chapitre i: ecoulements compressibles introduction

CHAPITRE I: ECOULEMENTS COMPRESSIBLES
INTRODUCTION
Les problèmes étudiés concernent des fluides en écoulement pour lesquels les effets thermiques
sont importants. Ainsi avant de définir précisément la notion d’écoulements compressibles, nous
consacrons cette première partie aux rappels de thermodynamique. Il ne s’agit pas de rentrer dans
les détails mais d’introduire les quantités utiles pour établir l’équation de la chaleur ainsi que de
préciser la notion d’entropie.
1
Rappels de thermodynamique
Bien que les systèmes étudiés soient en mouvement, on suppose que chaque unité de volume
élémentaire peut être considérée comme en équilibre du point de vue thermodynamique. Cette
hypothèse est connue sous le nom d’état local associé. On supposera donc que la thermodynamique
classique (thermostatique) reste valable pour des systèmes en mouvement. Nous nous occupons ici
de systèmes décrits par la mécanique des milieux continus.
1.1
Définitions
• Un système est fermé lorsqu’il n’échange pas de matière avec le milieu extérieur.
• Un système est ouvert dans le cas contraire.
• Un système est mécaniquement isolé s’il n’est soumis à aucune action extérieure.
• Un système est thermodynamiquement isolé, s’il ne reçoit ni travail, ni chaleur, ni matière.
• Un système est adiabatique s’il ne reçoit pas de chaleur.
• Une grandeur X associée à un système est extensive si sa valeur pour le système entier est
la somme des valeurs pour chacune de ses parties ex: la masse, l’énergie... On définit alors la
densité volumique xv et la densité massique x = xρv (avec ρ la masse volumique) par:
X =
Z
xv dV =
V
Z
ρxdV
(1)
V
• On dit qu’une grandeur est intensive lorsque dans un système homogène sa valeur est la même
pour le système entier et pour chacune de ses parties. Elle se présente sous forme du rapport
de deux grandeurs extensives.
• Une variable d’état est une variable qui permet de définir l’état d’un système et qui ne dépend
que de l’état macroscopique du système
• On caractérise le système thermodynamique par deux variables d’état indépendantes ρ et T
ou encore ρ et s (entropie par unité de masse ou encore entropie spécifique). Ce dernier choix
porte le nom de variables normales.
• Un système caractérisé par deux variables est dit divariant.
• Loi d’état:
p = P (ρ, T ) ou p = g(ρ, s)
5
(2)
1.2
Principes de la thermodynamique
Nous rappelons tout d’abord qu’une fonction d’état est une fonction ne dépendant que des variables
d’état du système et non de la manière avec laquelle on est arrivé à cet état. L’énergie interne,
l’entropie, l’enthalpie dont il va être question sont des fonctions d’état.
Premier principe: En thermodynamique classique on définit une énergie interne macroscopique
E, fonction d’état du système, dont les variations entre deux états d’équilibre macroscopique
vérifient dans toute évolution infinitésimale:
dE = δW + δQ ,
(3)
où δW et δQ désignent respectivement le travail et la chaleur élémentaires reçus par le système.
Le calcul de ces deux quantités dépend du chemin suivi entre l’état initial et l’état final; W et
Q ne sont pas des fonctions d’état contrairement à E. Si l’on désigne par e l’énergie interne par
unité de masse ou énergie interne spécifique et par q et w la chaleur et le travail spécifiques on a :
de = δw + δq .
(4)
On peut de même introduire l’enthalpie spécifique:
h=e+
p
,
ρ
(5)
ainsi que la chaleur spécifique à volume constant et la chaleur spécifique à pression constante:
∂h
∂e
et Cp =
.
(6)
Cv =
∂T ρ
∂T p
Remarque: le volume par unité de masse n’est autre que l’inverse de la masse volumique, la chaleur
spécifique à volume (spécifique) constant est identique à la chaleur spécifique à masse volumique
constante.
Second principe: En thermodynamique classique le second principe peut s’énoncer sous la forme
de deux points:
1. Il existe une température T et une fonction d’état s (dite entropie spécifique) telle que dans
toute évolution infinitésimale réversible ou non
1
de = T ds − pd( ) ,
ρ
(7)
2. L’adjonction d’un principe d’évolution qui stipule que pour un système fermé, pour toute
évolution possible:
ds ≥
X δQi
(
) ,
Ti
(8)
i∈J
où J désigne l’ensemble des sources i de température Ti qui fournissent au système la chaleur
δQi . L’égalité est obtenue dans le cas d’une évolution réversible.
Il est important de noter que la relation (7) est valable que la transformation soit réversible ou
non. Dans le cas d’une évolution réversible, on peut identifier T ds à la chaleur échangée et −pd( ρ1 )
au travail échangé.
De plus e, h et s étant des fonctions d’état, de, dh et ds sont des différentielles exactes, on peut
écrire:
∂e
∂e
de =
dT +
dρ ,
(9)
∂T ρ
∂ρ T
6
dh =
ds =
∂h
∂T
∂s
∂T
dT +
p
dT +
p
∂h
∂p
∂s
∂p
dp ,
(10)
dp .
(11)
T
T
Compte tenues des définitions données en (6) on a :
∂e
dρ ,
de = Cv dT +
∂ρ T
∂h
dp .
dh = Cp dT +
∂p T
(12)
(13)
∂f
∂f
On rappelle que si df est une différentielle exacte par rapport à X et Y : df = ( ∂X
)Y dX + ( ∂Y
)X dY
avec :
∂2f
∂2f
=
.
(14)
∂X∂Y
∂Y ∂X
1.3
Modèle du gaz parfait
La théorie cinétique des gaz parfaits de Maxwell a été élaborée en 1859. Elle s’appuie sur le modèle
moléculaire de la représentation des gaz proposé par le chimiste italien E. Avogadro en 1811, et
sur des considérations statistiques. En effet le nombre de molécules d’un gaz à notre échelle est
considérable de l’ordre du nombre d’Avogadro: NA = 6, 02 × 1023 .
Selon la théorie cinétique 1 , la loi d’état d’un gaz parfait (mono-atomique) s’écrit sous la forme:
p = nkT
(15)
où k représente la constante de Boltzmann en JK −1 , et n le nombre de molécules par unité de
volume.
Soient M la masse molaire, NA le nombre de molécules par mole. La masse volumique du gaz ρ
s’exprime sous la forme ρ = nM
NA . L’expression (15) devient:
p=ρ
Or on a :
kNA
T .
M
(16)
• R = kNA exprime la constante des gaz parfaits R = 8, 3144J.K −1 .mol−1
• R=
R
M
exprime la constante du gaz considéré.
En résumé, un gaz parfait est caractérisé par la loi d’état:
p = RρT .
(17)
On peut montrer que pour un gaz parfait, l’enthalpie h et l’énergie interne e sont uniquement
fonction de la température.
de = Cv (T )dT
(18)
dh = Cp (T )dT
(19)
Cp (T ) − Cv (T ) = R .
(20)
avec la relation de Mayer:
Pour un gaz mono-atomique Cp et Cv ne dépendent pas de la température, pour les gaz poly
atomiques les variations sont importantes. On appellera gaz parfait polytropique ou à chaleurs
1
Pour approfondir la théorie cinétique on pourra se référer à Chapman, Cowling, The mathematical Theory of
non-uniform gases, Cambridge 1952.
7
spécifiques constantes, un gaz parfait pour lequel Cp et Cv sont constants.
C
Pour un gaz parfait polytropique γ = Cvp est constant. On en déduit alors compte tenu de (7):
de
1
1
p
dT
p
dT
R
ds =
+ d
= Cv
+ d
= Cv
− dρ
(21)
T
T
ρ
T
T
ρ
T
ρ
La variation d’entropie entre deux états caractérisés respectivement par T 1 , ρ1 et T2 , ρ2 , devient
pour un gaz parfait polytropique (Cv et Cp constants) compte tenu de (20) et de la définition de γ:
Z T2
T2 ρ2 1−γ
∆s =
ds = Cv ln
(22)
( )
T 1 ρ1
T1
On donne ci-dessous à titre indicatif, pour quelques fluides usuels, la masse volumique ρ en Kg/m 3 ,
la viscosité cinématique ν en m2 /s, la chaleur spécifique à pression constante Cp en J/(Kg × K), γ
et la vitesse du son c en m/s.
air
0C
eau
20◦ C
alcool
20◦ C
1,293
998,2
791
◦
ρ
glycérine
0◦ C
mercure
1260
13600
1, 37 × 10−5 1, 007 × 10−6 1, 52 × 10−6 0, 95 × 10−5 1, 14 × 10−7
ν
Cp
1, 00 × 10
3
4, 18 × 10
3
2, 43 × 10
γ
1,4
1,01
1,3
c
331,45
1486
1213
3
2, 26 × 10
3
1, 40 × 102
à 20◦ C
1,14
1450
à 25◦ C
Le modèle du gaz parfait est excellent tant que la pression est suffisamment faible pour que l’on
puisse négliger les forces d’interaction moléculaires: forces de Van der Walls.
2
2.1
Equations de Bilans
Rappels de mécanique des milieux continus
Les grandes lois de la physique classique sont d’un type général que l’on appelle lois de conservation. Une loi de conservation est un bilan de masse, de quantité de mouvement, d’énergie.
8
Nous nous proposons de rappeler rapidement pour une grandeur extensive dépendant du temps et
de l’espace A(~x, t) (masse, quantité de mouvement, énergie) définie sur un domaine D(t) le bilan
associé à cette quantité. Un point M appartenant à D(t) est animé d’une vitesse ~u(~x, t). On notera
A(~x, t) la grandeur intensive associée:
Z
A(~x, t) =
A(~x, t)dv
(23)
D(t)
Sous forme symbolique le bilan s’écrit:
Z
Z
Z
d
PA dv ,
αds =
A(~x, t)dv +
dt D(t)
D(t)
∂D(t)
(24)
d
dt
désigne la dérivée particulaire et ∂D le bord du domaine. Dans (24) le second membre représente
ce que l’on fournit, ce qui sert à compenser les pertes subies à travers la frontière (intégrale de surface) et d’autre part à faire varier la quantité A lorsqu’on suit le domaine D dans son mouvement.
PA désigne le taux de production volumique. Compte tenu du lemme fondamental de la dy~ A .~n où ~n désigne la normale à la frontière du domaine représentée sur la
namique 2 , on a α = Φ
~ A le flux de diffusion de A à travers la surface ∂D. Supposons que le domaine que
figure 1 et Φ
l’on suit dans son mouvement possède une surface de discontinuité que l’on appellera Σ supposée
inerte vis à vis de la quantité A. On citera comme exemple de surfaces de discontinuités, les nappes
tourbillonaires dans les écoulements cisaillés, les ondes de choc, les interfaces entre deux fluides.
D2
~
n
~
W
~
N
∂D
Σ
D1
D(t)
~ désigne la vitesse de Σ(t) indépendant du domaine, N
~ désigne la normale à la surface
Figure 1: W
de discontinuité, ~n représente la normale à la surface ∂D. La surface de discontinuité sépare le
domaine en deux sous domaines D1 et D2 .
On rappelle tout d’abord l’expression de
D(t) privé de Σ:
Z
Z
~
ΦA~nds =
∂D(t)
R
~
nds
∂D(t) ΦA .~
D(t)
~ A continuement différentiable sur
avec Φ
~ A )dv +
div(Φ
Z
~ A ]]N
~ ds
[[Φ
(25)
Σ(t)
~ A ]] désigne le saut de la quantité Φ
~ A à travers Σ(t). Lorsque la normale est orientée comme
où [[Φ
sur la figure 1:
~ A ]] = Φ
~2 −Φ
~1 .
[[Φ
(26)
A
A
D’autre part la dérivée particulaire d’une intégrale de volume s’explicite sous la forme:
Z
Z
Z
Z
d
∂A
~ .N
~ ds
+
A(~x, t)dv =
A~u.~n −
[[A]]W
dt D(t)
∂t
∂D(t)
D(t)
Σ(t)
2
Mécanique des milieux continus de paul Germain, Masson, 1973
9
(27)
compte tenu de (25) on a :
Z
A~u.~n =
∂D(t)
Z
div(A~u)dv +
D(t)
Z
~ .N
~ ds
[[A]]W
(28)
Σ(t)
De (24), (25), (27) et (28) on déduit le bilan sous la forme:
Z
Z
∂A
~ )+Φ
~ A ]].N
~ ds = 0
~
[[A(~u − W
− PA + div(A~u + ΦA )dv +
Σ(t)
D(t) ∂t
(29)
cette expression représente le bilan GLOBAL de la grandeur extensive A(~x, t) (23) sur le domaine
D(t) (figure 1) que l’on suit dans son mouvement. Il est souvent très utile de travailler avec un tel
bilan selon la finesse de la modélisation adoptée, comme nous le verrons au chapitre II en abordant
le cas de la tuyère de Laval.
~ A sont continuement différentiables sur D(t) on peut en déduire la forme
Lorsque ∂A
u, Φ
∂t , PA , A, ~
locale en un point M du domaine et à la date t:
ou encore:
∂A
~ A ) = PA
+ div(A~u + Φ
∂t
(30)
dA
~ A ) + PA
+ Adiv(~u) = div(Φ
dt
(31)
~ A sont continus sur D(t) exceptés à la traversée de la surface Σ animée de la vitesse W
~ et
Si ~u, Φ
si A est continuement différentiable sur D(t) privé de Σ , il faut en outre assurer qu’à la traversée
de la surface de discontinuité on ait:
~ )+Φ
~ A ]].N
~ sur Σ(t)
[[A(~u − W
(32)
avec toujours la même convention (26) lorsque la normale est orientée comme sur la figure 1. Pour
plus de détails on pourra se référer au cours de mécanique des milieux continus de première année.
Nous choisissons de décrire l’écoulement en adoptant le point de vue de la mécanique des milieux
continus, ce qui suppose que nous travaillons sur une échelle L très grande devant le libre parcours
moyen λ (distance entre deux molécules):
L >> λ
(33)
L’approche est donc macroscopique. Nous allons appliquer ces résultats aux différents bilans, de
masse de quantité de mouvement et d’énergie.
2.2
Bilan de masse
Dans ce cas, A(~x, t) = ρ(~x, t). On suppose qu’il n’y a pas de réactions chimiques au sein du milieu
~ A.
et donc il n’y a pas de production de masse: PA est nul. Il n’y a pas de flux de diffusion Φ
physiquement le bilan de masse indique
R que lorsqu’on suit le domaine D(t) dans son mouvement,
d
d
sa masse ne change pas: dt
m(t) = dt
D(t) ρdv = 0.
Z
Z
∂ρ
~ )]].N
~ ds = 0
+ div(ρ~u)dv +
[[ρ(~u − W
(34)
D(t) ∂t
Σ(t)
ou encore:
Z
D(t)
∂ρ
+
∂t
Z
∂D(t)
ρ~u.~nds −
Z
~ .N
~ ds = 0
[[ρ]]W
(35)
Σ(t)
ρ~u représente le flux de convection de masse à travers la surface ∂D(t). On déduit de (30), (31) et
de (32) le bilan local:
∂ρ
dρ
+ div(ρ~u) =
+ ρdiv(~u) = 0
(36)
∂t
dt
~ )]].N
~ sur Σ(t)
[[ρ(~u − W
(37)
10
2.3
Bilan de quantité de mouvement
On a alors A(~x, t) = ρ~u(~x, t). La production de quantité de mouvement est due aux efforts extérieurs
volumiques appliqués au système, forces de gravité, de coriolis par exemples. On notera P ρ~u = ρf~
où f~ désigne la densité massique des efforts extérieurs. La surface ∂D(t) peut être soumise à des
efforts surfaciques modélisés par le tenseur des contraintes ~~σ . On a donc: sous la forme:
Z
Z
∂ρ~u
~
~
~ ) − ~~σ ]].N
~ ds = 0
− ρf + div(ρ~u ⊗ ~u − ~σ )dv +
[[ρ~u(~u − W
(38)
Σ(t)
D(t) ∂t
avec ~u ⊗ ~u tenseur tel que ~u ⊗ ~u.~n = ~u.(~u.~n). On peut encore exprimer (38) sous la forme:
Z
Z
Z
∂ρ~u
~
~
~ .N
~ ds = 0
[[ρ~u]]W
(39)
− ρf dv +
ρ~u(~u.~n) − ~σ.~n ds −
D(t) ∂t
∂D(t)
Σ(t)
On en déduit les formes locales:
∂(ρ~u)
− ρf~ + div ρ~u ⊗ ~u − ~~σ = 0
∂t
~ ) − ~~σ ]].N
~ sur Σ(t)
[[ρ~u ⊗ (~u − W
(40)
(41)
compte tenu de (36) on a:
d~u
= ρf~ + div(~~σ )
dt
On peut alors en déduire un bilan local pour l’énergie cinétique:
d u2
1
= f~.~u + div(~~σ ).~u
dt 2
ρ
ρ
2.4
(42)
(43)
Bilan d’énergie
On prend A sous la forme A = ρ(e + 12 u2 ) où e est l’énergie interne spécifique définie en (4) et (9).
Les échanges de chaleur volumiques (rayonnement) sont notés r (lorsque le système est adiabatique
r est nul). Les échanges de chaleur à travers la surface apparaissent sous forme d’un flux de chaleur
~ e valent respectivement r et ~q. D’autre part compte
noté ~q de sorte que la production Pe et le flux Φ
tenu de la symétrie du tenseur des contraintes on a ~u(~~σ.~n) = (~~σ.~n).~u = (~~σ.~u).~n. On a donc:
Z
∂ ρ(e + 21 u2 )
1 2
1
~
~
~ )+~q−~~σ.~u]].N
~ ds = 0
−ρf~u−r+div ρ(e + u )~u + (~q − ~σ.~u) dv+
[[ρ(e+ u2 )(~u−W
∂t
2
2
D(t)
Σ(t)
(44)
Ce que l’on peut simplifier compte tenu de (25), (27) et (29) sous la forme:
#
"
Z
Z
Z
∂ ρ(e + 12 u2 )
1
1
2
~u − r dv+
~ .N
~ ds = 0
− ρf~
ρ(e + u )~u.~n + ~q.~n − ~u.~~σ.~n ds−
[[ρ(e+ u2 )]]W
∂t
2
2
∂D(t)
Σ(t)
D(t)
(45)
On en déduit les formes locales pour l’énergie interne spécifique e, en exploitant le bilan local
d’énergie cinétique (43):
de
ρ = r − div(~q) + div(~~σ.~u) − div(~~σ ).~u
(46)
dt
et:
1
~ ) + ~q − ~~σ.~u]].N
~ sur Σ(t)
[[ρ(e + u2 )(~u − W
(47)
2
L’enthalpie spécifique a été définie en (5), on peut définir l’enthalpie spécifique totale H par:
Z
p u2
1
H = h + u2 = e + +
2
ρ
2
11
(48)
En notant le tenseur des contraintes sous la forme:
~~σ = −p~~1 + ~~σv
(49)
les efforts surfaciques sont dus à la pression ainsi qu’aux efforts de frottement dus aux effets de
viscosité, représentés par ~~σv . Le bilan local d’enthalpie spécifique totale H (49) s’écrit sous forme
locale:
∂p
dH
~u − div(~q) + div(~~σv .~u)
=
+ r + ρf~
(50)
ρ
dt
∂t
2.5
Bilan d’entropie
Le second principe rappelé en (7) et (8) permet de préciser si une évolution est possible ou non, on
a en utilisant l’expression (21):
ds
de p dρ
ρT
=ρ −
(51)
dt
dt ρ dt
En exploitant le bilan de masse local vu en (36) et d’énergie spécifique vu en (46), on a:
ρT
p
ds
= r − div(~q) + div(~~σ.~u) − div(~~σ ).~u + ρ div~u
dt
ρ
(52)
Compte tenu de (49) on a:
ds
r
div(~q)
1
= −
+ T r(~~σv .∇~u)
(53)
dt
T
T
T
où T r désigne la trace du produit des deux tenseurs. On peut exprimer le principe d’évolution, vu
en (8) en détaillant les apports de chaleur volumiques et surfaciques:
Z
Z
Z
r
d
~q.~n
ρs(~x, t)dv ≥
dv −
ds
(54)
dt D(t)
D(t) T
∂D(t) T
ρ
ce qui conduit à:
1
~q.∇T
+ T r(~~σv .∇~u) ≥ 0
(55)
2
T
T
Ces relations mettent en évidence que les sources d’irréversibilité sont la dissipation visqueuse et
la dissipation thermique. L’équation de saut associée est:
−
~
~ ).N
~ + ~qN ]] ≥ 0 sur Σ(t)
[[ρs(~u − W
T
3
(56)
Modélisation
Nous allons maintenant préciser le modèle adopté dans ce cours pour les écoulements compressibles.
Les fluides dont il est question peuvent être caractérisés par leur compressibilité intrinsèque en
l’absence de tout écoulement. On peut mesurer cette compressibilité par la quantité:
∂p
2
c =
(57)
∂ρ s
qui traduit les variations de masse volumique ou du volume par rapport aux variations de pression
à entropie constante, c2 est le carré de la vitesse du son, nous verrons en petites classes que cette
quantité est étroitement liée à la vitesse des ondes de pression infinitésimales qui se propagent dans
un milieu au repos audibles par l’oreille humaine . Le volume peut également être modifié sous
l’effet d’un écoulement; le taux de dilatation volumique est défini ci-dessous avec v(t) le volume
que l’on suit dans son mouvement qui est étroitement relié à la vitesse ~u:
1 dv
= div~u
v dt
12
(58)
On voit donc que pour juger de l’effet de la compressibilité dans un fluide en mouvement, il faut
tenir compte de la vitesse du son et de la vitesse de l’écoulement. Pour tenir compte de cette
dualité on définit un paramètre adimensionnel, le nombre de Mach M par:
M=
u
c
(59)
Pour M << 1, le fluide peut être considéré comme incompressible. Dans ce cas on sait (cf cours
MF101) que la masse volumique se conserve sur chaque trajectoire, on a donc dρ
dt = 0 ce qui
implique div~u = 0. Pour des nombres de Mach non négligeables, l’écoulement est compressible et
div~u est différent de zéro.
Pour M < 1 l’écoulement est subsonique, pour 1 < M < 5 il est supersonique et pour M > 5 il est
hypersonique.
Lorsque le nombre de Mach est trop grand, c’est par exemple le cas d’une navette spatiale rentrant
dans l’atmosphère à une vitesse 18 fois plus grandes que la vitesse du son, l’air est si raréfié qu’une
molécule va rencontrer peu de ses congénères malgré un grand déplacement. Le libre parcours
moyen, (33), est très grand. Le modèle de mécanique des milieux continus n’est plus valable, et il
faut simuler l’écoulement à l’aide des équations de Boltzmann. Nous nous limiterons donc dans ce
cours aux écoulements pour lesquels le nombre de Mach est inférieur à 5.
En général nous ne nous intéresserons qu’à des fluides dont la viscosité est faible, ce qui est vrai
pour de nombreux gaz. Ainsi le fluide sera supposé parfait. Les frottements visqueux sont alors
négligeables et le flux de chaleur également 3 :
~~σv = ~~0
et
~q = ~0
(60)
On supposera en outre que le gaz est parfait et est donc décrit par la loi d’état (17). Pour les
applications numériques on supposera souvent qu’il est en outre polytropique. Enfin on rappelle
que sur une paroi immobile le fluide parfait glisse et que l’on a la condition à la limite suivante:
~u.~n = ~0
sur la paroi immobile
(61)
Lorsque le fluide est parfait, q~ est nul et ~~σv également de sorte que le bilan d’entropie local (53)
s’écrit:
r
ds
=
(62)
dt
T
Si de plus l’évolution est adiabatique, r = 0, alors ds
dt = 0. Ce qui implique que s se conserve sur
une trajectoire. Ce qui ne veut en aucun cas dire que s est constant partout, un tel écoulement
est isentropique. Si en outre, à la date t = 0, l’entropie est uniforme s(t = 0, x) = s 0 = cte alors
l’entropie est constante partout à chaque instant, on dit que l’écoulement est homoentropique.
En particulier pour un gaz parfait polytropique, sur une isentropique s ne varie pas, on a alors
d’après(22):
sur une isentropique s = cte , T ρ1−γ = cte
(63)
ou encore compte tenu de la loi d’état (17):
pρ−γ = cte
(64)
Si l’écoulement est homoentropique la constante est la même dans tout l’écoulement. La vitesse du
son pour un gaz parfait polytropique (57) s’écrit alors:
c2 =
3
γp
= γRT
ρ
Cours de Mécanique des fluides de première année
13
(65)