TP Mécanique 4 : LE GYROSCOPE

TP Mécanique 4 : LE GYROSCOPE
B. AMANA et J.-L. LEMAIRE
Gyroscope
LE GYROSCOPE
PARTIE THEORIQUE
Cette partie rappelle les différentes notions théoriques nécessaires à la
compréhension du mouvement du gyroscope.
I Eléments cinétiques d’un solide.
I-1 Centre de masse et quantité de mouvement.
(R)
(Rs)
O
(S)
Os
Soit (S) un solide et (Rs) un référentiel lié à (S). Le volume élémentaire dτ autour d’un
point fixe P de (Rs) contient la masse dm = ρ(P)dτ où ρ(P) est la masse volumique du
solide. Le point Gs de (Rs) est le centre de masse du solide (S) si :
∫∫∫
(S )
ϖ
G s P ρ ( P ) dτ = 0
(1)
Soit (R) le référentiel du laboratoire . Si le point P de (R s) a une position M dans (R )
et si la position Gs dans (Rs) est G dans (R) on a alors : GM = G s P . Soit en
remplaçant dans l’équation (1),
∫∫∫
(S )
ϖ
GM ρ ( P )dτ = 0
Les points M et G de (R ) étant mobiles, le vecteur
d GM d OM d OG
=
−
dt
dt
dt
2
d GM
= v(M) − v(G)
dt
(2)
GM
dépend du temps.
Gyroscope
En dérivant (2) par rapport au temps, on obtient :
∫∫∫
(s)
[v(M) − v(G) ]ρ(P)dτ = 0 ⇒ ∫∫∫(s) v(M) ρ(P)dτ = v(G)∫∫∫(s) ρ(P)dτ
En faisant apparaître la masse m= ∫∫∫ ( S ) ρ ( P )dτ et sa quantité de mouvement
p = ∫∫∫ v(M)ρ ( P )dτ , on peut écrire :
(S )
p = m v(G)
(3)
I-2 Moment cinétique d’un solide en rotation autour d’un point fixe.
Un solide est en rotation autour d’un point fixe O si l’un des ses points O s a pour
position O dans l’espace (R ) quel que soit le temps.
Soit Ω le vecteur rotation du solide, un point P de (Rs) de position M dans (R ) a
v(M) = Ω ∧ OM .
Le moment cinétique L en O est défini par :
pour vitesse
L(O ) =
∫∫∫
(S )
OM ∧ v(M)dm
Ou encore :
L(O ) = ∫∫∫ OM ∧ dp ( P )
(S )
(4)
Comme dm = ρ (P)dτ et OM = O s P , il vient :
L(O ) = ∫∫∫ O s P ∧ (Ω ∧ O s P ) ρ ( P )dτ
(s)
(5).
L’expression précédente peut être présentée sous une forme matricielle. En
 ωx 
 
choisissant une base ( i, j , k ) liée au solide pour Ω  ω y  et L ( les axes
ω 
 z
correspondant étant Osx, Osy, Osz) on peut écrire :
Page 3
Gyroscope
 L x   J xx
  
 L y  =  − J yx
 L   −J
 z   zx
− J xy
J yy
− J zy
− J xz   ω x 
 
− J yz . ω y  ou encore L(O ) = J (O s ).Ω
J zz   ω z 
(6)
où L (O) et Ω sont des matrices uni-colonnes et J(Os) une matrice de dimension 3x3.
J(Os) est appelée matrice d’inertie. Il est très important de faire remarquer que L (O)
est le vecteur moment cinétique en O pour le mouvement de (S) par rapport au
référentiel (R) et dont nous avons donné les composantes sur la base ( i, j , k ) liée
au solide donc mobile par rapport à (R).
Si x, y, z sont les coordonnées de P,
J xx= ∫∫∫ ( y 2 + z 2 )ρ( x, y, z )dτ
(S )
J yx= ∫∫∫ yxρ( x, y, z )dτ
(S )
J zx= ∫∫∫ zxρ( x, y, z )dτ
(S )
On obtient les autres termes de la matrice par permutation circulaire. Les termes de
la diagonale principale sont les moments d’inertie par rapport aux axes Osx, Osy, Osz,
les autres étant les produits d’inertie.
La matrice J(O) étant diagonalisable, il existe une base orthonormée ( e1 , e 2 , e 3 )
J1

dans laquelle J(O)=  0
0

0
J2
0
0

0 .
J 3 
J1, J2 et J3 sont les moments d’inertie principaux. Pour les solides de forme
particulière les axes principaux sont souvent évidents par l’étude des symétries du
problème.
Soient ∆ un axe passant par le centre d’inertie G d’un solide, ∆’ une axe parallèle à ∆
et d la distance entre ∆ et ∆’ ; soient J ∆ et J ∆’ respectivement les moments d’inerties
par rapport ∆ et ∆’. On montre que (Théorème d’Huyghens) :
J ∆ '= J ∆+ md 2 (7)
I-3 Théorème du moment cinétique.
En reprenant la relation (4) L(O ) = ∫∫∫( S ) OM ∧ d p ( P )
,
on peut écrire :
d
d
( L(O) = ∫∫∫ OM ∧ p ( P ) ;
(S )
dt
dt
4
Gyroscope
dp
= f ext(P) (principe fondamental de la dynamique) où f ext(P) est la somme des
dt
forces extérieures qui s’exercent sur le point P.
or
D’où :
d
( L (O)) = ∫∫∫ OM ∧ f ext( P ) .
(S )
dt
∫∫∫ OM ∧ f
(S )
( P ) représente par définition la somme des moments en O M (O ) des
E
ext
forces extérieures qui s’exercent sur le solide (S). Il s’ensuit que
d
( L(O )) = M E(O )
dt
(8).
II Rotation d’un solide de révolution autour d’un point fixe.
II-1 Matrice d’inertie
Soit (S) un solide pour lequel l’on fait les hypothèses suivantes :
- (S) a une forme géométrique de révolution autour de l’axe Oz1 (voir figure suivante)
- La masse volumique en un point z1 ne dépend que de la distance de ce point à
l’axe Oz1.
z1
(S)
k
i
1
O
1
j
1
y
1
x1
Figure 1.
Il résulte de ces deux hypothèses les conséquences suivantes :
-
le centre de masse G du solide est sur l’axe de révolution,
l’axe Oz1 et tout couple d’axes Ox1 et Oy1 perpendiculaires entre eux et à Oz1
forment les axes principaux d’inertie en O du solide.
Page 5
Gyroscope
I 0 0


Dans la base ( i1 , j1 ,k 1 ), la matrice d’inertie en O est de la forme  0 I 0  . J est le
0 0 J 


moment d’inertie autour de Oz1 et I le moment d’inertie autour de tout axe
perpendiculaire en O à Oz1.
II-2 Choix des axes.
1
Figure 2.
Soit (R ) le repère (O, x, y, z) Nous allons étudier le mouvement de (S) par rapport à
ce repère. (O, x1, y1, z) est le repère obtenu par rotation de (R ) d’un angle ψ autour
de Oz et (R1) le repère (O, x1, y1, z1) obtenu par rotation du précédent d’un angle
θ autour de Ox1 et ϕ l’angle de rotation du solide autour de Oz1 par rapport au repère
(R1).
Le vecteur rotation résultant est :
Ω=
dθ
dψ
dϕ dψ
x1 +
sin θ y 1 + ( +
cos θ) z 1
dt
dt
dt dt
Le moment cinétique en O L(O ) pour le mouvement dans (R) peut être écrit dans la
base ( x 1 , y 1 , z1 ) sous la forme
dθ




dt
 Lx   I 0 0 

  
  dψ
sin θ 
 Ly  =  0 I 0 

dt
 L  0 0 J  

d
ϕ
d
ψ
 z 

+
cos θ 

 dt dt

Le moment cinétique en O a donc pour expression
6
Gyroscope
L(O) = I
dθ
dψ
dϕ dψ
x1 + I
sin θ y1 + J( +
cosθ ) z 1
dt
dt
dt dt
(9)
III-3 Rotation d’un solide de révolution autour de son centre de masse.
Le centre de masse est supposé confondu avec O (origine des axes sur le centre de
masse). Le moment du poids est pour cela nul. Si le solide n’est soumis à aucune
autre action extérieure, on peut écrire d’après le théorème du moment cinétique (voir
équation (8)) :
d
( L(O )) = 0 ou encore L(O ) = C où C est un vecteur constant. Le moment
dt
cinétique est donc indépendant du temps et est déterminé par les conditions initiales.
On ne restreint pas la généralité de l’étude en supposant que le repère (R) a été
choisi tel que C = C z = C sin θ y 1 + C cos θ z 1 .
En comparant cette relation à l’équation (9), on peut écrire :
I
dθ
dψ
dϕ d ψ
= 0; I
sin θ = C sin θ ; J( +
cos θ) = C cos θ .
dt
dt
dt dt
En intégrant successivement les équations précédentes, on obtient :
− θ = θ0. θ0 étant déterminé par les conditions initiales (on exclut le cas θ0 =0 qui serait
celui d’une rotation autour de Oz) ;
− ψ = (C/I) t + ψ0.
−
dϕ
1 1
= C ( − ) cosθ 0 .
dt
J I
dϕ
a donc une valeur constante et par conséquent la rotation est à vitesse
dt
constante autour de Oz1. La figure suivante illustre bien le cas où le vecteur
OA fait avec le vecteur L(O ) l’angle constant θ0 et le point A décrit un cercle
centré sur Oz dessiné sur la sphère de centre O et de rayon OA .
Page 7
Gyroscope
z
θ0
z1
L(O)
A
(S)
O
G
Figure 3
III Mouvement d’une toupie symétrique (approximation gyroscopique).
z1
z
y1
G
d
θ
P
x
y
O
ψ
x1
Figure 4
Le mouvement étudié est celui d’une toupie dont la pointe fixe est en O. Le moment
en O des forces extérieures se réduit à celui créé par le poids du solide appliqué au
centre de masse G.
M E(O ) = OG ∧ m g .
Ou encore :
M E(O ) = mgd sin θ x1 avec OG = d.
Le mouvement est déterminé par la connaissance de des trois fonctions θ(t), ϕ(t) et
ψ(t). L’expression du moment cinétique en O de la toupie est toujours donnée par
l’équation (9):
8
Gyroscope
L(O ) = I
dθ
dψ
dϕ dψ
sin θ y 1 + J(
x1 + I
+
cos θ ) z 1
dt
dt
dt
dt
Dans l’approximation gyroscopique, nous supposons qu’à tout instant, la vitesse
dϕ
dθ
reste très grande devant la vitesse de nutation
angulaire de rotation propre
dt
dt
dψ
et la vitesse de précession
. Le moment cinétique se réduit alors à
dt
L(O ) = J
dϕ
z1 .
dt
Calculons la dérivée par rapport au temps de l’expression précédente dans le
référentiel (R).
.
Or
d L(O )
d 2ϕ
dϕ d z 1
=J
z1 + J
2
dt
dt
dt dt
d z1
= Ω ∧ z 1 où Ω est la rotation du repère (R1) par rapport au repère (R).
dt
On a vu plus haut que
Ω=
dθ
dψ
dϕ dψ
x1 +
sin θ y1 + (
+
cos θ ) z 1 .
dt
dt
dt
dt
On en déduit que :
d
dθ
dψ
(z ) = −
y +
sin θ x .
1
dt 1
dt 1 dt
D’où
d
dϕ d ψ
dϕ d θ
d 2ϕ
( L(O )) = J
sin θ x 1 - J
y1 + J 2 z1
dt
dt dt
dt dt
dt
.
En appliquant le théorème du moment cinétique voir équation (8), on peut alors
écrire que :
 Jϕ˙ ψ˙ sin θ = mgd sin θ

ϕ˙ θ˙ = 0


˙˙ = 0
ϕ

On peut donc conclure que :
- la vitesse de rotation propre
dϕ
conserve une valeur constante ω fournie par les
dt
conditions initiales,
Page 9
Gyroscope
dθ
est nulle au cours du temps,
dt
dψ
- la vitesse de précession
a une valeur constante ωp égale à
dt
- la vitesse de nutation
ωp =
mg d
(10).
Jω
Le sommet A du gyroscope décrit donc un cercle centré sur l’axe Oz et
parallèle au plan (O,x,y) avec la vitesse angulaire ψ˙ =ω p .
L’équation (10) signifie que la fréquence de précession ψ˙ =ω p est directement
proportionnelle a la distance d entre le centre de gravité et le point d’appui et
inversement proportionnelle à la fréquence de rotation ϕ˙ = ω du gyroscope;
elle ne dépend pas de l’angle θ entre l’axe du gyroscope et l’axe Oz.
IV Détermination des moments d’inertie d’une roue.
IV-1 Moment d’inertie par rapport à son axe de rotation
x
O
y
z
F
axe Oz horizontal
m
Figure 5
Nous voulons déterminer le moment d’inertie J0 de la roue (figure 5) par rapport à
son axe de rotation Oz horizontal. Pour cela on fixe une masse additionnelle m à la
périphérie de la roue. La distance du pont de fixation F de la roue à l’axe de rotation
vaut donc R le rayon de la roue. La masse m étant considérée comme une masse
ponctuelle, le moment d’inertie J de l’ensemble roue lestée de la masse m par
rapport à l’axe Oz vaut :
J = J 0 + ∫∫∫ OF 2 ρ( F )dτ = J 0+OF
2
∫∫∫ ρ( F )dτ =J
0
+ mR 2 (11)
Ecartons l’ensemble roue +masse d’un angle faible θ de sa position d’équilibre
(figure 6).
10
Gyroscope
x
O
y
θ
F
mg
Figure 6
Le moment des forces extérieures par rapport à l’axe Oz se réduit à celui de la
masse m :
M E(0) = OF ∧ m g
ou encore :
M (O ) = − mgR sin θ z
En appliquant le théorème du moment cinétique au système , on obtient:
J
2
d 2θ
2 d θ
=
−
mgR
sin
θ
ou
encore
(J
+
mR
)
+ mgR sin θ = 0
0
dt 2
dt 2
Pour des écarts angulaires faibles sin θ ≈ θ . On peut alors écrire :
(J 0 + mR 2 )
d 2θ
mgR
+ mgRθ = 0 qui s' intègre pour donner θ =θ 0 sin(
t +ϕ 0 )
2
dt
J 0+ mR 2
où θ0 et ϕ0 dépendent des conditions initiales. On voit bien que le mouvement du
système écarté de sa position d’équilibre puis lâché est sinusoïdal de période :
T = 2π
J 0+ mR 2
mgR
(12).
Si l’on mesure la période d’oscillation T de l’ensemble roue + masse, on peut
déduire le moment d’inertie J0 de la roue seule par rapport à son axe de rotation.
Page 11
Gyroscope
J 0= mR (
gT 2
− R)
4π 2
(13).
IV-2 Moment d’inertie par rapport à tout axe perpendiculaire à l’axe de
Rotation Oz.
z
axe
roue
O
y
y
O'
Figure 7
On veut déterminer le moment d’inertie I0 de la roue de la figure précédente par
rapport à l’axe Ox (ou Oy) passant par le centre de gravité de la roue (voir figure
précédente). Pour cela on met la roue en rotation autour d’un axe O’x (ou O’y). La
distance du pont de fixation O’ au centre de gravité O de la roue vaut d. La masse
totale de la roue + système de fixation étant M, le moment d’inertie I de l’ensemble
par rapport à l’axe O’x (ou O’y) vaut (équation 7) :
I = I 0+ Md 2 (14)
Ecartons l’ensemble roue + système de fixation d’un angle faible θ par rapport à sa
position d’équilibre ( voir figure suivante).
z
θ
y
y
O
O'
Mg
Figure 8
Le moment des forces extérieures par rapport à l’axe O’x se réduit à celui de la
masse M :
12
Gyroscope
M E(O ' ) = OO' ∧ M g
ou encore :
M E(O ' ) = − Mgd sin θ z
En appliquant le théorème du moment cinétique au système , on peut écrire :
I
2
d 2θ
2 d θ
Mgd
I
Md
=
−
sin
θ
ou
encore
(
+
)
+ Mgd sin θ = 0
0
dt 2
dt 2
Pour des écarts angulaires faibles sin θ ≈ θ . On peut alors écrire :
(I + Md 2 )
0
d2θ
Mgd
+ Mgdθ = 0 ou encore θ =θ sin(
t + ϕ 0 ) où θ0 et ϕ0
0
2
2
dt
I + Md
0
dépendent des conditions initiales. Le mouvement du système écarté de sa position
d’équilibre puis lâché est sinusoïdal de période
T = 2π
I 0+ Md 2
Mgd
(15).
Si l’on mesure la période d’oscillation T de l’ensemble roue + masse, on peut
déduire le moment d’inertie I0 de la roue seule par rapport à son axe de rotation.
I 0= Md (
gT 2
− d ) (16)
4π 2
PARTIE EXPERIMENTALE
Comme nous l’avons dit plus haut les manipulations vont concerner la détermination
des moments d’inertie d’un gyroscope par rapport à ses axes de symétrie et la
vérification de la loi reliant la vitesse de précession à la vitesse de rotation.
Mais auparavant voici un bref aperçu du matériel utilisé.
I-1 Matériel utilisé.
Le matériel est composé d’un PC, d’un compteur numérique, de deux capteurs
optiques, de masselottes , d’une roue de bicyclette faisant office de gyroscope …
Sur le disque dur du PC est installé dans le répertoire Gyroscope un logiciel nommé
Digital.exe qui va permettre la communication via liaison RS 232 entre le PC et le
compteur numérique.
Le compteur numérique est un appareil qui permet d’enregistrer des valeurs jusqu’à
2000. Ces dernières peuvent être visualisées individuellement ou bien être
transmises au PC . On pourra donc piloter le compteur numérique soit directement
ou soit en partie à partir du PC.
Page 13
Gyroscope
Compteur numérique
Les barrières lumineuses (isolées ou couplées par deux) commandent le
déclenchement du chronomètre du compteur numérique.
Barrière lumineuse
.
Le gyroscope, constitué d’une roue de poids faible, a un moment d’inertie assez
élevé. Le moyeu de cette roue s’évase en entonnoir et renferme un roulement à
billes. Grâce à ce dispositif, on peut déplacer le centre de gravité du gyroscope.
Celui-ci peut reposer sur son point d’appui se trouvant au-dessus ou au-dessous de
son centre de gravité ou en coïncidence avec lui. Cette possibilité de déplacer le
pont d’appui permet de mettre en évidence les différentes lois gyroscopiques.
Le gyroscope est livré avec une tige de 50 cm pour la détermination des moments
d’inertie.
Une deuxième tige plus courte (tige pivot) terminée en pointe à une extrémité et
pouvant coulisser librement dans le moyeu où elle peut être immobilisée à la hauteur
désirée à l’aide d’une vis moletée servira de point d’appui. Lorsque la marque
circulaire de cette tige pivot arrive juste au-dessus du bord supérieur du moyeu, le
centre de gravité coïncide avec le point d’appui.
14
Gyroscope
Une troisième tige pourvue à une extrémité d’un évidemment en cuvette joue le rôle
de crapaudine et sera montée sur un pied en V.
Les notices d’utilisation de tous ces appareils sont disponibles dans la salle de
TP. Il est donc vivement recommandé de se familiariser avec leur
fonctionnement avant de débuter les mesures.
II Manipulations
Attention : Masse de la roue de bicyclette : 3,0 kg
II-1 Détermination du moment d’inertie axiale J (moment d’inertie par rapport à
l’axe de rotation) du gyroscope.
Le montage à réaliser est celui de la figure suivante.
Page 15
Gyroscope
Le principe de mesure repose sur la théorie du paragraphe IV-1 de la partie
théorique. On fera donc fonctionner le gyroscope en pendule physique. Les quatre
masses corps magnétiques serviront de masses additionnelles (m à mesurer à l’aide
de la balance).
La connaissance de la valeur de m, de R (distance des masses à l’axe de rotation)
ainsi que de La période T des oscillations permet de déterminer J à partir de
l’équation 13.
-
Réaliser le montage.
-
Connecter la barrière lumineuse à l’entrée F du compteur numérique.
- Raccorder le compteur numérique et le PC (liaison RS232 à relier sur le port série
com1) puis lancer le logiciel de communication.
- Sur le compteur numérique, sélectionner le mode Période et la mesure de ∆t
(mesure de la période d’oscillation du pendule). Régler le bouton poussoir audessus de l’entrée F de façon à ce que la zone d’affichage juste au-dessus marque
la lettre P ; on est alors en mode mesure de période sur cette voie.
-
Fixer les masses additionnelles (pièces magnétiques) à la jante de la roue.
-
Ecarter le pendule juste suffisamment pour que la barrière lumineuse ne soit
interrompu que par un seul rayon au cours d’une oscillation complète.
NB : le rayon coupe deux fois le faisceau lumineux au cours d’une oscillation
complète.
-
Mesurer la durée de 5 oscillations puis déterminer la période T.
-
Mesurer m et R puis déterminer J.
II-2 Détermination du moment d’inertie équatoriale I (moment d’inertie par
rapport à tout axe perpendiculaire à l’axe de rotation).
Principe de mesure selon la théorie du paragraphe IV-2 de la partie théorique.
Le montage à réaliser est celui de la figure suivante.
16
Gyroscope
-
Déplacer le centre de gravité vers le bas et l’amener à une distance d d’environ 5
cm sous le point d’appui. Mesure à faire à l’aide d’un pied à coulisse (voir figure
suivant pour la mesure de d).
d=s-s0
-
Placer le gyroscope et la barrière lumineuse de telle façon que l’axe du
gyroscope au repos coupe le faisceau de la barrière lumineuse.
-
Mêmes réglages que précédemment pour le compteur numérique.
Page 17
Gyroscope
-
Basculer l’axe de gyroscope de 20° environ, le relâcher et mesurer la durée de 5
oscillations puis déterminer la période T.
-
Mesurer la masse M du gyroscope sans axe de rotation. et la distance d à l’aide
du pied à coulisse .
-
Déterminer I.
-
Comparer J et I.
III Précession du gyroscope.
Nous allons vérifier la relation liant la vitesse de précession du gyroscope en fonction
de sa vitesse de rotation pour différentes positions du point d’appui par rapport au
centre de gravité.
Le montage à effectuer est celui de la figure suivante.
-
Connecter la barrière lumineuse (1) à l’entrée F du compteur numérique et la
barrière (2) à l’entrée E.
-
Régler les deux entrées sur le mode Π (entre 2 fronts montants- voir notice).
-
Régler la distance d entre le point d’appui et le centre de gravité ;
-
Placer le gyroscope en position verticale et le déplacer latéralement avec le pied
en V de telle façon que l’axe du gyroscope coupe le faisceau de la barrière (1) ;
18
Gyroscope
-
En maintenant l’extrémité supérieure du gyroscope avec la main gauche, utiliser
la main droite pour donner un mouvement de rotation au gyroscope en tournant
de façon répétée le logement du coussinet.
-
Pencher délicatement l’axe du gyroscope et le relâcher de façon à produire un
pur mouvement de précession sans tremblement de l’axe optique. Recommencer
en cas de tremblement.
-
Lancer le comptage (touche « start » du compteur ou bouton « chrono » du
logiciel).
-
Pendant le ralentissement progressif du gyroscope, le logiciel enregistre plusieurs
couples de points (ωp, ω).
-
Pour le dépouillement des valeurs, on prendra les valeurs de ω qui suivent
directement celle de ωp. Ne pas oublier de diviser ω par 9 (nombre de rayons de
la roue divisé par 2).
-
Effectuer la même expérience pour plusieurs valeurs de d (au minimum 3 valeurs
de d positives et 3 négatives - selon que le centre de gravité se situe au-dessus
ou au dessous du point d’appui, d est positif ou négatif).
-
Observer le sens de précession selon le signe de d. En tenir compte dans
l’exploitation des résultats.
-
Que se passe-t-il lorsque d=0 ? Expliquer.
-
Tracer sur un même graphe les courbes ωp = f(ω). Commenter.
-
Mg
et le comparer à celle obtenue par
J
mesure directe de M et J au cours des expériences précédentes.
Déduire de chaque courbe le facteur
-
Tracer ensuite la courbe ω. ωp = g(d). Commenter.
-
Déduire le facteur
-
Commenter l’ensemble des résultats obtenus et conclure.
Mg
et faire la comparaison à celle obtenue par mesure directe
J
de M et J au cours des expériences précédentes.
IV Observation de la nutation du gyroscope.
Même montage que précédemment.
-
Faire coïncider le point d’appui et le centre de gravité du gyroscope.
-
Maintenir le gyroscope en position verticale, le faire tourner et le relâcher.
Page 19
Gyroscope
-
Donner un petit coup latéral à l’axe du gyroscope de manière à le faire basculer
d’un angle raisonnable.
-
Observer le mouvement de nutation du gyroscope et l’expliquer en se servant de
la théorie du paragraphe II.
-
Commenter
20