chapitre i: ecoulements compressibles introduction

CHAPITRE I: ECOULEMENTS COMPRESSIBLES
INTRODUCTION
Les probl`emes ´etudi´es concernent des fluides en ´ecoulement pour lesquels les effets thermiques
sont importants. Ainsi avant de d´efinir pr´ecis´ement la notion d’´ecoulements compressibles, nous
consacrons cette premi`ere partie aux rappels de thermodynamique. Il ne s’agit pas de rentrer dans
les d´etails mais d’introduire les quantit´es utiles pour ´etablir l’´equation de la chaleur ainsi que de
pr´eciser la notion d’entropie.
1 Rappels de thermodynamique
Bien que les syst`emes ´etudi´es soient en mouvement, on suppose que chaque unit´e de volume
´el´ementaire peut ˆetre consid´er´ee comme en ´equilibre du point de vue thermodynamique. Cette
hypoth`ese est connue sous le nom d’´etat local associ´e. On supposera donc que la thermodynamique
classique (thermostatique) reste valable pour des syst`emes en mouvement. Nous nous occupons ici
de syst`emes d´ecrits par la m´ecanique des milieux continus.
1.1 D´efinitions
•Un syst`eme est ferm´e lorsqu’il n’´echange pas de mati`ere avec le milieu ext´erieur.
•Un syst`eme est ouvert dans le cas contraire.
•Un syst`eme est m´ecaniquement isol´e s’il n’est soumis `a aucune action ext´erieure.
•Un syst`eme est thermodynamiquement isol´e, s’il ne re¸coit ni travail, ni chaleur, ni mati`ere.
•Un syst`eme est adiabatique s’il ne re¸coit pas de chaleur.
•Une grandeur Xassoci´ee `a un syst`eme est extensive si sa valeur pour le syst`eme entier est
la somme des valeurs pour chacune de ses parties ex: la masse, l’´energie... On d´efinit alors la
densit´e volumique xvet la densit´e massique x=xv
ρ(avec ρla masse volumique) par:
X=ZV
xvdV =ZV
ρxdV (1)
•On dit qu’une grandeur est intensive lorsque dans un syst`eme homog`ene sa valeur est la mˆeme
pour le syst`eme entier et pour chacune de ses parties. Elle se pr´esente sous forme du rapport
de deux grandeurs extensives.
•Une variable d’´etat est une variable qui permet de d´efinir l’´etat d’un syst`eme et qui ne d´epend
que de l’´etat macroscopique du syst`eme
•On caract´erise le syst`eme thermodynamique par deux variables d’´etat ind´ependantes ρet T
ou encore ρet s(entropie par unit´e de masse ou encore entropie sp´ecifique). Ce dernier choix
porte le nom de variables normales.
•Un syst`eme caract´eris´e par deux variables est dit divariant.
•Loi d’´etat:
p=P(ρ, T ) ou p=g(ρ, s) (2)
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1.2 Principes de la thermodynamique
Nous rappelons tout d’abord qu’une fonction d’´etat est une fonction ne d´ependant que des variables
d’´etat du syst`eme et non de la mani`ere avec laquelle on est arriv´e `a cet ´etat. L’´energie interne,
l’entropie, l’enthalpie dont il va ˆetre question sont des fonctions d’´etat.
Premier principe: En thermodynamique classique on d´efinit une ´energie interne macroscopique
E, fonction d’´etat du syst`eme, dont les variations entre deux ´etats d’´equilibre macroscopique
v´erifient dans toute ´evolution infinit´esimale:
dE =δW +δQ , (3)
o`u δW et δQ d´esignent respectivement le travail et la chaleur ´el´ementaires re¸cus par le syst`eme.
Le calcul de ces deux quantit´es d´epend du chemin suivi entre l’´etat initial et l’´etat final; Wet
Qne sont pas des fonctions d’´etat contrairement `a E. Si l’on d´esigne par el’´energie interne par
unit´e de masse ou ´energie interne sp´ecifique et par qet wla chaleur et le travail sp´ecifiques on a :
de =δw +δq . (4)
On peut de mˆeme introduire l’enthalpie sp´ecifique:
h=e+p
ρ,(5)
ainsi que la chaleur sp´ecifique `a volume constant et la chaleur sp´ecifique `a pression constante:
Cv=∂e
∂T ρ
et Cp=∂h
∂T p
.(6)
Remarque: le volume par unit´e de masse n’est autre que l’inverse de la masse volumique, la chaleur
sp´ecifique `a volume (sp´ecifique) constant est identique `a la chaleur sp´ecifique `a masse volumique
constante.
Second principe: En thermodynamique classique le second principe peut s’´enoncer sous la forme
de deux points:
1. Il existe une temp´erature Tet une fonction d’´etat s(dite entropie sp´ecifique) telle que dans
toute ´evolution infinit´esimale r´eversible ou non
de =T ds −pd(1
ρ),(7)
2. L’adjonction d’un principe d’´evolution qui stipule que pour un syst`eme ferm´e, pour toute
´evolution possible:
ds ≥X
i∈J
(δQi
Ti
),(8)
o`u Jd´esigne l’ensemble des sources ide temp´erature Tiqui fournissent au syst`eme la chaleur
δQi. L’´egalit´e est obtenue dans le cas d’une ´evolution r´eversible.
Il est important de noter que la relation (7) est valable que la transformation soit r´eversible ou
non. Dans le cas d’une ´evolution r´eversible, on peut identifier T ds `a la chaleur ´echang´ee et −pd(1
ρ)
au travail ´echang´e.
De plus e,het s´etant des fonctions d’´etat, de,dh et ds sont des diff´erentielles exactes, on peut
´ecrire:
de =∂e
∂T ρ
dT +∂e
∂ρ T
dρ , (9)
6

dh =∂h
∂T p
dT +∂h
∂p T
dp , (10)
ds =∂s
∂T p
dT +∂s
∂p T
dp . (11)
Compte tenues des d´efinitions donn´ees en (6) on a :
de =CvdT +∂e
∂ρ T
dρ , (12)
dh =CpdT +∂h
∂p T
dp . (13)
On rappelle que si df est une diff´erentielle exacte par rapport `a Xet Y:df = ( ∂f
∂X )YdX +( ∂f ∂Y )XdY
avec : ∂2f
∂X∂Y =∂2f ∂Y ∂X .(14)
1.3 Mod`ele du gaz parfait
La th´eorie cin´etique des gaz parfaits de Maxwell a ´et´e ´elabor´ee en 1859. Elle s’appuie sur le mod`ele
mol´eculaire de la repr´esentation des gaz propos´e par le chimiste italien E. Avogadro en 1811, et
sur des consid´erations statistiques. En effet le nombre de mol´ecules d’un gaz `a notre ´echelle est
consid´erable de l’ordre du nombre d’Avogadro: NA= 6,02 ×1023 .
Selon la th´eorie cin´etique 1, la loi d’´etat d’un gaz parfait (mono-atomique) s’´ecrit sous la forme:
p=nkT (15)
o`u krepr´esente la constante de Boltzmann en JK−1, et nle nombre de mol´ecules par unit´e de
volume.
Soient Mla masse molaire, NAle nombre de mol´ecules par mole. La masse volumique du gaz ρ
s’exprime sous la forme ρ=nM
NA. L’expression (15) devient:
p=ρkNA
MT . (16)
Or on a :
• R =kNAexprime la constante des gaz parfaits R= 8,3144J.K−1.mol−1
•R=R
Mexprime la constante du gaz consid´er´e.
En r´esum´e, un gaz parfait est caract´eris´e par la loi d’´etat:
p=RρT . (17)
On peut montrer que pour un gaz parfait, l’enthalpie het l’´energie interne esont uniquement
fonction de la temp´erature.
de =Cv(T)dT (18)
dh =Cp(T)dT (19)
avec la relation de Mayer:
Cp(T)−Cv(T) = R . (20)
Pour un gaz mono-atomique Cpet Cvne d´ependent pas de la temp´erature, pour les gaz poly
atomiques les variations sont importantes. On appellera gaz parfait polytropique ou `a chaleurs
1Pour approfondir la th´eorie cin´etique on pourra se r´ef´erer `a Chapman, Cowling, The mathematical Theory of
non-uniform gases, Cambridge 1952.
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sp´ecifiques constantes, un gaz parfait pour lequel Cpet Cvsont constants.
Pour un gaz parfait polytropique γ=Cp
Cvest constant. On en d´eduit alors compte tenu de (7):
ds =de
T+p Td1 ρ=Cv
dT
T+p Td1 ρ=Cv
dT
T−R ρdρ (21)
La variation d’entropie entre deux ´etats caract´eris´es respectivement par T1, ρ1et T2, ρ2, devient
pour un gaz parfait polytropique (Cvet Cpconstants) compte tenu de (20) et de la d´efinition de γ:
∆s=ZT2
T1
ds =Cvln T2
T1
(ρ2
ρ1
)1−γ(22)
On donne ci-dessous `a titre indicatif, pour quelques fluides usuels, la masse volumique ρen Kg/m3,
la viscosit´e cin´ematique νen m2/s, la chaleur sp´ecifique `a pression constante Cpen J/(Kg ×K), γ
et la vitesse du son cen m/s.
air eau alcool glyc´erine mercure
1,293 998,2 791 1260 13600
0◦C20◦C20◦C0◦C
1,37 ×10−5
1,00 ×1034,18 ×1032,43 ×1032,26 ×1031,40 ×102
1450
`a 20◦C
`a 25◦C
1,4 1,01 1,3 1,14
331,45 1486 1213
1,007 ×10−61,52 ×10−60,95 ×10−51,14 ×10−7 ν
ρ
Cp
γ
c
Le mod`ele du gaz parfait est excellent tant que la pression est suffisamment faible pour que l’on
puisse n´egliger les forces d’interaction mol´eculaires: forces de Van der Walls.
2 Equations de Bilans
2.1 Rappels de m´ecanique des milieux continus
Les grandes lois de la physique classique sont d’un type g´en´eral que l’on appelle lois de conser-
vation. Une loi de conservation est un bilan de masse, de quantit´e de mouvement,d’´energie.
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Nous nous proposons de rappeler rapidement pour une grandeur extensive d´ependant du temps et
de l’espace A(~x, t) (masse, quantit´e de mouvement, ´energie) d´efinie sur un domaine D(t) le bilan
associ´e `a cette quantit´e. Un point Mappartenant `a D(t) est anim´e d’une vitesse ~u(~x, t). On notera
A(~x, t) la grandeur intensive associ´ee:
A(~x, t) = ZD(t)
A(~x, t)dv (23)
Sous forme symbolique le bilan s’´ecrit:
d
dt ZD(t)
A(~x, t)dv +Z∂D(t)
αds =ZD(t)
PAdv , (24)
d
dt d´esigne la d´eriv´ee particulaire et ∂Dle bord du domaine. Dans (24) le second membre repr´esente
ce que l’on fournit, ce qui sert `a compenser les pertes subies `a travers la fronti`ere (int´egrale de sur-
face) et d’autre part `a faire varier la quantit´e Alorsqu’on suit le domaine Ddans son mouvement.
PAd´esigne le taux de production volumique. Compte tenu du lemme fondamental de la dy-
namique 2, on a α=~ ΦA.~n o`u ~n d´esigne la normale `a la fronti`ere du domaine repr´esent´ee sur la
figure 1 et ~ ΦAle flux de diffusion de A`a travers la surface ∂D. Supposons que le domaine que
l’on suit dans son mouvement poss`ede une surface de discontinuit´e que l’on appellera Σ suppos´ee
inerte vis `a vis de la quantit´e A. On citera comme exemple de surfaces de discontinuit´es, les nappes
tourbillonaires dans les ´ecoulements cisaill´es, les ondes de choc, les interfaces entre deux fluides.
D1
D2
∂D
D(t)
~n
~
N
~
W
Σ
Figure 1: ~ Wd´esigne la vitesse de Σ(t) ind´ependant du domaine, ~ Nd´esigne la normale `a la surface
de discontinuit´e, ~n repr´esente la normale `a la surface ∂D. La surface de discontinuit´e s´epare le
domaine en deux sous domaines D1et D2.
On rappelle tout d’abord l’expression de R∂D(t)~
ΦA.~nds avec ~ ΦAcontinuement diff´erentiable sur
D(t) priv´e de Σ:
Z∂D(t)
~
ΦA~nds =ZD(t)
div(~ ΦA)dv +ZΣ(t)
[[~ ΦA]] ~ Nds (25)
o`u [[~ ΦA]] d´esigne le saut de la quantit´e ~ ΦA`a travers Σ(t). Lorsque la normale est orient´ee comme
sur la figure 1:
[[~ ΦA]] = ~ Φ2
A−~
Φ1
A.(26)
D’autre part la d´eriv´ee particulaire d’une int´egrale de volume s’explicite sous la forme:
d
dt ZD(t)
A(~x, t)dv =ZD(t)
∂A
∂t +Z∂D(t)
A~u.~n −ZΣ(t)
[[A]] ~ W . ~ Nds (27)
2M´ecanique des milieux continus de paul Germain, Masson, 1973
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