1 - Doc`INSA

LANIERE EXPERIMENTALE
2" année - 1~ cycle
JP. BROSSARD
CAHIER MECANIQUE *
Mécanique à masse warîabîe formule de Mechtcherskî
Fusée mono-étage formule de Tiokoiski
! Fusée à étages multiples
' Voir aussi cafîïer thermodynamique : J. CARRE
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I - LOI FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE - FORME IMPULSIVE
Système
quelconque
On sait que l!on peut écrire pour un point matériel
P : action sur la particule
m masse de la particule
—~-*—•>-
J°(JP) : accêlaration de la particule
pour un observateur galinéen
Multiplions les deux membres de la relation fondamentale
Par dt _y-
Fdt "= m ™ Vto(P)
dF = F dt est 1/impulsion de la force F pendant le temps dt
Intégrons entre deux instants t, et F
1 a
P'2
F = y F dt est l'impulsion intégrée de la force F~ entre les instants
'h
Nous pouvons donc écrire
dF = m dg Vg(P)
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L'impulsion est égale à la variation de la quantité de- mouve-
ment. CTest la forme impulsive de la loi fondamentale,
TI - FORMULE DE MECHTCHERSKI (THEOREME DE LA SOMME GEOMETRIQUE)
Soit un système qui a lFînstant t1 à la masse M et suppo-
dM
sons aue cette masse varie. Le débit masse est â, = j~. Pour obtenir
ri dt
une propulsion par fusée on doit avoir :
dM n
dt
= " y U > °
Le système soit éjecter une certaine masse
La somme du torseur des forces extérieures qui agit sur le
système est désignée par Fex.
Le théorème de la. sommes géométrique-donne
., cr a
dt
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Fex dt = dgag
Fêx cit = M>2 Vg(G^) + m Vg(G!f) - M1 Vg (G1 )
Fex dt = (M - ydt) Vg2 + ydt Vg(G2') - M .VgT
Mais Vg(G2) = Vg(G1) + d VgCg1)
Fex dt = (M - ydt) [yg(G.,) + dgVg(G2)] .+ ydt Vg(G2') -MVg(G1
Fex dt = M dg V^Ck-j) + ydt [VgG2' - VgG1] - ydt dg Vg(GT)
on peut négliger le dernier terme (2e ordre)
.'•dgVg(G,>- _•.'-*'
Fet = M --^t™-^ + P [VgG5 - Vg(G1)]
Soit G| ,. Xg" ,. Yg' , 2g/ un repère dont les axes sont para-
llèles à ceux de Og, Xg, Yg,-. 2g..-'
Vg(Gp = Vg(Gp + Vg x (Gp
• —-»-;£•
Posons Vg (Gp = ^ vitesse d!éjection des gaz
Vg(Gp = S + Vg(G.)
dt
Fex = M JS(G) - gj W
Formule MECHÏCHERSKI
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••. 4
Fex somme du torseur les forces extérieures agissant sur
le corps.
M masse du corps à l'instant t
*r~ débit, masse de la fusée
ctt • '
W vitesse de la masse pendue ou vitesse d!êjection,
TXT - POUSSEEmB LA FUSEE
On peut écrire la formule de MECHTŒERSKI
Fëx + ~ t .= M Jg(G)
ut
Fex = M Jg(G) avec
Fex = Fex + ~ W
dt
Tout se pose-comme si Ion avait à-l'instant t l?équation
du mouvement du centre df inertie dfun corps de masse M soumis à un
torseur de force extérieure dont la somme serait non pas FfeC mais
F
?
ex. Autrement dit on peut obtenir lféquation du mouvement en
ajoutant à'.la somme du torseur des forces extérieures le vecteur ;
dt
Ce vecteur> e§.t^appelé poussée, dela .fusée*
Le module de la poussée est proportionnel au débit masse et
â%a^tessed!éjectêon.y-: . .
ÏV - EQUATION EN MOUVEMENT BE LA FUSEE EN VOL RECTILIGNE SUR LA VERTICAL,
Les actions extérieures agissant
sur la-fusée sont :
- le poids P = --Mg Z g = g(z)
- la résistance aérodynamique
A L o
p masse spécifique
Cx coefficient de pénétra-
tion
S maître couple
W vitesse d?éjection
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