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Devoir n°4 du samedi 05 décembre 2015
Nom : Total :
Problème I. Réflexion sur une surface métallique, ionisation, puissance limite
1. m
t
v
∂
∂
= m.g – e.E – e.v ∧ B –
m
τ
v. Or le poids et la force magnétique sont négligeables. | 1 |
m
t
v
∂
∂
= – e.E –
m
τ
v. En notation complexe, on obtient : v = –
( )
e
m 1 i
τ
+ ωτ
E . | 2 |
2. Les ions du métal sont « fixes » dans le réseau et ont une inertie (masse) beaucoup plus grande que celle | 1 |
des électrons de conduction. Á forces motrices égales (force de Lorentz électrique), les électrons sont | |
beaucoup plus mobiles que les ions : || v
ion
|| << || v
électron
||. Il en est de même pour les vecteurs courant de | 1 |
conduction, || j
ion
|| << || j
électron
||. | 1 |
3. j = j
électron
= – n.e. v =
( )
2
ne
m 1 i
τ
+ ωτ
E = γ. E avec γ =
0
1 i
γ
+ ωτ
et γ
0
=
2
ne
m
τ
. | 2 |
γ
0
représente la conductivité électrique du métal en régime stationnaire ou lorsque ωτ << 1. | 2 |
4. n =
Au A
Au
N
M
µ
= 5,90.10
28
m
–3
et τ =
0
2
m
ne
γ
= 2,7.10
–14
s. | 4 |
Avec λ = 1050 nm, on a ωτ ≈ 50 >> 1, γ =
0
1 i
γ
+ ωτ
≈
0
i
γ
ωτ
= – i
2
ne
m
ω
. | 2 |
5. div E =
0
ρ
ε
= 0 ; div B = 0 ; rotE = –
t
B
∂
∂
et rotB = µ
0
. j + ε
0
µ
0
t
E
∂
∂
. | 4 |
6. Par l’opération rot ( rotE ), on obtient : ∆ E –
2
2 2
1
c t
E
∂
∂
= µ
0
t
j
∂
∂
. | 1 |
7. En notation complexe, l’équation précédente fournit : (
2
2
c
ω
– k
2
) E = iωµ
0
γ E =
2
0
ne
m
µ
E =
2
2
0
ne
m c
ε
E . | 1 |
Finalement, la relation de dispersion vaut : k
2
=
2 2
p
2
c
ω −ω
avec
2
p
ω
=
2
0
ne
m
ε
. | 1 |
8. ω
p
= 1,4.10
16
rad.s
–1
et ω = 1,8.10
15
rad.s
–1
. | 2 |
9. Avec ω
p
>> ω, k
2
= –
2
p
2
c
ω
ou k = ±i
p
c
ω
. E (M,t) = E(0).expi(ωt
p
i
c
ω
∓z). u
x
= E(0).exp(±
p
c
ω
z).exp(iωt). u
x
| 2 |
Comme le métal occupe l’espace z > 0 et l’onde ne peut pas diverger, E = E(0).exp(–
p
c
ω
z).exp(iωt). u
x
| 1 |
E = Re( E ) = E(0).exp(–
p
c
ω
z).cosωt. u
x
. | 1 |
B =
k
ω
∧ E = –i
p
E(0)
c
ωωexp(–
p
c
ω
z).exp(iωt). u
y
d’où B =
p
E(0)
c
ωωexp(–
p
c
ω
z).sinωt. u
y
. | 1 |
L’onde obtenu est plane, monochromatique, amortie, stationnaire et polarisée rectilignement (R
x
). | 2 |
10. δ =
p
c
ω
≈ 20 nm. δ est très faible devant l’épaisseur de la couche de métal déposée sur le miroir. | 2 |
On peut donc considérer le métal comme un milieu semi infini. | 1 |
11. B
i
=
i
k
ω
∧ E
i
=
0
E
c
exp[iω(t –
z
c
)]. u
y
et B
r
=
r
k
ω
∧ E
r
= – r
0
E
c
exp[iω(t +
z
c
)]. u
y
| 2 |
12. La composante tangentielle du champ E est toujours continue. Le champ E est purement tangentiel, il est | 1 |
continu à la surface du métal en z = 0 :
E
i
(0,t) + E
r
(0,t) = E
t
(0,t). On a alors (1 + r)E
0
= E
t
(0) = E(0). | 1 |
Pour le champ B , la relation de passage donne : B
métal
(0) – B
vide
(0) = µ
0
. j
s
∧ u
z
. Or, le métal n’est pas | 1 |
parfait, la distribution est volumique j
s
= 0 et le champ magnétique B est continu à la surface du métal. | 1 |
B
i
(0,t) + B
r
(0,t) = B
t
(0,t) donne (1 – r)E
0
= – i
p
ω
ω
E(0). | 1 |

13. La résolution donne : r =
p
p
i
i
ω+ ω
ω− ω
. |r| = 1, l’onde réfléchie a la même amplitude que l’onde incidente. | 2 |
14. E(0) = (1 + r)E
0
=
p
2
i
ω
ω− ω
E
0
d’où E(0) = |E(0)| =
0
2
p
2
2E
1
ω
+
ω
. Si ω
p
>> ω, E(0) = 2
p
ω
ω
E
0
. | 2 |
15. La Q.1. donne v = –
( )
e
m 1 i
τ
+ ωτ
E dans le métal avec E , le champ de l’onde transmise. | v | sera maximum | |
où le champ transmis sera maximum, i.e. à la surface du métal. | |
Dans le cas où ω
p
>> ω et ωτ >>1, v
0
=
e
m
ω
2
p
ω
ω
E
0
=
p
2e
m
ω
E
0
= 2
0
nm
ε
E
0
. | 1 |
16. Dans le modèle planétaire, les électrons décrivent des trajectoires circulaires autour du noyau. | 1 |
Ces électrons possèdent une énergie mécanique E
m
= –
p
E
2
= –
2
0
Ze
8 r
πε
. Pour être éjecté, il faut fournir à | 1 |
l’électron au moins cette énergie mécanique d’où E
min
=
2
0
Ze
8 r
πε
≈ 400 eV >> 9 eV. | 2 |
Les électrons de conduction voient l’influence du noyau atténuée par les électrons des couches internes : | |
Il faudrait tenir compte de cet effet d’écran. | 1 |
17. Il y a ionisation si
2
0
mv
2
= E
ionisation
d’où v
0
≈ 1,8.10
6
m.s
–1
. | 2 |
18. v
0
= 2
0
nm
ε
E
0
donne E
0
=
0
0
1 nm
v
2
ε
≈ 7.10
10
V.m
–1
. | 2 |
19. Π =
0
E B
∧
µ
et P
moy
= < Π >.S =
0
1.Re
2
E B *
S
∧
µ
=
2
0
0
E S
1
2 c
µ
= 1,7.10
17
W. | 2 |
20. D’après les valeurs de l’énoncé, on obtient P
moy
= (0,5 J.cm
–2
)(260 cm
2
)/(10
–12
s) = 1,3.10
14
W. | 1 |
Les valeurs sont très différentes, rapport de 1300. Le modèle n’est pas satisfaisant. | 1 |
Problème II : Communications spatiales
21. Pour chaque charge, on peut écrire m
t
v
∂
∂
= m.g – e.E – e.v ∧ B. | 1 |
La force magnétique est négligeable car ||v ∧ B|| << ||E|| car les électrons ne sont pas relativistes | 1 |
Le poids des particules est négligeable si mg << eE
0
. Pour les électrons, il faut E
0
> 5.10
–11
V.m
–1
. | 1 |
Pour les ions, il faut E
0
> 10
–7
V.m
–1
. | 1 |
22. m
t
v
∂
∂
= q.E. En notation complexe, on obtient : v =
q
im
ω
E. | 1 |
Pour les électrons : v
e
= –
e
im
ω
E et pour les ions : V
i
=
e
iM
ω
E. | 1 |
j = j
ion
+ j
électron
= ne(V
i
– v
e
) =
2
ne 1 1
i M m
+
ω
E.
e
iM
ω
E. Comme M >> m, j = –
2
ine
m
ω
E. | 2 |
23. MG : divE = 0 ; MT : divB = 0 ; MF : rotE = –
t
B
∂
∂
et MA : rotB = µ
0
.j + ε
0
µ
0
t
E
∂
∂
. | 4 |
24. En calculant de deux manières différentes rot(rotE), on obtient la relation proposée (Cf. Cours). | 2 |
La relation proposée est atypique mélangeant notations réelle et complexe !! | |
25. En introduisant définitivement la notation complexe, on obtient k
2
=
2 2
p
2
c
ω −ω
. (Cf. Cours) | 1 |

26. Si ω > ω
p
, k
2
> 0, k est réel et l’onde se propage sans atténuation | 1 |
Si ω < ω
p
, k
2
< 0, k est imaginaire pur et l’onde ne se propage pas. | 1 |
Le plasma se comporte comme un filtre passe haut de fréquence de coupure f
c
= f
p
=
2
0
1 ne
2 m
π ε
. | 1 |
27. k
2
=
2 2
p
2
c
ω −ω
et v
ϕ
=
2
p
2
c
1
ω
−
ω
> c. La vitesse de phase dépend de la fréquence, le milieu est dispersif. | 2 |
Graphe. | 1 |
28. f
c
=
2
0
1 ne
2 m
π ε
= 1,3 MHz. | 1 |
29. La fréquence de coupure varie de f
c
= 1,3 MHz à f
c
= 6,5 MHz. | 2 |
Pour communiquer avec un satellite, les ondes doivent traverser l’ionosphère en toute circonstance donc | |
il faut f > f
cmax
= 6,5 MHz. | 1 |
λ < 46 m. Les ondes décamétriques du domaine des Hautes Fréquences conviennent. | 1 |