Quelques éléments de Mécanique Quantique

Université Paris 7 – Préparation à l’Agrégation Interne de Physique 2014-2015
Quelques éléments de Mécanique Quantique
C. Coste
16 décembre 2014
Bibliographie
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1
Cours de Berkeley, E. H. Wichmann Physique Quantique (Armand Colin, 1974)
A. Messiah, Mécanique Quantique I (Dunod Université, 1995)
Cours de Physique de Feynman, Mécanique Quantique (Interéditions, 1979)
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Mécanique Quantique I (Interéditions, 1980)
Révisions personnelles
Le programme du concours comporte pas mal de points relevant de la physique quantique (voir la
compilation réalisée par F. Bernardot à la fin de ce document). Tout ne peut donc être fait en 3 heures,
et je vous suggère quelques révisions personnelles. J’ai essayé de classer les références indiquées par
ordre de difficulté croissante (vous n’êtes pas obligé-e-s d’être d’accord a posteriori !).
Références générales :
(N.B. Commencez éventuellement par les références plus spécialisées citées aux § 1.1 et 1.2.)
– Cours de Berkeley, Ch. 1. (Ce livre, dans son ensemble, est une excellente introduction à la
Mécanique Quantique, et sa lecture complète est envisageable au cours de l’année)
– Messiah, Ch. I, §1 à 3 (le §4 fait appel à quelques notions de mécanique Lagrangienne ; il s’agit
d’un livre très avancé, mais le chapitre introductif est accessible)
– Cours de Feynman, Ch. 1 à 3
– Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe Ch. I
1.1
Le photon
La notion par laquelle débuter est sans doute celle de photon, c’est-à-dire l’interprétation corpusculaire des ondes électromagnétiques.
Une onde électromagnétique de pulsation ω (fréquence ν, ω = 2πν) et de nombre d’onde k
(longueur d’onde λ, k = 2π/λ) est associée à une particule, le photon, d’énergie E = ~ω = hν
(~ ≡ h/(2π)), où h est la constante de Planck, et de quantité de mouvement p = ~k. Dans cette
interprétation, l’intensifé lumineuse (qui se calcule à partir du vecteur de Poynting) est le nombre de
photons traversant par seconde une section donnée du faisceau lumineux.
La première expérience mettant en évidence le caractère corpusculaire de la lumière est l’effet
photoélectrique 1 .
– L’exposé du cours de Berkeley est un des plus clairs. Commencez par le Ch. 1 qui passe en revue
rapidement l’effet photoélectrique. Ensuite le Ch. 4 est entièrement consacré au photon.
– Vous pouvez aussi consulter les articles « Photon » de Wikipedia, en français et/ou en anglais (ce
dernier est plus complet, mais plus difficile) ainsi que les articles « Effet Photoélectrique » et/ou
« Photoelectric effect » (dans ce cas, l’article anglais est nettement plus complet).
1. Pour les puristes, c’est un peu discutable. L’expérience la plus concluante est l’effet Compton, mais sa
compréhension nécessite quelques connaissances en Relativité restreinte. Voir le cours de Berkeley.
1
Une manifestation spectaculaire de l’existence du photon est fournie par les expériences d’interférences photon par photon. Il s’agit d’envoyer dans un dispositif interférentiel une lumière d’intensité si
faible que les photons traversent le dispositif un par un (en moyenne !). On constate que l’on construit
ainsi la figure d’interférence, tout comme si le photon interférait avec lui-même. Vous trouverez des
films de telles expériences sur internet, aux adresses suivantes :
•
•
•
https://www.youtube.com/watch?v=GzbKb59my3U
https://www.youtube.com/watch?v=MbLzh1Y9POQ
https://www.youtube.com/watch?v=NaEo517NDXo
Celà conduit à une nouvelle interprétation de la notion d’intensité lumineuse. La quantité u =
(0 E 2 + B 2 /µ0 )/2, qui est interprétée classiquement comme la densité d’énergie électromagnétique,
doit être interprétée comme une densité de probabilité d’observer un photon. Ainsi, aucun photon
n’est jamais observé sur une raie noire (amplitude nulle), tandis que la probabilité est maximale sur
une raie sombre. On comprend ainsi comment la figure d’interférence se construit par accumulation
des impacts de photons sur un détecteur. 2
1.2
Ondes de De Broglie
Outre les aspects corpusculaires des radiations électromagnétiques, un des problèmes ouvert au
début du XXième siècle était le spectre discret d’émission des atomes, ainsi que leur stabilité. Le
modèle planétaire de Bohr ne pouvait être exact, car les électrons sur une orbite circulaire rayonnent
de l’énergie électromagnétique et devraient finir par s’effondrer sur le noyau. Pour toutes ces raisons
De Broglie a été amené à supposer un caractère ondulatoire des particules élémentaires telles que les
électrons.
– L’article « Louis De Broglie » de Wikipedia est vraiment mauvais, que ce soit en anglais ou en
français.
– L’article « Atome » est lui excellent et très complet.
– Sur les niveaux d’énergie, voir le cours de Berkely, Ch. 3.
– Sur les ondes de De Broglie, voir le cours de Berkely, Ch. 5.
– Voir aussi les références générales indiquées plus haut.
De même qu’avec les photons, des expériences d’interférences ont été réalisées avec des électrons
passant un par un dans le dispositif. Vous trouverez des films commentés aux URL suivantes :
•
https://www.youtube.com/watch?v=zc-iyjpzzGQ
Semble être un document d’époque, sur une des premières expériences d’interférences d’électrons un par un. Très clair et permettant de voir le dispositif expérimental.
• https://www.youtube.com/watch?v=ZJ-0PBRuthc
Un film classique proposé par des chercheurs de la firme Hitachi. En tant que tel, c’est un peu
abstrait mais très convaincant.
La conception de De Broglie conduit à décrire les particules élémentaires par une fonction d’onde
Ψ(r, t). Le fait que les figures d’interférences puissent se construire ”électron par électron” conduit
à interpréter le module carré de la fonction d’onde, |Ψ(r, t)|2 comme une densité de probabilité de
présence de la particule dans un élément de volume d3 r centré autour du point r. L’évolution dans
le temps de la fonction d’onde est donnée par l’équation de Schrödinger. Ces points sont développés
dans l’exercice 3.
2. Il est intéressant de noter que la première expérience d’interférence en lumière très faible fut faite par
Taylor en 1909, soit avant qu’Einstein ait proposé le concept de photon. Voir Berkeley p. 169.
2
2
Ordres de grandeur
a) Calculer (en eV) l’énergie associée à la raie jaune du Sodium, de longueur d’onde 589 nm.
b) Les rayons X ont des longueurs d’ondes entre 0.01 nm et 10 nm. Calculer les énergies associées,
en eV.
c) On considère la désintégration d’une paire électron/positron, initialement au repos dans le référentiel du laboratoire. Pourquoi cette désintégration donne-t-elle au moins deux photons ?
Dans le cas où le produit de la désintégration est une paire de photons, auront-il la même longueur
d’onde ?
Calculer cette longueur d’onde.
3
Equation de Schrödinger : Introduction
Dans cette approche introductive, nous considérons une particule isolée de masse m. Nous restons
aussi dans le cadre non relativiste, qui est le domaine de validité de l’équation de Schrödinger.
a) Rappeler la relation entre l’énergie E de la particule et sa quantité de mouvement p.
b) En déduire la relation de dispersion ω(k) de l’onde de De Broglie qui lui correspond, de pulsation
ω et de nombre d’onde k.
c) On associe à l’onde de De Broglie une fonction d’onde Ψ(r, t), a priori complexe, dont le module
carré |Ψ(r, t)|2 mesure la densité de probabilité de présence de la particule. Proposer une équation
aux dérivées partielles linéaires donnant lieu à la relation de dispersion précédente.
d) Plus généralement, une particule sera décrite par un paquet d’onde, obtenu comme une superposition d’ondes planes :
Z∞
1
A(k)ei[kx−ω(k)t] dk
(1)
Ψ(x, t) = √
2π
−∞
On fait l’hypothèse que l’amplitude A(k) est nulle hors d’un intervalle [k0 − ∆k, k0 + ∆k], avec
∆k k0 . En déduire qu’à l’ordre le plus bas en ∆k le paquet d’onde se propage sans déformation
à la vitesse ω 0 (k0 ). Commenter.
e) Exprimer cette vitesse en fonction de la quantité de mouvement p de la particule. Commenter.
f ) On suppose que A(k) = A0 où A0 est une constante, à priori complexe, dans l’intervalle [k0 −
∆k, k0 + ∆k], et A(k) = 0 en dehors de cet intervalle. Calculer Ψ(x, t) sous les mêmes hypothèses
qu’aux questions précédentes.
Montrer qu’il est possible de définir une largeur ∆x pour la fonction d’onde. Montrer ∆x∆k ∼ π.
Commenter.
R∞
g) Que vaut
|Ψ(r, t)|2 dx ? En déduire la valeur de la constante A0 . On donne
−∞
Z∞
sin2 x
dx = π.
x2
−∞
3
(2)
4
Equation de Schrödinger : États stationnaires
4.1
Introduction
Dans cet exercice, on s’intéresse au mouvement unidimensionnel, suivant l’axe Ox, d’une particule
de masse m dans un potentiel V (x). L’équation de Schrödinger s’écrit donc
i~
∂Ψ(x, t)
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
=−
+ V (x)Ψ(x, t).
∂t
2m ∂x2
(3)
Nous allons chercher des états stationnaires d’énergie E bien définie. Conformément à l’image donnée
par les ondes de De Broglie, la fonction d’onde a une fréquence bien définie, et peut s’écrire
Ψ(x, t) = ψ(x)e−iEt/~ .
(4)
~2
ε,
2m
(5)
On posera par la suite
E=
V (x) =
~2
U (x).
2m
a) Écrire l’équation vérifiée par ψ(x), et montrer que cette équation est réelle. Dans la suite on
prendra pour ψ(x) une fonction réelle.
b) Quelle(s) condition(s) aux limites doit-on appliquer à la fonction ψ(x) et à sa (ou ses) dérivées à
une discontinuité de potentiel ?
4.2
Niveaux d’énergie
Nous considérons dans cet exercice un puit carré, schématisé dans la Fig. 1. On a donc U (x) = U2
si x ∈ [−a, a] et U (x) = U1 > U2 si x est en dehors de cet intervalle. On se limite à l’étude du seul
cas U2 < ε < U1 .
VHxL
x
Figure 1 –
a) Quelles sont les conditions aux limites en x → ±∞ ?
b) Déterminer la forme générale de la fonction d’onde ψ(x) dans les trois régions x ≤ −a, −a ≤ x ≤ a
et a ≤ x.
c) On pose
r
ε − U2
.
U1 − U2
Quelle est la dimension physique de K ? Quel est le domaine de variation de ξ ?
p
K = U1 − U2 ,
ξ=
(6)
d) Montrer que seul un nombre fini d’énergies discrètes ε sont possibles, et proposer une méthode
graphique pour les déterminer.
e) Comparer le comportement de la particule quantique à celui d’une particule classique de même
masse, dans le même puit de potentiel.
4
4.3
Effet tunnel
On considère maintenant une barrière de potentiel carrée, schématisée dans la Fig. 2. Le potentiel
est U (x) = U0 > 0 si 0 ≤ x ≤ a et U (x) = 0 en dehors de cet intervalle.
VHxL
x
Figure 2 –
On se limite au seul cas ε < U0 . La particule est décrite comme une onde plane issue de x → −∞,
se propageant vers la droite.
a) Écrire la forme générale de la fonction d’onde ψ(x) dans les trois régions x ≤ 0, x ≥ a et 0 ≤ x ≤ a.
On pourra introduire dans la région x ≤ 0 un coefficient de réflexion en amplitude r et dans la
région x ≥ a un coefficient de transmission en amplitude t.
b) Calculer le coefficient de transmission de la barrière, défini par T = |t|2 .
c) Que pensez vous des limites a → ∞ et U0 → ∞ ?
d) Comparer le comportement de la particule quantique à celui d’une particule classique.
5
Extraits de programme
Physique quantique en Terminale S
Transferts quantiques d’énergie : émission et absorption quantiques ; émission stimulée et amplification d’une onde lumineuse ; oscillateur optique, principe du laser ; transitions d’énergie électroniques, vibratoires.
Dualité onde-particule : photon et onde lumineuse ; particule matérielle et onde de matière ;
relation de de Broglie ; interférences photon par photon, particule de matière par particule de matière.
Matériaux (ens. de spécialité) : conducteurs, semiconducteurs, supraconducteurs (entre autres).
Physique quantique en PCSI
L’introduction au monde quantique (...) s’inscrit dans la continuité du programme de la classe
de terminale scientifique. Elle est restreinte (...) à l’étude de systèmes unidimensionnels. La réflexion
sur les thèmes abordés ici doit avant tout être qualitative ; toute dérive calculatoire devra être soigneusement évitée. Les concepts essentiels abordés sont la dualité onde-corpuscule, l’interprétation
probabiliste de la fonction d’onde, et les conséquences de l’inégalité de Heisenberg spatiale dans des
situations confinées.
Introduction au monde quantique : dualité onde-particule pour la lumière et la matière ; relations
de Planck-Einstein et de Louis de Broglie ; interprétation probabiliste associée à la fonction d’onde :
approche qualitative ; inégalité de Heisenberg spatiale ; énergie minimale de l’oscillateur harmonique
quantique ; quantification de l’énergie d’une particule libre confinée 1D.
Physique quantique en PC
Introduction à la physique du laser
1. Milieu amplificateur de lumière
Absorption, émission stimulée, émission spontanée. Coefficients d’Einstein. Amplificateur d’ondes
lumineuses.
2. Obtention d’un oscillateur
Mise en oeuvre électronique d’un oscillateur sur l’exemple de l’oscillateur à pont de Wien. Milieu
amplificateur à l’intérieur d’un résonateur optique : le laser.
Approche ondulatoire de la mécanique quantique
1. Amplitude de probabilité
Fonction d’onde ψ(x, t) associée à une particule dans un problème unidimensionnel. Densité linéique
de probabilité. Principe de superposition. Interférences.
2. Équation de Schrödinger pour une particule libre.
Équation de Schrödinger. États stationnaires. Courant de probabilité associé à une particule libre.
Paquet d’ondes associé à une particule libre. Relation ∆kx ∆x > 1/2
3. Équation de Schrödinger dans un potentiel V (x) uniforme par morceaux
Quantification de l’énergie dans un puits de potentiel rectangulaire de profondeur infinie. Énergie de
confinement quantique. Quantification de l’énergie des états liés dans un puits de profondeur finie.
Élargissement effectif du puits par les ondes évanescentes.
4. Effet tunnel
Notions sur l’effet tunnel. Coefficient de transmission associé à une particule libre incidente sur une
barrière de potentiel.
Approche descriptive : Double puits symétrique. Étude des deux premiers états stationnaires : symétrique et antisymétrique. Évolution temporelle d’une superposition de ces deux états.
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