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manuscripta math. 89, 245 - 265 (1996) manuscripta
mathematlca
O SI:Mnscr-Verla 8 1996
Rev~tements ]~tales Ab~liens
Courants sur les Graphes
et R~duction Semi-Stable des courbes
Mohamed S a'idi
Max-Planck-InstitutffirMathematik
Gott~ied-Claren-Strage 26
53225 Bonn
Regu le 29 novembre 1995
Let R be a strictly henselian discrete valuation ring with residue char-
acteristic p. Let 2( be a semi-stable R-curve with smooth and geometrically
connected generic fibre X := X,. Let F be the intersection graph of the special
fibre A',. Using currents on F we give a description of a semi-stable model for
cyclic dtale coverings of X of degree prime to p.
1. Introduction
Soit Run anneau de valuation discrete complet, de corps de fractions
If := FrR, de corps r6siduel k alg6briquement clos de caract6ristique p _> 0,
et soit K une clSture alg6brique de If. Consid6rons une courbe alg6brique X
projective, lisse, et g6om6triquement connexe sur It'. Parmi les revfitements
6tales de X, il y a ceux qui proviennent de revfitements 6tales de modules de X
sur R. Plus pr6cis6ment, si X est une R-eourbe propre, dont la fibre g6n6rique
A" x R K est isomorphe k X, alors tout rev~tement 6tale de la fibre sp6ciale

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A'k :---- X • R k de A', se relive de mani~re unique (~ isomorphisme pros), en
un rev~tement ~tale de ,12, et induit donc un rev~tement ~tale au-dessus de
X. En termes de groupe fondamental, eela ce traduit par l'existence d'un
homomorphisme surjectif de spdcialisation : 7rl (X) -+ zrl (A~k). oh X := X x KIf
(cf. [7], expos~ X, cor. 2.3, p.269).
Dans le eas de bonne rdduetion, c'est h dire le cas oh X possbde un modble
,11." propre, et lisse sur R. on montre en utilisant le lemme d'Abhyankar (cf. [7],
expos~ X, lemme 3.6, p.279), et le th6orbme de puret~ de Zm'iski-Nagata (cf. [7],
expos~ X, 3.1, p.275), que tout rev~tement ~tale galoisien }" -+ X, de groupe G
d'ordre premier 5. p, se prolonge (aprbs extension finie ~ventuelle, mod~r~e de
R) en un rev~tement ~tale 3" -+ A', qui est galoisien de groupe G. En particulier
3; est lisse, et la courbe }" a donc potentiellement bonne r~duction. En termes
de groupe fondamental, l'homomorphisme de sp~eialisation ci-dessus induit un
homomorphisme : zra(.-~'z) (p) --+ ~rl (2c'~)(p), entre les parties premibres ~ p, qui
dans le cas oh A' est lisse est un isomorphisme.
Dans ee travail (dont les r~sultats ont ~t~s annonc~s dans [12]), on suppose
que la courbe X poss~de un module semi-stable A" sur R (un tel module existe,
aprbs extension finie ~ventuelle de R [3]), et on ~tudie la r~duction semi-stable
des r de X, oh nest un entier positif premier ~t p := car(k) (cette
~tude a dt4 initi~e en utilisant les m~thodes de la g4om~trie rigide, par Van
der Put [16], dans le cas des courbes de Mumford). A la fibre sp4eiale A'k du
module semi-stable .u on associe un graphe d'interseetion F, dont les sommets
sont les composantes irr~ductibles de ~'~, et les arfites sont d6finies par les
points doubles de A'~. Le Z-module C(F, G) des courants de F, ~t valeurs dans
un groupe abdlien G, est d4fini comme 4tant l'ensemble des fonctions c sur les
arfites orient4es de F, h valeurs dans G, telles que :
(i) c(e) = -c(g), pour toute ar~te orient6e e de F, et son ar~te inverse g.
(ii) Pour tout sommet a de I" fixd, on a : ~c(e) = 0, ohlasommeest
prise sur routes les arfites orient6es e de F, d'origine le sommet a.
I1 existe un isonmrphisme eanonique (cf. [17]) de C(F,Z) sur rr~(F) :=
l'ab6lianis~ du groupe fondamental topologique du graphe F.
Le r4sultat principal de ce travail est le suivant :
Th{or~lne 4.3. Soit n un entier positifpremier ~ p = car(k). On ales
propridtds suivantes :
(a) B existe un homomorphisme canonique :
~. : HI,(X, Z/nZ) ~ c(r. z/nz),

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qui induit une suite exacte :
(1)
' ' H~,(X,Z/nZ) ?4 C(F,Z/nZ) -+ 0.
0 --+ H~t(Ak,Z/nZ )
(b) Soit f : S 7 --~ X un #~-torseur de ~-~. II existe une extension/]nie R I
de R, telle que f : }" --+ X x K Fr R' soit dd~qni sur Fr R r, et la c15ture intdgrale
3" de A "t := A" X R R t dans }" est semi-stable. De plus le morphisme canonique
y ~ A "~ est Ltale au-dessus des points rdguliers de A'~., ii est dtale au-dessus
d'un point double x de X~. = 2t'k si et seulement si c(e) = 0, off c := p~(f),
et eest m~e ar~te orientde de r associde fix. Si c(e) est non nul, au-dessus de
x ii y a d points doubles dans y~, off d := pgcd(n, [c(e)[), et le(e)l e N ~st un
reprdsentant de c(e).
la suite exacte (1) se d6duit de la description locale des/~n-torseurs de X
par le~ th6orie de Kummer, on peut aussi obtenir (1) via la construction rigide
dans [4] du rev~tement analytique universel de la jacobienne de X.
En termes de groupe fondamental on obtient une suite exacte :
0 -+ Hi(r, Z (p)) -+ rr~b(-X) (p) ~ rr~b(,~'k) (p) --~ O,
o~l ~;(P) := I-[lep ZI.
Nous montrons par la suite, en utilisant les m~thodes de la g~om~trie
rigide, que tout rev(?tement fk : Yk --~ Xk de A'k qui est cyclique de groupe
N/hE, avec n premier 5~ p, et qui est ~tale au-dessus des points r~guliers de
A'k, avee Yk semi-stable, se relive ( aprb.s extension finie ~ventuelle de R) en
un rev~tement de A', qui est ~tale au-dessus de X. De plus nous donnons une
condition n~cessaire et suffisante pour pouvoir relever en un ttn-torseur de X
(el. the. 5.7).
Ces r~sultats se g~n~ralisent facilement aus cas des #n-torseurs (avec n
premier ~ p) d'un ouvert affine U, eompl~.mentaire dans X de r points rationnels
distincts (Xi,K)i, pour cela il faut considerer un mod61e semi-stable A' de X,
o~ les points (x,,i,)/ se sp~cialisent en r points lisses distincts (xi)i.
Enfin comme application, nous donnons une condition n~cessaire et surf-
isante pour un couple (C, G), oh C est une k-eourbe semi-stable, et G est un
sous-groupe fini de Autk(C), eyclique d'ordre premier k p, et qui op~re libre-
ment sur l'ouvert de C obtenu en enlevant les points doubles, pour qu'il se
relive en un couple (C, G) sur l'anneau des veeteurs de Witt W(k), oh C est

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une W(k)-courbe propre, s fibre g6n6rique est lisse, et Gun sous-groupe de
Autw(k)(C) (cf. th6. 6.2).
Dans un autre travail, dont les rdsultats sont parus dans [14], nous con-
sid6rons certains rev~tements 6tales de X, qui ne sont pas ndcessairement
abdliens, et traitons de questions similaires ~ celles abord6es dans ce travail.
Ce travail est le premier chapitre d'une th~se de doctorat, effectu6e
l'universit6 de Bordeaux sous la direction de M.Matignon. Nous le remer-
cions vivement pour l'aide, et les encouragements qu'il nous a apport6s du-
rant ce travail. Nos remerciements vont ~galement ~t Q.Liu pour les discussions
fructueuses que nous avons eues, la preuve de 6.3 est de lui. La version d6finitive
de ce travail a 6t6 r6dig6e pendant mon s6jour ~t l'institut de math6matique de
l'universit6 de M{inster. Je tiens a remercier les membres de cet institut pour
leurs hospitalit6.
2. Notations
Dans tout ce qui suit, Rest un anneau de valuation discrbte complet, de
corps de fractions/t" := Fr R, d'uniformisante rr, et de corps r~siduel k := R/TrR
alg~briquement clos de caract~ristique p _> 0. Pour un schema 2( sur R, on
notera Xt," := X xR K la fibre g6n~rique de A', et A'/, := X XR k la fibre
sp6ciale.
Dans ce travail, une R-courbe semi-stable est un R-schema ,Y de type
fini, propre et plat, dont la fibre gdn~rique X1,- est une courbe lisse, et la
fibre spdiale A'k est uue courbe rdduite, et n'a pour singularit~s que des points
doubles ordinaires. Notons que si X" est une R-courbe semi-stable, et R' est
une extension finie de R, alors 2t" :-= .u xn R' est une R'-courbe semi-stable,
et parce que k est alg~briquement clos on a 2t'~. = Xk.
Soit X une courbe alg~brique projective, lisse, et g~om~triquement connexe
sur K. Un module semi-stable de X sur R, est une R-courbe semi-stable A:',
telle que 2(ic soit isomorphe ~t X. I1 existe toujours une extension finie R' de
R telle que X xl, FrR' poss~de un module senti-stable sur R' (cf. [3] et [1]).
On notera K une cl6ture algdbrique de /(, et si X est une courbe alg6.brique
sur K, on note X := X x h K la fibre g4om6trique de X.
Pour un sch4ma eonnexe X, et un nombre premier p, 7r~b(x) ddsignera
l'ab~lianis~ du groupe fondamental algdbrique rrl ( X ) de X, au sens de Grothen-
dieck (cf. [7], expos6 V, 5.7, p.140), et 7r~'b(X) (p) la partie premiere ~t p du

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groupe profini rr~b(X) (c'est la limite projective des quotients finis d'ordre pre-
mier ~0 p de 7r~'b(X)). Notons que si de plus X est un sch4ma normal, et %2 est
une extension alg4briquement close de K(X):= le corps de fonctions de X, alors
7r~b(X) s'identifie canoniquement au groupe de Galois G(K(X)~b/K(X)), oh
A'(X) ~b est la sous-extension de X?, compos6e des extensions finies ab~liennes
de I((X), qui sont non ramifides au-dessus de X.
Tousles groupes de cohomologie que nous considdrerons, seront des grou-
pes de cohomologie dtale. Si G est un groupe algdbrique comnmtatif sur un
corps L, on notera G(L) le groupe ab41ien MorL (Spec L, G) des L-points ra-
tionnels de G, et G(L),, := {a 6 G(L), tel que n.a = 0}.
3. Th4orie de Kummer
Pour un sch4ma connexe X, et un entier n positif, inversible dans
F(X, Ox), la suite exacte de faisceaux pour la topologie 4tale :
0 -4 ~. -4 G., & G,, --+ 0,
induit une suite exacte de cohomologie :
(*)
0 -+ t~,(X) -4 F(X, Ox)* & F(X, Ox)* --+ HI(X,t~n) -~ Pic(X) _5, Pic(X),
oct Pic(X) est le groupe de Picard de X. Si F(X, Ox) contient une racine
primitive n i~me de Funit6 ~', alors le faisceau #n est isomorphe au faisceau
constant Z/nZ sur Xet. L'isomorphisme p, ~ Z/nZ est d4fini par : ~ -4 1.
Sous ces hypotheses on a des isomorphismes (cf. [9], III.4, p.125) :
H 1 (X, p, ) ~- H 1 (X, Z/nZ) ~_ Somcont (Tr~b(X), Z/nZ),
les classes d'isomorphismes des I~n-torseurs de X (i.e. les rev~tements ga-
loisiens, dtales de X, avecla donnde d'une action du groupe de Galois Z/nZ).
En particulier si X est une vari4t4 algdbrique propre, connexe, sur un corps
alg4briquement clos de caract4ristique premiere h n, il suit de la suite exacte
(*), un isomorphisme : H 1 (X, Z/nZ) -~ Pic(X)~. Explicitement, s un faisceau
inversible ~ sur X, tel que L: "~n "~ Ox, on associe le l~n-torseur Y := Spec/~ -4
X, oh/3 est la Ox-Alg~bre coh4rente m"-l/: |
Exenlple 3.1. Soit X une courbe algdbrique projective, lisse et connexe,
de genre g _> 0 sur un corps algdbriquement clos L. Soit n un entier positif