Chapitre 2.7 – Le potentiel électrique et les conducteurs

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 2.7 – Le potentiel électrique et les conducteurs
Le potentiel dans un conducteur en équilibre électrostatique
Nous savons que le champ électrique
E
v
à l’intérieur
d’un conducteur est toujours nul à l’équilibre
électrostatique, car les électrons se déplacent à l’intérieur
du conducteur sous l’effet du champ électrique extérieur
ext
E
v
pour réduire à zéro le champ électrique à l’intérieur
du conducteur
int
E
v
.
Puisque c’est en se déplaçant dans un champ électrique
E
v
qui fait varier le potentiel électrique V
∆
, on peut
affirmer que le potentiel électrique est constant en tout
point à l’intérieur d’un conducteur.
ext
E
v
0
int
=E
v
Variation du potentiel
électrique :
∫
⋅−=∆ sEV
v
v
d
Ainsi :
Le potentiel électrique est toujours uniforme à la surface et à l’intérieur d’un
conducteur idéal .
La surface d’un conducteur est toujours une équipotentielle .
Situation X
:
Le potentiel d’une sphère conductrice chargée positivement
.
Une sphère
conductrice de 10 cm de rayon porte une charge de +2 nC. On désire tracer le graphique
du potentiel V(r) généré par la sphère en fonction de la distance r à partir du centre de la
sphère à l’équilibre électrostatique.
Évaluons le potentiel électrique à l’extérieur de la sphère :
o
∞
=
r
: 0
=
∞=r
V
o 1,0
≥
>
∞
r :
r
Q
kV =
o 1,0
=
r : ( )
(
)
( )
VV
r
180
1,0
102
109
9
9
1,0
=
×
×=
−
=
V (V)
r
(m)
0,1
0,2
0,3
200
150
100
50
0
Puisque le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre
électrostatique, il n’y a pas de variation du potentiel entre 1,00
≤
<
x :
o 1,00
≤
<
r : VVr 180
1,0
=
≤
V (V)
r
(m)
0,1
0,2
0,3
200
150
100
50
0

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 1
:
Le potentiel d’une sphère conductrice chargée. Une
sphère conductrice de 20 cm de rayon porte une charge de -4 nC. On
désire tracer le graphique du potentiel V ( r ) généré par la sphère en
fonction de la distance r à partir du centre de la sphère à l’équilibre
électrostatique.
r
Évaluons le potentiel électrique à l’extérieur de la sphère :
o
∞
=
r
: 0
=
∞=r
V
o 2,0
≥
>
∞
r :
r
Q
kV =
o 2,0
=
r : ( )
(
)
( )
VV
r
180
2,0
104
109
9
9
2,0
−=
×−
×=
−
=
V (V)
r (m )
0,2
0 ,4
0,6
0
–60
–
90
– 180
Puisque le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre
électrostatique, il n’y a pas de variation du potentiel entre 2,00
≤
<
x :
o 2,00
≤
<
r : VVr 180
2,0
−=
≤
V (V)
r (m )
0,2
0 ,4
0,6
0
–60
–
90
– 180
Situation 2
:
Une sphère chargée au centre d’une coquille chargée
.
Une coquille
conductrice sphérique dont le rayon interne est égal à 20 cm et le rayon externe est égal à
30 cm porte une charge de -9 nC. Au centre de la coquille se trouve une sphère conductrice
de 10 cm de rayon qui porte une charge de 4 nC. On désire tracer le graphique du potentiel
électrique en fonction de r . (L’axe r est un axe radial dont l’origine coïncide avec le centre
de la sphère.)
Voici la représentation du champ électrique l’équilibre électrostatique en ligne de champ
(1 ligne/nC) et de la répartition des charges électrique sur les surfaces des conducteurs :
Ligne de champ électrique Répartition des charges électriques
r
10 cm
20 cm
30 cm
Vue en coupe
10 cm
20 cm
30 cm
Vue en
coupe
C
B
A
i
ii
iii
iv
4 nC
–
4 nC
–
5 nC

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Évaluons le potentiel électrique de chaque surface A, B et C séparément à l’extérieur de la
sphère, à la surface et à l’intérieur de la surface comme si les autres surfaces n’existaient
pas. Il est important de rappeler que le champ électrique à l’intérieur d’une sphère
uniformément chargé est nul .
Pour A :
r
Q
kV
A
A
= (potentiel d’une charge ponctuelle)
1,0
≥
>
∞
x : ( )
(
)
r
r
V
36104
109
9
9
A
=
×
×=
−
1,0
=
x : ( )
(
)
( )
V360
1,0
104
109
9
9
A
=
×
×=
−
V
1,00
<
<
x : V360
A
= V ( 0
A
=E à l’intérieur)
( )
∞≤≤
≤<
=
rr
rV
1,0/36
0,1r0V360
A
Pour B :
r
Q
kV
B
B
= (potentiel d’une charge ponctuelle)
2,0
≥
>
∞
x : ( )
(
)
r
r
V
36104
109
9
9
B
−
=
×−
×=
−
2,0
=
x : ( )
(
)
( )
V180
2,0
104
109
9
9
B
−=
×−
×=
−
V
2,00
<
<
x : V180
B
−= V ( 0
B
=E à l’intérieur)
( )
∞≤≤−
≤<−
=
rr
rV
2,0/36
0,2r0V180
B
Pour C :
r
Q
kV
C
C
= (potentiel d’une charge ponctuelle)
3,0
≥
>
∞
x : ( )
(
)
r
r
V
45105
109
9
9
C
−
=
×−
×=
−
3,0
=
x : ( )
(
)
( )
V150
3,0
105
109
9
9
C
−=
×−
×=
−
V
3,00
<
<
x : V150
C
−= V ( 0
C
= E à l’intérieur)
( )
∞≤≤−
≤<−
=
rr
rV
3,0/36
0,3r0V150
C
Appliquons le principe de superposition aux potentiels
A
V ,
B
V et
C
V évalués dans les
quatre régions i, ii, iii et iv :
Avec :
CBA
VVVV ++=
(i) 1,00
≤
<
x :
(
)
(
)
(
)
V30150180360 =−+−+= V
(ii) 2,01,0
≤
<
x :
(
)
(
)
(
)
330/36150180/36 −=−+−+= rrV
(iii) 3,02,0
≤
<
x :
(
)
(
)
(
)
V150150/36/36 −=−+−+= rrV
(iv)
∞
<
≤
x 3,0 :
(
)
(
)
(
)
rrrrV /45/45/36/36 −=−+−+=
V (V)
r (m)
0,1
0,2
0,3
0
30
–
90
–150
0,4
0,5
i ii iii iv

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L’effet de pointe
À l’équilibre électrostatique, un surplus de charges se trouvant dans un conducteur se
répartissent à la surface de celui-ci afin de produire un champ électrique nul à
l’intérieur du conducteur ce qui permet à la surface de devenir une équipotentiel
électrique .
Lorsque l’objet est une sphère, les charges sont
uniformément réparties à la surface de la sphère et la
densité surfacique
σ
de charges est constante tel
qu’illustré sur le schéma ci-contre.
Pour un conducteur de forme quelconque, les charges se
répartissent à la surface de façon non homogène. Afin
de produire un champ électrique nul à l’intérieur du
conducteur, les charges doivent être plus concentrées
dans les régions du conducteur où la courbure locale
est plus prononcée (là où il y a des pointes) tel
qu’illustré sur le schéma ci-contre.
Puisqu’il y a plus de lignes de champ qui sont émises
aux pointes, le module du champ électrique à l’extérieur
du conducteur près de ces zones est plus élevé.
On donne le nom d’effet de point à ce phénomène.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
σ
0
int
=E
v
r
r
Q
kE ˆ
2
=
v
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
fortE
v
0
int
=E
v
faible E
v
Situation 3 : Le potentiel de deux sphères
conductrices reliées entre elles. Une sphère
conductrice A de 20 cm de rayon est reliée par un
mince fil conducteur à une sphère conductrice B de 10
cm de rayon afin de former un seul objet conducteur.
On donne à l’objet une charge de 15 nC. On désire
déterminer (a) le potentiel à la surface de l’objet, (b) la
charge qui se trouve sur chacune des sphères ainsi que
(c) la densité surfacique de charge pour chacune des
sphères.
A B
cm20
A
= r
cm10
B
= r
On suppose que le fil reliant la sphère A et B est
très long et qu’il possède une capacité nulle
(il n’accumule pas de charge).
Puisque le fil est très mince, on peut supposer qu’il n’y aura pas d’accumulation de charges
sur celui-ci ce qui fait en sorte que la charge totale va se répartir sur les deux sphères :
C1015
9
BAtot
−
×=+= QQQ

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Il est important de remarquer que la charge totale ne sera pas répartie uniformément. La
répartition des charges va s’effectuer afin d’obtenir un potentiel électrique identique à la
surface des deux sphères puisque les sphères sont conductrices et qu’elles sont reliées par
un fil conducteur :
BA
QQ ≠
Puisque le potentiel électrique généré par une sphère uniformément chargée est équivalent à
celui d’une charge ponctuelle, évaluons l’expression du potentiel électrique de chaque
sphère afin de déterminer la charge électrique sur chacune :
BA
VV =
⇒
B
B
A
A
r
Q
k
r
Q
k= (Potentiel charge ponctuelle :
r
Q
kV =)
⇒
B
B
A
A
r
Q
r
Q=
(Simplifier k )
⇒
(
)
B
Atot
A
A
r
QQ
r
Q−
= (Remplacer
AtotB
QQQ −= )
⇒
B
A
B
tot
A
A
r
Q
r
Q
r
Q−=
(Développer la fraction)
⇒
B
tot
B
A
A
A
r
Q
r
Q
r
Q=+
(Isoler termes en
A
Q )
⇒
B
tot
BA
A
11
r
Q
rr
Q=
+
(Factorier
A
Q )
⇒
B
tot
BA
AB
A
r
Q
rr
rr
Q=
+
(Dénominateur commun)
⇒
AB
totA
A
rr
Qr
Q+ = (Isoler
A
Q et simplifier
B
r )
⇒
(
)
(
)
( ) ( ) 2,01,0
10152,0
9
A
+
×
=
−
Q (Remplacer valeurs numériques)
⇒
C1010
9
A
−
×= Q
(b) (Évaluer
A
Q )
Nous pouvons maintenant évaluer la charge sur la sphère B :
BAtot
QQQ +=
⇒
(
)
(
)
B
99
10101015 Q +×=×
−−
(Remplacer valeurs numériques)
⇒
C105
9
B
−
×= Q
(b) (Évaluer
B
Q )