Le nombre d`or en mathématiques.

LE NOMBRE D’OR EN MATH´ EMATIQUE
Pierre de la Harpe
1er novembre 2008
ABSTRACT. This is a popularization essay of mathematics, in French, about the number
known as the golden ratio: ϕ≈1.61803 ···. Several definitions of this number are shown to
be equivalent. The golden ratio is then shown to be relevant to some elementary geometric
problems (proportions in a regular pentagon), and also to arithmetic considerations of both
elementary and more advanced nature (diophantine approximation, Hilbert’s 10th problem).
The mathematical background expected from the reader varies a lot from place to place.
R´ ESUM´ E. Texte de vulgarisation math´ematique `a propos du nombre d’or ϕ≈1.61803 ···.
On y montre d’abord l’´equivalence de plusieurs d´efinitions de ce nombre. Puis on d´ecrit le
rˆole du nombre d’or dans divers probl`emes g´eom´etriques (proportions dans un pentagone
r´egulier), ainsi que dans diverses consid´erations arithm´etiques ´el´ementaires et plus avanc´ees
(approximation diophantienne, 10`eme probl`eme de Hilbert).
Les pr´erequis math´ematiques sous–entendus varient consid´erablement de place en place.
Chic
J’ai
Compris
L’essentiel
Et c’est pour demain
Si le diable est dans les d´etails1
Un choix de d´efinitions
En math´ematiques, le nombre d’or peut ˆetre d´efini de plusieurs mani`eres, diff´erentes,
mais toutes ´equivalentes au sens o`u elles d´efinissent le mˆeme nombre. Le choix des
d´efinitions qui suivent, ainsi que leur ordre, rel`eve donc d’une bonne dose d’arbitraire.
D´efinition 1. Le nombre d’or est le nombre
ϕ=√5+1
2.
La notation choisie, la lettre grecque ϕ, prononcer “fi”, est l’un des usages courants (un
autre est τ, prononcer `a mi–chemin entre “tau” et “tao”). Certains auteurs affirment que
le choix de ϕhonore le sculpteur grec Phidias, du V`eme si`ecle avant J´esus–Christ.
1Un fib est un po`eme de 6 vers comptant 20 syllabes, les 6 vers ayant dans l’ordre 1,1,2,3,5 et 8
syllabes. Wikip´edia mentionne l’existence de fibs en sanscrit remontant `a plus de 2000 ans. Pour un site
de fibs, dus `a Marc Lebel, voir http://mlebelm.ca/index.php?Fibs-a-la-fibonacci

2 PIERRE DE LA HARPE
Approximations d´ecimales. Pour les flemmards : de 4 <5<9, on d´eduit d’abord
2<√5<3, et par suite 1,5< ϕ < 2. En poussant les calculs un peu plus loin, d’abord
4,84 <5<5,29 =⇒2,2<√5<2.3 =⇒1,6< ϕ < 1,65 ,
puis
4,9729 <5<5,0176 =⇒2,23 <√5<2.24 =⇒1,615 < ϕ < 1,62 ,
etc., par exemple jusqu’`a ce qu’on trouve (comme dans au moins une page de Wikipedia)
ϕ≈1,6180339887 ··· ,ou encore un peu plus :
ϕ≈1,61803398 87498948 48204586 83436563 81177203 09179805 76286213 54486227 ··· .
Voir http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi10000dps.txt (par ex-
emple) pour les 10 000 premi`eres d´ecimales de ϕ.
C’est une cons´equence de la proposition 2 (voir plus bas) qu’il n’est pas possible d’´ecrire
une valeur exacte en notation d´ecimale avec un nombre fini de chiffres.
D´efinition 2. Le nombre d’or est la solution positive de l’´equation x2−x−1 = 0.
Equivalence avec la d´efinition 1. L’´equation x2−x−1 = 0 a deux solutions qui sont 1+√5
2
et 1−√5
2, comme on le v´erifie par exemple en ´ecrivant
x−1 + √5
2! x−1−√5 2!=x−1 22
− √5
2!2
=x2−x+1
4−5 4
=x2−x−1.
Par ailleurs, il est (presqu’) ´evident que le nombre 1+√5
2est positif et que le nombre 1−√5 2
est n´egatif. 
Remarques. Ainsi, ϕ2−ϕ−1 = 0 ; il est parfois avantageux d’´ecrire cela sous la forme
1
ϕ=ϕ−1.
Notons par ailleurs que
−1
ϕ=−2
√5+1 =−2(√5−1)
(√5 + 1)(√5−1) =−2(√5−1)
4=1−√5 2,
c’est–`a–dire que l’autre racine de l’´equation de la d´efinition 2 est pr´ecis´ement
−1
ϕ=1−√5 2≈ −0.618 ··· .
D´efinition 3. Le nombre d’or est la proportion ϕtelle que, ´etant donn´e deux nombres
positifs Let `tels que L > ` > 0, le rapport de L+``a Lest ´egal au rapport de L`a `.
Equivalence avec la d´efinition 2. Si L+`
L=L `=ϕ, alors ϕ`+` ϕ` =ϕ, donc ϕ+1 ϕ=ϕ, ou
encore
ϕ+ 1 = ϕ2,
de sorte que ϕest bien le nombre de la d´efinition 2.
R´eciproquement, soit ϕle nombre de la d´efinition 2. Choisissons arbitrairement un
nombre ` > 0 et posons L=ϕ`. On v´erifie facilement que L+`
L=L `=ϕ, de sorte que ϕ
est bien le nombre de la d´efinition 3. 

LE NOMBRE D’OR EN MATH´ EMATIQUE 3
Faisons d’abord de la g´eom´etrie ...
Proposition 1. Dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur 1, les diagonales
ont longueur ϕ.
D´emonstration. Consid´erons un pentagone r´egulier de sommets P, Q, R, S, T , dont les cˆot´es
ont longueur
long(P Q) = long(QR) = long(RS) = long(ST ) = long(T P ) = 1.
Les cinq diagonales ont aussi mˆeme longueur, que nous notons τ:
long(P R) = long(QS) = long(RT ) = long(SP ) = long(T Q) = τ.
Il s’agit de montrer que τ=ϕ.
INDISPENSABLE : dessiner une figure en lisant la suite !
Premi`erement, notons Ul’intersection des diagonales QS et RT . Les triangles UT Q et
URS ont leurs cˆot´es parall`eles deux `a deux ; ils sont donc semblables, et on a
long(QU)
long(US)=long(QT ) long(RS)=τ.
Deuxi`emement, le quadrilat`ere P QUT est un losange (cˆot´es oppos´es parall`eles et de mˆeme
longueur) ; par suite :
long(QU) = long(P T )=1.
Il en r´esulte que
long(QS)
long(QU)=long(QS) long(P T )=τ=long(QU) long(US).
Vu la d´efinition 3, on a bien τ=ϕ.
Cette proposition montre donc l’´equivalence des d´efinitions pr´ec´edentes avec la d´efinition
suivante.
D´efinition 4. Le nombre d’or est le rapport entre la longueur des diagonales et la longueur
des cˆot´es dans un pentagone r´egulier.
Remarque. Le nombre d’or apparaˆıt ainsi de mani`ere tr`es simple dans une figure, le
pentagone r´egulier, qui a exerc´e depuis la nuit des temps une tr`es grande fascination. La
d´ecouverte du fait que ce nombre soit irrationnel (voir plus bas) fut un choc consid´erable
pour les g´eom`etres de la Gr`ece ancienne ; voir [OsWa].
Exercice. Si vous savez ce qu’est un cosinus, montrez que
2 cos π
5=ϕ.
[Indication : dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur 1, on trouve un triangle
rectangle dont l’hypoth´enuse est de longueur 1 et un cˆot´e de l’angle droit de longueur ϕ/2.]
Remarque, pour les lecteurs qui savent manipuler l’exponentielle d’un nombre complexe.
Voici une autre mani`ere de d´emontrer la relation de l’exercice pr´ec´edent : si z=e2iπ/5

4 PIERRE DE LA HARPE
et γ=z+1
z= 2 cos(2π/5), alors z4+z3+z2+z+ 1 = 0 et γ2+γ−1 = 0, et par
suite cos(2π/5) = √5−1
4. On en d´eduit d’abord que 2 cos2(π/5) = 1 + cos(2π/5) = 3+√5 4,
et finalement que 2 cos(π/5) = q3+√5
2=1+√5 2=ϕ.
Voici une traduction trigonom´etrique des quatre lignes qui pr´ec`edent, sans nombre com-
plexe.
Choisissons l’origine du plan au centre du pentagone, et notons ses sommets dans l’ordre
cyclique : z0, z1, z2, z3, z4. Montrons d’abord que la somme S=z0+z1+z2+z3+z4de
ces quatre vecteurs est nulle.
En effet, la moiti´e de la somme de deux sommets cons´ecutifs est le milieu du cˆot´e qui les
joint, par exemple 1
2(z0+z1) = −ρz3, o`u ρd´esigne la distance entre l’origine et le milieu
d’un cˆot´e. Par suite
S=1
2(z0+z1) + 1 2(z1+z2) + 1 2(z2+z3) + 1 2(z3+z4) + 1 2(z4+z0)
=−ρz3−ρz4−ρz0−ρz1−ρz1=−ρS,
ce qui implique S= 0.
Les coordonn´ees des sommets s’´ecrivent
z0= (1,0)
z1= (cos 2π
5,sin 2π 5)z4= (cos 2π 5,−sin 2π 5)
z2= (cos 4π
5,sin 4π 5)z3= (cos 4π 5,−sin 4π 5)
et S= 0 implique
(†) 1 + 2 cos 2π
5+ 2 cos 4π 5= 0.
Posons provioisrement x= 2 cos π
5. Alors 2 cos 2π 5=x2−2 et 2 cos 4π 5= (x2−2)2−2 =
x4−4x2+ 2, de sorte que la relation (†) s’´ecrit
1 + x2−2 + x4−4x2+ 2 = x4−3x2+ 1 = 0.
A priori, on trouve les deux solutions x2=1
2(3 ±√5). Or le signe −ne convient pas, car
π
5<π 3⇒cos π 5>cos π 3= 1 ⇒2 cos π 5>1⇒x2>1. On trouve donc bien x2=1 2(3+√5),
et donc aussi x=1
2(1 + √5) = ϕ, comme promis.
Exercice. On consid`ere dans le plan un cercle centr´e en un point O, deux rayons OP et
OB perpendiculaires de ce cercle, le milieu Ddu rayon OB, la bissectrice de l’angle ODP
qui coupe le rayon OP en un point N, la perpendiculaire `a OP en Nqui coupe le cercle
en un point Q, et le point sym´etrique Tde Qpar rapport `a la droite portant le rayon OP .
Montrer que long(QT )
long(P Q)=ϕ, c’est–`a–dire que P,Qet Tsont trois des cinq sommets d’un
pentagone r´egulier inscrit dans le cercle de d´epart.
(La construction est celle donn´ee `a la page 27 de [Cox–69] ; c’est une variante de la
construction d’Euclide. Pour trouver la solution de l’exercice, il faut bien sˆur commencer
par faire un dessin !)
Remarque. Le nombre d’or se retrouve naturellement dans plusieurs rapports de lon-
gueurs qui apparaissent dans un dod´eca`edre r´egulier, ce poly`edre de l’espace qui poss`ede

LE NOMBRE D’OR EN MATH´ EMATIQUE 5
douze faces dont chacune est un pentagone r´egulier, et vingt sommets en chacun desquels
se rejoignent trois faces.
On retrouve ces mˆemes rapports dans le poly`edre cousin qui est l’icosa`edre r´egulier ; il a
20 faces qui sont des triangles ´equilat´eraux et 12 sommets en chacun desquels se rejoignent
5 faces. Par exemple, les douze points de l’espace de coordonn´ees cart´esiennes
(0,±ϕ, ±1),(±1,0,±ϕ),(±ϕ, ±1,0)
sont les sommets d’un icosa`edre r´egulier.
Ces deux poly`edres, et les trois autres poly`edres r´eguliers (t´etra`edre, cube, octa`edre)
fournissent la mati`ere du livre XIII (le dernier) des ´ El´ements d’Euclide.
Le nombre d’or entre ´egalement dans la description des pavages de Penrose, ces fasci-
nants recouvrements du plan par des pav´es d´ecouverts vers 1970. Dans l’une des vari-
antes de ces pavages, chaque pav´e est un triangle isoc`ele dont les angles sont ou bien
π/5, π/5,3π/5, ou bien π/5,2π/5,2π/5 (rappel : pour un angle, π/5 = 36o). L’un des
int´erˆets de ces pavages, il en existe d’innombrables, est de ne poss´eder aucune sym´etrie de
translation.
Mais ceci est toute une histoire, autre et superbe, qui n´ecessiterait `a elle seule tout une
note, et nous nous bornerons ici `a signaler un article de Martin Gardner [Gar–77] ainsi
que quelques sites ou`ebes o`u en trouver davantage [Pen1, Pen2, Pen3].
... et ensuite de l’arithm´etique
Rappelons qu’un nombre (ou “nombre r´eel”) xest dit rationnel s’il existe deux entiers
a, b, avec b > 0, tels que x=a
b. Une telle ´ecriture est dite r´eduite si les entiers aet bsont
premiers entre eux, c’est–`a–dire s’ils n’ont pas d’autre diviseur commun que 1. Ainsi, si
x= 1,75, alors x=7
4est une ´ecriture r´eduite et les entiers 7,4 sont premiers entre eux,
alors que x=14
8n’est pas une ´ecriture r´eduite puisque 14 et 8 sont 2 comme diviseur
commun.
Il est facile de v´erifier que, pour un nombre rationnel xdonn´e, il existe exactement une
paire r´eduite a, b telle que x=a
b.
Un nombre r´eel est irrationnel s’il n’est pas rationnel. Par exemple, si πest d´efini2
comme le rapport entre le p´erim`etre et le diam`etre d’un cercle,
π≈3,14159 26535 89793 23846 ··· ,
on sait que πest un nombre irrationnel ; la premi`ere d´emonstration de ce fait, due `a
Lambert, date de 1761. (On sait mˆeme que πest un nombre transcendant, ce qui fut
d´emontr´e par Lindemann en 1882, et ce qui apporte la “r´eponse moderne” `a une question
c´el`ebre qui se posait depuis l’antiquit´e grecque, `a savoir la quadrature du cercle, mais ceci
aussi est une autre histoire.) De mˆeme on sait que le nombre
e= 1 + 1
2! +1 3! +1 4! +1 4! +1 5! +1 7! +1 8! +··· ≈ 2,71828 18284 59045 23536 ···
2Il y a bien sˆur d’autres d´efinitions possibles, par exemple πest le rapport entre l’aire d’un disque et
le carr´e de son rayon.