« Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science

« Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si
elle ne peut être démontrée mathématiquement. » Léonard de Vinci
MATHEMATIQUES
Les mathématiques revêtaient un caractère particulier chez Léonard de Vinci puisque cette
discipline était le ferment de toutes les autres. Le recours insistant aux procédés mathématiques
était une garantie de rationalité et l'unique moyen de s'assurer des principes stables dans les deux
domaines de prédilection où Léonard entendit se « réaliser », la peinture et la mécanique.
C'est Léonard de Vinci qui introduisit les mathématiques dans l'art, notamment à travers le nombre
d'or φ (rapport d'harmonie) et l'effet de perspective qui était jusqu'alors très mal maîtrisé.
Le nombre d’Or φ (lettre grecque qui se lit « phi »)
Son écriture décimale est infinie comme pour le nombre  ; une valeur approchée de φ est 1,618.
On connaissait déjà ce nombre dans l’architecture. A partir de ce nombre, ont été construits la
pyramide de Chéops, le temple de Salomon, le Parthénon, et la plupart des églises romanes.
En Egypte par exemple, coïncidence ou volonté d'y
parvenir, le rapport de la hauteur de la pyramide de
Khéops (mesurée par Thalès de Milet (-624 ; -548)) par sa
demi-base est égal au nombre d'or.
La façade du Parthénon s'inscrit dans un rectangle d'or
montré sur le dessin ci-contre, c'est-à-dire tel que le
rapport de la longueur sur la hauteur était égal au nombre
d'or. Cette proportion « flatte » l’œil.
A l’époque de Léonard de Vinci, beaucoup de tableaux de la Renaissance respectent eux aussi cette
proportion.
Ce nombre n'est pas qu'un produit de l'imagination humaine, il se vérifie aussi dans la nature.
C'est par exemple, le rapport d'écartement entre les feuilles des arbres fixées sur une tige, afin
d'éviter que, mutuellement, elles ne se fassent de l'ombre.
On retrouve également le nombre d'or dans le corps humain :
Dans le fameux dessin de Léonard de Vinci (l'homme de Vitruve) , l’homme
aux bras écartés s'inscrit à la fois dans un cercle et dans un carré.
Sur cet homme parfait, Léonard de Vinci a montré que les proportions de
l'homme "idéal" respectaient le rapport du nombre d'or : 1.618.....
Par exemple, le nombril divise le corps humain suivant le nombre d’or, en effet le rapport de la
hauteur totale du corps humain à la hauteur du nombril est égal au nombre d’or.

Construction d’un rectangle d’Or
ABCD est un carré.
Place K au milieu du segment [AD].
Trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC];
il coupe la demi-droite [AD) en E.
On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
ABFE est un rectangle d'or.
Triangle d’Or et triangle d’Argent
Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du
nombre d'or. Leurs angles à la base doivent mesurer 36°ou 72°.
Le triangle d’Or a ses deux angles à la base qui
mesurent 72° (et le 3ème mesure 36°).
Il y a un deuxième triangle d'or appelé triangle
d'Argent dont les deux angles à la base
mesurent 36° (et le 3ème mesure alors 108°).
A toi de jouer avec ces triangles :
Sur une feuille, à l’aide tes outils de géométrie, reproduis 3 triangles d’or et 3 triangles d’argent.
Construis et colle les deux puzzles décrits ci-dessous :
En juxtaposant un triangle d’or et un triangle
d’argent, crée un nouveau triangle d’argent.
Complète ton puzzle avec un 2ème triangle d’or et tu
obtiens à nouveau un triangle d’or.
En juxtaposant un triangle d’or et deux triangles
d’argent, crée un pentagone régulier.
On peut ainsi créer de multiples pavages.

doc prof
Le rectangle d'or
Un rectangle est appelé rectangle d'or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au
nombre d'or.
Construction
Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu
d'un côté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la
droite passant par le côté du carré pointé. Ceci est un des "secrets" de compagnonnage.
 ABCD est un carré de côté 1.
 K est le milieu du segment [AD].
 On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E.
 On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
 ABFE est un rectangle d'or.
Avec cette technique, il vous est possible de définir les proportions d'un mur, d'un cadre, de toute
sorte d'objets rectangulaires. Par exemple, vous souhaitez créer un cadre (pour une peinture) selon la
proportion divine. Il vous faudra tout simplement décider d'une des longueurs de celui-ci, puis
d'utiliser la technique précédente (avec la longueur, formez un carré, prenez le milieu d'un segment...)
afin d'avoir un rectangle d'or. Pour calculer la longueur de L, il faut juste multiplier un côté du carré
par le côté du rectangle et diviser par 2.
La spirale d'or
Prenez un rectangle d'or (L/l = φ). Enlevez-lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le rectangle
restant est un rectangle d'or! On peut ainsi continuer l'opération à l'infini. Et si maintenant on
souhaite relier les côtés opposés des carrés, on obtient une spirale logarithmique, dite spirale d'or.

doc prof
Le triangle d'or
Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre
d'or. Leurs angles doivent mesurer 36° et 72°.
Le triangle d’Or a ses angles à la base qui mesurent 72° (et donc le 3ème angle mesure 36°).
Il y a un deuxième triangle d'or appelé triangle d'Argent dont les angles à la base mesurent 36°.
avec BC = BD
AB / BC = φ, le triangle ABC est appelé Triangle d'or.
AB / BD = φ, le triangle ABD est appelé Triangle d'argent.
Le triangle d'or a aussi la particularité (comme toutes les proportions divines) de pouvoir se répliquer
à l'infini:
NB : contrairement à  , le nombre d’or φ a une valeur exacte : 
.