Premier ou non premier, telle est la fonction

Premier ou non premier,
telle est la fonction !
Elèves :
Samuel
BETRAND,
Louis
BILLAUD,
Adrien
BITEAU,
Romain
COUVET,
Lycée Saint Joseph, 4 rue du
79 300 BRESSUIRE
première
S,
première
S,
première
S,
terminale
S,
Docteur Brillaud,
Enseignant : Gilles MARECHAL
Chercheur : Camille LAURENT-GENGOUX
Recherche de fonctions
donnant des images premières
Nombre premier:
Un nombre est premier lorsqu’il a deux
diviseurs distincts : 17 est premier, 2010 est non
premier, 1 est considéré comme premier,
1681=412 n’est pas premier.
Polynômes d'Euler:
Avec le polynôme proposé par Euler
E 1 n=n2n41 les 40 premières images
des nombres de 0 à 39 sont des nombres
premiers : on dit que sa longueur est 40.
Avec
un
autre
polynôme
d'Euler
2
E 2  n=n n17 on obtient 16 images
consécutives premières : sa longueur est 16.
Le polynôme proposé par le Lycée jumelé de
l'Image
et
du
Son
d'Angoulême
2
donne 80 images
P n=n −81n1681
consécutives premières, sa longueur est donc
80. Mais en fait ce polynôme est le polynôme
d'Euler
décalé
car
2
,
les
40
P n=n−41 n−4141
images initiales se trouvent obtenues
deux fois chacune.
Problème:
La question posée par le chercheur s'énonce
ainsi : Peut-on trouver d'autres polynômes ou
fonctions donnant ainsi des images
consécutives premières ? Peut-on faire mieux
qu'Euler ?
Recherche de nombres premiers
Plusieurs méthodes ont été utilisées pour
déterminer si un nombre est premier ou non :
recherche à la main des diviseurs, programme
avec une calculatrice, utilisation de listes des
nombres premiers. Un programme a été fait
pour déterminer le nombres d'images premières.
Algorithme pour calculatrice:
Polynômes avec premières valeurs imposées
Lors de la présentation du problème en début
d'année, le chercheur Camille Laurent a montré
l'intérêt des nombre premiers et a mis en avant
des questions encore actuellement ouvertes pour
nous illustrer au mieux le problème qu'il nous a
posé : peut on trouver des fonctions qui
génèrent des nombre premiers ?
D'abord j'ai cherché ce qu'était un nombre
premier et comment le vérifier. Ensuite j'ai
recherché une liste de nombres premiers. J'en ai
vérifié quelques uns par calcul et avec un
programme de calculatrice.
Programme pour rechercher la longueur:
J'ai essayé sur le papier de fabriquer une
formule générant des nombres premiers.
Comme tous les nombres premiers sont impairs
sauf 2, j'ai cherché des fonctions simples
2n1 ;
donnant des nombres impairs:
2n−1 ;
6n1 ;
6n−1
(annexe 1).
Mais tous les nombre impairs ne sont pas
premiers. Ces calculs étant simples, je les faisais
à la main mais cela est vite devenu fastidieux
ainsi j'ai utilisé un tableur pour aller plus vite et
faire moins d'erreurs.
Ensuite j'ai essayé en reprenant la formule
donnée par le chercheur : n 2n41 est en
fait un polynôme présenté par Euler qui génère
40 nombres premiers. J'ai d'abord essayé en
changeant la valeur 41 (annexe 2). Puis j'ai
essayé en changeant les coefficients a et b dans
2
an bn41 , plus ou moins au hasard.
Ensuite je me suis dit qu'une fonction constante
de genre P n=7 ou fonction « divergente »
comme 18cos  n (annexe 3) ne donnait
que des images premières répétées, donc la
longueur de la formule était infinie. De même
j'ai eu l'idée de construire une « fonction
répétition » qui permet de répéter une suite
d'images premières (annexe 4), mais, les valeurs
étant répétées, nous avons laissé de côté ce type
de fonctions.
Nous avons alors établi des critères qualitatifs :
longueur, finesse, portée, pour évaluer nos
fonctions (annexe 5).
Adrien, Louis, Samuel, Romain
Nous avons participé à une première rencontre
avec les élèves du Lycée de l'Image et du Son
d'Angoulême et une deuxième intervention du
chercheur Camille Laurent. Nous avons exposé
nos travaux respectifs et envisagé de regrouper
certains travaux complémentaires en vu du
colloque MATh.en.JEANS de Bobigny.
Ensuite, j'ai repris l'idée des élèves du LISA de
travailler en imposant les premières images afin
de définir une fonction. Pour les 3 premières
images imposées, ce système leur donnait un
système de trois équations à trois inconnues à
résoudre pour obtenir une formule (annexe 6).
J'ai utilisé la formule du polynôme
d'interpolation de Lagrange qui permet de
trouver une formule à partir des premières
images imposées. D'abord sur feuille de papier
j'ai développé la formule de Lagrange pour trois
images imposées pour pouvoir ensuite la rentrer
sur un tableur (annexe 7). Cette méthode était
source d'erreurs et compliquée encore plus si je
voulais imposer plus de trois images; j'ai donc
utilisé la fonction « POLY_INTERPOLATE »
du logiciel Dérive Je n'avais plus qu'à soumettre
la formule obtenue au programme que Samuel
avait développé pour connaître la longueur, la
finesse et la portée du polynôme.
J'ai obtenu plusieurs polynômes. Je me suis
rendu compte que les deux polynômes de
longueur 38 et 39 étaient en fait des polynômes
d'Euler décalés. Le polynôme −n2 −3 n167
, de longueur 24, est le plus long que j'ai obtenu
(annexe 8).
Annexe 2 : Polynômes d'Euler
Le polynômes n 2n41 donne 40 valeurs
initiales premières, le polynômes n 2n11
en donne 10.
Annexe 3 :
« divergentes »
Fonctions
constantes
Du 1er au 3 avril 2011, nous avons participé au
colloque MATh.en.JEANS à Bobigny. Ce n'était
pas ma première expérience mais je trouve
impressionnant de pouvoir dialoguer avec des
chercheurs et d'assister à des conférences. C'est
toujours enrichissant de partager et de voir les
projets et la présentation d'autres groupes.
Romain
Annexe 1 : Premiers essais
Annexe 4 : Fonction répétition
R n=6n1 est de longueur 3,
R2 n=
si n≤3
{66n1
n−31 sinon
de longueur 6,
ou
{
6n1 si n≤3
R3n= 6 n−31 si 3n≤6
6 n−61 sinon
de longueur 9.
Annexe 5 : Propriétés des fonctions
Dans une suite d'images : la longueur est le
nombre de nombres premiers à suivre,la portée
est le nombre maximal d'images successives qui
sont des nombres premiers différents, la finesse
est le nombre de nombres premiers différents à
suivre.
Annexe 8 : Tableau de résultats
Annexe 6 : Premières images imposées
La recherche d'un polynôme prenant 7, 11 et 13
comme images se ramène donc à rechercher un
polynôme de la forme P n=an2bnc
P 1=7 ,
P 2=11
vérifiant
et
P 3=13
ce qui donne le système suivant à résoudre
abc=7
4a 2bc=11
9a3bc=13
{
Annexe 7 : Polynôme d'interpolation
Les deux derniers polynômes sont des
polynômes d'Euler décalés:
2
2
n 5 n47= n2 n241
2
2
n 3 n43= n1 n141
Le polynôme −n2 −3 n167 est le polynôme
original le plus long obtenu.
Romain
Longueur =Finesse=Portée=4
Des courbes de tendance aux polynômes
Lors de la présentation du problème en début
d'année, le chercheur Camille Laurent nous a
montré l'intérêt des nombres premiers et le
polynôme d'Euler.
D'abord, après la visioconférence avec le
chercheur, je me suis concentré sur la recherche
de formules permettant de trouver des nombres
premiers. Je me suis surtout intéressé à la portée
dans toutes mes formules. Les premières étaient
des formules simples telles que:
A1  n=6n7
Cette formule donne une longueur de 4 pour les
valeurs de n allant de 9 à 12 inclus,
61 ; 67 ; 73 ; 79 ;
Longueur =Finesse=Portée=4
Ensuite, j'ai utilisé un tableur pour pouvoir
tracer les courbes de tendance grâce aux
nombres premiers saisis et en déduire une
équation qui donne les images saisies avec
approximation.
C'est le cas par exemple de ces formules:
A2 n=E ∣5,51 n−36,1∣
Cette formule donne une longueur de 5 pour les
valeurs de n allant de 6 à 10 inclus
3 ; 2 ; 7 ; 13 ; 19 ;
Longueur =Finesse=Portée=5
n
A3  n=E 1,411,59 
Cette formule donne une longueur de 7 pour les
valeurs de n allant de 0 à 6 inclus
2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 17 ;
Longueur =7 ; Finesse=6 ; Portée=5
Finalement, trouver des formules à partir des
courbes était plutôt compliqué. J'ai donc
continué à rechercher des formules qui étaient
cette fois plus proches des polynômes.
J'en ai donc trouvé plusieurs qui ne sont pas
toutes très intéressantes:
A4 n=E  n3 / 9n2 /5n−1/2
Cette formule donne une longueur de 4 pour les
valeurs de n allant de 2 à 5 inclus
3 ; 7 ; 13 ; 23 ;
Longueur =Finesse=Portée=4
A5  n=E  n−13 /9n−12 /5 n−1−1/2
Cette formule donne une longueur de 4 pour les
valeurs de n allant de 3 à 6 inclus
3 ; 7 ; 13 ; 23 ;
Je me suis finalement inspiré d'un polynôme
existant
trouvé
sur
internet
:
Longueur =Finesse=Portée=20
pour, en le modifiant, réussir à trouver une
formule riche en images premières.
J'ai donc commencé par modifier le degré de ce
polynôme
A6  n=55n 3−4045n34961
Le résultat de ce test n'étant pas très concluant
j'ai cherché une autre piste.
Adrien
Recherche de fonctions particulières
avec conditions
1ère étape : A partir d'une fonction du
chercheur
Le chercheur nous avait proposé la formule
1
1 1
C n =n1  ... 
2 3
n
n
1
2
3
4
C  n 1
3
5,5
8,2
Comme on recherche des entiers, j'ai pris la
partie avant la virgule qu'on appelle la partie
entière,
n
1
2
3
4
5
6
C 1 n 1
3
d'où la formule
5
8
11
14
1 1
1
C 1 n= E [n1  ... ] .
2 3
n
C
(4)=8
, C 1 4 n'est
Mais dans ce cas
1
C 1 6
:
pas premier, de même
j'ai alors posé une condition en tronquant ma
formule lorsque n est pair
pour n impair:
1 1
1
L1  n=E [n 1  ... ]
2 3
n
pour n pair :
1 1
1
L1  n=E [n 1  ...
]
2 3
 n−1
J'obtiens :
n
1 2 3
4
5
6
7
L1  n 1 2 5
7
11
cette fonction a pour longueur 6.
13
18
2ème étape : Utilisation du nombre 
Dans la fonction précédente, j'avais utilisé les
puissances et les fractions. J'ai décidé de les
reprendre en ajoutant le nombre  à la
fonction.
J'ai observé que les premiers résultats étaient
proches d'un nombre premier, j'ai alors modifié
en ajoutant et en soustrayant 1.
n 
n
J'obtiens L 2 n=E [2  −1 ]
n
qui est de longueur 5.
Cette fonction est de longueur 11.
Voici le tableau de construction des résultats:
3ème étape : Recherche d'une formule simple
J'ai voulu faire une formule simple n'ayant que
 et n, tout cela en une fraction :
n
L3  n=E [ ]

Cette formule me donne 9 nombres premiers
cependant chaque nombre premier était donné
trois fois, ce qui n'est pas très intéressant.
4ème étape : Utilisation des écarts entre les
nombres premiers
Lors de la deuxième rencontre avec le lycée
jumelé d'Angoulême, j'ai remarqué que nous
cherchions des formules nous donnant des
nombres premiers.
Je suis demandé si on ne pouvait pas faire
l'inverse : choisir les nombres premiers que
notre formule donnerait ensuite.
J'ai dû pour cela observer les écarts qui existent
entre les nombres premiers. Pour faire cette
formule, j'ai utilisé une suite, que j'ai construite
récemment, avec trois conditions:
L4 : L(0) = 1
L(n) = L(n-1) si n<3 ajouter 1
sinon si n pair, ajouter n-2
sinon ajouter n-1
ajouter 2 si n est divisible par 5.
Voici l'algorithme:
les quarante premiers termes sont tous des
nombres premiers » (Lettre d’Euler à J.
Bernoulli vers 1772) HISTOIRES DES PROBLÈMES,
HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES (CHP .14, EX 8, P 365),
ELLIPSES
Observation de la formule
Ce polynôme nous a été proposé par Camille
Laurent (notre chercheur) comme exemple à
notre recherche de l’année que nous avons
nommé : Premier ou non premier telle est la
fonction !, en jumelage avec le LISA
d’Angoulême. Nous avons essayé une variante
du polynôme avec d’autres constantes que 41.
Nous nous sommes aperçus que suivant le
nombre, on obtenait des longueurs différentes
(nombre de nombres premiers). Nous avons
regardé les écarts entre les nombres premiers
afin de tenter de trouver une logique entre ces
derniers, sans grand résultat. C’est au congrès
de M.A.Th en J.E.A.N.S à Bobigny qu’un
chercheur nous a mis sur la voie pour chercher
comment Euler a pu faire, en travaillant sur
n 2n . Comment à fait Euler pour trouver ce
polynôme ?
Est-ce de la chance ? de l’intuition ou le produit
d’une grande réflexion ? Nous allons essayer de
chercher comment Euler a pu faire...
Tout d’abord, à son époque, Euler avait toutes
les connaissances sur les petits nombres
premiers, et aussi tous les outils mathématiques
que nous avons maintenant, en revanche, il
n’avait pas l’informatique.
Quelques résultats:
Louis
Observation des écarts
Nous allons, probablement comme Euler avait
fait, écrire les nombres premiers ainsi que les
écarts entre deux nombres consécutifs.
Les nombres encadrés sont les différences entre
les nombres premiers successifs.
Sur les pas d'Euler
Résultat d'Euler
Leonhard
EULER
(1707-1786)
grand
ème
mathématicien et physicien du 18 s. nous a
légué une formule pour les moins singulière :
n 2n41 .
Cette singularité est que les 40 premières
images de ce polynôme sont premières.
« Cette progression 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83,
97, 113, 131 etc. dont le terme général est
41x xx est d’autant plus remarquable que
Essayons quelque chose ….
A partir d’un nombre k , observons les écarts
entre certains nombres premiers, puis
additionnons ces écarts à partir de k. Par
exemple essayons avec k =17 .
Après avoir divisé par 2, on remarque que
certains demi-écarts sont des entiers consécutifs
dont
la
somme
est :
n
1n
∑1 p=12...n= 2 ×n , formule
vue en classe.
Essayons de généraliser …. On sait qu’à partir
d’un nombre k si on ajoute deux fois la somme
des entiers consécutifs, on obtient : ,
1n
2
2×
×n=1n×n=nn ce
qui
2
donne : n 2nk . Avec k =17 on obtient
n 2n17 .
Cette fonction nous donne bien quelques
nombres premiers (16 nombres premiers) mais
pas 17 car 289 n’est pas premier : 289=172 .
D’une
manière
générale
avec
2
f n=n nk on obtient
2
f  k−1=k −1 k −117
2
2
donc
f  k−1=k −2k 1k −1k =k
f  k−1 ne peut pas être premier car il est
divisible par k. De même pour f  k  .
On obtiendra au plus de 0 à k −2 , c’est-àdire k −1 nombres premiers.
Néanmoins, cette propriété n’est pas une
k =43
généralité :
si
alors
2
n’est
pas
premier.
f 1=1 143=45
Formule de la longueur ?
Nous avons dressé un tableau où nous avons
répertorié la longueur de chaque polynôme
l n 2nk  selon les valeurs de k.
On se rend compte que ces polynômes sont loin
de donner à tous les coups k −1 nombres
premiers. Pour certaines valeurs de k on a
l k =k −1 . Pour qu’elle valeur de k ? peuton en trouver d’autres :1-3-5-11-17-41 ?
Ces k sont les premiers éléments des couples de
premiers jumeaux par exemple (41-43, 11-13).
Il faudrait donc trouver des séries premières de
la forme: p ,  p2 , p4 , ... Euler à bien
dû faire le tour de la question …. Peut-être
qu’avec des ordinateurs on pourrait en trouver
d’autres.
La formule d’Euler est construite sur ce même
principe. Il se pourrait bien que Euler ait écrit
tous les nombres premiers jusqu’à … En
recherchant,
soustrayant,
additionnant,
multipliant et divisant ses résultats, il a trouvé
k =41
que le nombre
pour lequel
2
donne un grand nombre de
n nk
nombres premiers.
Ainsi donc, Euler n’a apparemment pas eu une
illumination soudaine mais sa formule est sans
doute le produit d’une grande observation et
d’un travail bien méticuleux.
Samuel