r ∑ r - UniNE

-1Expérience no 7
LE GYROSCOPE
1.
GENERALITES
1.1
Précession et nutation
On appelle gyroscope un corps solide qui n'a qu'un seul point
fixe. Son mouvement est une rotation autour de l'axe momentané de
rotation qui peut changer de position à tout instant par rapport
au corps. Le mouvement général d'un gyroscope est compliqué et
très difficile à traiter mathématiquement. Afin de simplifier le
problème, nous allons restreindre nos calculs au cas le plus
simple du gyroscope symétrique à rotation rapide tel qu'on le
rencontre souvent en pratique (volant, boussole gyroscopique,
stabilisateur, etc.).
Le théorème du moment cinétique
est à la base de tous nos
calculs. Il s'exprime
ainsi:
r
r
dB o
= Mo
1)
dt
O≡ point de référence quelconque
mais judicieusement choisi.
La
r dérivée du moment cinétique
B o par rapport rau temps est
égale au moment M o des forces
extérieures agissant sur le
corps. Le moment cinétique, ou
moment d'impulsion, ou drall
est
l'équivalent
pour
la
rotation de l'impulsion pour la
translation. Ce moment est la
somme des moments des vecteurs
d'impulsion
de
chacun
des
points massiques mi situés à la
distance ri du centre 0 et
possédant
la
vitesse
Vi.
L'impulsion Pi est:
r
r
p i = mi v i
r
Fig. 1
et le moment cinétique B (sousr
entendu B o) est donné par:
r
r
r
r
B = ∑ B i = ∑ ( r i x p i)
i
ou
r
B =
i
r
∑ ( ri
r
x mi v i)
2)
i
L'équation 1) est une équation vectorielle qui donne par
conséquent des indications
sur la grandeur, la direction et le
r
sens des variations de B .
Dans le cas général d'un solide en rotation autour d'un axe de
-2r
r
r
rotation u r( u = ω /ω ) quelconque, il faut remarquer
r que le moment
cinétique B et l'axe momentané de rotation ω ne sont pas
parallèles. La relation entre ces deux grandeurs se trouve de la
façon rsuivante:
r
r
r
r
r
r
r
B = ∑ m i( r i x v i)
avec
v i = ω x r i = ω( u x r i)
i
r
r
r
r
r
r
r
r
donc B = ω ∑ m i( r i x (u x r i)) = ω ∑ m i( u ri2 - r i( u · r i))
i
i
r
r
r
r
r
2
B = ω ∑r mi ri ∑ mi r i( u · r i)
r
On voit qu'enr général B et ω ne sont
pas parallèles. La
r
composante
de
B
suivant
l'axe
de
rotation
u
sera:
r
r
r
r
B · u = Bu = ω ∑ mi(ri2 -( u · r i)2) = ω ∑ mi δ2 ≡ ωθ u
θ u est le moment
r
rapport à l'axe u .
d'inertie
par
Si l'axe de rotation coïncide avec
un axe de symétrie du solide, B
est parallèle à u et on peut
écrire:
r
r
B = θω
Fig. 2
La figure 3 représente une toupie
pointue T qui tourne rapidement
autour de l'axe momentané de
rotation supposé identique à l'axe
de la toupie. Au temps t le moment
r
cinétique aura la valeur B . La
r
toupie étant penchée, son poids P
agissant au centre rde gravité G
produira un moment M par rapport
au point 0. D'après 1) qu'on peut
aussi écrire:
r
r
d B = dt M
l'accroissement
du moment cinér
tique
d B est parallèle au moment
r
M . Au temps t + dt donc, le
moment cinétique, l'axe ,de la
r
toupie avec lui et le moment M
occuperont de r nouvelles
positions
r
r
r
indiquées en Br + d B et M + d M .
Si la force P agit constamment,
l'axe de la toupie changera autour
de la verticale passant par 0 et
effectuera ce qu'on appelle une
précession.
Fig. 3
-3Si le moment cinétique n'est pas confondu avec l'axe de symétrie
du corps (aussi axe de rotation rapide), la toupie effectuera un
troisième mouvement de rotation superposé à la précession: la
nutation. On la mettra le mieux en évidence expérimentalement en
supprimant le moment M: c'est le cas du gyroscope supporté en son
centre de gravité.
r
r
dB
M = 0
donc
= 0
dt
r
Le moment cinétique B reste en
r place et l'axe de rrotation rapide,
s'il n'est pas confondu
r avec B , tourne autour de B .
Le moment cinétique B est fixe
dans l'espace. L'axe de rotation
r
rapide décrit un cône qui a B pour axe, le cône de nutation. Ce
mouvement est facile à observer: il suffit de donner un choc à un
gyroscope rapide pour faire que le moment cinétique ne coïncide
plus avec l'axe du corps qui décrit alors un cône de nutation.
1.2
Précession d'un gyroscope symétrique pesant à rotation rapide
Lorsqu'un gyroscope est soumis à un moment dû à son poids
(déséquilibre du point d'appui) son mouvement est plus complexe et
présente une précession caractéristique. Ce mouvement
est
relativement simple, uniquement si l'axe de rotation coïncide avec
l'axe de symétrie du corps et si la rotation est rapide.
Fig. 4
Fig. 5
Considérons le gyroscope suivant (Fig. 4): un disque (D) est fixé
à un moteur (ME) supporté par une barre (B) de telle façon que
l'axe du gyroscope coïncide avec celui de la barre. Cette barre
est fixée en 0 à un palier qui permet une rotation autour d'une
verticale et d'une horizontale, en d'autres termes, un mouvement
quelconque autour de 0. Un contrepoids C permet d'équilibrer le
système. Le gyroscope formé par
r disque tourne autour de son axe
r le
avec la vitesse angulaire ω . B est alors, par suite de la
symétrie, dans la direction de l'axe du corps en rotation.
r
Tant que le gyroscope (Fig. 4) est bien équilibré M = 0, et à
cause de 1)
r
r
d B /dt = 0
B = constante
Le moment cinétique est fixe dans l'espace et dans le temps.
Suspendons un poids mg à l'extrémité libre de la barre, il en
résultera un moment M par rapport au point fixe 0. B augmentera de
dB = M dt et le gyroscope effectue une précession. La vitesse
angulaire Ω de cette précession vaut: Ω = dα/dt, où dα est
l'angle, dans le plan horizontal, dont a tourné l'axe du gyroscope
-4pendant le temps dt. De la figure 5, on tire:
dα =
arc
dB
=
rayon
B
mais dB = M dt et dα = M dt/B donc Ω = M/B. D'autre part, M = mg l
et B = θω, par conséquent:
Ω =
gl m
θ ω
(3)
La précession est donc d'autant plus rapide que le moment cinétique est faible, c'est-à-dire, pour un θ donné, que la vitesse
angulaire est petite et que le moment M est grand
1.3
Détermination du moment d'inertie
On fixe une masse m sur le disque du gyroscope (Fig. 6) et on
détermine la période T du pendule physique ainsi formé. (Enlever
les charbons du moteur pour diminuer la friction).
On a:
T = 2π
θ + mL2 + θ′
mgL
(Comparer introduction pendule)
θ' = (m/2) r2
et on en tire facilement:
Fig. 6
T2gL
r2
2
θ = m(
- L )
4 π2
2
(4)
Signification des symboles:
T = période du pendule physique (disque + masse m) [s]
θ = moment d'inertie du volant seul [kg m2]
θ'= moment d'inertie de m par rapport à l'axe passant par son
m
L
g
r
=
=
=
=
centre de gravité [kg m2]
masse additionnelle [kg]
distance centre de gravité de m à l'axe de rotation [m]
9,81 m s-2
rayon de la masse additionnelle [m]
-52.
EXERCICES
1. Déterminer le moment d'inertie θ du gyroscope selon la méthode
décrite sous 1.3. (équ. 4).
2. Mesurer les vitesses de précession pour différentes vitesses de
rotation propre de la roue et pour différents poids
additionnels. Faire l'expérience avec 5 poids additionnels et 4
différentes fréquences de rotation de la roue (f en cycles).
m
Faire la représentation graphique Ω = Ω( ); de la pente tirer
ω
θ (équ. 3) et comparer ce résultat à celui obtenu à partir de
l'équation (4).
Vitesse de précession
Mettre le gyroscope en rotation et le poser sur son palier à air
(pression au mano. détendeur: 4kg); l'équilibrer exactement en
déplaçant le contrepoids de
manière
à
n'observer
aucune
précession. Puis produire un moment en suspendant un poids
supplémentaire à la barre (sous le contrepoids). Le choc
introduira en général une certaine nutation qu'on peut éviter en
accrochant délicatement le poids, ou qu'on peut compenser en
poussant de la main au départ le gyroscope dans son mouvement de
précession (explication!). Ceci est nécessaire parce que dans nos
calculs de Ω, nous avons supposé le mouvement établi et
stationnaire, nous ne nous sommes pas occupés des conditions
initiales et transitoires.
Mesure de la vitesse de rotation avec le stroboscope:
Faire vibrer le stroboscope à une fréquence supérieure à la
vitesse maximum prévisible (dans les système mécanique simple 4000
tours/min est déjà considérable) puis baisser cette fréquence
jusqu'à observer l'image stable du disque. Cette fréquence de
stabilisation est égale au nombre de tours/ min. D'autres
fréquences plus faibles correspondront à deux tours, trois tours
etc. entre deux éclats de la lampe stroboscopique.
r
3. Se convaincre
de
la
justesse
de
la
relation
vectorielle
entre
B
r
et M .
5 août 2002_nd