SUITES ALEATOIRES D`ENTIERS

SUITES ALEATOIRES D’ENTIERS
Yitzhak KATZNELSON
L’analyse Harmonique dans le Domaine Complexe
Montpellier 11-15 Septembre 1972
Springer Lecture Notes in Math,
vol 336 pp.148-152
Soient Zle groupe des entiers, T=R/Zle groupe dual muni de la topolo-
gie usuelle et Tdle mˆ eme groupe muni de ia topologie discr` ete. Le compactifi´ e
de Bohr Bde Zest le groupe dual de Tdet l’injection β:Z7→ Best duale de
l’injection canonique de Tddans T. Grˆ ace a β,Zdevient un sousgroupe dense
dans B.
La m´ ethode al´ eatoire expos´ ee ci-dessous permet de construire des ensembles
Λ“rares” dans Zau sens de i’analyse harmonique mais tels que β(Λ)soit dense
dans B. Cependant, la question la plus int´ eressante: “existe-t-il une suite de Sidon
dense dans B?” reste ouverte.
Une condition n´ ecessaire et suffisante pour qu’une suite Λ⊂Zsoit dense dans
Best que, pour tout entier s≥1 et tout x∈Ts, l’ensemble Λxdes λx,λ∈Λ, soit
dense dans le groupe engendr´ e par xdans Ts.
Ceci dit, nous ne savons mˆ eme pas s’il existe une suite de Sidon Λpour laque-
lle Λxsoit dense dans Tpour tout x“irrationnel” de T. Nous montrons au §1
que certaines suites al´ eatoires sont denses dane B. Les applications ` a l’analyse
harmonique sont donn´ ees au §2.
§1—Suites al´ eatoires denses dans le compactifi´ e de Bohr des entiers.
Nous consid´ erons une classe de suites al´ eatoires construites de ia mani` ere
suivante: soit nk,k≥1, une suite rapidement croissante d’entiers, l’on suppose
nk+1>n2
k, et choisissons au hasard `knombres entiers dans l’intervalle ]nk−1,nk].
Notons l’ensemble ainsi obtenu par Λket posons Λ=SΛk. Il n’est pas tr` es difficile
de voir ([1]) que Λest presque sˆ urement de Sidon si et seulement si `k=O(log Nk).
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Th´ eor` eme. Supposons qu’il existe c >0tel que l’in´ egalit´ e`k>clognksoit sat-
isfaite pour une infinit´ e de valeurs de k . Soit η>0tel que eηc<1. Alors il est
presque sˆ ur que, pour tout s ≥1et tout x ∈Ts,
µx(Λx)>ηs,
µxetant la mesure de Haar du sous groupe ferm´ e engendr´ e par x dans Ts.
Corollaire. Si `kn’est pas O(lognk),k→∞, presque toutes les suites Λsont
denses dans le compactifi´ e de Bohr de Z.
En effet, les hypoth` eses du th´ eor` eme ´ etant valables pour tout c>0, la conclu-
sion l’est pour tout η<1. Donc pour tout x∈Ts,Λxest dense dans le groupe
engendr´ e par x.
Passons ` a la preuve du th´ eor` eme. Il suffit de d´ emontrer que, pour tout entier
s≥1, presque toutes les suites Λsont telles que, pour tout x∈Ts
µx(Λx)>ηs.
D’autre part, quitte a changer d’indices, on peut supposer que
`k≥clognkpour tout k≥1.
Soit maintenant {Ωk}∞
1une suite d´
enombrable d’ouverts de Tsayant les deux pro-
pri´ et´ es suivantes: tout ouvert U⊂Tsest r´ eunion croissante d’ouverts de la suite et
tout ouvert apparaissant dans la suite {Ωk}∞
1y apparaˆ
ıt une infinit´ e de fois.
Soient E⊂Tsune partie compacte et x∈Ts. Montrer que µx(E)≥ηsrevient
`
a montrer que, pour tout k≥1, µx(Ωk)>1−ηsimplique que Ωk∩En’est pas
vide.
L’id´ ee de la preuve est de remplacer l’ensemble non d´ enombrable des points
de test x∈Tspar un ensemble fini Gk(adapt´ e a la partie Λkde Λ).
Notons d’abord par Fkl’ensemble des (knk)spoints de Tsde la forme
a= ( j1
knk
,... js
knk
)
tels que
0≤j1<knk,...,0≤js<knk
et notons par Gkle sous ensemble de Fkform´ e des atels que
card{n:nk−1<n≤nket na ∈Ωk}>(1−ηs)nk.
Ces d´ efinitions de Fket de Gkne d´ ependent pas de Λ. Pour tout a∈Gkla
probabilit´ e de choisir l’ensembie Λkde sorte que λka∩Ωk=/0 est major´ ee par
2

ηs`k; le nombre d’´ el´ ements de Gkne d´ epassant pas (knk)s, la probabilit´ e pour que,
pour tout a∈Gk,Λka∩Ωkne soit pas vide, d´ epasse
1−(knk)sηs`k>1−ks(eηc)slog nk.
Puisque eηc<1 , la croissance rapide de la suite des nkentraˆ ıne la convergence
de la s´ erie ∞
∑
k=1
ks(eηc)slognk.
Du th´ eor` eme de Borel-Cantelli, nous d´ eduisons le lemme suivant.
Lemme. Pour presque toutes les suites Λil existe un k0tel que pour tout k >k0et
tout a ∈Gk,Λa rencontre Ωk.
Montrons maintenant que cette derni` ere propri´ et´ e entraˆ ıne µx(Λx)≥ηs. Soit
x∈Ts,Ωun ouvert de la suite des (Ωj)∞
1tel que µx(Ω)>1−ηs. Appelons Ω0
et Ω00 deux autres ouverts de la suite des (Ωj)∞
1tels que Ω0⊂Ω,Ω00 ⊂Ω0, et que,
cepndant, µx(Ω00)>1−ηs. La distance d’un nombre r´ eel x1` a l’entier le plus
proche est not´ ee kx1ket pour tout x= (x1...,xs)∈Ts, on pose
kxk=kx1k+···+kxsk.
Soit ε>0 assez petit pour que tout point y∈Tsdont la distance ` aΩ0ne d´ epass
pas εappartienne ` aΩ. De mˆ eme, pour Ω0et Ω00. Pour N≥N0, on a
Card{n: 1 ≤n≤Net nx ∈Ω00}>(1−ηs)N.
Pour tout entier ktel que Ωk=Ω0, que nk>N0, et assez grand pour que k>s
ε,
appelons akun ´ el´ ement de Fktel que
kak−xk<s
knk
.
On a knak−nxk<εpour 1 <n≤nket donc nx ∈Ω00 implique nak∈Ωk=Ω0.
Par cons´ equent ak∈Gket grˆ ace au lemme Λka∩Ω0n’est pas vide. Le mˆ eme
raisonnement fournit Λkx∩Ω6=/0, ce qu’il fallait d´ emontrer.
§2—Applications a l’analyse harmonique.
Etant donn´ ee une fonction ϕ(q)qui tend vers l’infini avec q(arbitrairement
lentement), on peut construire un ensemble Λd’entiers naturels, dense dans le
compactifi´ e de Bohr de Z, mais tel que, pour toute somme trigonom´ etrique fdont
les fr´ equences appartiennent ` aΛ, on ait:
kfkq≤ϕ(q)√qkfk2.
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Il suffit que, dans la construction al´ eatoire d’une suite d’entiers du §1, l’on
prenne
`k=ψ(k)lognk
et que ψ(k)croisse assez lentement vers +∞(en fonction de ϕ).
R´ ef´ erences
[1] Katznelson — Malliavin, V´ erification statistique . . . C.R. Acad. Sci. Paris, t.
262 pp. 490-492 (1966)
[2] Rudin, Trigonometric series with gaps, Jour. of Math. and Mechanics, Vol.
9, pp. 203 - 238 (1960)
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