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manuscripta math. 89, 245 - 265
(1996)
manuscripta
mathematlca
O SI:Mnscr-Verla8 1996
Rev~tements
]~tales Ab~liens
Courants
sur les Graphes
et R~duction
Semi-Stable
des courbes
Mohamed S a'idi
Max-Planck-InstitutffirMathematik
Gott~ied-Claren-Strage 26
53225 Bonn
Regu le 29 novembre 1995
Let R be a strictly henselian discrete valuation ring with residue characteristic p. Let 2( be a semi-stable R-curve with smooth and geometrically
connected generic fibre X := X,. Let F be the intersection graph of the special
fibre A',. Using currents on F we give a description of a semi-stable model for
cyclic dtale coverings of X of degree prime to p.
1. I n t r o d u c t i o n
Soit R u n anneau de valuation discrete complet, de corps de fractions
I f := F r R , de corps r6siduel k alg6briquement clos de caract6ristique p _> 0,
et soit K une clSture alg6brique de If. Consid6rons une courbe alg6brique X
projective, lisse, et g6om6triquement connexe sur It'. Parmi les revfitements
6tales de X, il y a ceux qui proviennent de revfitements 6tales de modules de X
sur R. Plus pr6cis6ment, si X est une R-eourbe propre, dont la fibre g6n6rique
A" x R K est isomorphe k X, alors tout rev~tement 6tale de la fibre sp6ciale
SAI'DI, Rev6tements /~tales Abdliens
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A'k :---- X • R k de A', se relive de mani~re unique (~ isomorphisme pros), en
un rev~tement ~tale de ,12, et induit donc un rev~tement ~tale au-dessus de
X . En termes de groupe fondamental, eela ce t r a d u i t par l'existence d ' u n
h o m o m o r p h i s m e surjectif de spdcialisation : 7rl (X) -+ zrl (A~k). oh X := X x K I f
(cf. [7], expos~ X, cor. 2.3, p.269).
Dans le eas de bonne rdduetion, c'est h dire le cas oh X possbde un modble
,11."propre, et lisse sur R. on montre en utilisant le lemme d ' A b h y a n k a r (cf. [7],
expos~ X, lemme 3.6, p.279), et le th6orbme de puret~ de Zm'iski-Nagata (cf. [7],
expos~ X, 3.1, p.275), que tout rev~tement ~tale galoisien }" -+ X , de groupe G
d ' o r d r e premier 5. p, se prolonge (aprbs extension finie ~ventuelle, mod~r~e de
R) en un rev~tement ~tale 3" -+ A', qui est galoisien de groupe G. En particulier
3; est lisse, et la courbe }" a donc potentiellement bonne r~duction. En termes
de groupe fondamental, l'homomorphisme de sp~eialisation ci-dessus induit un
h o m o m o r p h i s m e : zra(.-~'z)(p) --+ ~rl (2c'~)(p), entre les parties premibres ~ p, qui
dans le cas oh A' est lisse est un isomorphisme.
Dans ee travail (dont les r~sultats ont ~t~s annonc~s dans [12]), on suppose
que la courbe X poss~de un module semi-stable A" sur R (un tel module existe,
aprbs extension finie ~ventuelle de R [3]), et on ~tudie la r~duction semi-stable
des r
de X , oh n e s t un entier positif premier ~t p := car(k) (cette
~tude a dt4 initi~e en utilisant les m~thodes de la g4om~trie rigide, par Van
der P u t [16], dans le cas des courbes de Mumford). A la fibre sp4eiale A'k du
module semi-stable .u on associe un graphe d'interseetion F, dont les sommets
sont les composantes irr~ductibles de ~'~, et les arfites sont d6finies p a r les
points doubles de A'~. Le Z - m o d u l e C(F, G) des courants de F, ~t valeurs dans
un groupe abdlien G, est d4fini comme 4tant l'ensemble des fonctions c sur les
arfites orient4es de F, h valeurs dans G, telles que :
(i) c(e) = - c ( g ) , pour toute ar~te orient6e e de F, et son ar~te inverse g.
(ii) Pour tout sommet a de I" fixd, on a : ~ c ( e ) = 0, o h l a s o m m e e s t
prise sur routes les arfites orient6es e de F, d'origine le sommet a.
I1 existe un isonmrphisme eanonique (cf. [17]) de C ( F , Z ) sur rr~(F) :=
l'ab6lianis~ du groupe fondamental topologique du graphe F.
Le r4sultat principal de ce travail est le suivant :
Th{or~lne
4.3.
Soit n un entier positifpremier ~ p = car(k). On a l e s
propridtds suivantes :
(a) B existe un homomorphisme canonique :
~ . : H I , ( X , Z/nZ) ~ c(r. z/nz),
SAIDI, Revfitements t~tales Abfiliens
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qui induit une suite exacte :
(1)
0 --+ H ~' t ( A' k , Z / n Z )
H ~ , ( X , Z / n Z ) ?4 C ( F , Z / n Z ) -+ 0.
(b) Soit f : S7 --~ X un # ~ - t o r s e u r de ~-~. II existe une extension/]nie R I
de R, telle que f : }" --+ X x K Fr R ' soit dd~qni sur Fr R r, et la c15ture intdgrale
3" de A"t := A" X R R t dans }" est semi-stable. De plus le morphisme canonique
y ~ A "~ est Ltale au-dessus des points rdguliers de A'~., ii est dtale au-dessus
d'un point double x de X~. = 2t'k si et seulement si c(e) = 0, off c := p ~ ( f ) ,
et e e s t m~e ar~te orientde de r associde f i x . Si c(e) est non nul, au-dessus de
x ii y a d points doubles dans y~, off d := pgcd(n, [c(e)[), et le(e)l e N ~st u n
reprdsentant de c(e).
la suite exacte (1) se d6duit de la description locale des/~n-torseurs de X
par le~ th6orie de Kummer, on peut aussi obtenir (1) via la construction rigide
dans [4] du rev~tement analytique universel de la jacobienne de X .
En termes de groupe fondamental on obtient une suite exacte :
0 -+ H i ( r , Z (p)) -+ rr~b(-X) (p) ~ rr~b(,~'k)(p) --~ O,
o~l ~;(P) := I-[lep ZI.
Nous montrons par la suite, en utilisant les m~thodes de la g~om~trie
rigide, que tout rev(?tement fk : Yk --~ Xk de A'k qui est cyclique de groupe
N / h E , avec n premier 5~ p, et qui est ~tale au-dessus des points r~guliers de
A'k, avee Yk semi-stable, se relive ( aprb.s extension finie ~ventuelle de R) en
un rev~tement de A', qui est ~tale au-dessus de X. De plus nous donnons une
condition n~cessaire et suffisante pour pouvoir relever en un ttn-torseur de X
(el. the. 5.7).
Ces r~sultats se g~n~ralisent facilement aus cas des #n-torseurs (avec n
premier ~ p) d ' u n ouvert affine U, eompl~.mentaire dans X de r points rationnels
distincts (Xi,K)i, p o u r cela il faut considerer un mod61e semi-stable A' de X ,
o~ les points (x,,i,)/ se sp~cialisent en r points lisses distincts (xi)i.
Enfin comme application, nous donnons une condition n~cessaire et surfisante pour un couple (C, G), oh C est une k-eourbe semi-stable, et G est un
sous-groupe fini de Autk(C), eyclique d ' o r d r e premier k p, et qui op~re librement sur l'ouvert de C obtenu en enlevant les points doubles, pour qu'il se
relive en un couple (C, G) sur l ' a n n e a u des veeteurs de W i t t W ( k ) , oh C est
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SAIDI, Rev~tements t~tales Ab61iens
une W(k)-courbe propre, s fibre g6n6rique est lisse, et G u n sous-groupe de
Autw(k)(C) (cf. th6. 6.2).
Dans u n autre travail, dont les rdsultats sont parus dans [14], nous consid6rons certains rev~tements 6tales de X, qui ne sont pas ndcessairement
abdliens, et traitons de questions similaires ~ celles abord6es dans ce travail.
Ce travail est le premier chapitre d ' u n e th~se de doctorat, effectu6e
l'universit6 de Bordeaux sous la direction de M.Matignon. Nous le remercions vivement pour l'aide, et les encouragements qu'il nous a apport6s durant ce travail. Nos remerciements vont ~galement ~t Q.Liu pour les discussions
fructueuses que nous avons eues, la preuve de 6.3 est de lui. La version d6finitive
de ce travail a 6t6 r6dig6e p e n d a n t m o n s6jour ~t l'institut de math6matique de
l'universit6 de M{inster. Je tiens a remercier les membres de cet institut pour
leurs hospitalit6.
2. N o t a t i o n s
Dans tout ce qui suit, R e s t u n a n n e a u de valuation discrbte complet, de
corps de fractions/t" := Fr R, d ' u n i f o r m i s a n t e rr, et de corps r~siduel k := R/TrR
alg~briquement clos de caract~ristique p _> 0. Pour un schema 2( sur R, on
notera Xt," := X xR K la fibre g6n~rique de A', et A'/, := X XR k la fibre
sp6ciale.
Dans ce travail, une R-courbe semi-stable est u n R-schema ,Y de type
fini, propre et plat, dont la fibre gdn~rique X1,- est une courbe lisse, et la
fibre spdiale A'k est uue courbe rdduite, et n ' a pour singularit~s que des points
doubles ordinaires. Notons que si X" est u n e R-courbe semi-stable, et R' est
une extension finie de R, alors 2t" :-= .u x n R' est une R'-courbe semi-stable,
et parce que k est alg~briquement clos on a 2t'~. = Xk.
Soit X une courbe alg~brique projective, lisse, et g~om~triquement connexe
sur K . Un module semi-stable de X sur R, est une R-courbe semi-stable A:',
telle que 2(ic soit isomorphe ~t X . I1 existe toujours une extension finie R' de
R telle que X x l , F r R ' poss~de u n module senti-stable sur R' (cf. [3] et [1]).
On notera K une cl6ture algdbrique de / ( , et si X est une courbe alg6.brique
sur K , on note X := X x h K la fibre g4om6trique de X.
Pour u n sch4ma eonnexe X , et u n n o m b r e premier p, 7r~b(x) ddsignera
l'ab~lianis~ du groupe fondamental algdbrique rrl ( X ) de X, au sens de Grothendieck (cf.
[7], expos6 V, 5.7, p.140), et 7r~'b(X) (p) la partie premiere ~t p du
SAIDI, RevStements l~tales Abdliens
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groupe profini rr~b(X) (c'est la limite projective des quotients finis d'ordre premier ~0p de 7r~'b(X)). Notons que si de plus X est un sch4ma normal, et %2 est
une extension alg4briquement close de K ( X ) : = le corps de fonctions de X , alors
7r~b(X) s'identifie canoniquement au groupe de Galois G(K(X)~b/K(X)), oh
A ' ( X ) ~b est la sous-extension de X?, compos6e des extensions finies ab~liennes
de I ( ( X ) , qui sont non ramifides au-dessus de X .
T o u s l e s groupes de cohomologie que nous considdrerons, seront des groupes de cohomologie dtale. Si G est un groupe algdbrique comnmtatif sur un
corps L, on notera G(L) le groupe ab41ien MorL (Spec L, G) des L-points rationnels de G, et G(L),, := {a 6 G(L), tel que n.a = 0}.
3. T h 4 o r i e d e K u m m e r
Pour un sch4ma connexe X , et un entier n positif, inversible dans
F ( X , Ox), la suite exacte de faisceaux pour la topologie 4tale :
0 -4 ~. -4 G., & G,, --+ 0,
induit une suite exacte de cohomologie :
(*)
0 -+ t~,(X) -4 F(X, Ox)* & F(X, Ox)* --+ HI(X,t~n) -~ Pic(X) _5, P i c ( X ) ,
oct P i c ( X ) est le groupe de Picard de X . Si F(X, Ox) contient une racine
primitive n i~me de Funit6 ~', alors le faisceau #n est isomorphe au faisceau
constant Z / n Z sur Xet. L'isomorphisme p , ~ Z / n Z est d4fini par : ~ -4 1.
Sous ces hypotheses on a des isomorphismes (cf. [9], III.4, p.125) :
H 1(X, p , ) ~- H 1(X, Z / n Z ) ~_ Somcont (Tr~b(X), Z / n Z ) ,
les classes d'isomorphismes des I~n-torseurs de X (i.e. les rev~tements galoisiens, dtales de X, avecla donnde d'une action du groupe de Galois Z/nZ).
En particulier si X est une vari4t4 algdbrique propre, connexe, sur un corps
alg4briquement clos de caract4ristique premiere h n, il suit de la suite exacte
(*), un isomorphisme : H 1(X, Z / n Z ) -~ Pic(X)~. Explicitement, s un faisceau
inversible ~ sur X , tel que L:"~n "~ O x , on associe le l~n-torseur Y := Spec/~ -4
X , o h / 3 est la Ox-Alg~bre coh4rente m " - l / : |
Exenlple
3.1. Soit X une courbe algdbrique projective, lisse et connexe,
de genre g _> 0 sur un corps algdbriquement clos L. Soit n un entier positif
250
SAIDI, Rev~tements l~tales Ab~liens
inversible dans L On a Pie(X) -~ P i c ~
(~ Z, o~ P i e ~
est le sous-groupe
de P i e ( X ) des faiseeaux inversibles de degr~ nul, et Pie~
_~ J ( L ) o~, J e s t
la jaeobienne de X. Comme J e s t une vari~t6 ab~lienne de dimension g, on a
J ( L ) . ~- ( Z / n Z ) 2g ~- H 1 ( X , Z / n Z ) .
Sous ces hypotheses on montre que tout rev~tement ~tale connexe ab~lien
de X est le pull-back d'une isog~nie de J . Plus pr~eisbment on a un isomorphisme : 7r~(X) ~ r q ( J ) (el. [10], 9).
Exenlple
3 . 2 . Soient L e t n comme dans Fexemple 3.1. Soit X une courbe
alg6brique propre, senti-stable (i.e. r6duite et n ' a pour singularit~s que des
points doubles ordinaires), et connexe sur L. Soient ( X i ) i e i les composantes
irr~duetibles de X , et -~'i la normalisation de Xi. Sous ees hypotheses, on a
une suite exacte de groupes (cf. [2], 9.2, example 8, p.246) :
0 ~ G~,L(L ) ~ P i c ~
--+ H Pic~
icI
~ 0,
off r e s t le hombre de Betti du graphe d'intersection de X, qui induit une suite
exacte :
0 --+ G,r,,L (L)(n) --+ P i c ~
--+ I I Pic~
iEI
-~ 0.
En partieulier, le groupe H i (X, Z / n X ) est done un Z / n Z -module libre de
rang
r + 2 ~ i C l g~, oh. 9i est le genre de -~'i.
Relnarque
3.3. Soit X = S p e c A un seh6ma affine connexe, et soit f :
Y -+ X un pn-torseur de X (avec n inversible sur X ) . Quitte alors 5~ faire une
localisation, on petit supposer Y = Spec B e s t affine, et B ~- A[T]/(T ~ - a) o{t
a est une unit6 de A. Nous dirons alors p a r la suite, que a est un gdndrateur
de f au-dessus de X . Notons que si b e s t un a u t r e gd.n~rateur de f au-dessus
de X . aiors il existe une unit6 c E A, telle que a = bcn.
4. ~,-Torseurs
4.1.
et courants
sur
les graphes
Consid~.rons ~t present une courbe alg~brique X projective, lisse, et
gdom~triquement connexe sur It', de genre g _> 0. On suppose que X poss~de
un mod61e semi-stable sur R. Soit n u n entier positif premier ~t p = car k. Dans
la suite nous dLcrivons le lien, entre la rdduction semi-stable des pn-torseurs
de X , et les courants d valeurs dans Z / n Z , du graphe d'intersection, associd ~t
SAIDI, Rev~tements l~tales Ab61iens
251
la fibre spgciale d'un module semi-stable de X . Ce lien a ~t~ ~tudi~ dans le eas
des courbes de Mumford (el. [16], [17], [18]).
Soit A' u n module semi-stable de X sur R. Quitte ~ faire une extension finie
de R, et des ~clatements de ,12, nous supposerons d~sormais que les composantes
irr~duetibles (6'i)~<i<~ de Xk sont lisses. Nous noterons {xj}x<_j_<a l'ensemble
des points doubles de A'k. On associe ~ A'k un 9raphe d'intersection F d~fini
eomme suit :
(i) les sommets de F sont les eomposantes irrdduetibles de ,u
(ii) les ar~tes de F sont d~finies par les points doubles {xj}l<_j<_, de Xk.
Chaque point double o~ se eroisent deux composantes irr~ductibles Ci et C'~,
d6finit une ar~te joignant les sommets Ci et Ct. On note ej une arfite orient~e
de F, assoei~e 5. un point double xj, et ~j l'ar~te oppos6e. Le graphe F est
connexe et fini.
D~finition 4.2.
Un courant de F, fi valeurs dans un groupe abgIien G, est
une fonction c d~finie sur l'ensemble des ar~tes orient6es de F, 5, valeurs dans
G, telle que :
(i) c(ej) = - c ( g j ) , pour toute ar~te orient~e ej de r.
(ii) pour tout sommet a de F fix~, on a : ~ c ( e j ) = O, oh la s o m m e e s t
prise sur toutes les ar~tes orient~es ej de F, d'origine le sommet a.
Nous noterons C(F, G) le Z-module des courants de r h valeurs dans G. I1
existe u n isomorphisme canonique (ef. [17]) de C(F, Z) sur 7rff(F) := l'ab~lianis~
du gronpe fondamental topologique du graphe F.
Le Z-module C(F,Z) est
donc libre de rang r, o71 r est Ie hombre de Betti de I', On a l'dgalit~ g =
r + ~l<_i<_~gi, o~x gi est le genre de Ci.
Wh~or~nle 4.3. Soit n un entier positifpremier h p = car(k). On a les
propridtds suivantes :
(a) II existe un homomorphisme canonique :
~p,,: H1 (.-Y, Z / n Z ) - + C(F, Z / n Z ) ,
qui induit une suite exacte :
(1)
O-~ H~(A'~,ZlnZ) ~ H~(Tg, Z / n Z ) ~ 4 C ( r , Z / r ~ Z ) ~ O .
(b) Soit f : 1`" -+ X un p,,-torseur de X . II existe une extension finie
R' de R, telle que f : I" --+ X xl,- F r R ' soit ddfini sur F r R ' , et la cldture
int@'ale 3"' de ,V' := A' xR R ' dans }" est semi-stable. De plus le morphisme
SAIDI, R e v ~ t e m e n t s
252
t~tales Ab61iens
canonique y ~ ~,t est gtale au-dessus des points r6guliers de X~. il est dtale
au-dcssus d'un point double xj de X~. = X~ si et seulement si c(ej) = O, off
c := ~n(.f). Si c(cj) est non nul, au-dessus de xj il y a d points doubles dans
Y'k, olz d := pgcd(n, ]c(ej)[), ct ]c(ej)[ 6 N c s t un rcpr6sentant de c(ej).
preuve.
( A ) O~finition de l'homomorphisme 9~,: H i ( --~, Z / n Z ) ~
C(F, Z / n Z ) .
Soit f : Y -+ X un p n - t o r s e u r de X , f e s t alors ddfini sur une extension
finie de N . C o m m e La fibre spdciale 2dk de X est stable par c h a n g e m e n t de
base. nous supposerons done " s a n s risque de confusion ~' que f est ddfini sur
/ ( . Soient ,~" --+ X une d d s i n g u l a r i s a t i o n m i n i m a l e de .,~' (.~' est semi-stable),
et F le g r a p h c d'intersection associ$ ~ ,~'k (cf. 4.1). Notons qu'il existe un
i s o m o r p h i s m e canonique : C(F, Z / n Z ) ~ C(F, Z / n Z ) , ddduit via l ' i s o m o r p h i s m e
c a n o n i q u e : 7I'~b(r) "~ 7v~b(F).
Soit x un point double o r d i n a i r e de 2(k, off se croisent deux c o m p o s a n t e s
irr~ductibles Ci et C1 de ,~'~. Soit r/i (resp. r/t) le point gdn~rique de Ci (resp.
CI). L ' a n n c a u local COX.,j, (resp. (..Oi. t) est un a n n e a u de valuation discrete
( d ' u n i f o r m i s a n t c ~'), nous n o t c r o n s vi (resp. vl ) la valuation c o r r e s p o n d a n t e
de K ( X ) := le corps de fonctions rationnelles de X . Soit U un ouvert affine
de 2~' contcnant x, notons A := (..9~(U) , e t a un g~n~ratcur de f au-dessus de
UK (cf. 3.3). Oil pose m~ := v l ( a ) - vi(a). Si V e s t un autre ouvert affine
de ,~ contenant x, et b est un g~n~rateur dc f au-dessus de VI~, alors a = bcn
d a n s K ( X ) , et done v l ( a ) - vi(a) - v t ( b ) - v i ( b ) r o o d ( n ) . Ainsi m~ cst d~fini
dc mani~re unique m o d u l o n.
Fixons unc c o m p o s a n t e i r r d d u c t i b l e Ci de rVk. Nous allons m o n t r o n s que
,7~ = 0mod(7~), o~l la s o m m e est prise sur t o u s l e s points doubles x dc .:~k
a p p a r t e n a n t k Ci, et m~ est d~fini c o m m e ci-dessus. Soit x C Ci ['1 C1 un p o i n t
d o u b l e de 2['k , soient U un o u v e r t affine de X c o n t e n a n t x, A := (.95,(U), et
a une unit~ de A1, := A |
K c o m n l e ci-dessus. Alors a = rc~(~)a' off a' est
une unit~ dc COX,,,. .
Si on note a l ' i m a g e de a' dans le corps rdsiduel k(Ci)
:= le corps de fonctions rationnelles de Ci, on va m o n t r e r que ord~(h) = m~.
P o u r cela consid~rons Y]~. _~ R[[ti, t,]]/(titt - 7r) le comptdt6 de d e n x. Soit &
F i m a g e de a dans .~i~.h := -4x QR art'. On n o t c r a v~ et vj les valuations discr~tes
de Fr,4~ qui prolongent vi et vt, elles c o r r e s p o n d e n t aux id~aux premiers (~r, tl)
et (~r, ti) de h a u t e u r 1 de ~lx. On a u r a besoin du l e m m e suivant :
Lenllne.
Soit Uh une unitd de A x , h . alors il existe des entiers r. s et u une
SAIDI,
R e v ~ t e m e n t s l~tales Ab~liens
unitd de fix tels que : Ul, = 7r't~u = 7rS+rt[~u, e t r = v~(ul~)
Preuve.
253
-
t'~(t~h').
et soit u = ut,-/Tr't~ e ft~,k.
Soient s = t/,(u/~'), r = v~(ut~-) - vl(utr
O n a une ~criture :
u= ~ai,t
i' >_O
i + ~
bj, t~t,
j'_>l
o'~ ai, et bj, a p p a r t i e n n e n t ~ I f , et sont dans leur ensemble ~t d 6 n o m i n a t e u r s
born6s. D ' a u t r e p a r t si v d~signe la v a l u a t i o n normalis~e de R, on a : v~(u) =
infli, j,l{v(ai,), v(bj, 7rJ' )} = 0, et v~(u) = inf(i, j,){v(ai, Tri' ), t,(b:, )} = 0, il suit
alors que v(ai, ) = t'(bj, ) = 0 p o u r t o u t i' _> 0, et j ' > 1. et done u ~ .-i~. U n
r a i s o n n e m e n t a n a l o g u e p o u r u~,-~ m o n t r e que u est une unit~ de .-t~.
I1 suit du ] e m m e ci-dessus que iz = 7r~'~{")t~n*?L~ , o~t fit est une unit4 de ,'t,.
R e v e n o n s ~ la d 6 m o n s t r a t i o n de ( A ) . Le corps r~siduel du loealis6 .,i x (,~,t~) de
~i, en l'id6al p r e m i e r (7r, tt), est i s o m o r p h e s k((ti)) : = le compl6t6 de k(C~) au
p o i n t x, et on a un d i a g r a m m e c o m n m t a t i f :
(92,, i
> -'ix (,~,t~l
1
~(c,)
1
> k((~))
on en d6duit alors, que ordx(6) = rex. Si 9 est un autre point double de ,~k
a p p a r t e n a n t 5. Ci, V un o u v e r t affine de P( c o n t e n a n t y, et b u n g6n6rateur de
f au-dessus de V/,-. Alors e o m m e ei-dessus, b i n d u i t une fonction rationnelle
sur Ci, et ordy(D) = my. C o m m e a = bc" dans I ( ( X ) , on d6duit que ordy(6) my rood(n).
Soit ~ pr6sent : un point r6gulier de ,~k, a p p a r t e n a n t 5~ C,.
Soient U '
un o u v e r t affine de ~t" e o n t e n a n t a, A ' : = O.i.(U' ), et u un g6n6rateur de f
au-dessus de UJ,-. Soit ii.'z _ Rf[t,ll le c o m p l 6 t 6 de A' en z, et u' l'image de
u d a n s A=,I,"
:=
A'.
QR K .
I1 est facile de voir que l'on a u' = r,~"(~lfi, o{1 fi
est u n e unit6 de R[[t,]]. l ' i m a g e de fi m o d u l o 7r est done une u n i t 6 / i de k[[ti]].
Ainsi u induit une fonction r a t i o n n e l l e / ~ sur Ci, et ord=(/2) = 0, on en d6duit
que o r d : ( ~ ) = 0 rood(n). L ' i d e n t i t 6 ~ m~ = 0 m o d ( n ) ( oh la s o m m e est prise
sur tout les points doubles z E Ci), d6coule alors du fair que d e g d i v ( ~ ) = 0.
A u # ~ - t o r s e u r f : }'-= --+ .-~, nous assoeions le eourant c de f" ~t valeurs
dans Z / n g ,
d6fini par : c(e) = m ~ m o d ( n ) ,
m e n t de Ci et Ci, e t e
or
x est un point de croise-
est l ' a r 6 t e de I' c o r r e s p o n d a n t e a .r orient6e en par-
t a n t de Ci, et m~ est d6fini c o m m e ci-dessus.
O n a par d6finition c(~) =
254
SAIDI, Rev6tements l~tales Ab61iens
- r e x mod(n). On d6finit alors c2n(f ) e o m m e 6tant l'image de c (d6fini ci-dessus)
dans C(I', X /n7Z) via l'isomorphisme eanonique C([', Z / n Z ) " C(I', Z / n Z ) , et
ceci d6finit l'homomorphisme ~,, : H ~(IV, Z / n X ) --+ C(F, X / n X ) .
(B) montrons d prdsent l'6noncd ( b ) du thdor~me.
Soit f : }" -+ X un ttn-torseur connexe de X . Pour un point g6n6rique
71 de ,~'k, l'extension des corps de fonctions rationnelles I ( ( X ) -+ I ( ( t ' ) est
kumm6rienne, d6finie par une 6quation T " = rrtu, oh t e s t un entier, et u est
une unit6 de O i..~. Si n ne divise pas t, alors apr~s l'extension R' := R [ # ]
avee ~r'" = rr, l'6quation s'6crit T " = u, elle induit une extension 6tale de
O i , , QR R'. Ainsi la el6ture int6grale 3," de ,-~" := ,-~"x n R' dans )" x l , Fr(R')
est 6tale au-dessus de ,~" en eodimension < 1. I1 rdsulte alors du th6orhme de
puret6 de Zariski (of. [7], expos6 X, 3.1, p.275), que le morphisme eanonique
~ ' ~ ,~" est alors 6tale au-dessus des points r6guliers de d~'~.
Pour un point double x E Ci fl Ct de dr'k, nous allons d6terminer (apr6s
extension finie 6ventuelle de R) la cl6ture int6grale de .4., = R[[ti, tl]]/(tih - 70
dans A , , K [ T I / ( T " - - a l , ) , off a~,- est une unit6 de Ax,h. Pat" le lemme cidessus, aj,- = rr"~(o')t~**a oh a est une unit6 de .4,. Apr6s l'extension R ' de
R on se raln~ne ~ une 6quation T" = t ' ~ a . On note ,-{~ := ,zix |
R ' "~
R'[[ti,t~]]/(titl - ~r'), et A'~d," : = A~ |
F r R ' . Distinguons alors deux c a s :
cas 1. n divise m x (i.e. m x = Omod(n)). Alors ft~x[T]/(T" - a) est la cl6ture
^' et l'extension A~
^' --+ A'~[T]/(T" - a) est 6tale au dessus de A'~,
int6grale de A~,
en particulier elle est compl6tement d6eompos6e (/i'~ est strictement hens61ien).
Dans 3;[. au-dessus de x, il y a dans ce cas n points doubles ordinaires.
cas 2. n ne divise pas m~.. Soit d := pged(n, m , ) , n = n ' d et m~ = m~d,
ona
:
^,
A~.d,[T]/(T
n
d--I
*!
- tm*a) ~ @i=0 A~d,-[Til/(Ti
n e
m'
- (,ia'/dti ~),
off p g c d ( n ' , m'~) = 1. et les ((i) sont les racines d iam~ de l'unit6. II suffit alors
de traiter le cas pgcd(n,m~) = 1. P a r une identit6 de Bezout on se ram6ne
alors k une 6quation T" = tib, oCa b e s t une unit6 de A~, et d o n c :
ft~[T, S ] / ( T " - tib, S n - h b " - ' , T S - rr'b) "- R'[[T', S']]/( T' S' - ~r'),
At
est la cl6ture intdgrale de A~. En conclusion dans 3;k,
" au-dessus de z, il y
a d points doubles ordinaires, et chacun d'eux est ramifi6 avec un indiee de
ramification n' = n/d.
SAIDI, Rev~tements l~tales Abfiliens
255
I1 rdsulte de ce qui precede que ~,' est semi-stable. Soit ~t present y la
cl6ture int~grale de ,t '~ := 2~' x a R r dans Y x K Fr(R~). Alors la fibre sp~ciale
3;[. est r~duite, et on a un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f :
1
y'
1
~ ,r'
Maintenant ,~'~ est un ~clatement de A:", la fibre d ' u n point double .r de A'~.
dans ,:t'~. est une chahae de droites projectives Fx. Le morphisme g est ramifie
au-dessus de F~. juste aux points de croisements des droites composant F r (i.e.
en au plus deux points de chaque droite), et la ramification y est mod~r~e. On
d~duit alors (en utilisant la formule d'Hurwirz) que g-l(r.) est une r&mion
disjointe de chaines de droites. La fibre du point double x dans Y~, est obtenue
a pa.rtir de 5; t e n contractant g -1 (F~). Apr~s une telle contraction d'une ehalne
de droites on obtient un point double ordinaire. On d~duit alors que y est
semi-stable, ainsi que le reste des propri~tdes finnonc~es dans b.
( c ) L~ ~ i t ~ ~ c t ~
(12.
D ' a b o r d on peut facilement montrer, en utilisant des argmnents similaires
& eeux d~veloppds dans (A) et (B), que tout p n - t o r s e u r de X se prolonge, apr~s
extension finie de R en un #~-torseur de l'ouvert b / : = A ' - {xj}l<j<_~. I1 r~sulte
alors de (B) que k e r ~ est le sous-groupe de H I ( X , % / n N ) des #~-torseurs de
X , qui se prolongent apr~s extension finie de R, en un/~,~-torseur de X. Ceux-ci
sont en correspondance biunivoque avec les #~-torseurs de Xk (el. [7], exposd
X, th~or~me 2.1, p.268). On identifie ainsi k e r ~ ~t H I ( X k , Z / n Z ) . L'ordre du
groupe fini Im(~zn) est n ~ qui est aussi l'ordre du groupe s
d~duit alors la suite exacte (1).
on en
Renlarque
4.4. I1 r~sulte de la preuve de 4.3, que l'~nonc~ du th~orbme
4.3 ne d @ e n d s pas du module semi-stable choisi de la courbe X .
C o r o l l a i r e 4.5. 11 existe une suite exacte :
(2)
0 ~ H I ( F , ~ (p/) ~ zr~'b(x) (v) --+ 7r~b(Xk) (v~ --+ O,
off Z~P):= F/lep %t.
Elle induit p o u r tout groupe abdlien t~ni G, une suite exacte :
(3)
0 -~ H I ( X k , G ) ~ HI(--Y, G) -+ C(F, G) ~ 0.
256
SAIDI, Rev~tements l~tales Ab61iens
Preuve. P o u r tout n o m b r e p r e m i e r l, diff6rent de p, et tout entier 77 positif, on
a des h o m o m o r p h i s m e s canoniques f~ : H 1(.-V-,Z / / " + I Z ) ~ H 1 (X-, Z / / ~ Z ) et
g , : C ( I ' , Z / l ~ + ~ Z ) -~ C ( F , Z / I ~ Z ) , off g,, est la m u l t i p l i c a t i o n par l, et f , est
d6fini c o m m e suit : b~u n pm+~-torseur de X ddfini p a r u n faisceau i n v e r s i b l e / :
sur .Y, on associe le p m - t o r s e u r de . ~ ddfini pat" le faisceau inversible s 1 7 4 et
on a u n d i a g r a m m e c o m m u t a t i f :
0
> Hl(,'t'k,z/In+lz)
> HI(:Y,Z/I"+IZ)
>C(F.Z/I"+IZ)
> 0
0
> gl(,t'k,z/InZ)
> HI(X,Z/I'~Z)
> C(F.Z/InZ)
> O.
La suite exacte (2) est alors o b t e n u e , p a r passage E la limite projective p o u r
tout les entiers n positifs, en faisant le p r o d u i t sur tout les n o m b r e s premiers I,
puis en d u a l i s a n t . La suite exacte (2) i n d u i t p a r passage aux h o m o m o r p h i s m e s
g valeurs dans G, une suite exacte duale, qui est la suite exacte (3).
R e m a r q u e 4.6.
Si la j a c o b i e n n e de X a b o n n e rfiduction, alors le graphe
F est u n arbre, et le N-module C(F, N) est nul. I1 suit alors d u corollaire 4.5
u n i s o m o r p h i s m e : 7r~b(.-Y)(v) ~-- zr~'~(X/..)(v). Nous d o n n e r o n s en appendice u n e
a u t r e d ~ m o n s t r a t i o n de ce r4sultat, qui utilise les propridt6s du module de Ndron
de la j a c o b i e n n e de .u (el. Appendice).
5. R ~ d u c t i o n semi-stable des ~n-torseurs
5.1.
Consid6rons d ' a b o r d u n e courbe algd.brique C projective, lisse et connexe
s u r k. Soient {.rl ..... .rj} u n e n s e m b l e fini de p o i n t s ferm~s distincts de C, et
[7 l ' o u v e r t C - {Xl, ..., x j}. A c e s donndes n o u s associons u n graphe connexe,
fini, et oriental, que nous n o t e r o n s F.
Le g r a p h e P possbde j + 1 s o m m e t s
{s, sl ..... sj}, le s o m m e t s est relid 5. si (1 _< i _< j ) par u n e u n i q u e ar~te
orientde a, d'origine ._~,associde au point xi de C, et enfin pour 1 < i < j - 1,
le s o m m e t si est relid ~ Si+l p a r u n e u n i q u e ar~te orientde b, d'origine si. Le
n o m b r e de Betti du graphe F est (j - 1).
P r o p o s i t i o n 5.2. Pour tout entier n p o s i t i f p r e m i e r
A p = car(k), il existe
u n e s u i t e exaete canonique :
(4)
0 -+ H i ( C , Z / n Z ) -+ H I ( U , Z / , ~ Z ) ~ c ( r , z / n z )
~ O,
SAIDI, R e v ~ t e m e n t s l~tales Ab61iens
257
o?J F est le graphe ddfini ci-dessus (cs 5.1).
Preuve. Soit f : U ~ --4 U un t t , - t o r s e u r de U, e t a un gdn6rateur de f au-dessus
de U (cf. 3.3). L ' o r d r e de la fonction a en un point xi (1 < i < j ) ne d e p e n d pas
3
m o d u l o n du choix du g ~ n & a t e u r a, et ~ o r d , ~ ( a ) - 0 rood(n). Au t l , - t o r s e u r
1=1
f : U ~ --4 U de U, on associe le courant c de F, ~t valeurs dans Z / n Z , d~fini p a r
i--I
c(a,) =_ ord~.,(a)mod(n)pour 1 < i < j , et c(bl) : = ~
c(ai,) pour 1 < i < j - 1 .
it=l
Ceci d6finit bien un homomorphisnle Hi(U, Z/nZ) ~ C(F, Z/nZ), qui induit
la suite exacte (4).
5 . 3 . R e p r e n o n s 5 pr6sent les h y p o t h e s e s et n o t a t i o n s de 4.1, on n o t e r a 2t'k la
n o r m a l i s a t i o n de ,Y~., et U'k := A'k {•J}l<j<a" Ainsi p o u r toute c o m p o s a n t e
irr6ductible Ci de A'k, et les points doubles de ~Yk a p p a r t e n a n t ~ Ci, on associe
-
conmle ci-dessns (cf. 5.1) un g r a p h e orient6 que nous noterons Fi. P o u r tout
entier positif n premier h p, on d6duit de la suite exacte (4) (cf. 5.2), une suite
exacte :
(5)
0 --+ Hl(,-i'k, Z / n Z ) - +
HI(U'k, Z / n Z ) -+ OI<i<,C(Fi,Z/nZ) -+ O.
Les deux suites exactes (1) et (5) sonts reli6es c o m m e suit :
Proposition
5.4. Pour tout entier n positif premier ~ p = c a r k , il existe
un diagxamme commutatif de suites exactes :
0
l
0
) Hld(~'k, TZ/Yl~,,)
l
0
> Hl(cVk,Z/ng)
0.
> HI(,f'k,Z/~Z)
l
0
l
) Hld(d~g'k,7Zl?). ~,,)
>
0
l
) H~(]V,Z/nZ)
~"~
C(F, g / n Z )
>0
l
> H~(Uk,Z/nZ)
) @l<i<sC(Pi,Z/nZ)
~0
1
0
ot'z Hcld (A'k, Z / r i g ) est le sous-groupe de S 1('~k, Zing), des #~-torseurs de
258
SAIDI, R e v & e m e n t s l~tales Abdliens
Xk, qui induisent un #n-torseur trivial (compl6tement ddcomposd), au-dessus
de chaque composante irrdductible de Xk.
Preuve.
D ' a b o r d on montre facilement en utilisant des arguments similaires
ceux d6velopp& dans la preuve de 4.3, que tout ~L,-torseur de X induit en
r~duction un/.tn-torseur de Uk, ceci d~finit l'honmmorphisme
fn : H l ( 7 ~ , g / n g ) -+ HX(Uk, Z / n Z ) , dont le noyau s'identifie canoniquement
h Hlcd(,.t.'k,Z/nZ). Soit c E C ( F , Z / n Z ) , alors h,(c) := (ci)l<i<s , o~. ci E
C ( F i , Z / n Z ) est ddfini sur une a r & e orientde aj de Fi. correspondante ~ un
point double xj de ,u a p p a r t e n a n t ~ la composante irrdductible Ci (cf. 5.1),
p a r ci(aj) = c(ej), et off ej est l ' a r & e de F correspondante au point double
x j, orient& en p a r t a n t de Ci. La suite exacte verticale de gauche est eelle de
l'exemple 3.2.
5.5.
Dans ce qui suit nous allons montrer, en utilisant les m&hodes de la
g4om4trie rigide, un 4nonc4 de rel~vement de certains rev&ements ramifi4s de
la fibre spdciale A'k de 2t', en des rev~tements &ales de X.
Plus prdcis6ment, soit fk : Yk -+ 2t'k un rev~tement de 2t'k qui est cyclique
de groupe Z / n Z , avec n premier h p. On suppose que le morphisme fk est
&ale au-dessus des points r4guliers de Xk, et que 32k est semi-stable (en particuller un point double de 32k est un point de croisement de deux composantes
irr4ductibles de 32k, et son image dans ~Vk est un point double ordinaire). Nous
montrerons qu'un tel revStement se relive ( apr~s extension finie ~ventuelle de
R) en un revStement de X, qui est &ale att-dessus de X. De plus la condition
suivante est ndcessaire et suffisante pour relever en un p , - t o r s e u r de .\" :
D6finition 5 . 6 .
Soit fk : Yk --+ X'k un rev~tement satisfaisant aux conditions ci-dessus (cf. 5.5). Nous dirons que le morphisme fk est kummdrien
aux points doubles de Yk, si l'une des trois conditions suivantes ~quivalentes
est satisfaite :
(i)
I1 existe un l,,,-torseur associ6 au rev~tement f~-l([Tt.) --+ Uk, telle
que p o u r tout point double de Yk, et son image zj E C, N Ct dans Xk, ce # , torseur soit ddfini dans un voisinage de z j au-dessus de Ci (resp. au-dessus de
Ct) p a r une 6quation T " = uit'~, o{l ui est une unitd, et ti est un param~tre
uniformisant en a'j (resp. S n = u j t ~ m, o6, uj est une unit6, et tj est un
p a r a m ~ t r e uniformisant en x j).
(ii) I1 existe un p n - t o r s e u r associ6 aux rev&ement ,/[l(Uk) --+ Uk, dont
SAIDI, Rev~tements Etales Ab~liens
259
t'image (ci)i ~ O~_<i<~C(Fi, g / n Z ) via la suite exacte 5, provient par
l ' h o m o m o r p h i s m e h , (cf. prop. 5.4) d ' u n courant c ~ C(F, Z / n Z ) .
(iii) Pour tout point double y ~ C[ N C[ de 32~, il existe Ti (resp. 7'/) un
p a r a m b t r e unifornfisant au point y sur C~ (resp. sur C[), telle que le sous-groupe
d'inertie du groupe de Galois Z / n Z au point y, op~re sur Ti par : Ti --+ r
(resp. op~re sur Tl par : Tr --+ ~--1.TI), o~ ~" est une racine primitive e i~mes de
l'unit~, et e est l'indice de ramification au point y.
Th6or~me
5 . 7 . Soit .fk : Yk -+ A'k un rev~tement cyclique de groupe Z / n Z
(avec n premier ~ 1)). On suppose que le moz'phisme fk est ~tale au-dessus
des points rdg'uliers de ,Vt.. et que Yk est semi-stable. Alors ce rev~tement se
relbve (pas de mani&'e unique) aprbs extension finie dventuelle de R (l'extension
R ' := R[n I/~] eonvieI2t), en un rev~tement t~ni f : 32 -+ ,u de degrd n, qui est
dtale au-dessus de X . De plus le relbvement en un pn-toz'seur de X est possible,
si et seulement si le rev&ement ft. : 32k ~ X'k est kumm&'ien aux points doubles
de 32k.
Preuve. D ' a b o r d le fait que le m o r p h i s m e fk est kumm~rien en t o u s l e s points
doubles de 32k, soit une condition n~cessaire p o u r relever en un p , - t o r s e u r de
X dbcoule de la preuve de 4.3. Montrons que l'on peut relever le rev~tement
f/,. sous cette condition, en nn p , - t o r s e u r de X.
Dans ce qui suit, nous allons utiliser les m~thodes de la g~om~trie rigide
(cf. [5] et [6]) . Soit X ~n l'analytification de la K - c o u r b e alg~brique X, qui
est un / ( - e s p a c e analytique rigide propre, et soit r : X a" -~ 2~k la r~duction
canonique, induite par le module formel A" de X a ' .
Pour uu ouvert afl:ine lisse V de Xk, un #n-torseur f k l ( V ) -+ V (induit
p a r fk) se relive de manibre unique (~ isomorphisme pros) en un pn-torseur de
l'espace affinoi'de r -1 (V) (cf. [7], expos~ I, cor. 8.4, p.15).
Pour un point double x j E Ci fl C'l de ,Yk, soient U = Spec A un ouvert
affine connexe de ,-t'k contenant l'unique point double x j, et ['r = Ui I I Ui la
normalisation de U. On a : U'i = Spec Ai et Ui = Spec At. et notons U[ =
S p e c A 'i := Ui - x j et U[ = SpecA~ := Ut - xj. Soit ti E Ai (resp. tl E Ai) un
param~tre uuiformisant au point x j . P a r hypoth~se le rev~tement fk induit un
p,,-torseur A} -+ A~[T]/(T ~ - u~) au-dessus de U[ (resp..4} --~ A~[T]/(T '~ - u~)
au-dessus de U[), oh u'i (resp. u~) est une unit6 de A~ (resp. une unit6 de A~), et
quitte s faire une localisation on a une 6criture u} = u i t ~ dans FrAi, o~l ui est
une unit6 de Ai (resp. une 6criture u~ = ud~-" dans F r A i . oh u~ est une unit6
260
SAIDI, Rev~tements l~tales Ab~liens
de At) (of. d~f. 5.6). Soit d := pged(n, m), et soient k, s e t n' des entiers avee
k n + s m = d et n = dn r. On v6rifie alors ais~ment que f ~ l ( u i ) est isomorphe
au spectre de la Ai-alg~bre Ai[T, V i ] / ( T ~' - Vi~ti, V J - ui) (resp. f[. ~(Ul) est
isomorphe au spectre de la At-alg~bre At[S, Vt]/(S"' - Vt-~tz, Vtd - ,I)). On en
d6duit alors que f k 1(U) est isomorphe au spectre de la A-alg~bre
A[T, S, I : ] / ( T " ' - V~ti, S ~' - V - ' t l , V d - u, T S ) , o~ u E A est une unitb qui
donne ul sur At et ui sur Ai. Soient ['r = Spm,'~ l'ouvert a~noi'de r - l ( U ) ,
fi E A un relbvement de u, et 9,, gt a p p a r t e n a n t ~t ,J, des rel~vements de ti
et t~ avec gigt = c E I~ (cf. [1], prop 2.3, p.354-355). Alors aprbs extension
finie ~ventuelle de It', le rev~tement I': := Spm,,t[2r, S, 1;']/(2/"n' - l:Sgi, S " ~'-~gt, (:d _ ~, : ~ S _ ca~n) ._4 ~r = Spin A qui est ~tale, cyclique de degr~ n, et
avec la donn~e d'une action de Galois sur ~', est un rel~vement de fs
(U) --~ [;.
Les rel~vements ainsi construits se recollent (de mani~re compatible avec
Faction du groupe de Galois), pas de mani~re unique (il y a des choix 5, faire
dans le proc~d~ de recollement) en un rev~tement f~n : yah __+ x a n qui est 6tale
cyclique de degr6 n, avec action de galois sur Y'~', et qui relive le morphisme
f~ : Y~, --4 Xk. On conclut alors, p a r les th6or~mes GAGA-rigides que le
rev~tement fan est l'analytification d ' u n revStement alg~brique f : }" --4 X qui
est un pn-torseur de X.
Dans le cas o~t le rev~tement fk n'est pas kumme~rien aux points doubles de
Yk (cf. 5.8), il est facile de voir que p o u r chaque point double y de Y~, on peut
choisir un pn-torseurs associ~ ~t f~-~ (Uk) --4 Uk de sorte que fk soit kumm~rien
au points y (on ne peut en g6n~ral faire le mfime choix pour t o u s l e s points
doubles), On a alors comme ci-dessus des ~quations locales de f~ au-dessus de
chaque point double de ,'Vk, que l'on relive de la m~me mani~re que ci-dessus.
N6anmoins les actions de Galois ne se recollent pas dans ce cas la.
Dans 5.8 ci-dessous, nous donnons un exemple d ' u n G-rev~tement f k :
Yk --~ 2~k, o:a G est cyclique d ' o r d r e p r e m i e r k p, avec Yk senti-stable, et le
m o r p h i s m e fk 6tale au-dessus des points r6guliers de Xk, qui ne se relive pas
sur R (ni sur une extension finie) en un p , - t o r s e u r de X.
Exemple 5.8.
Consid6rons le cas off 2dk est compos~e de deux composantes
irr~ductibles C1 et C2, qui se croisent en trois points doubles ordinaires x, y
et z, on note Ui l'ouvert C ' i - { x , y , z } , p o u r 1 < i < 2. I1 existe alors un
rev~tement .fk : Yk ~ Xk cyclique de degr~ l, off l e s t un nombre premier
different de p = car(k) et de 3, avec Yk semi-stable, qui est ~tale au-dessus des
points r6.guliers de .u
et tel que le ~ll-torseur f~-l(u1) --+ UI := CI - {x, y, z}
SAIDI, RevStements Etales Ab~liens
26"1
(resp. f k 1([72) "+ []2 : : C2 - {x, y, z}) (qui n'est pas ddfini de mani~re unique),
soit ddfini par une ~quation T t = f , o?z f est nne unit4 sur U1 avec ordx(f) -=
2 mod(/), ord u(.f) - - 1 rood(l) et ord~ (f) = - 1 nmd(/) (resp. par une 6quation
S t = g oh g est une unit6 de U~ avec ordx(g) -~ 1rood(l), ordy(g) - i mod(/)
et ord=(g) - - 2 r o o d ( l ) ) (el. 5.2 et 5.4). Ainsi le #t-torseur . f / l ( u k ) -+ Uk :=
,-Vk -- {x, y, z} (qui lui aussi n'est pas d4fini de mani~re unique) d6termine des
courants locaux Cl E c(ra,z/lz), et c2 E c(r~,z/tz), o~, r~ (resp. F2) est le
graphe associ~ ~t la composante C1 et les points x, y et z (resp. la composante
C2 et les points x, y e t z) (of. 5.1).
Ces courants ca et c2 ne proviennent
pas (pour aucun de leurs choix possibles) via l'homomorphisme ht (cf. 5.4)
d ' u n courant c E C ( F , Z / I Z ) , o~ r e s t le graphe d'intersection associ~ ~t A'k (en
d'autres termes, le revfitement fk : 3;k -+ .'t'k n'est pas kumm~rien aux points
doubles de 3;k) 9 Ainsi le rev~tement fk : Yk --+ .gk ne se relive pas sur R (ni
sur une extension finie de R) en un revfitement f : 3; --+ X qui est un p , - t o r s e u r
de X.
6. Application
6.1.
Soient C une courbe alg6brique propre, et connexe sur un corps
alg~briquement clos k de caraet~ristique p _> 0. On suppose que C est semistable, et que les composantes irr~ductibles de C sont lisses. Soit G u n sousgroupe fini de Autk(C), qui op~re librement sur un ouvert dense de C. On
se pose le probl~me de relever le couple (C, G) en un couple (C, G), o~l C est
une R-courbe propre, dont la fibre g~ndrique est lisse, et un sous-groupe G de
AutR C, pour u n anneau de valuation discrete eonvenable R fini sur W(k) :=
l ' a n n e a u des vecteurs de Witt de k. Notons que la courbe C' := C / G , quotient
de C par G est elle-mbme semi-stable. Dans le cas o?a C est lisse, ce probl~me a
6t6 consid6r~ dans [7] et [15]. Nous supposerons d~sormais que C est non lisse.
Nous consid6rons ici le eas oh le groupe G est cyclique, d'ordre n premier
/t p = car k, et sous la condition suppld.mentaire que le morphisme fk : C --+
C' = C / G est 6tale au-dessus des points r6guliers de C' (en particulier, les
composantes irr6ductibles de C ' sont lisses, et l'image d ' u n point double de C
est u n point double de C'). On notera U' l'ouvert de C' obtenu en enlevant les
points doubles de C'.
Si le relbvement (C, G) existe, alors dans le morphisme fini canonique C --+
C' := C / G l'image d ' u n point double de C est u n point double de C', et le
morphisme induit par f stir les fibres g6n6riques f K : CI, --+ C),. est 6tale. C'est
262
SAIDI, RevStements ]~tales Ab61iens
une consequence d'une formule de K a t o (cf. [8], prop 5.7, p.640, et [14], 2.1.2).
Une condition alors n6cessaire pour que le rel~vement (C, G) existe sur R
est que le nmrphisme fk : C --+ C ~ soit kumm6rien aux points doubles de C
(cf. th6. 4.3), et que l'on puisse relever la courbe C ~, en une R-courbe propre
C ~, dont la fibre g6n6rique est lisse, et l'6paisseur d'un point double x de C ~ est
divisible par l'indice de ramification d ' u n point double y de C au-dessus de x
(cf. [11], Appendice).
T h ~ o r ~ l l l e 6.2.
Soit C une k-courbe algdbrique propre, et connexe. On
suppose que C est semi-stable, et les composantes irrdductibles de C sont lisses.
Soit G u n sous-g~'oupe fini de A u t k ( C ) . qui est cyclique d'ordre premier
p = car(k), et qui op&'e librement sur un ouvert dense de C. On suppose que
le m o r p h i s m e fk : C --4 C ~ := C / G est ~tale au-dessus des points rdguliers de
C ~, et kummdrien aux points doubles de C ( c f 5.6).
A1ors le couple (C, G) se relbve (pas de manibre unique), en un couple
(C, G) sur l'anneau des veeteurs de WStt W ( k ) , de plus le morphisme canonique
C --+ C' := C / G est ~tale au dessus de C~I,-.
preuve.
D ' a b o r d on rel~ve la courbe C I sur W ( k ) en une courbe CI propre,
h fibre g~n~rique lisse, et telle que l'~paisseur d ' u n point double x de C t, soit
divisible par l'indice de ramification d ' u n point double y de C au-dessus de x
(el. Lemme 6.3 ci-dessous). I1 suit alors du th~or~me 5.7, que le morphisme
C --+ C ' se relive (pas de mani~re unique) sur W ( k ) en un morphisme C --+ C ,
qui est galoisien de groupe G, et ~tale au-dessus des points r~guliers de C'.
Dans 5.8 on donne un exemple d ' u n couple (C, G) comme ci-dessus, qu'on
ne peut relever sur un R quelconque.
IJenllne 6.3.
Soi~ Xk une k-courbe alg~brique propre, connexe, et semistable. On suppose que les composantes irr~ductibles de A'k sont lisses. Pour
chaque point double ,r E Xk, on se donne un entier ex positis Alors il existe
une W ( k ) - c o u r b e propre, dont la t~bre g'&~rique est lisse, qui relbve la courbe
,~'k, avec une ~paisseur e~ en chaque point double x.
Preuve.
D ' a b o r d on salt relever sur ~V(k) chacune des eomposantes
irr~ductibles de ,~k, en une eourbe p r o p r e et lisse (el. [7]). Consid~rons les deux
composantes irrC,duetibles Ci et Cj de Pdk p a s s a n t par le point double x, A ' / e t
&'j leurs rel~vements sur [V(k), X~ et X j les fibres g~n~riques correspondantes.
Soit ]"/ un ouvert affine assez petit de Ci contenant x, Ui la fibre formelle de
SAIDI, Rev&ements 15,tales Ab61iens
263
1/~ contenue dans Xi et ri : Ui --+ 17i l ' a p p l i c a t i o n canonique de r4duction, alors
il existe une fonction fi ~- Ox,,,(Ui) avec ][fillu~ -< 1, tel que l'image de fi
dans Oct(V/) soit une uniformisante au point x, et on fait de m&ne pour la
On a r~-~{a"} = {z E Ui ,tel que[fi(z)l < 1} et r71{x } =
{z E Uj , t e l q u e l f j ( : ) [ < 1}, soit I,I,'/ = {z E Ui ,tel q u e l f ~ ( : ) [ >_ [a'~*[}
et ~'1,~ = {: E Uj ,tel que[f~(z)[ _> ]w~*[}, oh rr est une uniformisante de
W ( k ) . On recolle alors Wi et I,I,'jle long de D = {z ,tel quel:[ = I,~=1},
composante C i.
avec Pi : D -+ l lq est d4fini p a r pi(z) = fi(z) et pj : D --+ Wj est d4fini par
p j ( : ) = 1 / / ) ( z ) . Le recollement de Ci et Cj le long de D, donne alors en
r4duction un point double avec l'6paisseur qu'il faut.
Appendice
Soit R un anneau de valuation discrete complet, de corps de f r a c t i o n s / ( ,
et de corps r4siduel k.qu'on suppose alg6briquement clos de caract6ristique p >
0. Consid4rons une courbe alg6brique X projective, lisse, et g6om4triquemnt
connexe s u r / ( . On suppose que la courbe X poss~de un module semi-stable
,t' sur R, soit r le graphe d'intersection associ4 ~, la fibre sp4ciale ,t'k de X (cf.
4.1).
On suppose que le graphe P e s t un a r b r e (c'est ~ dire un graphe
Th{or~lne.
qui ne poss&le pas de cycles) . A/ors ii existe un isomorphisme :
7r~b('-X)(p) ,-~ 7r~b(,~k )(P),
m
_
_
m
off X : = X • h" I ( , e~ I ( est une cloture a]g~brique de I(.
Pre,,ve. D'apr~s [7] (expos~ X, cor. 2.3, p.269) il existe un homomorphisme
de sp6cialisation :
,~b(X)~.) -+ ~'b(,Vk)IP) ,
qni est surjectif.
Soit f : Y --+ X un rev&ement &ale ab41ien, d'ordre premier k p de X ,
avec 17 connexe. Le rev&ement f e s t le pull-back d'une isog6nie A --+ J(X-), off
J ( X ) est la jacobienne de X (i.e. Y ~- X xa(.~ ) A) (cf. 3.1). AprSs extension
finie de K on peut supposer le rev&ement f : Y" -+ X d6fini sur K . I1 faut alors
m o n t r e r que ce rev~tement se prolonge (apr~s extension finie 4ventuelle de R)
en un rev~tement &ale 32 --+ ,:t' (avec J connexe), ce qui prouvera l'injection
de l'homonlorphisme de sp4cialisation ci-dessus.
264
SAIDI, RevStements ]~tales Ab~liens
Soit ,7 le module de N6ron de la jacobienne J(X), et Picx/R le foncteur
de Picard relatif de X sur R. Alors PiCx/R est un sch6ma semi-ab6lien sur R
et on a un isomorphisme entre composantes neutres : j 0 ,,~ Pic0v/R (cf. [2],
the. 4, p. 267).
Si le graphe F est un arbre, alors la fibre sp~ciale (Pic~
de Pic~
est
une vari~t~ ab61ienne sur k (cf. exemple 3.2), il suit alors clue ,]" est un schema
abdlien sur R (cf. [2], the. 5, p.183). Le morphisme X ~ J(X) (qui est d6fini
par le choix d'un point rationnel de X) se prolonge alors en un morphisme
~ ~ J , o~t ,~' est une d~singularisation minimale de X (cf. [2], cor. 6, p.234).
D'autre part l'isog~nie A -+ J(X) se prolonge en une isog~nie A -+ ,7, oh
.A est le module de N~ron de A (cf. [2], prop. 6, p.180). Soit j~' := 2 x s A,
alors le morphisme canonique ~ ~ ~t~'est un revfitement fini ~tale qui prolonge
le morphisme f : }" ~ X (en particulier j2 est r~gulier). De plus si Y est la
cl6ture int~grale de X dans Y, on a un diagramme conmmtatif :
1
1
et y est une d~singularisation de 3:. I1 est alors facile de voir que le morphisme
canonique g : 3: --~ ,u (qui prolonge le morphisme f : Y ~ X) est dtale.
R~f~rences
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