Technique de décision statistique/ Arbre de décision Cours 8

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ING 802 -Analyse de Faisabilité
Technique de décision statistique/
Arbre de décision
Cours 8
Sections 7 et 8
Chapitres 4 et 5 du codex
«Technique de décision statistique
avec information additionnelle»
«Arbre de décision »
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ING 802 -Analyse de Faisabilité Plan du cours 8
•Synthèse de la méthodologie d’analyse
Bayesienne
•Application de statistiques bayesiennes
•Arbre de décision
•Normes graphiques
•Méthode de résolution
•Relation entre statistiques Bayesiennes et arbre
de décision

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ING 802 -Analyse de Faisabilité Introduction
qLes statistiques Bayesiennes et les arbres de
décision peuvent être utilisés séparément.
qPar contre, il peut être avantageux de les
combiner pour mieux représenter une situation.
qNous verrons les liens intimes entre ces deux
outils d‘aide à la décision.
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ING 802 -Analyse de Faisabilité Résumé des probabilités
Probabilités
Approche: Objective Subjective
(Faits) (Intuition)
Classique (A priori) Empirique
(Connaissance/déduction) (Observations)
Présentation: Diagramme de Venn Arbre de décision Table de contingence
Type de Simples/Marginales Conjointes Conditionnelles
probabilités (Un événement dans (Combinaison d'événement
l'espace d'échantillonnage) dans l'espace d'échantillonnage)
Règle Règle de Théorème de Bayes
d'addition multiplication
P(A ou B) = P(Bj/A) =
Général. P(A) + P(B) - P(A et B) Indépendance Dépendance P(A/Bj)*P(Bj)/SP(A/Bi)*P(Bi)
Mut. Excl. P(A) + P(B) P(A/B) = P(A) P(A et B) = Collectivement exhaustives
P(B/A) = P(B) P(A/B) * P(B) et mutuellement exclusives
P(A et B) = P(A) * P(B)
P(A) =
Σ
P(A et Bi)
P(A) =
Σ
P(A) * P(Bi) P(A) =
Σ
P(A/Bi)
Bi exclusifs et exhaustifs
Synthèse: 0≤P(Ei)≤1
Complément P(Ã) = 1-P(A)
Général. P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
Mut. excl. P(A ou B) = P(A) + P(B)
Mut. excl./col. exhaust.
Σ
P(Bi) = 1
Indépendants P(A et B) = P(A) * P(B)
Dépendants P(A et B) = P(A/B) * P(B) = P(B/A) * P(A)

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ING 802 -Analyse de Faisabilité Statistiques Bayesiennes
qPour tenir compte des informations
additionnelles dans le cas des calculs des
probabilités, nous faisons appel aux statistiques
Bayesiennes. Elle sont caractérisées par
l’ajustement des probabilités connues a priori
par des probabilités comprenant plus
d’information, les probabilités a posteriori.
qL’information additionnelle peut provenir de
déductions, d’études supplémentaires, de
sondage, etc.
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ING 802 -Analyse de Faisabilité Théorème de Bayes
qPour n scénarios (états de la nature)
mutuellement exclusifs et collectivement
exhaustifs: S1, S2, S3, …, Sn, dont on connaît les
probabilités a priori, où l’on ajoute de
l’information supplémentaire (indicateur), X, le
théorème de Bayes est le suivant:
∑
=
== n
iii
ii
iSPSXP
XPXSP
XP XetSP
XSP
1)()|(
)()|(
)( )(
)|(
Avec P(X) ≠0 et discrète.

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ING 802 -Analyse de Faisabilité Théorème de Bayes
qDéfinition des variables:
qSi: Les scénarios (états de la nature).
qP(Si): Les probabilités a priori des divers scénarios
(la somme des P(Si) = 1).
qP(XSi): La probabilitéconditionnelle d’obtenir
l’indicateur X sachant que le scénario soit Si.
qP(XSi) P(Si): La probabilitéconjointe d’obtenir X
et Si(la somme de P(XSi) P(Si) = P(X), la
probabilitéd’obtenir le résultat X de l’indicateur).
qP(SiX): La probabilitéa posteriori d’obtenir l;e
scénario Sisachant que l’indicateur a fourni le
résultat X.
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ING 802 -Analyse de Faisabilité Statistiques Bayesiennes
qForme tabulaire:
En pratique, les analyse Bayesiennes sont réalisées par
l’entremise d’un tableau standard.
(1) (2) (3) (4) = (2)*(3) (5) = (4)/
Σ
(4)
Scénario Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori
S
1
P(S
1
)P(X|S
1
)P(X|S
1
)P(S1) P(X|S
1
)P(S1)/P(X)
S2P(S2)P(X|S2)P(X|S2)P(S2) P(X|S2)P(S2)/P(X)
… … … … …
SiP(Si)P(X|Si)P(X|Si)P(Si) P(X|Si)P(Si)/P(X)
… … … … …
SnP(Sn)P(X|Sn)P(X|Sn)P(Sn) P(X|Sn)P(Sn)/P(X)
Σ
P(Si) = 1
Σ
P(X|Si)P(Si) = P(X)
Σ
P(Si|X) = 1

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ING 802 -Analyse de Faisabilité Statistiques Bayesiennes
qMéthodologie d’analyse Bayesienne:
Avec l'information de base:
Lister tous les scénarios
Évaluer leur probabilité a priori
Lister tous les choix à faire
Établir la table des gains en fonction des décisions et des scénarios
Calculer le gain espéré a priori
Avec l'information additionnelle:
Calculer les probabilités a posteriori pour chaque prédiction
Calculer le gain a posteriori pour chaque prédiction (décision)
En assumant que le scénario i se présentera:
Faire le meilleur choix en fonction de ce scénario i
Calculer le gain espéré a posteriori
Déduire la valeur de l'information
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ING 802 -Analyse de Faisabilité Statistiques Bayesiennes
qExemple:
qS1: Les réglages de l’équipement sont bien faits.
qS2: Les réglages ne sont pas bien faits.
qP(S1) = 0.8
qP(S2) = 1 –0.8 = 0.2
qX: L’événement: il y a défaut dans l’échantillon.
qQuand les réglages sont bien faits: 5% de défauts.
qQuand les réglages sont mal faits: 25% de défauts.
qQuelle est la probabilité que les réglages soient bien
faits quand on trouve un défaut dans l’échantillon?
qP(S1|X) = ?