Technique de décision statistique/ Arbre de décision Cours 8

ING 802 - Analyse de Faisabilité
Technique de décision statistique/
Arbre de décision
Cours 8
Sections 7 et 8
Chapitres 4 et 5 du codex
«Technique de décision statistique
avec information additionnelle»
« Arbre de décision »
1
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Plan du cours 8
• Synthèse de la méthodologie d’analyse
Bayesienne
• Application de statistiques bayesiennes
• Arbre de décision
• Normes graphiques
• Méthode de résolution
• Relation entre statistiques Bayesiennes et arbre
de décision
2
1
Introduction
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qLes statistiques Bayesiennes et les arbres de
décision peuvent être utilisés séparément.
qPar contre, il peut être avantageux de les
combiner pour mieux représenter une situation.
qNous verrons les liens intimes entre ces deux
outils d‘aide à la décision.
3
Résumé des probabilités
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Probabilités
Approche:
Objective
(Faits)
Classique (A priori)
(Connaissance/déduction)
Subjective
(Intuition)
Empirique
(Observations)
Présentation:
Diagramme de Venn
Type de
probabilités
Simples/Marginales
(Un événement dans
l'espace d'échantillonnage)
Conjointes
(Combinaison d'événement
dans l'espace d'échantillonnage)
Conditionnelles
Règle
d'addition
P(A ou B) =
P(A) + P(B) - P(A et B)
P(A) + P(B)
Règle de
multiplication
Théorème de Bayes
Général.
Mut. Excl.
Arbre de décision
Indépendance
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B)
P(A et B) = P(A) * P(B)
Table de contingence
Dépendance
P(A et B) =
P(A/B) * P(B)
P(Bj/A) =
P(A/Bj)*P(Bj)/SP(A/Bi)*P(Bi)
Collectivement exhaustives
et mutuellement exclusives
P(A) = Σ P(A et Bi)
P(A) = ΣP(A) * P(Bi)
P(A) = ΣP(A/Bi)
Bi exclusifs et exhaustifs
Synthèse:
Complément
Général.
Mut. excl.
Mut. excl./col. exhaust.
Indépendants
Dépendants
0≤ P(Ei)≤1
P(Ã ) = 1-P(A)
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
P(A ou B) = P(A) + P(B)
ΣP(Bi) = 1
P(A et B) = P(A) * P(B)
P(A et B) = P(A/B) * P(B) = P(B/A) * P(A)
4
2
Statistiques Bayesiennes
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qPour tenir compte des informations
additionnelles dans le cas des calculs des
probabilités, nous faisons appel aux statistiques
Bayesiennes. Elle sont caractérisées par
l’ajustement des probabilités connues a priori
par des probabilités comprenant plus
d’information, les probabilités a posteriori.
qL’information additionnelle peut provenir de
déductions, d’études supplémentaires, de
sondage, etc.
5
Théorème de Bayes
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qPour n scénarios (états de la nature)
mutuellement exclusifs et collectivement
exhaustifs: S1, S2 , S3, …, Sn , dont on connaît les
probabilités a priori, où l’on ajoute de
l’information supplémentaire (indicateur), X, le
théorème de Bayes est le suivant:
P ( Si | X ) =
P ( Si et X )
P ( S | X ) P( X )
= n i
P( X )
∑ P ( X | Si ) P(S i )
i =1
Avec P(X) ≠ 0 et discrète.
6
3
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Théorème de Bayes
qDéfinition des variables:
q S i:
Les scénarios (états de la nature).
q P(S i): Les probabilités a priori des divers scénarios
(la somme des P(S i) = 1).
q P(XS i): La probabilité conditionnelle d’obtenir
l’indicateur X sachant que le scénario soit Si.
q P(XS i) P(S i): La probabilité conjointe d’obtenir X
et Si (la somme de P(XSi) P(Si) = P(X), la
probabilité d’obtenir le résultat X de l’indicateur).
q P(S iX): La probabilité a posteriori d’obtenir l;e
scénario Si sachant que l’indicateur a fourni le
résultat X.
7
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Statistiques Bayesiennes
qForme tabulaire:
En pratique, les analyse Bayesiennes sont réalisées par
l’entremise d’un tableau standard.
(1)
(2)
(3)
(4) = (2)*(3)
(5) = (4)/Σ(4)
Scénario Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori
S1
P(S1)
P(X|S1)
P(X|S 1)P(S1)
P(X|S 1)P(S1)/P(X)
S2
P(S2)
P(X|S2)
P(X|S 2)P(S2)
P(X|S 2)P(S2)/P(X)
…
…
…
…
…
Si
P(Si)
P(X|Si)
P(X|Si)P(Si)
P(X|S i)P(Si)/P(X)
…
…
…
…
…
Sn
P(Sn)
P(X|Sn)
P(X|S n)P(Sn)
P(X|S n)P(Sn)/P(X)
ΣP(Si) = 1
ΣP(X|Si)P(Si) = P(X)
ΣP(Si|X) = 1
8
4
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Statistiques Bayesiennes
qMéthodologie d’analyse Bayesienne:
Avec l'information de base:
Lister tous les scénarios
Évaluer leur probabilité a priori
Lister tous les choix à faire
Établir la table des gains en fonction des décisions et des scénarios
Calculer le gain espéré a priori
Avec l'information additionnelle:
Calculer les probabilités a posteriori pour chaque prédiction
Calculer le gain a posteriori pour chaque prédiction (décision)
En assumant que le scénario i se présentera:
Faire le meilleur choix en fonction de ce scénario i
Calculer le gain espéré a posteriori
Déduire la valeur de l'information
9
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Statistiques Bayesiennes
qExemple:
q S 1:
Les réglages de l’équipement sont bien faits.
q S 2: Les réglages ne sont pas bien faits.
q P(S 1) = 0.8
q P(S 2) = 1 – 0.8 = 0.2
q X: L’événement: il y a défaut dans l’échantillon.
q Quand les réglages sont bien faits: 5% de défauts.
q Quand les réglages sont mal faits: 25% de défauts.
q Quelle
est la probabilité que les réglages soient bien
faits quand on trouve un défaut dans l’échantillon?
q
P(S1 |X) = ?
10
5
Statistiques Bayesiennes
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple:
(1)
(2)
(3)
(4) = (2)*(3)
(5) = (4)/Σ (4)
Scénario Si Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori
Si
P(X|Si)
P(X|Si)P(Si)
P(X|Si)P(Si)/P(X)
P(Si)
S1=Bien fait
0.8
0.05
0.04
0.444444444
S 2=Mal fait
0.2
Σ P(Si) = 1
0.25
0.05
P(X) = 0.09
0.555555556
Σ P(Si|X) = 1
qSachant qu’il y a eu un défaut, la probabilité que
les réglages soient bien faits est de 44.4%
11
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Statistiques Bayesiennes
qExemple:
q Un
investissement peut générer les valeurs présentes
suivantes sont l’état de la nature:
q
q
S1 : VP = 6 000 et S2 = -4 000
P(S1 ) = 0.40
et P(S2 ) = 0.60
q La
décision consiste investir ou pas.
q En investissant, la valeur espérée a priori est de:
E(R) = 0.40 (6 000) + 0.60 (-4 000) = 0
q Supposons qu’en n’investissant pas, le résultat est
aussi nul.
q Il pourrait être intéressant d’investir en connaissant
mieux l’avenir (probabilité de S1).
12
6
Statistiques Bayesiennes
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple:
q En
connaissant l’avenir, il serait possible de décider
d’investir si le scénario S1 était prévu (+6 000$) et de
ne pas investir si le scénario S2 était prévu (0$).
q L’information additionnelle est la suivante:
q
q
q
X1 : Prévision du scénario S1
La probabilité de bien prédire ce scénario est de 80%
X2 : Prévision du scénario S2
La probabilité de bien prédire ce scénario est de 60%
Donc,
P(S1 ) = 0.40
P(S2 ) = 0.60
P(X1 |S1 ) = 0.80 et P(X2 |S1 ) = 1 - P(X1 |S1 ) = 0.20
P(X2 |S2 ) = 0.60 et P(X1 |S2 ) = 1 - P(X2 |S2 ) = 0.40
13
Statistiques Bayesiennes
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple:
q
Si l’indicateur prévoit X1 , nous trouvons:
(2)
(3)
(4) = (2)*(3)
(5) = (4)/Σ (4)
Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori
P(X1 |Si)
P(X1 |Si)P(Si)
P(X1|Si)P(Si)/P(X 1 )
P(Si)
(1)
Scénario S i
Si
S1 =Favorable
S2 =Défavorable
q
0.4
0.8
0.32
0.571428571
0.6
Σ P(Si) = 1
0.4
0.24
P(X1 ) = 0.56
0.428571429
Σ P(Si|X1 ) = 1
Donc, si l’indicateur prévoit un environnement favorable (X1 )
et qu’on décide d’investir, la valeur espérée sera la suivante:
E(R|X1 ) = 0.57 (6 000) + 0.43 (-4 000) = 1 714.29$
14
7
Statistiques Bayesiennes
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple:
q
Si l’indicateur prévoit X2 , nous trouvons:
(2)
(3)
(4) = (2)*(3)
(5) = (4)/Σ(4)
Probabilité a priori Probabilité de l'indicateur Probabilité conjointe Probabilité a posteriori
P(X2 |Si)
P(X 2|Si)P(Si)
P(X 2 |Si)P(Si)/P(X2 )
P(Si)
(1)
Scénario Si
Si
S1 =Favorable
0.4
0.2
0.08
0.181818182
S2 =Défavorable
0.6
Σ P(Si) = 1
0.6
0.36
P(X 2) = 0.44
0.818181818
ΣP(Si|X2 ) = 1
q
Donc, si l’indicateur prévoit un environnement défavorable
(X2 ) et qu’on décide d’investir, la valeur espérée sera la
suivante:
E(R|X2 ) = 0.1818 (6 000) + 0.8181 (-4 000) = -2 181.80$
q
Dans ce cas, il sera préférable de ne pas investir.
15
Statistiques Bayesiennes
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple:
q Enfin,
en ayant une indication supplémentaire sur
l’état de la nature, nous prenons les décisions les plus
avantageuses pour avoir le rendement suivant:
1 714
, si X = X1
E(R|X i) =
0
, si X = X2
q Ce qui génère une valeur espérée de:
E(R|IP) = 0.56 (1 714) + 0.44 (0) = 960$
q VPPÉ = E(R|IP) - E(R)
Valeur Prévue Provenant de l’Échantillon =
Valeur espérée avec information Parfaite – Valeur prévue a priori
Valeur espérée a posteriori – valeur prévue a priori
16
8
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Statistiques Bayesiennes
qValeur Prévue provenant de l’Échantillon:
q VPPÉ
= E(R|IP) - E(R)
q E(R|IP) =
P(S i) * max[contribution(A1, A2, …,Aj, …, Am|Si]
q E(R|IP) : Contribution espérée en ayant l’information
parfaite.
q E(R) : Contribution espérée (sans information add.)é
q P(S i):Probabilité du scénario Si.
q Aj: Choix ou décision j
q Contribution(A j|Si]: Valeur de la décision j dans le
scénario i.
q max[contribution(A 1, A2, …,Aj, …, Am|Si]:
Meilleure décision à prendre selon Si.
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ING 802 - Analyse de Faisabilité
Arbre de décision
qSouvent, une décision actuelle influencera celles
à venir, car ces dernières devront être prises dans
le contexte qui sera l’héritage des décisions
passées.
qL’utilisation des arbres de décision s’avère un
moyen très efficace pour représenter
l’interaction dans une séquence de décisions.
qSa simple construction exige une compréhension
des décisions à venir, ce qui est déjà un avantage
important.
qSa résolution permet de trouver l’optimum.
18
9
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Arbre de décision
qDéfinition:
qUn diagramme illustrant toutes les conséquences
des différentes décisions selon les états de la
nature.
qL’arbre de décision n’est pas un outil prescriptif,
il contribue toutefois établir les décisions.
qOn y représente seulement les actions et les
décisions qui ont une importance.
qOn suppose qu’il n’y aura pas de changement
suffisamment important pour modifier la
structure de l’arbre de décision.
19
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Arbre de décision
qIl existe deux types d’arbre de décision:
q Déterministes
q
q
Dans ce cas, la séquence de décisions est prise dans un
contexte de certitude.
L’arbre structure et illustre bien les conséquences.
q Probabilistes
q
q
Ici, en plus des décisions il y a des événements aléatoires
dont on peut estimer les probabilités.
L’arbre est d’autant plus utile dans ce cas.
20
10
Arbre de décision
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple déterministe: Remplacement
q
Il est prévu de réévaluer la situation à chaque trois ans quant à
l’opportunité de remplacer une machine.
Vieille
4M$/an
3 ans
-0.8M$
Déc.
1
q
Neuve
5M$/an
9 ans
-15M$
Déc,
2
Vieille
3.5M$/an
3 ans
-1M$
Déc.
3
Vieille
3M$/an
3 ans
-2M$
Neuve
6.5M$/an
3 ans
-18M$
Neuve
6.5M$/an
6 ans
-17M$
Quand devrait-on remplacer la machine?
Remarque: Sans la valeur de l’argent dans le temps.
ING 802 - Analyse de Faisabilité
21
Arbre de décision
qExemple déterministe: Remplacement
q Pour
prendre la meilleure décision au point 1
(Déc. 1), il faut considérer les impacts de cette
décision.
q Plutôt que de tenter d’évaluer les chaînes de
conséquences, il est beaucoup plus astucieux de
débuter par l’analyse de la décision la plus lointaine.
q Ainsi, on choisira la troisième décision , ensuite la
deuxième et finalement la première!
q
q
On appelle ce processus, les décision à rebours ou à
contre-courant.
C’est donc en ayant pris les futures décisions qu’on est le
mieux placé pour prendre celles actuelles!
22
11
Arbre de décision
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qAnalyse
Décision
3
Choix
Vieille
Neuve
Résultats financiers
Revenus - coûts
3.0M$(3) - 2.0M$ = 7.0M$
6.5M$(3) - 18.0M$ = 1.5M$
2
Vieille
Neuve
7.0M$ + 3.5M$(3) - 1.0M$ = 16.5M$
6.5M$(6) - 17.0M$
= 22.0M$
Vieille
Neuve
22.0M$ + 4.0(3)M$ - 0.8M$ = 33.2M$
5.0M$(9) - 15.0M$
= 30.0M$
1
Décision
Vieille
Neuve
Vieille
qDonc, il sera préférable de remplacer cette machine dans
trois ans (point de décision 2).
23
Arbre de décision
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qEn reconsidérant le même exemple, mais avec
un taux d’actualisation de 25%, l’analyse est
plus complexe.
Déc.
1
Vieille
4M$/an
3 ans
-0.8M$
Neuve
5M$/an
9 ans
-15M$
Déc,
2
Vieille
3.5M$/an
3 ans
-1M$
Neuve
6.5M$/an
6 ans
-17M$
Déc.
3
Vieille
3M$/an
3 ans
-2M$
Neuve
6.5M$/an
3 ans
-18M$
qDans ce cas, il est avantageux d’utiliser la valeur
présente et d’actualiser les valeurs monétaires au
point de décision.
24
12
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Arbre de décision
qAnalyse avec i = 25%
Décision
3
Choix
Vieille
Neuve
2
Vieille
Neuve
1
Vieille
Neuve
Résultats financiers
Revenus - coûts
3.0M$(P/A;25%;3) - 2.0M$
3.0M$(1.95) - 2.0M$
= 3.85M$
6.5M$(P/A;25%;3) - 18.0M$
6.5M$(1.95) - 18.0M$
= -5.33M$
3.85(P/F;25%;3)M$ + 3.5M$(P/A;25%;3) - 1.0M$
3.85(0.512)M$ + 3.5M$(1.95) - 1.0M$
= 7.79M$
6.5M$(P/A;25%;6) - 17.0M$
6.5M$(2.95) - 17.0M$
= 2.18M$
7.79M$(P/F;25%;3) + 4.0(P/A;25%;3)M$ - 0.8M$
7.79M$(0.512) + 4.0(1.95)M$ - 0.8M$
= 10.99M$
5.0M$(P/A;25%;9) - 15.0M$
5.0M$(3.46) - 15.0M$
= 2.30M$
Décision
Vieille
Vieille
Vieille
qLe haut taux d’actualisation privilégie les faibles
investissements actuels et retarde le remplacement.
ING 802 - Analyse de Faisabilité
25
Arbre de décision
qExemple probabiliste: Décision d’automatisation
q On
doit déterminer s’il est préférable d’automatiser
un procédé de fabrication ou de le laisser tel quel.
q On reconnaît que ce n’est pas un projet « gagné
d’avance » et qu’il y a une incertitude quant aux
résultats d’une automatisation.
q
On considère les trois scénarios suivants:
Conséquences d'une automatisation
Réduction
Faible amélioration
Grande amélioration
Impact
Probabilité
-90M$
0.5
+40M$
0.3
+300M$
0.2
26
13
Arbre de décision
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple probabiliste: Décision d’automatisation
Réduction: -90M$(0.5)
Faible amélioration: 40M$(0.3)
Automatiser
Grande amélioration: 300M$(0.2)
D1
Ne pas automatiser
0$
qOn remarque que les décisions sont représentées
par des carrés alors que les événements
aléatoires le sont pour des cercles.
27
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Arbre de décision
qExemple probabiliste: Décision d’automatisation
q La
valeur espérée de ne pas automatiser est de 0$.
q La valeur espérée de l’automatisation est de:
-90M$(0.5) + 40M$(0.3) + 300M$(0.2) = 27M$
q Selon
q
q
la valeur espérée, les choix sont les suivants:
Automatiser
è 27M$ √
Ne pas automatiser è 0$
q Remarque:
Cette décision n’est pas si évidente, car il
existe un risque de 50% de générer une perte de
90M$!
28
14
Arbre de décision
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple probabiliste: Décision d’automatisation
q Pour
limiter les risques, on propose l’opportunité de
faire réaliser une étude d’envergure au coût de 10M$
pour approfondir la compréhension du contexte.
q L’étude
q
q
q
déterminera si ce choix technologique est:
Risqué
Prometteur
Très approprié
29
Arbre de décision
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple probabiliste: Décision d’automatisation
Réduction: -90M$(0.5)
Réduction: -90M$(0.5)
Faible amélioration: 40M$(0.3)
Faible amélioration: 40M$(0.3)
Grande amélioration: 300M$(0.2)
Automatiser
Grande amélioration: 300M$(0.2)
D1
Automatiser
Ne pas automatiser
0$
D2a
Ne pas automatiser
Étude de -10M$
0$
Réduction: -90M$(0.5)
Faible amélioration: 40M$(0.3)
Risqué (0.41)
Grande amélioration: 300M$(0.2)
Automatiser
D2b
Prometteur (0.35)
Ne pas automatiser
Très approprié (0.24)
0$
Réduction: -90M$(0.5)
Faible amélioration: 40M$(0.3)
Grande amélioration: 300M$(0.2)
Automatiser
D2c
30
Ne pas automatiser
0$
15
Arbre de décision
ING 802 - Analyse de Faisabilité
qExemple probabiliste: Décision d’automatisation
q On
remarque que les nœuds d’événements aléatoires
se synthétise par la valeur espérée des conséquences.
Point de décision
Choix
Valeur présente espérée
2a
Automatiser
-90M$(0.73) + 40M$(0.22) + 300M$(0.05) = -41M$
Ne pas automatiser
2b
2c
1
Décision
0 $ Ne pas automatiser
Automatiser
-90M$(0.43) + 40M$(0.34) + 300M$(0.23) = 43.9M$
Ne pas automatiser
0$
Automatiser
Automatiser
-90M$(0.21) + 40M$(0.37) + 300M$(0.42) = 121.9M$
Ne pas automatiser
0$
Automatiser
Automatiser
-90M$(0.5) + 40M$(0.3) + 300M$(0.2) = 27M$
Ne pas automatiser
0$
Accepter l'étude
0$(0.41) + 43.9M$(0.35) + 121.9M$(0.24) - 10M$ = 34.6M$
Accepter l'étude
2a
2b
2c
31
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Arbre de décision
qÉtapes de construction:
q Identifier
les points de décision et les choix à faire;
q Identifier les points d’aléa et leur résultats possibles;
q Dessiner l’arbre de décision
q Estimer les données nécessaires à l’analyse:
q
q
q
Probabilités
Résultats financiers (coûts, VP, etc.)
Analyser les décisions en débutant par les plus
éloignées en remontant jusqu’à la première.
32
16
ING 802 - Analyse de Faisabilité
Arbre de décision
qRemarques:
q Plutôt
que d’utiliser la valeur espérée, il est aussi
possible de considérer une fonction d’utilité ou toute
autre estimation financière appropriée.
q Comme l’arbre peut devenir immense, il est
souhaitable de se limiter aux principaux choix et aux
principales situations induisant de l’aléa. Dans un
deuxième temps, il sera possible d’éliminer les cas
les moins intéressants et d’enrichir ceux étant le plus
pertinents.
q Aux points de décision et d’aléa, les choix scénarios
doivent être mutuellement exclusifs et exhaustifs.
33
17