Quelques éléments de Mécanique Quantique

Universit´e Paris 7 – Pr´eparation `a l’Agr´egation Interne de Physique 2014-2015
Quelques ´el´ements de M´ecanique Quantique
C. Coste
16 d´ecembre 2014
Bibliographie
– Cours de Berkeley, E. H. Wichmann Physique Quantique (Armand Colin, 1974)
– A. Messiah, M´ecanique Quantique I (Dunod Universit´e, 1995)
– Cours de Physique de Feynman, M´ecanique Quantique (Inter´editions, 1979)
– C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, M´ecanique Quantique I (Inter´editions, 1980)
1 R´evisions personnelles
Le programme du concours comporte pas mal de points relevant de la physique quantique (voir la
compilation r´ealis´ee par F. Bernardot `a la fin de ce document). Tout ne peut donc ˆetre fait en 3 heures,
et je vous sugg`ere quelques r´evisions personnelles. J’ai essay´e de classer les r´ef´erences indiqu´ees par
ordre de difficult´e croissante (vous n’ˆetes pas oblig´e-e-s d’ˆetre d’accord a posteriori !).
R´ef´erences g´en´erales :
(N.B. Commencez ´eventuellement par les r´ef´erences plus sp´ecialis´ees cit´ees aux §1.1 et 1.2.)
– Cours de Berkeley, Ch. 1. (Ce livre, dans son ensemble, est une excellente introduction `a la
M´ecanique Quantique, et sa lecture compl`ete est envisageable au cours de l’ann´ee)
– Messiah, Ch. I, §1 `a 3 (le §4 fait appel `a quelques notions de m´ecanique Lagrangienne ; il s’agit
d’un livre tr`es avanc´e, mais le chapitre introductif est accessible)
– Cours de Feynman, Ch. 1 `a 3
– Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe Ch. I
1.1 Le photon
La notion par laquelle d´ebuter est sans doute celle de photon, c’est-`a-dire l’interpr´etation corpus-
culaire des ondes ´electromagn´etiques.
Une onde ´electromagn´etique de pulsation ω(fr´equence ν,ω= 2πν) et de nombre d’onde k
(longueur d’onde λ,k= 2π/λ) est associ´ee `a une particule, le photon, d’´energie E=~ω=hν
(~≡h/(2π)), o`u hest la constante de Planck, et de quantit´e de mouvement p=~k. Dans cette
interpr´etation, l’intensif´e lumineuse (qui se calcule `a partir du vecteur de Poynting) est le nombre de
photons traversant par seconde une section donn´ee du faisceau lumineux.
La premi`ere exp´erience mettant en ´evidence le caract`ere corpusculaire de la lumi`ere est l’effet
photo´electrique 1.
– L’expos´e du cours de Berkeley est un des plus clairs. Commencez par le Ch. 1 qui passe en revue
rapidement l’effet photo´electrique. Ensuite le Ch. 4 est enti`erement consacr´e au photon.
– Vous pouvez aussi consulter les articles «Photon »de Wikipedia, en fran¸cais et/ou en anglais (ce
dernier est plus complet, mais plus difficile) ainsi que les articles «Effet Photo´electrique »et/ou
«Photoelectric effect »(dans ce cas, l’article anglais est nettement plus complet).
1. Pour les puristes, c’est un peu discutable. L’exp´erience la plus concluante est l’effet Compton, mais sa
compr´ehension n´ecessite quelques connaissances en Relativit´e restreinte. Voir le cours de Berkeley.
1

Une manifestation spectaculaire de l’existence du photon est fournie par les exp´eriences d’interf´e-
rences photon par photon. Il s’agit d’envoyer dans un dispositif interf´erentiel une lumi`ere d’intensit´e si
faible que les photons traversent le dispositif un par un (en moyenne !). On constate que l’on construit
ainsi la figure d’interf´erence, tout comme si le photon interf´erait avec lui-mˆeme. Vous trouverez des
films de telles exp´eriences sur internet, aux adresses suivantes :
•https://www.youtube.com/watch?v=GzbKb59my3U
•https://www.youtube.com/watch?v=MbLzh1Y9POQ
•https://www.youtube.com/watch?v=NaEo517NDXo
Cel`a conduit `a une nouvelle interpr´etation de la notion d’intensit´e lumineuse. La quantit´e u=
(0E2+B2/µ0)/2, qui est interpr´et´ee classiquement comme la densit´e d’´energie ´electromagn´etique,
doit ˆetre interpr´et´ee comme une densit´e de probabilit´e d’observer un photon. Ainsi, aucun photon
n’est jamais observ´e sur une raie noire (amplitude nulle), tandis que la probabilit´e est maximale sur
une raie sombre. On comprend ainsi comment la figure d’interf´erence se construit par accumulation
des impacts de photons sur un d´etecteur. 2
1.2 Ondes de De Broglie
Outre les aspects corpusculaires des radiations ´electromagn´etiques, un des probl`emes ouvert au
d´ebut du XXi`eme si`ecle ´etait le spectre discret d’´emission des atomes, ainsi que leur stabilit´e. Le
mod`ele plan´etaire de Bohr ne pouvait ˆetre exact, car les ´electrons sur une orbite circulaire rayonnent
de l’´energie ´electromagn´etique et devraient finir par s’effondrer sur le noyau. Pour toutes ces raisons
De Broglie a ´et´e amen´e `a supposer un caract`ere ondulatoire des particules ´el´ementaires telles que les
´electrons.
– L’article «Louis De Broglie »de Wikipedia est vraiment mauvais, que ce soit en anglais ou en
fran¸cais.
– L’article «Atome »est lui excellent et tr`es complet.
– Sur les niveaux d’´energie, voir le cours de Berkely, Ch. 3.
– Sur les ondes de De Broglie, voir le cours de Berkely, Ch. 5.
– Voir aussi les r´ef´erences g´en´erales indiqu´ees plus haut.
De mˆeme qu’avec les photons, des exp´eriences d’interf´erences ont ´et´e r´ealis´ees avec des ´electrons
passant un par un dans le dispositif. Vous trouverez des films comment´es aux URL suivantes :
•https://www.youtube.com/watch?v=zc-iyjpzzGQ
Semble ˆetre un document d’´epoque, sur une des premi`eres exp´eriences d’interf´erences d’´elec-
trons un par un. Tr`es clair et permettant de voir le dispositif exp´erimental.
•https://www.youtube.com/watch?v=ZJ-0PBRuthc
Un film classique propos´e par des chercheurs de la firme Hitachi. En tant que tel, c’est un peu
abstrait mais tr`es convaincant.
La conception de De Broglie conduit `a d´ecrire les particules ´el´ementaires par une fonction d’onde
Ψ(r, t). Le fait que les figures d’interf´erences puissent se construire ”´electron par ´electron” conduit
`a interpr´eter le module carr´e de la fonction d’onde, |Ψ(r, t)|2comme une densit´e de probabilit´e de
pr´esence de la particule dans un ´el´ement de volume d3rcentr´e autour du point r. L’´evolution dans
le temps de la fonction d’onde est donn´ee par l’´equation de Schr¨ odinger. Ces points sont d´evelopp´es
dans l’exercice 3.
2. Il est int´eressant de noter que la premi`ere exp´erience d’interf´erence en lumi`ere tr`es faible fut faite par
Taylor en 1909, soit avant qu’Einstein ait propos´e le concept de photon. Voir Berkeley p. 169.
2

2 Ordres de grandeur
a) Calculer (en eV) l’´energie associ´ee `a la raie jaune du Sodium, de longueur d’onde 589 nm.
b) Les rayons X ont des longueurs d’ondes entre 0.01 nm et 10 nm. Calculer les ´energies associ´ees,
en eV.
c) On consid`ere la d´esint´egration d’une paire ´electron/positron, initialement au repos dans le r´ef´e-
rentiel du laboratoire. Pourquoi cette d´esint´egration donne-t-elle au moins deux photons ?
Dans le cas o`u le produit de la d´esint´egration est une paire de photons, auront-il la mˆeme longueur
d’onde ?
Calculer cette longueur d’onde.
3 Equation de Schr¨ odinger : Introduction
Dans cette approche introductive, nous consid´erons une particule isol´ee de masse m. Nous restons
aussi dans le cadre non relativiste, qui est le domaine de validit´e de l’´equation de Schr¨ odinger.
a) Rappeler la relation entre l’´energie Ede la particule et sa quantit´e de mouvement p.
b) En d´eduire la relation de dispersion ω(k) de l’onde de De Broglie qui lui correspond, de pulsation
ωet de nombre d’onde k.
c) On associe `a l’onde de De Broglie une fonction d’onde Ψ(r, t), a priori complexe, dont le module
carr´e |Ψ(r, t)|2mesure la densit´e de probabilit´e de pr´esence de la particule. Proposer une ´equation
aux d´eriv´ees partielles lin´eaires donnant lieu `a la relation de dispersion pr´ec´edente.
d) Plus g´en´eralement, une particule sera d´ecrite par un paquet d’onde, obtenu comme une superpo-
sition d’ondes planes :
Ψ(x, t) = 1
√2π
∞
Z
−∞
A(k)ei[kx−ω(k)t]dk(1)
On fait l’hypoth`ese que l’amplitude A(k) est nulle hors d’un intervalle [k0−∆k, k0+ ∆k], avec
∆kk0. En d´eduire qu’`a l’ordre le plus bas en ∆kle paquet d’onde se propage sans d´eformation
`a la vitesse ω0(k0). Commenter.
e) Exprimer cette vitesse en fonction de la quantit´e de mouvement pde la particule. Commenter.
f) On suppose que A(k) = A0o`u A0est une constante, `a priori complexe, dans l’intervalle [k0−
∆k, k0+ ∆k], et A(k) = 0 en dehors de cet intervalle. Calculer Ψ(x, t) sous les mˆemes hypoth`eses
qu’aux questions pr´ec´edentes.
Montrer qu’il est possible de d´efinir une largeur ∆xpour la fonction d’onde. Montrer ∆x∆k∼π.
Commenter.
g) Que vaut
∞
R
−∞ |Ψ(r, t)|2dx? En d´eduire la valeur de la constante A0. On donne
∞
Z
−∞
sin2x
x2dx=π. (2)
3

4 Equation de Schr¨ odinger : ´ Etats stationnaires
4.1 Introduction
Dans cet exercice, on s’int´eresse au mouvement unidimensionnel, suivant l’axe Ox, d’une particule
de masse mdans un potentiel V(x). L’´equation de Schr¨ odinger s’´ecrit donc
i~∂Ψ(x, t)
∂t =−~2 2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2+V(x)Ψ(x, t).(3)
Nous allons chercher des ´etats stationnaires d’´energie Ebien d´efinie. Conform´ement `a l’image donn´ee
par les ondes de De Broglie, la fonction d’onde a une fr´equence bien d´efinie, et peut s’´ecrire
Ψ(x, t) = ψ(x)e−iEt/~.(4)
On posera par la suite
E=~2
2mε, V (x) = ~2 2mU(x).(5)
a) ´ Ecrire l’´equation v´erifi´ee par ψ(x), et montrer que cette ´equation est r´eelle. Dans la suite on
prendra pour ψ(x) une fonction r´eelle.
b) Quelle(s) condition(s) aux limites doit-on appliquer `a la fonction ψ(x) et `a sa (ou ses) d´eriv´ees `a
une discontinuit´e de potentiel ?
4.2 Niveaux d’´energie
Nous consid´erons dans cet exercice un puit carr´e, sch´ematis´e dans la Fig. 1. On a donc U(x) = U2
si x∈[−a, a] et U(x) = U1> U2si xest en dehors de cet intervalle. On se limite `a l’´etude du seul
cas U2< ε < U1.
x
VHxL
Figure 1 –
a) Quelles sont les conditions aux limites en x→ ±∞?
b) D´eterminer la forme g´en´erale de la fonction d’onde ψ(x) dans les trois r´egions x≤ −a,−a≤x≤a
et a≤x.
c) On pose
K=pU1−U2, ξ =rε−U2
U1−U2
.(6)
Quelle est la dimension physique de K? Quel est le domaine de variation de ξ?
d) Montrer que seul un nombre fini d’´energies discr`etes εsont possibles, et proposer une m´ethode
graphique pour les d´eterminer.
e) Comparer le comportement de la particule quantique `a celui d’une particule classique de mˆeme
masse, dans le mˆeme puit de potentiel.
4

4.3 Effet tunnel
On consid`ere maintenant une barri`ere de potentiel carr´ee, sch´ematis´ee dans la Fig. 2. Le potentiel
est U(x) = U0>0 si 0 ≤x≤aet U(x) = 0 en dehors de cet intervalle.
x
VHxL
Figure 2 –
On se limite au seul cas ε<U0. La particule est d´ecrite comme une onde plane issue de x→ −∞,
se propageant vers la droite.
a) ´ Ecrire la forme g´en´erale de la fonction d’onde ψ(x) dans les trois r´egions x≤0, x≥aet 0 ≤x≤a.
On pourra introduire dans la r´egion x≤0 un coefficient de r´eflexion en amplitude ret dans la
r´egion x≥aun coefficient de transmission en amplitude t.
b) Calculer le coefficient de transmission de la barri`ere, d´efini par T=|t|2.
c) Que pensez vous des limites a→ ∞ et U0→ ∞?
d) Comparer le comportement de la particule quantique `a celui d’une particule classique.
5