Premier ou non premier, telle est la fonction

Premier ou non premier,
telle est la fonction !
Elèves :
Samuel BETRAND, première S,
Louis BILLAUD, première S,
Adrien BITEAU, première S,
Romain COUVET, terminale S,
Lycée Saint Joseph, 4 rue du Docteur Brillaud,
79 300 BRESSUIRE
Enseignant : Gilles MARECHAL
Chercheur : Camille LAURENT-GENGOUX
Recherche de fonctions
donnant des images premières
Nombre premier:
Un nombre est premier lorsqu’il a deux
diviseurs distincts : 17 est premier, 2010 est non
premier, 1 est considéré comme premier,
1681=41
2
n’est pas premier.
Polynômes d'Euler:
Avec le polynôme proposé par Euler
E
1
n=n
2
n41 les 40 premières images
des nombres de 0 à 39 sont des nombres
premiers : on dit que sa longueur est 40.
Avec un autre polynôme d'Euler
E
2
n=n
2
n17 on obtient 16 images
consécutives premières : sa longueur est 16.
Le polynôme proposé par le Lycée jumelé de
l'Image et du Son d'Angoulême
Pn=n
2
−81n1681 donne 80 images
consécutives premières, sa longueur est donc
80. Mais en fait ce polynôme est le polynôme
d'Euler décalé car
Pn=n−41
2
n−4141 , les 40
images initiales se trouvent obtenues
deux fois chacune.
Problème:
La question posée par le chercheur s'énonce
ainsi : Peut-on trouver d'autres polynômes ou
fonctions donnant ainsi des images
consécutives premières ? Peut-on faire mieux
qu'Euler ?
Recherche de nombres premiers
Plusieurs méthodes ont été utilisées pour
déterminer si un nombre est premier ou non :
recherche à la main des diviseurs, programme
avec une calculatrice, utilisation de listes des
nombres premiers. Un programme a été fait
pour déterminer le nombres d'images premières.
Algorithme pour calculatrice:

Programme pour rechercher la longueur:
Adrien, Louis, Samuel, Romain
Polynômes avec premières valeurs imposées
Lors de la présentation du problème en début
d'année, le chercheur Camille Laurent a montré
l'intérêt des nombre premiers et a mis en avant
des questions encore actuellement ouvertes pour
nous illustrer au mieux le problème qu'il nous a
posé : peut on trouver des fonctions qui
génèrent des nombre premiers ?
D'abord j'ai cherché ce qu'était un nombre
premier et comment le vérifier. Ensuite j'ai
recherché une liste de nombres premiers. J'en ai
vérifié quelques uns par calcul et avec un
programme de calculatrice.
J'ai essayé sur le papier de fabriquer une
formule générant des nombres premiers.
Comme tous les nombres premiers sont impairs
sauf 2, j'ai cherché des fonctions simples
donnant des nombres impairs: 2n1;
2n−1; 6n1; 6n−1 (annexe 1).
Mais tous les nombre impairs ne sont pas
premiers. Ces calculs étant simples, je les faisais
à la main mais cela est vite devenu fastidieux
ainsi j'ai utilisé un tableur pour aller plus vite et
faire moins d'erreurs.
Ensuite j'ai essayé en reprenant la formule
donnée par le chercheur : n
2
n41 est en
fait un polynôme présenté par Euler qui génère
40 nombres premiers. J'ai d'abord essayé en
changeant la valeur 41 (annexe 2). Puis j'ai
essayé en changeant les coefficients a et b dans
an
2
bn41 , plus ou moins au hasard.
Ensuite je me suis dit qu'une fonction constante
de genre
P
n=7 ou fonction « divergente »
comme 18
cos n
(annexe 3) ne donnait
que des images premières répétées, donc la
longueur de la formule était infinie. De même
j'ai eu l'idée de construire une « fonction
répétition » qui permet de répéter une suite
d'images premières (annexe 4), mais, les valeurs
étant répétées, nous avons laissé de côté ce type
de fonctions.
Nous avons alors établi des critères qualitatifs :
longueur, finesse, portée, pour évaluer nos
fonctions (annexe 5).
Nous avons participé à une première rencontre

avec les élèves du Lycée de l'Image et du Son
d'Angoulême et une deuxième intervention du
chercheur Camille Laurent. Nous avons exposé
nos travaux respectifs et envisagé de regrouper
certains travaux complémentaires en vu du
colloque MATh.en.JEANS de Bobigny.
Ensuite, j'ai repris l'idée des élèves du LISA de
travailler en imposant les premières images afin
de définir une fonction. Pour les 3 premières
images imposées, ce système leur donnait un
système de trois équations à trois inconnues à
résoudre pour obtenir une formule (annexe 6).
J'ai utilisé la formule du polynôme
d'interpolation de Lagrange qui permet de
trouver une formule à partir des premières
images imposées. D'abord sur feuille de papier
j'ai développé la formule de Lagrange pour trois
images imposées pour pouvoir ensuite la rentrer
sur un tableur (annexe 7). Cette méthode était
source d'erreurs et compliquée encore plus si je
voulais imposer plus de trois images; j'ai donc
utilisé la fonction « POLY_INTERPOLATE »
du logiciel Dérive Je n'avais plus qu'à soumettre
la formule obtenue au programme que Samuel
avait développé pour connaître la longueur, la
finesse et la portée du polynôme.
J'ai obtenu plusieurs polynômes. Je me suis
rendu compte que les deux polynômes de
longueur 38 et 39 étaient en fait des polynômes
d'Euler décalés. Le polynôme −n
2
−3n167
, de longueur 24, est le plus long que j'ai obtenu
(annexe 8).
Du 1er au 3 avril 2011, nous avons participé au
colloque MATh.en.JEANS à Bobigny. Ce n'était
pas ma première expérience mais je trouve
impressionnant de pouvoir dialoguer avec des
chercheurs et d'assister à des conférences. C'est
toujours enrichissant de partager et de voir les
projets et la présentation d'autres groupes.
Romain
Annexe 1 : Premiers essais
Annexe 2 : Polynômes d'Euler
Le polynômes n
2
n41 donne 40 valeurs
initiales premières, le polynômes n
2
n11
en donne 10.
Annexe 3 : Fonctions constantes ou
« divergentes »
Annexe 4 : Fonction répétition
R
n = 6n 1est de longueur 3,
R2n=
{
6n1si n≤3
6n−31sinon de longueur 6,

R3n=
{
6n1sin≤3
6n−31si3n≤6
6n−61sinon
de longueur 9.
Annexe 5 : Propriétés des fonctions
Dans une suite d'images : la longueur est le
nombre de nombres premiers à suivre,la portée
est le nombre maximal d'images successives qui
sont des nombres premiers différents, la finesse
est le nombre de nombres premiers différents à
suivre.
Annexe 6 : Premières images imposées
La recherche d'un polynôme prenant 7, 11 et 13
comme images se ramène donc à rechercher un
polynôme de la forme Pn=an
2
bnc
vérifiant P
1 = 7, P 2 = 11 et
P 3 = 13
ce qui donne le système suivant à résoudre
{
abc=7
4a2bc=11
9a3bc=13
Annexe 7 : Polynôme d'interpolation
Annexe 8 : Tableau de résultats
Les deux derniers polynômes sont des
polynômes d'Euler décalés:
n
2
5n47= n2
2
n241
n
2
3n43= n1
2
n141
Le polynôme −n
2
−3n167 est le polynôme
original le plus long obtenu. Romain

Des courbes de tendance aux polynômes
Lors de la présentation du problème en début
d'année, le chercheur Camille Laurent nous a
montré l'intérêt des nombres premiers et le
polynôme d'Euler.
D'abord, après la visioconférence avec le
chercheur, je me suis concentré sur la recherche
de formules permettant de trouver des nombres
premiers. Je me suis surtout intéressé à la portée
dans toutes mes formules. Les premières étaient
des formules simples telles que:
A
1
n=6n7
Cette formule donne une longueur de 4 pour les
valeurs de n allant de 9 à 12 inclus,
61;67;73;79;
Longueu
r
=Finesse=Portée=4
Ensuite, j'ai utilisé un tableur pour pouvoir
tracer les courbes de tendance grâce aux
nombres premiers saisis et en déduire une
équation qui donne les images saisies avec
approximation.
C'est le cas par exemple de ces formules:
A
2
n =
E
∣ 5,51n − 36,1 ∣
Cette formule donne une longueur de 5 pour les
valeurs de n allant de 6 à 10 inclus
3;2;7;13;19;
L
ongueu
r
=
F
inesse = Portée = 5
A
3
n = E 1,41 1,59
n
Cette formule donne une longueur de 7 pour les
valeurs de n allant de 0 à 6 inclus
2;3;3;5;7;11;17;
L
ongueu
r
= 7;
F
inesse = 6;Portée = 5
Finalement, trouver des formules à partir des
courbes était plutôt compliqué. J'ai donc
continué à rechercher des formules qui étaient
cette fois plus proches des polynômes.
J'en ai donc trouvé plusieurs qui ne sont pas
toutes très intéressantes:
A
4
n = E n
3
/ 9 n
2
/ 5 n − 1 / 2
Cette formule donne une longueur de 4 pour les
valeurs de n allant de 2 à 5 inclus
3;7;13;23;
L
ongueu
r
=
F
inesse = Portée = 4
A
5
n = E n − 1
3
/ 9 n − 1
2
/ 5 n − 1 − 1 / 2
Cette formule donne une longueur de 4 pour les
valeurs de n allant de 3 à 6 inclus
3;7;13;23;
Longueu
r
=Finesse=Portée=4
Je me suis finalement inspiré d'un polynôme
existant trouvé sur internet :
Longueu
r
=Finesse=Portée=20
pour, en le modifiant, réussir à trouver une
formule riche en images premières.
J'ai donc commencé par modifier le degré de ce
polynôme
A
6
n=55n
3
−4045n34961
Le résultat de ce test n'étant pas très concluant
j'ai cherché une autre piste. Adrien
Recherche de fonctions particulières
avec conditions
1ère étape : A partir d'une fonction du
chercheur
Le chercheur nous avait proposé la formule
Cn= n11
21 3...1 n
n1234
C
n135,58,2
Comme on recherche des entiers, j'ai pris la
partie avant la virgule qu'on appelle la partie
entière,
n123456
C
1
n13581114
d'où la formule
C
1
n= E[n11
21 3...1 n] .
Mais dans ce cas
C
1
(4)=8, C
1
4 n'est
pas premier, de même
C
1
6 :
j'ai alors posé une condition en tronquant ma
formule lorsque n est pair
pour n impair:
L
1
n=E[n11
21 3...1 n]
pour n pair :
L
1
n=E[n11
21 3...1 n−1]
J'obtiens :
n1234567
L
1
n12 5 7 11 13 18
cette fonction a pour longueur 6.
2ème étape : Utilisation du nombre 
Dans la fonction précédente, j'avais utilisé les