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Devoir n°4 du samedi 05 décembre 2015
Nom :
Total :
Problème I. Réflexion sur une surface métallique, ionisation, puissance limite
∂v
m
1. m
= m.g – e.E – e.v ∧ B – v. Or le poids et la force magnétique sont négligeables.
∂t
τ
∂v
m
eτ
m
= – e.E – v. En notation complexe, on obtient : v = –
E.
∂t
τ
m (1 + iωτ )
2. Les ions du métal sont « fixes » dans le réseau et ont une inertie (masse) beaucoup plus grande que celle
des électrons de conduction. Á forces motrices égales (force de Lorentz électrique), les électrons sont
beaucoup plus mobiles que les ions : ||vion|| << ||vélectron||. Il en est de même pour les vecteurs courant de
conduction, ||jion|| << ||jélectron||.
3. j = jélectron = – n.e.v =
ne2 τ
γ0
τne2
E = γ.E avec γ =
et γ0 =
.
m(1+ iωτ )
1 + iωτ
m
γ0 représente la conductivité électrique du métal en régime stationnaire ou lorsque ωτ << 1.
mγ
µ N
4. n = Au A = 5,90.1028 m–3 et τ = 20 = 2,7.10–14 s.
MAu
ne
γ0
γ
ne2
≈ 0 =–i
.
1 + iωτ iωτ
mω
∂B
∂E
ρ
5. divE =
= 0 ; divB = 0 ; rotE = –
et rotB = µ0.j + ε0µ0
.
∂t
∂t
ε0
Avec λ = 1050 nm, on a ωτ ≈ 50 >> 1, γ =
∂j
1 ∂2 E
6. Par l’opération rot(rotE), on obtient : ∆E – 2 2 = µ0 .
∂t
c ∂t
7. En notation complexe, l’équation précédente fournit : (
Finalement, la relation de dispersion vaut : k2 =
ne2
ω2
µ 0ne2
2)E = iωµ0γE =
–
k
E
=
E.
m
mε 0 c 2
c2
ω2 − ωp2
c2
avec ω2p =
ne2
.
mε0
8. ωp = 1,4.1016 rad.s–1 et ω = 1,8.1015 rad.s–1.
ωp2
ω
ω
ω
2
9. Avec ωp >> ω, k = – 2 ou k = ±i p . E(M,t) = E(0).expi(ωt ∓ i p z).ux = E(0).exp(± p z).exp(iωt).ux
c
c
c
c
ω
Comme le métal occupe l’espace z > 0 et l’onde ne peut pas diverger, E = E(0).exp(– p z).exp(iωt).ux
c
ωp
E = Re(E) = E(0).exp(–
z).cosωt.ux.
c
ω E(0)
ω
ω E(0)
ω
k
B=
∧ E = –i p
exp(– p z).exp(iωt).uy d’où B = p
exp(– p z).sinωt.uy.
ω
ωc
c
ωc
c
L’onde obtenu est plane, monochromatique, amortie, stationnaire et polarisée rectilignement (Rx).
c
10. δ =
≈ 20 nm. δ est très faible devant l’épaisseur de la couche de métal déposée sur le miroir.
ωp
On peut donc considérer le métal comme un milieu semi infini.
k
E
z
k
E
z
11. Bi = i ∧ Ei = 0 exp[iω(t – )].uy et Br = r ∧ Er = – r 0 exp[iω(t + )].uy
ω
c
c
ω
c
c
12. La composante tangentielle du champ E est toujours continue. Le champ E est purement tangentiel, il est
continu à la surface du métal en z = 0 : Ei(0,t) + Er(0,t) = Et(0,t). On a alors (1 + r)E0 = Et(0) = E(0).
Pour le champ B, la relation de passage donne : Bmétal(0) – Bvide(0) = µ0.js ∧ uz. Or, le métal n’est pas
parfait, la distribution est volumique js = 0 et le champ magnétique B est continu à la surface du métal.
ω
Bi(0,t) + Br(0,t) = Bt(0,t) donne (1 – r)E0 = – i p E(0).
ω
| 1
|
| 2
|
| 1
|
| 1
| 1
|
|
|
|
| 2
|
| 2
|
| 4
|
| 2
|
| 4
|
| 1
|
| 1
|
| 1
|
| 2
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| 2
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| 1
|
| 1
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| 1
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| 2
|
| 2
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| 1
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| 2
|
|
|
|
|
1
1
1
1
|
|
|
|
| 1
|
13. La résolution donne : r =
14. E(0) = (1 + r)E0 =
ω+ iωp
ω − iωp
. |r| = 1, l’onde réfléchie a la même amplitude que l’onde incidente.
2ω
E0 d’où E(0) = |E(0)| =
ω − iωp
2E0
1+
ωp2
. Si ωp >> ω, E(0) = 2
ω
E0 .
ωp
| 2
|
| 2
|
ω2
eτ
E dans le métal avec E, le champ de l’onde transmise. |v| sera maximum |
m (1 + iωτ )
|
|
|
| 1
|
16. Dans le modèle planétaire, les électrons décrivent des trajectoires circulaires autour du noyau.
| 1
2
Ep
Ze
Ces électrons possèdent une énergie mécanique Em = –
=–
. Pour être éjecté, il faut fournir à | 1
2
8πε0r
|
15. La Q.1. donne v = –
où le champ transmis sera maximum, i.e. à la surface du métal.
e
ω
2e
ε
Dans le cas où ωp >> ω et ωτ >>1, v0 =
2
E0 =
E0 = 2 0 E0.
mω ωp
nm
mωp
Ze2
≈ 400 eV >> 9 eV.
|
8πε0r
Les électrons de conduction voient l’influence du noyau atténuée par les électrons des couches internes : |
Il faudrait tenir compte de cet effet d’écran.
|
l’électron au moins cette énergie mécanique d’où Emin =
17. Il y a ionisation si
18. v0 = 2
19. Π =
mv 20
2
= Eionisation d’où v0 ≈ 1,8.106 m.s–1.
ε0
1
nm
E0 donne E0 = v 0
≈ 7.1010 V.m–1.
nm
2
ε0
 E ∧ B *  1 E20S
E∧ B
1
et Pmoy = < Π >.S = S .Re 
= 1,7.1017 W.
=
µ0
2
µ
c
2
µ
0
0


20. D’après les valeurs de l’énoncé, on obtient Pmoy = (0,5 J.cm–2)(260 cm2)/(10–12 s) = 1,3.1014 W.
Les valeurs sont très différentes, rapport de 1300. Le modèle n’est pas satisfaisant.
Problème II : Communications spatiales
∂v
21. Pour chaque charge, on peut écrire m
= m.g – e.E – e.v ∧ B.
∂t
La force magnétique est négligeable car ||v ∧ B|| << ||E|| car les électrons ne sont pas relativistes
Le poids des particules est négligeable si mg << eE0. Pour les électrons, il faut E0 > 5.10–11 V.m–1.
Pour les ions, il faut E0 > 10–7 V.m–1.
∂v
q
22. m
= q.E. En notation complexe, on obtient : v =
E.
∂t
imω
e
e
Pour les électrons : ve = –
E et pour les ions : Vi =
E.
iMω
imω
e
ne2  1 1 
ine 2
j = jion + jélectron = ne(Vi – ve) =
+
E.
E.
Comme
M
>>
m,
j
=
–
E.


iω  M m  iMω
ωm
∂B
∂E
23. MG : divE = 0 ; MT : divB = 0 ; MF : rotE = –
et MA : rotB = µ0.j + ε0µ0
.
∂t
∂t
24. En calculant de deux manières différentes rot(rotE), on obtient la relation proposée (Cf. Cours).
La relation proposée est atypique mélangeant notations réelle et complexe !!
25. En introduisant définitivement la notation complexe, on obtient
k2
=
ω2 − ωp2
c2
. (Cf. Cours)
|
2
|
1
|
|
| 2
|
| 2
|
| 2
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| 1
| 1
|
|
| 1
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| 1
| 1
| 1
|
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| 1
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| 1
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| 2
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| 4
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| 2
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|
|
| 1
|
26. Si ω > ωp, k2 > 0, k est réel et l’onde se propage sans atténuation
Si ω < ωp, k2 < 0, k est imaginaire pur et l’onde ne se propage pas.
Le plasma se comporte comme un filtre passe haut de fréquence de coupure fc = fp =
27.
k2
=
ω2 − ωp2
c
2
et vϕ =
c
1−
ωp2
1 ne2
.
2 π mε 0
> c. La vitesse de phase dépend de la fréquence, le milieu est dispersif.
|
|
| 1
|
| 2
|
| 1
|
| 1
|
| 2
|
| 1
| 1
|
|
|
|
ω2
Graphe.
2
28. fc =
| 1
| 1
1 ne
= 1,3 MHz.
2 π mε 0
29. La fréquence de coupure varie de fc = 1,3 MHz à fc = 6,5 MHz.
Pour communiquer avec un satellite, les ondes doivent traverser l’ionosphère en toute circonstance donc
il faut f > fcmax = 6,5 MHz.
λ < 46 m. Les ondes décamétriques du domaine des Hautes Fréquences conviennent.