Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique

Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
MPSI2, Louis le Grand
(b) On donne le diamètre angulaire apparent de la Lune D = 0°310 . Pour quelle valeur
de la distance focale f10 la Lune sera-t-elle vue à travers le dispositif sous un angle de
20°.
Les sacs seront laissés devant le tableau. Conservez seulement de quoi écrire et une
calculatrice : pas de téléphone !
Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.
L’énoncé comprend une feuille de constructions géométriques, à rendre avec la copie.
I.3. On considère maintenant un dispositif formé du même objectif L1 et d’un oculaire L3
convergent de distance focale fo0 > 0, qu’on nomme de nouveau «lunette».
(a) Comment placer l’objectif et l’oculaire pour que l’image d’un objet à l’infini soit de
nouveau à l’infini. Comparer le grossissement (valeur absolue, signe) au cas de la
figure 4. On fera un schéma du dispositif correspondant. On suppose cette condition
réalisée dans toute la suite de cette question (I.3).
Problème 1 : Quelques instruments d’optique
On étudie quelques caractéristiques d’instruments d’optique. Les lentilles seront considérées
minces et utilisées dans les conditions de Gauss. On rappelle ci-après les formules de conjugaison et de grandissement transversal.
Soit une lentille mince L de centre O, de foyers objet et image F et F0 dont on note f 0 la distance
focale. Si A0 et A sont deux points de l’axe optique conjugués par L, on a :
1
OA0
−
1
OA
=
1
1
= 0
0
f
OF
2
et FA · F0 A0 = −f 0 .
Si B et B0 sont deux points conjugués, hors de l’axe optique, dans les plans conjugués contenant
A et A0 , le grandissement transversal γt vérifie :
γt = −
I
f0
F0 A0
OA0
=
=
.
0
f
FA
OA
(b) On place dans le plan orthogonal à l’axe optique et passant par F10 une lame de verre
transparente présentant des graduations équidistantes de 1 mm. Quel doit être le
grossissement de la lunette pour qu’une graduation corresponde à un angle de 30 ?
(c) Quel défaut vous paraît présenter ce dispositif pour des observations terrestres ?
I.4. On réalise le dispositif représenté à la figure 1 constitué de trois lentilles convergentes : l’objectif L1 et l’oculaire L3 précédents, et une lentille dite «de véhicule», notée Lv de distance focale notée fv0 . Le foyer
image F10 est en amont du foyer objet F3 et la
lentille deh véhicule
Lv est située au milieu du
i
segment F10 F3 .
On considère le dispositif représenté sur la figure 4 (sur une page seule à la fin de l’énoncé),
utilisé pour observer des objets à l’infini. Il est constitué d’une lentille convergente L1 nommée
«objectif» de distance focale notée f10 > 0 et d’une lentille divergente L2 de distance focale
f20 = −fo0 < 0, nommée «oculaire». Le foyer image de l’objectif coïncide avec le foyer objet de
l’oculaire. On nomme «lunette» l’ensemble de l’objectif et de l’oculaire.
Dans toute la suite, la valeur absolue de l’oculaire sera toujours fo0 , qu’il soit formé d’une lentille
convergente ou divergente.
I.1. (a) Tracer, sur la figure 4, la marche à travers l’objectif et l’oculaire des deux rayons
parallèles représentés.
(b) En déduire que l’image d’un objet à l’infini est elle-aussi à l’infini. Quel intérêt présente ce dispositif pour une observation en plaçant l’œil après l’oculaire ?
I.2. On note α0 l’angle que le faisceau émergent forme avec l’axe optique.
(a) Déterminer l’expression du quotient α0 /α, nommé «grossissement» en fonction des
Lv
L1
F10
L3
F3
F30
Figure 1
(a) Déterminer l’expression, en fonction des distances focales, de la distance F10 F3 pour
qu’un objet à l’infini ait une image à l’infini par l’ensemble des trois lentilles ? Quel
est l’intérêt de ce dispositif par rapport à celui de la question I.3 ?
Observations à l’infini
(b) Proposer un dispositif à deux lentilles de véhicule identiques possédant les mêmes
propriétés que celui de la figure 1 mais pour lequel la distance entre les deux lentilles
L1 et L3 est plus faible.
II
Observations à distance finie
On utilise maintenant le montage de la figure 4 pour des observations d’objets à distance finie.
Pour cela on doit légèrement déplacer l’objectif L1 le long de l’axe optique.
L’image par l’ensemble des deux lentilles doit toujours être envoyée à l’infini.
II.1. Dans cette question, l’oculaire est de nouveau divergent, de distance focale f20 = −fo0 < 0 et
on observe des oiseaux situés à une distance D = 50 m en amont de l’objectif L1 .
distances focales.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
lundi 9 novembre
1/9
(a) Préciser, en le justifiant soigneusement, si on doit diminuer ou augmenter la distance
O1 O2 par rapport à la configuration de la figure 4.
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
lundi 9 novembre
(b) Les oiseaux ont une taille de 10 cm et on souhaite les voir sous un angle de 10°. Déterminer quelle doit être la distance focale de l’objectif L1 et à quelle distance on doit
le placer de l’oculaire L2 .
II.2. On réalise maintenant un viseur formé d’un oculaire L3 maintenant convergent, de distance focale fo0 et d’un objectif L1 convergent, de distance focale f10 = 10 cm.
(a) Quelle doit être la distance entre l’objectif et l’oculaire pour qu’on observe nettement
sans accomoder les objets situés à la distance 2f10 en amont de l’objectif ? On supposera cette condition réalisée dans toute la suite.
(b) On utilise le viseur (formé des lentilles L1 et L3 convergentes) pour déterminer la
distance focale fi0 inconnue d’une lentille divergente. On utilise pour cela le protocole
suivant, illustré sur la figure 2.
Problème 2 : Ondes de matières de Buckminsterfullerène
On étudie les interférences des ondes de matière d’une grosse molécule formée de 60 atomes de carbone présentant la même structure qu’un ballon de football. On la désignera par C60 dans toute
la suite.
• un objet AB est placé par autocollimation au foyer objet d’une lentille La convergente,
• une deuxième lentille convergente Lm , de distance focale fm0 est placée en aval.
On note la position P1 du viseur (dont on ne détaille plus la constitution sur les
schémas) permettant de voir nette dans le viseur l’image de l’objet formé par les
deux lentilles La et Lm .
• on place ensuite la lentille divergente inconnue Li au foyer objet de Lm .
• on cherche la nouvelle position P2 du viseur permettant de voir nette dans le
viseur l’image de AB par l’ensemble des lentilles La , Li et Lm .
La
B
A
Fa
Li
I
On produit une vapeur de C60 dans un four à une température notée T.
I.1. (a) La vitesse caractéristique des molécules est notée v, de l’ordre de v = 1 · 102 m · s−1 .
Calculer la valeur de la longueur d’onde de de Broglie correspondante, notée λdB .
(b) Estimer un ordre de grandeur du diamètre de la molécule C60 en fonction de la distance dC−C entre deux atomes de carbone et commenter.
Lm
Fm
P1
P2
viseur
viseur
Caractéristiques de l’onde de matière
(c) Proposer par analyse dimensionnelle une expression de la vitesse typique de particules de masse m dans un gaz à la température T. On utilisera la constante de Boltzmann kB = 1,38 · 10−23 J · K−1 . En déduire un ordre de grandeur de la température du
gaz de C60 dans l’expérience considérée.
I.2. Dans une expérience historique, Shimizu et Shimizu ont utilisé des atomes de Ne métastables à une température de T = 2,5 mK. Calculer un ordre de grandeur de la longueur
d’onde de Broglie correspondante et comparer au cas des C60 . Lequel de ces deux dispositifs permet d’observer le plus facilement des interférences d’ondes de matière ?
Figure 2
On mesure P1 P2 = 15 cm pour fm0 = 10 cm. Déterminer la valeur de fi0 .
(c) L’œil de l’observateur peut accomoder entre l’infini et une distance nommée dPP . Déterminer la zone de l’axe optique dans laquelle les objets peuvent être vus au travers
du viseur selon qu’on accomode au maximum ou qu’on n’accomode pas, l’œil étant
placé au niveau de la lentille L3 . Calculer sa longueur pour une valeur raisonnable
de dPP . Commenter et proposer une correction de ce défaut.
Données : Valeur absolue de la distance focale de l’oculaire fo = 3 cm.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
II
Diffraction par un réseau de fentes
Les molécules de C60 sont envoyées sur un réseau plan de fentes orthogonal à la direction du
jet moléculaire. Les fentes ont pour largeur 50 nm et sont deux à deux distantes de d = 100 nm.
II.1. On étudie la condition d’interférences constructives. On pourra admettre le résultat pour
poursuivre. On observe la figure d’interférence à une distance D grande devant d.
2/9
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
(a) Montrer que les interférences entre les
ondes de matière issues des différentes
fentes seront constructives dans les directions α vérifiant :
D
d sin(α) = pλdB
avec p ∈ Z.
λ D
i = dB .
d
(a) On considère un processus au cours duquel la molécule absorbe un photon d’un des faisceaux et ré#»
emet un photon dans l’autre faisceau. Déterminer
v
la variation de quantité de mouvement de la moléC60
ν
ν
cule si la quantité de mouvement totale est conservée (on ne se préoccupera pas de vérifier la consere#»x
vation de l’énergie au cours de ce processus). Déterminer également la nouvelle direction du vecteur
vitesse.
(b) On considère λdB c/ν. Justifier qu’on peut considérer que la norme de la vitesse de
la molécule n’est pas changée au cours du processus et simplifier l’expression de la
nouvelle direction de #»
v . Vérifier qu’on retrouve alors la condition de l’équation (1).
On admet que ce modèle donne les directions des interférences constructives pour
une onde de matière placée dans une onde stationnaire lumineuse.
α
(1)
(b) En déduire l’expression de l’interfrange,
noté i, quand on détecte les molécules à
une grande distance D d. Vérifier que
pour λdB d, on a :
d
(2)
II.2. La figure ci-contre représente les impacts de
molécules (en unités arbitraires) pour une
observation à une distance D = 1,25 m. L’abscisse est la position sur l’écran, la distance
entre deux graduations est de 25 µm.
III.2. Cette expérience a été réalisée dans des conditions proches de celles des précédentes parties, en utilisant un laser de longueur d’onde λL = 514 nm. Les courbes ci-dessous représentent la figure d’interférences sur un écran placé à une distance D = 1,25 m après la
traversée par les C60 de l’onde stationnaire. Les différentes courbes correspondent à différentes valeurs de l’intensité des faisceaux, notée P0 sur les graphiques.
(a) Déduire de cette courbe la valeur de la
vitesse v des molécules.
(b) Déterminer un ordre de grandeur de la
dispersion maximale des vitesses v au
delà de laquelle on ne pourra plus observer d’interférences.
III
lundi 9 novembre
Diffraction par une onde lumineuse stationnaire
Dans une autre expérience la diffraction de l’onde de matière de C60 est réalisée par une onde
stationnaire lumineuse. L’interaction des C60 avec l’onde stationnaire permet en effet d’obtenir
un phénomène de diffraction analogue à celui d’un réseau de fentes.
(a) Déduire de ces courbes la valeur de la vitesse des molécules de C60 .
(b) Déterminer comment changerait la position des pics pour des molécules de C70
issues d’un four à la même température.
(c) Déterminer comment changerait la position des pics si les directions des faisceaux forment un petit angle. En déduire
un ordre de grandeur de la précision requise lors de l’alignement des faisceaux
pour que la figure d’interférences soit observable.
III.1. On propose dans cette question un modèle simple permettant de retrouver les directions
dans lesquelles les interférences seront constructives. On considère une molécule de C60
située dans l’onde stationnaire formée par deux faisceaux laser contrapropageants, moFigure 3
nochromatiques de même fréquence ν. La molécule est initialement animée d’un vecteur
vitesse #»
v dans une direction orthogonale à la direction de propagation des lasers (voir la III.3. (a) Commenter l’évolution des courbes de la figure 3 quand on augmente l’intensité des
figure ci-dessous).
faisceaux laser (puissance notée P en W). Pourrait-on observer ce comportement avec
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
3/9
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
lundi 9 novembre
le dispositif de la partie II ?
(b) La traversée de l’onde stationnaire communique à la fonction d’onde de l’onde de matière une phase Φ(x) proportionnelle à l’intensité I(x) de l’onde lumineuse à l’abscisse
x. Tracer l’allure de la courbe I(x) de l’onde stationnaire et en déduire, sans calcul,
qu’on peut envisager en particulier d’annuler l’onde diffractée dans la direction α = 0
si l’intensité des faisceaux laser est suffisante.
Question subsidiaire : Comparer les ordres de grandeur des distances dans ces expériences à
celles d’un ballon et d’un but de football. Commenter.
Données : masse molaire du carbone M(C = 12 g · mol−1 ) ; longueur caractéristique d’une
liaison C−C dC−C = 150 pm = 1,50 · 10−10 m ; masse molaire du néon M(Ne = 20,2 g · mol−1 ) ;
constante de Planck h = 6,63 · 10−34 J · s ; constante de Boltzmann 1,38 · 10−23 J · K−1 ; constante
d’Avogadro : NA = 6,02 · 1023 mol−1 .
Les paramètres de la partie II sont ceux de l’expérience de l’équipe de A. Zeilinger en
1999 :«Wave–particle duality of C60 molecules», Arndt et al., Nature 401,680,1999. Ceux de
la partie III correspondent à l’expérience de Zeilinger de 2001 : «Diffraction of Complex Molecules by Structures Made of Light», O. Nairz et al., Physical Review Letters 87, 160401, 2001.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
4/9
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
Feuille à rendre avec la copie
L1
α
F2 confondu avec
O2
F20
α
NOM :
L2
O1
Figure 4 – Dispositif
lundi 9 novembre
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
F2
F10
pour une observation à l’infini du problème 1. La lentille L1 est convergente de foyer image F10 . La lentille L2 est divergente de foyer objet
F10 .
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
5/9
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
La lentille Lv forme une image réelle (F3 ) d’un objet réel (F10 ) : le grandissement est
donc négatif. On retourne donc une fois de plus l’image qui est au final redressée.
Comme le grandissement en configuration 2f − 2f vaut +1, la taille de l’image n’est
pas changée.
Correction du problème 1
I
Observations à l’infini
I.1. (a) et (b)Comme vu dans l’exercice du TD sur la lunette de Galilée, le système proposé
est afocal. Un œil emmétrope pourra observer un objet à l’infini sans accomoder.
I.2.
lundi 9 novembre
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
(b) En utilisant deux lentilles de véhicule identiques :
• la première ayant son foyer objet en F10
(a) Le foyer image secondaire de l’objectif associé à l’angle α, noté Fα0 , coïncide avec le
foyer objet secondaire de l’oculaire associé à l’angle α0 . On a donc, dans les conditions
de Gauss où tan(α) ' α :
F2 F2,α α0 = fo0 0 0 0 F1 F1,α α0 f1 → =
et : |α| = f10 α fo0 soit :
0
α0 f1
= 0,
α
fo
puisque la figure indique de plus immédiatement que le grossissement α0 /α est positif.
(b) On veut α0 = 0°310 = 9,0 · 10−3 rad, soit :
f10 =
fo0 α0
α
• la deuxième ayant son foyer image en F3 ,
on réalise la même opération (grandissement de −1) mais la distance entre les deux
lentilles de véhicule est quelconque. La distance F10 F3 minimale est ici 2fv0 réalisée
quand on accole les deux lentilles de véhicule. On peut remarquer qu’on réalise ainsi
une lentille de vergence double, soit de distance focale f 0 /2 en configuration 2f − 2f .
II
II.1. (a) L’image, par l’objectif L1 , d’un oiseau à distance finie se formera en aval de F10 .
Comme cette image doit de nouveau se trouver sur le foyer objet de L2 , on doit éloigner les deux lentilles.
= 1,16 m.
I.3. (a) On doit de nouveau faire coïncider le foyer image de l’objectif et le foyer objet de
l’oculaire. En adaptant le raisonnement précédent, on vérifie que le grossissement
vaut de nouveau f10 /f00 en valeur absolue mais est cette fois-ci négatif.
(b) La lame réalise un réticule, le plan image de L1 étant le plan réticulaire où se forment
les images réelles d’objets à l’infini. On veut que l’image d’un objet à l’infini vu sous
un angle α0 = 30 ait une taille de ∆y = 3 mm. On veut donc :
f10 α0 = ∆y → f10 =
∆y
α
f0
∆y
soit : 10 =
= 114.
f0 α0 f00
L3
∞ y A y B y ∞.
Le point A est le conjugué de l’infini par L1 , c’est donc nécessairement F10 . Le point B
est le conjugué de l’infini par L3 , c’est donc nécessairement F3 . Comme on a placé la
lentille Lv au milieu du segment F10 et F3 sont équidistants du centre optique Ov de
cette lentille et on reconnaît la configuration 2f − 2f (on peut rapidement le vérifier
avec la relation de conjugaison de Descartes par exemple), la distance entre F10 et F3
doit être 4fv0 , soit :
F10 F3 = 4fv0 .
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
L1
L2
A y A01 = F2 y ∞
Posons α0 = 10°.
L’image intermédiaire étant sur le foyer objet de L2 , elle doit avoir
une taille de f20 α0 = fo0 α0 . Posons H la taille de l’oiseau ; le grandissement γt par la
lentille L1 s’exprime alors :
f 0 α0
γt = 0 .
H
f0
f 0 α0
f10
γt = 1 → 0
=
.
H
D + f10
F1 A
I.4. (a) Définissons les points A et B par :
Lv
(b) Notons A la position de l’oiseau. Son image A01 par l’objectif doit de nouveau être en
F2 . On a :
La relation du grandissement de Newton pour la lentille L1 donne alors :
(c) Ce dispositif présente l’inconvénient de renverser les images.
L1
Observations à distance finie
6/9
On peut résoudre analytiquement cette équation mais on peut plus facilement faire
l’hypothèse f10 D, qui permet de la simplifier en :
f00 α0 f10
Df00 α0
'
→ f10 '
= 2,62 m.
H
D
H
On vérifie qu’on a bien f10 D comme supposé.
Il vaudra mieux utiliser un oculaire plus convergent pour diminuer f00 et donc f10 . . .
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
lundi 9 novembre
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
On détermine la distance O1 F2 avec la relation de grandissement de Descartes pour
la lentille L1 :
O1 F2
O1 A
= γt →
an amont de l’œil qu’on place au niveau de l’oculaire L3 . En notant A l’objet observé,
0
A1 son image par L1 et A03 son image par L3 , on a :
f 0 α0
Df00 α0
O1 F2
=− 0
→ O1 F2 =
= 2,62 m
−D
H
H
L1
Les relations de conjugaison de Descartes s’écrivent :
On retrouve numériquement le résultat précédent : puisque l’objet est pratiquement
à l’infini, son image par L1 est très proche du foyer image de L1 . Ici l’expression est
cependant exacte sans aucune approximation.
On détermine enfin :
1
O1 A01
L3
On a donc :
A y F3 y ∞.
On peut reconnaître de nouveau la configuration 2f − 2f pour l’objectif L1 ; on a
donc :
O1 F3 = 2f10 → O1 O3 = O1 F3 + F3 O2 = 2f10 − f00 = 17 cm.
1
O3 A03
−
1
O3 A01
1
= 0.
f3
O1 A01 = O1 O3 + O3 A01 = 14,3 cm,
O1 A =
Lm
0 .
A = Fa y ∞ y Fm
f10 O1 A01
f10 − O1 A01
= −33 cm.
La plage d’accomodation s’étendra donc, dans ce cas, entre 2f 01 = 20 cm et 33 cm
en amont du viseur. L’instrument n’est alors absolument pas précis. En plaçant un
réticule dans le plan focal objet de l’oculaire et en cherchant à voir nettes les images
«en même temps que le réticule» on empêchera l’œil d’accomoder et on améliorera
grandement la précision du dispositif.
Avec la lentille divergente, on a :
Li
1
= 0
f
O1 A
1
et la relation de Descartes pour l’objectif donne :
(b) Il s’agit de la méthode de Badal, proposée en TP. En l’absence de la lentille divergente,
on a :
La
1
−f 0 dPP
O3 A01 = 0 3
= −2,68 cm.
f3 + dPP
II.2. (a) On veut de nouveau une image finale à l’infini, l’image de A1 par L1 doit donc être
le foyer objet de L3 :
La
−
On doit avoir O3 A03 = −dPP , soit, pour une valeur raisonnable dPP = 25 cm :
O1 O2 = O1 F2 + F2 O2 = O1 F2 − f00 ' O1 F2 ' f10 = 2,62 m.
L1
L3
A y A01 y A03 .
Lm
A = Fa y ∞ y Fi0 y A0 .
La relation de conjugaison de Newton s’écrit, pour Lm :
Correction du problème 2
2
0 A0 = −f 0 .
Fm F0i · Fm
m
I
La lentille Li étant placée au foyer objet de la lentille Lm , on a Fm F0i = fi0 ; et la
0 A0 est justement la translation du viseur entre les deux pointés.
mesure algébrique Fm
On conclut donc :
I.1. (a) On calcule :
f 0 2
fi0 = m = 6,67 cm.
P1 P2
(c) Un objet vu net sans accomodation doit se trouver à 2f10 en amont de la lentille L1 .
En revanche si l’œil accomode au maximum, l’image doit se trouver à la distance dPP
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
Caractéristiques de l’onde de matière
7/9
λdB =
h
= 5,54 · 10−12 m.
mv
(b) D’après le schéma de la molécule, son diamètre est de l’ordre de 4dC-C ' 6 Å soit environ 100 fois supérieure. On peut être a priori qu’il soit possible de réaliser des interférences dans ces conditions bien que fondamentalement rien n’impose de condition
sur ces grandeurs.
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
(c) √
La grandeur kB T a la dimension d’une énergie, tout comme mv 2 . On aura donc v ∝
kB T/m, soit ici :
mv 2
T∝
= 870 K.
kB
I.2. Pour le néon, on a M(Ne) = 20 g · mol−1 , soit :
(b) Une molécule animée d’une vitesse plus élevée aura une longueur d’onde λdB plus
faible et donc un interfrange plus petit. Si celui-ci devient de l’ordre de la largeur du
pic central, on ne pourra plus distinguer de minimum local marqué. Ce minimum est
atteint pour environ xm = 20 µm et sera donc brouillé pour vmax telle que :
λdB (vmax ) =
h
h
=√
= 2,0 · 10−8 m.
λdB =
mv
mkB T
Dans le cas du néon, la longueur d’onde est considérablement plus grande et donc les
angles caractérisant la figure d’interférence seront, pour une même distance entre les
fentes, beaucoup plus grands : les interférences s’observeront plus facilement.
II
lundi 9 novembre
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
Diffraction par un réseau de fentes
hD
dxm
→ vmax =
' 150 m · s−1 ,
D
mxm d
ce qui est quand même assez différent de v. On peut donc avoir une assez grande
dispersion des vitesses et conserver un contraste observable.
Remarque : Dans l’article, la dispersion en vitesses est mesurée à une valeur de
l’ordre de 100 m · s−1 , ce qui est attendu pour un gaz à une température aussi élevée. Dans la section suivante, on sélectionne les molécules en fonction de leur vitesse
pour réduire la dispersion relative en vitesses à 17%.
II.1. (a) On peut considérer que les différents trajets parallèles représentés sur le schéma se
III Diffraction par une onde lumineuse stationnaire
rejoignent à l’infini. L’onde se propageant orthogonalement au plan des fentes, celuici constitue un front d’onde et, avant transmission, la phase est la même sur chaque III.1. (a) Au cours de l’absorption d’un photon se propageant selon +e#», la molécule absorbe
x
fente. En revanche, comme on peut le constater sur le schéma, chaque onde va devoir
la quantité de mouvement du photon, soit (h/λ)e#»
x . Lors de l’émission ultérieure d’un
parcourir une distance plus grande que sa voisine de «droite» égale à d sin α, soit un
photon selon −e#»
x , la conservation de la quantité de mouvement assure que celle de
retard de 2πd sin(α)/λdB . Les interférences seront donc constructives si ce déphasage
la molécule doit de nouveau croître de +e#»
x . Au final, la quantité de mouvement de la
est congru à 0 (mod 2)π, soit si :
molécule a varié de :
2h #»
d sin(α) = pλdB avec : p ∈ Z.
∆ #»
p=
e .
λ x
(b) Pour λdB d, on aura donc α 1 ; l’intervalle entre les angles d’interférences
Le nouveau vecteur vitesse fait, avec la direction initiale, un angle α tel que :
constructives correspondant à deux valeurs consécutives de p différeront de :
2λ
2λ
2h
λ
= dB = dB
tan(α) =
∆α = dB .
λmv
λ
c/ν
d
Pour un écran placé à grande distance D, la position x sur l’écran est reliée à l’angle
par :
x
x = Dtan(α) ' Dα pour tan(α) = 1.
D
L’écart entre deux positions x correspondant à ∆α est finalement l’interfrange i recherché, égal à :
DλdB
i = Dα =
.
d
II.2. (a) De part et d’autre du pic central, on observe des pics secondaires. La distance entre
les deux pics secondaires étant d’environ 2∆i = 60 nm (il fallait lire les graduations
de l’échelle supérieure. . . ), on calcule :
v=
h
hD
=
= 230 m · s−1 .
mλdB mid
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
(b) Pour λdB c/ν (on peut vérifier que c’est bien le cas pour les ordres de grandeur
des paramètres précédents et un laser dans le visible) on a donc tan(α) 1 : les
interactions avec les photons ne changent que très peu la quantité de mouvement de
la molécule. L’angle α s’exprime alors selon :
α'
2λdB
.
λ
De plus les deux lasers contrapropagants forment une onde stationnaire, ie un système qui tout comme le réseau de fentes présente une périodicité spatiale. On sait
que cette période est d ≡ λ/2, on retrouve donc l’expression 1
dα = λdB ,
8/9
2015-2016
MPSI2, Louis le Grand
Devoir en temps limité no 2: Optique géométrique et monde quantique
pour p = 1. Les autres ordres de diffraction, pour |p| > 1 correspondront à des processus mettant en jeu le transfert de p photons d’un faisceau à l’autre.
Enfin, l’amplitude v 0 après diffraction vérifie :
v0 =
v
'v
cos(α)
pour α 1.
Remarque : En revanche les angles de diffraction sont très faibles, de l’ordre de
λdB /d ' 4,6 · 10−5 rad. Si le faisceau de molécules n’est pas bien collimaté, toutes
les molécules n’arriveront pas orthogonalement à l’onde stationnaire et donneront
des figures de diffraction légèrement décalées ce qui conduira très rapidement à un
brouillage.
III.3. (a) On observe que la répartition des molécules détectées dans chacun des pics varie
significativement quand on varie l’intensité des lasers : en particulier on vide presque
entièrement le pic central pour P = 9,5 W. On n’observe jamais ce comportement pour
une diffraction par un réseau de fentes : le pic central qui contient les molécules
n’ayant pas été déviées est toujours le plus peuplé.
III.2. (a) On lit comme précédemment un interfrange de 22 µm. On calcule alors :
i=
lundi 9 novembre
2DλdB 2Dh
2Dh
=
→v=
= 122 m · s−1 .
λ
mvλ
mλi
(b) Une masse plus élevée jouera à la fois sur la vitesse mais également sur le lien entre
vitesse et λdB . Plus précisément, on a :
p
h
h
v = kB T/m → λdB =
=√
:
mv
kB mT
√
la longueur d’onde de de Broglie décroît donc comme 1/ m quand la masse croît.
Pour des molécules de C70 , la longueur d’onde λdB sera donc plus faible, tout comme
√
i, d’un facteur 60/70 = 0,92.
Remarques :
√
• Bien qu’on n’ait√ établi la relation v = kB T/m que dimensionnellement, cette
variation en 1/ m reste valable quels que soient les facteurs numériques non
précisés dans ce problème.
• Dans l’article, les molécules de C60 et C70 sortent effectivement du même four
mais on les sélectionne ensuite selon leur vitesse. Elles ont donc la même vitesse
et l’interfrange varie donc comme 1/m.
(b) L’amplitude de l’onde lumineuse varie avec x comme cos(2πx/λ) (on a choisi l’origine
des x pour avoir un ventre en x = 0). L’intensité lumineuse Ix(), qui est proportionnelle à carré vérifie donc :
2πx
I(x) ∝ cos2
.
λ
En tout point de l’onde stationnaire lumineuse, l’onde de matière acquerra une phase
∆ϕ(x) proportionnelle à I(x), donc à cos2 (2πx/λ) qu’on peut écrire sous la forme :
2πx
∆ϕ(x) = ∆ϕ0 cos2
.
λ
Si l’intensité lumineuse est suffisamment importante pour que ∆ϕ0 soit égal à π, la
phase de l’onde de matière en des points distants de λ/2 différera de π. Même pour
un angle α = 0 on aura donc des interférences destructives entre les différentes zones
donc une onde de matière nulle dans la direction α = 0.
(c) Si les faisceaux ne sont pas rigoureusement parallèles et forment un angle β, le bilan
de quantité de mouvement des photons de la question III.1a s’écrit désormais :
∆ #»
p =2
h cos(β) #»
ex ;
λ
l’angle de diffraction α et donc l’interfrange i sont donc multipliés par cos(β) < 1.
En adaptant le raisonnement de la question II.2b, on veut que pour un angle des
faisceaux β les pics secondaires soient bien marqués, il faut donc qu’ils soient sortis
du pic central soit, en lisant sur la courbe, situés à plus de xmin ' 10 µm. Il faut donc
avoir :
2λdB Dcos(β)
> xmin → cos(β) > 0,45soit : β 6 62°.
λ
De nouveau le processus n’est pas très sensible à ce réglage.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
9/9
2015-2016