Electromagnétisme, TD n 5, corrigé Modèle de Drude

Electromagnétisme, TD n◦5, corrigé
Modèle de Drude
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temps de relaxation et "force de frottement"
1) On raisonne sur un ensemble d’électrons. On considère les événements ayant lieu à partir de
t = 0. Nous allons d’abord calculer le nombre d’électrons qui subissent une première collision
entre t et t+dt. Ce nombre est :
N (t) − N (t + dt) = N (t)
dt
τ
Il vient donc très facilement N (t) = N0 exp(−t/τ ), d’où la probabilité P (t) :
P (t) =
N (t)
= exp(−t/τ )
N0
2) à l’instant t, N (t) électrons n’ont pas subi de collisions. Entre t et t+dt, il y a N (t)dt/τ
électrons qui subissent leur première collision. On en déduit p(t) :
p(t) =
N (t)dt/τ
dt
= exp(−t/τ )
N0
τ
aon appelle t̄ le temps moyen qui s’écoule avant la prochaine collision à partir d’un instant
quelconque. On définit l’origine des temps à cet instant quelconque. Il vient :
Z +∞
t̄ =
tp(t) =
0
Z +∞
t
τ
0
exp(−t/τ )dt = τ
3) Nous allons calculer la différence de quantité de mouvement de l’ensemble des électrons entre
t et t+dt. Il faut ici différencier les électrons qui subissent une collision pendant cet intervalle de
temps et ceux qui n’en subissent pas. En particulier, les électrons qui subissent une collision ont
une quantité de mouvement aléatoire après la collision et la moyenne sur l’ensemble des électrons
est nulle.
La fraction des électrons qui subissent une collision (pas forcément la première) entre t et t+dt est
N0 dt/τ . Pour cet ensemble d’électrons la quantité de mouvement moyenne est nulle (ils repartent
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dans des directions aléatoires). On perd donc une quantité de mouvement totale Q(t)dt/τ et l’on
peut écrire :
dt
Q(t + dt) = N0 F(t)dt + Q(t) 1 −
τ
Q(t + dt) − Q(t) = N0 F(t)dt − Q(t)
dt
τ
Finalement, on obtient l’équation suivante pour la vitesse moyenne d’un électron :
dv
F
v
=
−
dt
m τ
Ou encore, en appelant γ = m/τ :
m
dv
= F − γv
dt
Il apparaît que les collisions des électrons avec les ions du matériau se traduisent par l’introduction
d’une force de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse dans l’équation de la dynamique
prise pour les grandeurs moyennes (vitesse ici) d’un électron du système. Pour la petite histoire,
il a été montré plus tard que les collisions ne se faisaient pas avec les ions du matériau, mais avec
les phonons, c’est-à-dire les modes de vibration du réseau cristallin.
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Conductivité électrique
1) j est définie par : j = n(−e)v. La force F est ici la force de Lorentz : F = −eE0 exp(−iωt).
On est en régime forcé à la pulsation ω, l’équation trouvée dans la partie précédente devient :
−iωv =
Il vient immédiatement :
v=
−e
v
E0 −
m
τ
eτ E0
m iωτ − 1
En introduisant la conductivité σ(ω), j(ω) = σ(ω)E0 , on trouve :
σ(ω) =
ne2 τ
1
m 1 − iωτ
NB : On aurait pu raisonner avec un champ électrique quelconque E(t). En passant par les
transformées de Fourier, on aurait obtenu cette relation.
2) Combien a-t-on d’atomes par unité de volume dans un métal ? Dans un cristal, les atomes
sont arrangés périodiquement et les distance interatomiques sont de l’ordre de l’Angstrom. On
a typiquement 1 atome par 3 soit une densité de 1030 atomes par m3 . On a donc n ≈ 1030 m−3 .
Le résultat exact est 8, 5.1028 m−3 .
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3) La résistivité statique (ω → 0) est :
ρ=
1
m
= 2
σS
ne τ
Il vient donc τ ≈ 2, 7.10−14 s. (En calcul d’ordre de grandeur on trouve 10−14 s). Cette mesure
macroscopique nous renseigne sur la durée moyenne entre deux collisions. Elle est de l’ordre de
la dizaine de femtosecondes dans un métal.
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Constante diélectrique
1) La densité de polarisation P est donnée par : P = n(−e)r0 . L’équation de la dynamique nous
donne en régime monochromatique :
−ω 2 r0 =
Il vient donc :
r0 =
−e
iω
E0 + r 0
m
τ
eE0
1
m ω 2 + iω/τ
Pour la densité de polarisation, on a :
P=
−ne2 E0
1
= 0 ((ω) − 1)E0
m
ω 2 + iω/τ
soit pour la constante diélectrique :
(ω) = 1 −
ωP2
ω 2 + iω/τ
2
ne
avec ωP2 = m
. ωP est appelée pulsation plasma du métal. Lorsque ω ωP , on a ≈ 1 et le
0
milieu est quasi transparent.
2) En régime dépendant du temps , il est impossible de distinguer macroscopiquement les effets
des électrons libres et liés. Les uns comme les autres oscillent avec le champ sans avoir de
déplacement moyen. Calculer une conductivité σ ou une constante diélectrique relève d’un
choix conventionnel. Les densités de courant et de polarisation sont alors liées par : j = ∂P
∂t . On
peut écrire :
iσ(ω)
(ω) = 1 +
0 ω
On retrouve à basse fréquence une conductivité réelle. À haute fréquence, la conductivité est
imaginaire. Dans ce cas, E est en quadrature avec j et le milieu réfléchira les ondes. Lorsque ω
augmente, |σ| tend vers zéro. Les électrons - du fait de leur masse - ne peuvent plus suivre la force
excitatrice. L’amplitude de leur mouvement tendant vers zéro, tout se passe comme s’ils n’étaient
pas là (vide). Ceci correspond à r → 1 ou σ → 0. C’est ce qui se passe pour les rayons X. À des
fréquences plus élevées, il faudrait prendre en compte l’interaction du champ électromagnétique
avec les noyaux atomiques, ce qui n’apparaît pas dans notre modèle.
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