P) , (P, F), (F, P), (F, F)
Quelle est la valeur qu’ils attribuent à chaque résultat.
(P, P)  (-1, 1) ; (P, F)  (1, -1) ; (F, P)  (1, -1) ; (F, F)  (-1, 1)
J2
J1
P
F
P
(-1, 1)
(1, -1)
F
(1, -1)
(-1, 1)