Forces électromagnétiques Les points du cours à connaître
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physique année scolaire 2016/2017 Forces électromagnétiques Les points du cours à connaître mardi 24 janvier 2017 I- Force et énergie électromagnétiques 1. Force de Lorentz appliquée sur une charge Force de Lorentz : (dénition) Energie potentielle électrostatique : (dénition) 2. Propriétés du champ électromagnétique Changement de référentiel pour le champ électromagnétique : (dénition) 3. Force et énergie électromagnétiques volumiques Densité volumique de force (dénition) Densité volumique de puissance : (dénition) Densité volumique d'énergie électromagnétique (dénition) II- Conducteurs ohmiques en régime permanent 1. Loi d'Ohm Loi d'Ohm locale (dénition) 2. Eet Joule 3. Eet Hall spé PC page n◦ 1 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 Techniques à maîtriser jeudi 26 janvier 2017 I- Les capacités exigibles 1. Mouvements de particules chargées ce qu'il faut savoir faire capacités Évaluer les ordres de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à ceux des forces gravitationnelles. Savoir qu'un champ électrique peut modier l'énergie cinétique d'une particule alors qu'un champ magnétique peut courber la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule. Mettre en équation le mouvement dans un champ électrostatique homogène ou un champ magnétostatique homogène. Eectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d'une particule chargée accélérée par une diérence de potentiel. 2. Forces volumiques ce qu'il faut savoir faire capacités v Déduire du modèle (force −m~ τ ) un ordre de grandeur de τ et en déduire un critère de validité du modèle en régime variable. Déduire du modèle un ordre de grandeur de v et en déduire un critère pour savoir s'il convient de prendre en compte un éventuel champ magnétique. Interpréter qualitativement l'eet Hall dans une géométrie rectangulaire. Exprimer la puissance volumique dissipée par eet Joule dans un conducteur ohmique. II- Méthodes 1. Mouvements de particules chargées A) Mouvements de particules chargées méthode ~ , tout se passe comme dans le cas de la chute libre. Pour les mouvement dans un champ E ~ Pour les mouvement dans un champ B , il faut utiliser le théorème de l'énergie cinétique et le repère de Frénet. ~ et un champ B ~ , il faut se placer dans le référentiel où le champ Pour les mouvement dans un champ E ~ E est nul. 2. Forces volumiques B) Interaction dans un conducteur ohmique méthode On prend comme système un électron. Il subit : • l'action de l'agitation thermique et des défauts du réseau xe (les ions) sous la forme d'une force v phénoménologique de la forme −m~ où τ est le temps caractéristique de relaxation des électrons ; τ ~ − e~v ∧ B ~. • l'action du champ électromagnétique sous la forme de la force de Lorentz : −eE spé PC page n◦ 2 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 • le poids est négligeable. La densité volumique de courant peut s'écrire ~j = ne (−e) ~ve . III- Exercices 1. Mouvements de particules chargées 1.1) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme et homogène On considère une particule chargée (de charge q , de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du repère (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy . 1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ électrique homogène et permanent E~ = E0 .~uy ; Il s'agit de l'équation d'une parabole : y = q.E0 2 2 x 2.m.v0x + . v0y v0x x 1.2) Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme et homogène On considère une particule chargée (de charge q , de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du repère (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy . 1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ magnétique homogène et permanent B~ = B0 .~ux ; Le mouvement total est un mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique. 1.3) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique et un champ magnétostatique uniformes et homogènes et orthogonaux On considère une particule chargée (de charge q , de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du repère (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy . 1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à : un champ électromagnétique homogène et permanent ~ ~ = B0 .~ux . E = E0 .~uy et B Mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, conjugué à une vitesse de dérive). 1.4) Cyclotron de Lawrence Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L'appareil avait un rayon R = 14cm et communiquait à des protons (de charge e = 1, 6.10−19 C et de masse m = 1, 67.10−27 kg ) une énergie cinétique Ec = 1, 2M eV . La diérence de potentiel était ∆V = 4000V au moment du passage du faisceau entre les dees. 1) Quelles étaient : 1.a) la vitesse maximum des protons ? 1.b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ? 1.c) la fréquence du champ accélérateur ? 1.d) le nombre de tours décrits par les protons ? 1.e) le champ magnétique ? 1) On détermine : 1.a) la vitesse maximum : vmax = 1, 52.107 m.s−1 1.b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser : U = 1, 2M V 1.c) la fréquence du champ accélérateur : f = 17, 3M Hz 1.d) le nombre de tours décrits par les protons : n = 150tours 1.e) le champ magnétique : B = 1, 13T . spé PC page n◦ 3 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 1.5) Expérience de J.J.Thomson (1897) 1) Un faisceau d'électrons homocinétiques de vitesse ~v = v0 .~uz est détecté sur un écran (plan xOy) en O. Il transite dans une zone Z qui a une taille a le long de l'axe Oz , petite devant la distance D entre l'écran et Z . 1.a) Déterminer le temps ∆t pendant lequel le faisceau transite dans Z . 2) On dévie ce faisceau d'électrons à l'aide d'un champ électrique E~ = −E0 .~uy règnant dans Z , uniforme et indépendant du temps, et on mesure la déviation y du spot sur l'écran. 2.a) Déterminer la projection de la vitesse ∆vy suivant ~uy des électrons au sortir de Z , en fonction de y , D et v0 . 2.b) De même, déterminer ∆vy en fonction de me , E0 et ∆t. 3) Enn, on établit en plus dans Z un champ magnétique B~ = B0 .~ux , uniforme et indépendant du temps. On règle la valeur de B0 de manière à ce que le spot soit ramené en O. 3.a) Exprimer alors l'expression de B0 en fonction de E0 et v0 . 3.b) En déduire l'expression de la charge massique me de l'électron en fonction des grandeurs intervenant dans l'expérience : y , a, D, B0 et E0 . 1) Transit dans Z 1.a) ∆t = va . 2) Champ électrique E~ = −E0 .~uy : 2.a) ∆vy = y.v D . 2.b) ∆vy = me E0 .∆t. 3) Champ magnétique B~ = B0 .~ux et champ électrique E~ = −E0 .~uy : 3.a) B0 = Ev . 3.b) En remplaçant, on trouve : 0 0 0 0 e y.E0 = m D.a.B02 1.6) Spectrographe de Bainbridge Dans le spectrographe de Bainbridge, les ions de masse m et de charge q sortant d'un ioniseur sont préalablement accélérés sous une tension de valeur absolue U = 10kV qui leur impose une vitesse ~v = v0 .~uz . 1) Déterminer la vitesse v0 du cercle décrit par un ion. ~ = B0 .~uy uniforme et Ils pénètrent ensuite en O dans une zone (z > 0) où règne un champ magnétique B indépendant du temps (B0 = 0, 10T ) 2) Déterminer le rayon R du cercle décrit par un ion. 3) Deux isotopes viennent impressionner une plaque photographique dans le plan xOy. 3.a) Déterminer la distance x séparant les traces laissées par sur la plaque. 3.b) Application numérique pour les isotopes 39 K + et 41 K + . 1) v0 = 2.q.U m . m.v 2) R = q.B . 3) Deux isotopes q : √ 2.U √ 3.a) x = 2 q.B m2 − m1 . 3.b) Application numérique : x = 4, 6cm. q 0 0 2 0 1.7) Mesure expérimentale de e m Des électrons (de masse m et de charge −e) préalablement accélérés par une diérence de potentiel u = 2, 5kV , décrivent dans une ampoule où règne un vide poussé une trajectoire circulaire de rayon R = 3, 3cm. Le champ magnétique créé par les bobines de Helmoltz, est quasi uniforme et sa valeur numérique égale à B = 5, 1mT . 1) Exprimer la vitesse v0 des électrons en fonction de m, e et u. 2) Relier le rayon R de la trajectoire des électrons à v0 , m, e et B . 3) En déduire le rapport me en fonction de u, R et B . 4) Comparer à la valeur théorique : e = 1, 6.10−19 C et m = 9, 1.10−31 kg. spé PC page n◦ 4 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 1) v0 = 2.e.u m . 2) R = m.v e.B . 11 −1 3) Expérimentalement : me = R2.u . .B = 1, 77.10 C.kg e 11 −1 4) Théoriquement : m = 1, 76.10 C.kg . q 0 2 2 1.8) Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une ~ fente supposée très ne dans la région yπ> 0 où règne un champ électrique uniforme E = E.~ey . Ce faisceau, dans le plan (xOy ) fait un angle α ∈ 0; 2 avec ~ex . 1) Déterminer l'équation paramétrique du mouvement : 1.a) x(t) ; 1.b) y(t). 2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0. ∆α Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈ α0 − ∆α 2 ; α0 + 2 ). 3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S . 1) Equation paramétrique du mouvement : 1.a) x(t) = v0 . cos(α).t ; 1.b) y(t) = v0 . sin(α).t − e.E.t 2.m . m.v α 2) xs = e.E sin 2 . 3) α0 = π4 . 2 2 0 1.9) Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une ~ = −B.~ez . Ce faisceau, fente supposée très ne dans la région y > 0 où règne un champ magnétique uniforme B dans le plan (xOy ) fait un angle α ∈ ]0; π[ avec ~ex . 1) Déterminer les caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement : 1.a) son rayon R ; 1.b) la position de son centre C . 2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0. ∆α Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈ α0 − ∆α 2 ; α0 + 2 ). 3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S . 1) Caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement : 1.a) R = m.v e.B ; m.v 1.b) xC = R. sin(α) = m.v e.B sin(α) et yC = −R. cos(α) = − e.B 2.m.v 2) xs = e.B sin(α). 3) α0 = π2 . 0 0 0 cos(α). 0 2. Forces volumiques 2.10) Justication microscopique de la loi d'Ohm ~ 0 et subissant de la part des ions On s'intéresse à un électron de vitesse ~v plongé dans un champ électrique E ~ du réseau métallique une force équivalente à une force de frottement uide fi→e = −λ.~v . 1) Déterminer la vitesse ~v. La densité des électrons est ne . 2) Montrer que la densité volumique de courant suit la loi d'Ohm locale. On exprimera la conductivité γ . γ= spé PC n.e2 λ . page n◦ 5 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 2.11) Justication microscopique de l'eet Hall Soit une plaquette conductrice (de conductivité γ , de densité d'électrons n), parallélipipédique, de côté a suivant x, b suivant z et de longueur L selon z . On y fait circuler un courant I , grâce au champ électrique ~ 0 = E0 .~ux . E 1) Déterminer la vitesse moyenne des électrons en fonction de I et des caractéristiques de la plaquette. ~ = B.~uz . On applique un champ magnétique B 2) Montrer qu'en régime stationnaire, existe un champ de Hall E~ H qu'on déterminera en fonction de I et B et des caractéristiques de la plaquette. 3) En déduire alors la tension de Hall UH d'un bord à l'autre de la plaquette. UH = I.B n.e.b . 2.12) Eet Hall dans une plaquette semiconductrice d'arséniure d'indium Une sonde de Hall, à arséniure d'indium (InAs), d'épaisseur b = 1, 0mm suivant (Oz) et a suivant (Oy) est parcourue par un courant I = 15mA suivant (Ox). On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres de charge −e = −1, 6.1019 C , de densité ne . 1) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de I , a, b, ne et e. Plongée dans un champ magnétique B = 66mT suivant (Oz), la plaquette présente une tension de Hall UH = 1, 0mV suivant (Oy). 2) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de UH , a, et B . 3) En déduire le nombre de porteurs de charge ne par unité de volume dans le matériau. Application numérique. ne = 6, 2.1021 m−3 . 2.13) Eet Hall dans une plaquette conductrice de cuivre Une plaquette de cuivre d'épaisseur b = 0, 5mm suivant (Oz) et a = 1, 5cm suivant (Oy) est parcouru, selon (Ox), par un courant I = 60A. On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres de charge −e = −1, 6.1019 C , de densité ne et on donne la conductivité : γ = 58.106 S.m−1 et la constante de Hall du cuivre : AH = ne1.e = −5, 3.10−11 m3 .C −1 . 1) Exprimer le champ électrique Ex assurant la conduction. ~ = B.~ez avec B = 2, 5T . La plaquette de cuivre est maintenant soumise à l'action d'un champ magnétique B 2) Calculer le champ de Hall Ey . 3) Quel est l'angle θ (qu'on exprimera en degré, minute et secondes) que fait le champ électrique total E~ tot avec la direction (Ox) ? Ex = 0, 14V.m−1 , Ey = 1, 1mV.m−1 , θ = 260 . spé PC page n◦ 6 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 Travaux dirigés vendredi 27 janvier 2017 Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés. La vitesse des électrons Le déplacement des électrons dans les ls électriques permet la conduction du courant Enoncé 1) Evaluer l'ordre de grandeur de la vitesse moyenne des électrons dans un l électrique. spé PC page n◦ 7 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 Devoir non surveillé vendredi 27 janvier 2017 Le document est à lire, l'exercice est à rendre. La spectroscopie de masse Disponible à l'adresse "www.icsn.cnrs-gif.fr/IMG/pdf/chapitre2.pdf". Comment fonctionne un spectrographe de masse ? L'information primordiale apportée par la spectrométrie de masse, à savoir la valeur de m/z des particules chargées, découle de l'analyse d'un phénomène unique : la déviation de ces ions par des champs électromagnétiques. C'est d'ailleurs par la mise en évidence de l'eet de champs électriques et magnétiques sur la trajectoire d'un faisceau de particules émises par des dé arges électriques dans un tube à faible pression que Wien pu démontrer, en 1898, leur nature ionique. Avant d'aborder la description des analyseurs de masse dans la suite, une mise au point doit être faite au sujet d'un facteur instrumental important : la résolution. Qu'est-ce que la résolution ? La résolution est la capacité d'un instrument de mesure à distinguer entre eux deux signaux voisins. Plus la résolution est élevée, plus la diérence entre deux signaux distincts est faible sur le paramètre mesuré. En spectrométrie, la résolution correspond également à la nesse des pics. A chacune de ces dénitions correspond un mode de calcul particulier. En considérant le pouvoir séparatif, on peut dénir la résolution en spectrométrie de masse comme le rapport m/∆m où m est la masse d'un ion considéré et ∆m la diérence minimale entre le pic considéré et son voisin le plus proche dont il peut être distingué. Selon cette dénition, un instrument qui est en mesure de distinguer des ions de masses 100 et 100,1 possède une résolution de 100/(100,1 ? 100) = 1000. Analyseur à temps de vol (Time-of-Flight, TOF) Dans son principe, l'analyseur à temps de vol est le plus simple de tous. C'est Dempster (1918) qui, le premier, introduisit l'usage de faisceaux monoénergétiques en appliquant une diérence de potentiel (V0 ) à la sortie de la source d'ions. Cette tension confère une énergie cinétique au faisceau ionique ( 12 m v 2 ) homogénéisée à la valeur z V0 : 1 m v 2 = z V0 (1) 2 Cette simple égalité "contient" le rapport m/z que l'on peut déduire directement de la vitesse v , donc du temps t (temps de vol) que met un ion à franchir une distance xe d. m t2 = 2 V0 2 (2) z d Ainsi, après l'accélération due à V0 , les ions "volent" d'autant plus vite qu'ils sont plus légers. Les analyseurs à temps de vol mesurent donc le temps que mettent les ions à franchir une distance xe. Le temps nal correspond à l'arrivée sur le détecteur, le temps initial t0 étant déterminé de manière diérente selon les appareils et le mode d'ionisation mis en ÷uvre. La qualité du résultat dépend de celle de la mesure de temps très courts (de l'ordre de la microseconde) ce qui explique que cette instrumentation s'est développée parallèlement aux progrès de l'électronique et de l'informatique. Théoriquement, l'analyse par temps de vol ne pose pas de limite à la masse des ions. Par ailleurs, du fait qu'aucun balayage de masse n'est eectué, elle présente l'intérêt de détecter tous les ions produits d'où mie spé PC page n◦ 8 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 très grande sensibilité des expériences. En ce qui concerne la résolution, celle-ci est dénie par la distribution du temps de vol d'une population d'ions de même masse. Diérents facteurs sont susceptibles d'altérer cette résolution, notamment la distribution des énergies cinétiques initiales des ions au sortir de la source et la dispersion angulaire du faisceau ionique. La mise au point de l'extraction retardée, qui consiste à homogénéiser les énergies cinétiques des ions dans la source avant leur injection dans l'analyseur, a grandement amélioré les performances instrumentales. 11 en est de même de l'interposition de miroirs électrostatiques sur le trajet ionique. Ces miroirs, appelés aussi "réectrons" compensent les diérences de vitesse pour une valeur de ni/z donnée en imposant des trajets à parcourir d'autant plus longs que les ions sont plus rapides. Ils permettent aussi de s'aranchir des espèces neutres formées par dissociation métastable qui, en l'absence de réectron, contribuent au signal des espèces ioniques dont elles sont issues et le dégradent. Désormais, les résolutions obtenues sur les instruments à temps de vol modernes peuvent atteindre environ 20000 en routine dans une gamme de masse compatible avec l'utilisation du réectron (m/z < 10 000). Analyseur magnétique La propriété des aimants à dévier les trajectoires ioniques d'abord mise à prot par Thomson (1913) puis par Aston (1919) à des ns d'analyse de matériaux gazeux, ce qui permit à Thomson, après la découverte de l'électron qui lui valut le prix Nobel, de prouver que certains éléments stables pouvaient exister sous diérentes formes isotopiques. Aston construisit ensuite ce qu'il dénit lui-même comme un "spectrographe de masse" (cf. ci-dessous). Sur cet appareil étaient disposés, sur le trajet d'un faisceau issu du tube de décharge, deux fentes nes (S1, S2) puis un champ électrique homogène (P1, P2) et enn, après un diaphragme (D), un champ magnétique sur le plan focal duquel était placée une plaque photographique (plan G-B). L'obtention de raies distinctes pour des corps de masses diérentes se déduisait simplement de l'équation de déviation de particules chargées dans un champ magnétique. Pour une particule de masse m et de charge q , possédant par surcroît une certaine énergie cinétique (Ec = 1/2 m v 2 ), la force centripète due au champ magnétique B et la force centrifuge qui l'équilibre font adopter à la particule incidente une trajectoire circulaire uniforme de rayon r : d'où : qvB = m v2 mv (3) et r = (4) r qB L'architecture choisie par Aston (direction inverse des champs électriques et magnétiques) permettant de réduire la dispersion initiale de la vitesse v des ions issus de la source, y pouvait être considérée comme à peu près constante et donc le rayon de la trajectoire comme directement proportionnel à m/q . L'imposition par Dempster d'une tension d'accélération V0 en sortie de source (voir plus haut) se t sur un instrument qui imposait à la fois le rayon de la trajectoire des ions (r xe sur un demi-cercle de trajectoire) et la valeur du champ magnétique. Des équations (1) et (3) on peut en eet déduire facilement l'égalité suivante : B 2 r2 m = (5) q 2 V0 Par conséquent, en faisant varier le seul potentiel d'accélération V0 , Dempster était en mesure de détecter spé PC page n◦ 9 Janson de Sailly physique année scolaire 2016/2017 sélectivement des espèces de diérentes valeurs de rapport m/q . Cette expérience lui permit, entre autres, de caractériser les isotopes des ions lithium, potassium, magnésium, calcium et cadmium. L'intérêt, évident si l'on considère ce qui précède, de disposer d'un faisceau monoénergétique provient de la capacité à mesurer des valeurs de m/q non plus par la position d'une raie sur une plaque photosensible, avec tous les défauts de résolution que cela peut poser (dispersions en vitesse et en énergie cinétique), mais de calculer, à partir d'une valeur de potentiel variable, les valeurs de m/q qui correspondent à la réception d'un signal. D'une certaine façon, on peut considérer que Dempster a introduit l'idée de réaliser des spectres en balayant des tensions. Qu'il s'agisse de balayages de V0 ou de B , la résolution du signal dépendra du fait que les autres paramètres de l'équation (5) seront réellement constants (c'est à dire avec le minimum de dispersion). C'est la raison pour laquelle on peut faire appel à l'eet des champs électrostatiques sur la trajectoire des particules chargées. Si un ion incident de vitesse v , de masse m, et de charge q , subit l'eet d'un champ électrostatique E , il adoptera une trajectoire circulaire uniforme telle que la force centrifuge équilibre la force centripète : 2 Ec m v2 = qE (6) d'où : E = (7) r0 q r0 En conséquence, l'ajout d'un champ électrostatique sur le trajet ionique joue le rôle de ltre d'énergie cinétique à la condition que r0 demeure constant (on impose r0 par construction du tube de vol). Par ailleurs, si le faisceau ionique est préalablement accéléré par une diérence de potentiel V0 , ce qui est généralement le cas, le paramètre q n'intervient plus dans l'équation. En intégrant l'équation (1) dans l'égalité (5), on obtient en eet : E= 2 V0 (8) r0 L'asservissement de E à V0 permet donc de ltrer des ions de même énergie cinétique et ce, indépendamment de leur charge. Dans certains cas, un champ E a été utilisé pour réaliser des ltres de vitesse (et non plus d'énergie cinétique). Si l'on parvient, en eet, à faire en sorte qu'un champ magnétique s'exerce dans un sens opposé au champ électrostatique, il faudra que leurs forces s'équilibrent pour qu'un faisceau incident ne subisse aucune déviation. C'est le principe du "ltre de Wien" : q v B = q E (9) soit v = E (10) B Dans ce cas, l'imposition d'un rapport E/B particulier permet de dénir la vitesse v des espèces ioniques issues de la source. C'est ce que Bainbridge mis en ÷uvre en 1933 pour obtenir une échelle linéaire des masses en fonction du rayon des trajectoires ioniques, amélioration importante du travail initial d'Aston. Enoncé Démontrer toutes les équations numérotées du document. spé PC page n◦ 10 Janson de Sailly
