Parametres descriptifs

17/10/2016
1
Mathématique et Biostatistique
Année académique 2016-2017 1
Paramètres descriptifs
Cours VETE0432-1
Mathématique et Biostatistique
Année académique 2016-2017 2
Comment représenter les variables
aléatoires (données) ?
Représentation synthétique
– Tables de fréquences
Représentation graphique
– Diagrammes de fréquences
Paramètres descriptifs
– Position
– Dispersion
– Aplatissement, asymétrie, …
Mathématique et Biostatistique
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Quels sont les paramètres
descriptifs de la position ?
Le plus connu est certainement
la moyenne arithmétique
Pour des données simples:
Exemple: jets d’un dé: 1 4 6 6 3 5 2 5 4 3
=> m = (1 + 4 + … + 3) / 10 = 3.9
n
X
Xm
ii
∑
==
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Quels sont les paramètres
descriptifs de la position ?
Une interprétation de la moyenne arithmétique
– Chaque donnée est pondérée dans la somme par sa
fréquence relative (un estimateur de la probabilité) dans
l’échantillon.
∑
∑
==
ii
ii
n
X
n
X
X1 *

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Mathématique et Biostatistique
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Est-ce la vraie moyenne de X ?
Dans cet exemple, on pourrait calculer la vraie
moyenne de X (moyenne population):
µ= (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5
La moyenne calculée (m= 3.9) n’est qu’une
estimation basée sur un échantillon de la
moyenne réelle (µ= 3.5).
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Pourquoi ne pas toujours calculer
la vraie moyenne de X ?
µne peut être calculée que si toutes les valeurs de X
et les probabilités associées sont connues.
Rappel: distributions = fonctions qui associent à
chaque valeur de x la probabilité correspondante
Exemple: si je jette 2 dés et que j’additionne les
points obtenus, combien vais-je obtenir
en moyenne ?
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Pourquoi ne pas toujours calculer
la vraie moyenne de X ?
A) Approche approximative (échantillonnage)
–Je répète n fois (p.e. n = 20) fois l’expérience, et je calcule
la moyenne arithmétique des valeurs obtenues
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Pourquoi ne pas toujours calculer
la vraie moyenne de X ?
B) Approche exacte (population)
– Je calcule la probabilité associée à chaque situation et je
calcule la moyenne en considérant que chaque valeur est
représentée avec une fréquence relative égale à la
probabilité d’obtenir cette valeur
P[(1;1)] = P[(1;2)] = … = P[(6;6)] = 1/36
P(S=0) = P(S=1) = P(S>12) = 0
P(S=2) = P[(1;1)] = 1/36
P(S=3) = P[(1;2) ou (2;1)] = P[(1;2)] + P[(2;1)] = 2/36
…

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Pourquoi ne pas toujours calculer
la vraie moyenne de X ?
B) Approche exacte (population): suite
X
P (*1/36)
2 3 4 5 76 8 9 10 11 12
2 3 4 5 61 12345
P*X (*1/36) 6 12 20 30 422 1222303640
µ = ΣPi*Xi= 252/36 = 7
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Pourquoi ne pas toujours calculer
la vraie moyenne de X ?
Conclusion: on ne calculera la vraie moyenne qu’à
condition de disposer de toutes les valeurs de X et
des probabilités associées. On fera alors:
La vraie moyenne est appelée:
espérance mathématique.
(
)
i
ii
XX πµ *
∑
=
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Quel est le lien entre µet m?
Si on considère que chaque donnée de l’échantillon
a la même probabilité (soit, 1/n), les deux
formulations sont identiques:
La fréquence (1/n) d’une valeur Xidans l’échantillon
estime la probabilité Pr(Xi) de cette valeur dans la
population.
( )
i
ii ii
XX
n
XX Pr*
1
*
∑∑
==
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Peut-on généraliser cette idée à
d’autres situations ?
Exemple I: Dans une population de poissons, il y a
20% de poissons blancs et 80% de poissons d’autres
couleurs. On mesure 6 poissons, avec les résultats ci-
dessous. Quelle est la taille moyenne dans cette
espèce ?
25 cm 29 cm
32 cm
34 cm
34 cm29 cm

17/10/2016
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Mathématique et Biostatistique
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Peut-on généraliser cette idée à
d’autres situations ?
Solution I: Les poissons colorés doivent avoir une
pondération 4 fois plus élevée que les blancs
puisqu’ils représentent 4 fois plus d’individus. On peut
attribuer explicitement ces pondérations, et
remplacer les probabilités par ces pondérations
standardisés:
∑
∑∑
==
i
i
iii ii
W
W
XwXX **
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Peut-on généraliser cette
idée à d’autres situations ?
Solution I:
Une telle moyenne est une moyenne pondérée
∑
=
=
n
ii
p
1
1
n
pi1 =
n
pi1 ≠
Non pondérée Pondérée
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Peut-on généraliser cette
idée à d’autres situations ?
Solution I: dans notre exemple, on a:
w1= w4= w5
w2= w3= w6
w2= 4*w1
w1+ w2+ w3+ w4+ w5+ w6= 1
dont la solution est:
w1= w4= w5= 1/15
w2= w3= w6= 4/15
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Peut-on généraliser cette
idée à d’autres situations ?
Solution I: ce qui conduit à:
mp= (25 + 29 + 29 + 4*32 + 4*34 + 4*34)/15
= 32.20 cm
= (0.8 * Xc) + (0.2 * Xb)
Cette moyenne pondérée est donc calculée sur les
données disponibles et tient compte de la
connaissance qu’on a de la structure de la
population

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Mathématique et Biostatistique
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Peut-on généraliser cette idée à
d’autres situations ?
Exemple II: Moyenne pour un étudiant de 1BMV ?
Cours
Anglais
Biologie
Chimie
Note
15
16
13
Physique
Stat
12
14
Poids
20/110
20/110
20/110
20/110
20/110
Note P
2.73
2.91
2.36
2.18
2.55
14.09
Moy.
Anim et Soc 15 10/110 1.36
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Peut-on généraliser cette idée à
d’autres situations ?
Exemple III: Des individus ont été répartis par classe,
d’après leurs mesures. Que vaut le poids moyen ?
Classe
0 à 10
10 à 20
20 à 30
30 à 40
Xi
5
15
25
35
fi
8
20
22
5
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Peut-on généraliser cette idée à
d’autres situations ?
Solution III: chaque valeur de Xi peut être pondérée
par sa fréquence relative (qui estime la probabilité) =
moyenne de données groupées
Classe
0 à 10
10 à 20
20 à 30
30 à 40
Xi
5
15
25
35
fi
8
20
22
5
∑
∑∑
==
i
i
iii ii
f
f
XfrXX **
X = 19.364
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Y a-t-il d’autres paramètres
descriptifs de la position ?
Oui. Il existe plusieurs types de moyennes, ainsi que
d’autres types de paramètres:
Moyenne géométrique (problèmes multiplicatifs):
Exemple: Accroissements successifs d’une population
sur 3 années (10%, 15%, 23%).
n
n
iig
XX
∏
=
=
1