TD 2

TD 2 de physique des plasmas
Trajectoires et confinement magnétique
M1 Physique fondamentale 2014-2015
On notera ε
0
et µ
0
la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique absolues du vide,
e et m la charge et la masse de l’électron.
Exercice 1 – Instabilité d’un faisceau d’électrons
On considère un faisceau électronique cylindrique de longueur infinie et de rayon R. On note
n
e
le nombre d’électrons par unité de volume (densité électronique) et
z
eVV ⋅= la vitesse des
électrons. n
e
et V sont uniformes à l’intérieur du faisceau et nulles en dehors. On utilisera un
système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) et on se placera dans le régime non relativiste.
1. Quelle est la densité volumique de charge du faisceau ?
2. En appliquant le théorème de Gauss, calculer le champ électrique à l’intérieur du
faisceau en fonction de r. Faire de même pour r > R.
3. Quelle est la densité volumique de courant du faisceau ?
4. En appliquant le théorème d’Ampère, calculer le champ magnétique à l’intérieur du
faisceau en fonction de r. Faire de même pour r > R.
5. Calculer la somme des forces s’exerçant sur un électron.
6. Pour quelle valeur de V y a-t-il compensation de ces forces ? Commenter ce résultat.
Exercice 2 – Confinement d’un faisceau de particules par champ magnétique
On considère un faisceau cylindrique infini d'électrons de densité homogène et constante n
e
.
On y applique un champ magnétique uniforme B selon l’axe du cylindre Oz. Pour étudier le
mouvement des électrons de ce cylindre, on utilisera la base cartésienne (e
x
, e
y
, e
z
) et on
considèrera qu'il n'y a pas de déplacement des électrons suivant z.
1. Quel est a priori l'intérêt du champ magnétique ? Que se passe-t-il si on l’annule ?
2. Calculer le champ électrique E(x,y) à l'intérieur du faisceau.
3. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux électrons et déterminer les
équations différentielles vérifiées par les coordonnées x, y et z.
4. En introduisant la variable Z = x + iy, établir l'équation différentielle vérifiée par Z.
Introduire dans cette équation la pulsation cyclotronique Ω
c
des électrons ainsi que la
quantité ω
p
définie par :
0
e
2
p
mne ε
=ω A quoi est homogène ω
p
?

5. On cherche des solutions de la forme Z(t) = Z
0
e
i ω t
. Déterminer la condition sur Ω
c
et
ω
p
pour que le mouvement des électrons reste confiné. Commenter.
6. En supposant que la condition de stabilité est vérifiée, déterminer les deux pulsations
ω
1
et ω
2
caractéristiques du mouvement des électrons. Analyser de manière qualitative
ce mouvement en identifiant en particulier le mouvement de dérive de champs croisés
dont on justifiera l’existence.
7. En considérant une densité électronique de n
e
= 10
14
cm
-3
, quelle valeur de champ
magnétique minimale doit on avoir pour confiner le faisceau ?