Le théorie de la relativité restreinte

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LÉMENTAÍRE
La relativité restreinte
2005, année mondiale de la physique, fut l’occasion de célébrer le centenaire
de quatre publications remarquables d’Albert Einstein. Parmi celles-ci figure
un article sur la relativité restreinte qui a bouleversé nos conceptions d’espace
et de temps, et qui continue d’être l’outil de travail quotidien de nombreux
physiciens, en particulier pour étudier les constituants élémentaires de la
matière. Mais pourquoi parle-t-on de relativité ? En quoi est-elle restreinte ?
Et quelle révolution Einstein a-t-il provoqué avec son article ?
Le principe de relativité
Pince-mi et Pince-moi sont dans un bateau... et jouent au basket. Le premier
envoie la balle au second, qui shoote et marque ! Vu de la terre ferme, nos
deux sportifs, ainsi que leur ballon et leur panier de basket, se déplacent en
même temps que le navire glissant sur les gouffres amers. Pince-mi et Pince-
moi doivent-ils adapter leur façon de shooter pour pouvoir marquer des
paniers malgré le déplacement du bateau? Ou bien la trajectoire du ballon
est-elle la même que s’ils jouaient sur la terre ferme ?
Imaginons qu’ils aillent jouer à l’intérieur du navire, dans une salle fermée,
sans hublot ni fenêtre, de sorte qu’ils ne puissent pas voir si celui-ci s’éloigne
du quai ou non. Peuvent-ils, en étudiant la trajectoire de leur ballon,
déterminer s’ils sont en mouvement et si, oui ou non, le navire quitte le port
? La réponse à cette question est : non, tant que le bateau se déplace en ligne
droite et à vitesse constante (on parle alors de mouvement de translation
uniforme). En pratique, cela suppose bien sûr une mer très calme !
En fait, aucune expérience de physique ne peut permettre de détecter un
mouvement de translation uniforme : si Pince-mi descend du bateau et réalise
une expérience de physique sur la terre ferme, tandis que Pince-moi réalise
exactement la même expérience sur le bateau, les résultats obtenus seront
identiques (aux incertitudes expérimentales près). Il est donc impossible de
dire de manière absolue si le bateau est en mouvement. Tout ce que Pince-mi
peut dire, c’est que le navire se déplace par rapport au quai. À l’inverse, Pince-
moi, resté sur le bateau et observant Pince-mi sur la terre ferme, estimera que
c’est le rivage qui est en mouvement par rapport au bateau. En bref, tout ce
que l’un et l’autre sont en mesure d’affirmer, c’est que la terre ferme et le
navire sont en mouvement relatif l’un par rapport à l’autre.
Cette observation fondamentale sur les lois de la physique est connue sous le
nom de principe de relativité. Il fut énoncé pour la première fois par Galilée :
les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels,
c’est-à-dire pour tous les observateurs en mouvement de translation uniforme
les uns par rapport aux autres. En fait, ce principe nous est très familier.
Par exemple, si nous allons au wagon-bar d’un TGV et si nous renversons
malencontreusement notre café, celui-ci ne tombe pas un mètre plus loin du
fait de la grande vitesse du train, mais bien sur nos genoux comme si nous
étions assis à la terrasse d’un café !
Galileo Galilei (1564-1642).
Principe de relativité
Selon ce principe, les lois de la physique
ne doivent pas privilégier un point
de vue – ou référentiel – particulier
plutôt qu’un autre pour décrire un
phénomène. Cette relativité n’a rien
à voir avec le relativisme, un point de
vue philosophique selon lequel toute
idée, concept, ou affirmation serait la
simple émanation de l’environnement
humain où elle est née, ce qui rendrait
impossible toute comparaison ou
discussion hors de ce dernier.
Référentiel inertiel (ou galiléen)
Un référentiel inertiel est un « point de
vue » dans lequel le principe de Galilée
s’applique : en l’absence de force
agissant sur lui, un objet se déplace à
vitesse constante, selon un mouvement
de translation uniforme. Un référentiel
se déplaçant à vitesse constante par
rapport à un référentiel inertiel est lui-
même inertiel.
Les référentiels ne sont pas tous
inertiels. Ainsi, le wagon d’un train
qui accélère et le cheval de bois d’un
manège en mouvement circulaire
n’ont pas cette propriété. Dans ces
référentiels, les trajectoires des objets
semblent affectées par des forces
supplémentaires, qui sont en fait des
artefacts dus au « point de vue » choisi
pour décrire la trajectoire. C’est le cas,
par exemple, de la force d’inertie, de la
force centrifuge, ou encore de la force
de Coriolis.
Référentiel
Un référentiel est l’équivalent physique
d’un « point de vue », à partir duquel
un observateur peut procéder à des
mesures physiques. On peut ainsi
définir le référentiel de Pince-mi (lié au
quai) et celui de Pince-moi (attaché au
navire).
Théorie
DR

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Lumière, éther... et relativité
Le principe de relativité s’est avéré correct dans toutes les expériences réalisées
depuis Galilée jusqu’au XIXe siècle dans le domaine de la mécanique, c’est-à-
dire l’étude des trajectoires de corps solides soumis à diverses forces (traction,
frottement, gravité, etc). Mais lorsque l’attention des physiciens se porta sur
l’électricité et le magnétisme... ils fe caffèrent les dents fur un facré problème.
En effet, J.-C. Maxwell était parvenu à rendre compte, à l’aide d’une théorie
simple, de l’ensemble des résultats expérimentaux obtenus jusqu’alors dans
ce domaine. De plus, cette théorie décrivait la lumière comme une onde
électromagnétique se propageant à une vitesse constante et universelle.
Une théorie très satisfaisante... si ce n’est qu’elle contredit la loi galiléenne
d’addition des vitesses. Supposons que Pince-moi lance un ballon sur le
pont de son navire et en mesure la vitesse, tandis que Pince-mi, resté sur le
quai, réalise la même mesure. Si le navire s’éloigne du quai, ils obtiendront
des résultats différents, mais reliés d’une façon simple : la vitesse du ballon
mesurée par Pince-mi sur le quai sera la somme de la vitesse mesurée par
La relativité restreinte
James Clerk Maxwell (1831-1879).
Le vent d’éther
Si l’éther existait, la vitesse de la lumière devrait dépendre du mouvement du référentiel
dans lequel on la mesure, par rapport à ce mystérieux milieu de propagation des ondes
lumineuses. Or chaque année, la Terre parcourt une immense distance autour du Soleil à la
vitesse d’environ trente kilomètres par seconde. Un référentiel associé à un point de la surface
terrestre aurait donc dû se mouvoir en permanence par rapport à l’éther, avec une vitesse
variant selon l’heure du jour et la saison. Il fallait donc mesurer l’effet de ce « vent d’éther »
sur la vitesse de la lumière.
A. Michelson et E. Morley conçurent un appareil, appelé interféromètre, pour étudier ce
phénomène. L’instrument sépare une onde lumineuse monochromatique – i.e. de longueur
d’onde bien déterminée – en deux faisceaux (voir schéma ci-contre). Ces derniers se propagent
dans deux directions perpendiculaires, puis ils sont réfléchis par des miroirs, avant d’être à
nouveau superposés au centre de l’appareil. On détecte enfin l’image obtenue en superposant
ces deux faisceaux. En règle générale, les deux faisceaux parcourent des longueurs légèrement
différentes entre le moment où ils sont séparés et celui où ils se superposent à nouveau. Cette
différence de longueur, et donc de temps de parcours, engendre au niveau du détecteur des
franges d’interférences qui alternent des bandes sombres et claires.
Si la Terre avait un mouvement par rapport au référentiel de l’éther, la vitesse de la lumière
serait différente dans les deux directions perpendiculaires. Cela devrait affecter la figure d’in-
terférence, d’une manière variable selon l’orientation de l’interféromètre par rapport au sens
de déplacement de la Terre. De la mesure de telles variations en fonction de l’orientation de
l’appareil, monté sur un plateau horizontal tournant, on pourrait alors en déduire la vitesse
de la Terre dans le référentiel absolu de l’éther.
L’expérience fut réalisée à différents moments du jour et de l’année et fut répétée de nom-
breuses fois par différents groupes, mais aucune variation significative ne fut jamais détec-
tée, en dépit des améliorations successives apportées à l’interféromètre de Michelson-Morley.
L’éther semblait immobile par rapport à la Terre, ce qui était très improbable étant donnée la
course compliquée de la Terre autour du Soleil. Plusieurs théories alambiquées furent avan-
cées pour expliquer ces résultats tout en sauvegardant l’éther, mais il fallut se rendre bientôt
à l’évidence : on devait abandonner l’éther, et avec lui l’idée d’un référentiel absolu...

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Pince-moi sur le navire et de la vitesse du navire par rapport au quai. Mais
selon la théorie de Maxwell, si nous remplaçons le ballon par un rayon
lumineux, Pince-mi et Pince-moi doivent observer que l’onde lumineuse
se propage à la même vitesse, quelle que soit la vitesse du bateau !
Or la loi d’addition des vitesses repose sur deux hypothèses : le principe
de relativité, qui affirme que les lois physiques sont les mêmes pour tous
les référentiels inertiels, et la notion de temps et de distance absolus –
c’est-à-dire qui sont identiques dans tous les référentiels, qui permet de
comparer directement les mesures faites dans des référentiels différents.
La théorie de Maxwell ne respectait-elle pas le principe de relativité ? Ou
fallait-il revoir les notions d’intervalles de temps et de distance ?
Les physiciens renâclaient à l’idée d’abandonner la vision de l’espace
et du temps héritée de Galilée et de Newton, si féconde jusque là. Ils
imaginèrent que les ondes lumineuses se propageaient dans un milieu,
au nom presque philosophique d’éther. Le référentiel naturel de la
théorie de Maxwell devait être le référentiel associé à l’éther, qui devenait
donc un référentiel très particulier, « le » référentiel absolu pour tous
les phénomènes électromagnétiques. Si tel était le cas, la vitesse de la
lumière dans le référentiel absolu de l’éther devait s’accorder à la valeur
correspondant à la théorie de Maxwell. Elle s’en écarterait dans tous les
autres référentiels, en mouvement par rapport à l’éther, afin de satisfaire
la loi de composition des vitesses. Mais la Nature se joua de nos rusés
physiciens... Les expériences sur le vent d’éther montrèrent que la vitesse
de la lumière était une constante universelle dans tous les référentiels : la
théorie de Maxwell satisfait le principe de relativité. Il fallait donc revoir
les notions de temps et d’espace. C’est ce que proposa Einstein en 1905
avec sa théorie de la relativité restreinte.
J’ai les dates qui se dilatent...
Suivons donc Einstein et acceptons que la vitesse de la lumière soit
une constante universelle, identique dans tous les référentiels inertiels.
Première conséquence immédiate : la notion de durée, c’est-à-dire
l’intervalle de temps entre deux événements, ne peut plus être un concept
absolu, comme on l’a longtemps cru. En contradiction avec notre intuition
quotidienne, elle est en fait une notion relative, qui dépend du référentiel
dans lequel on se place.
Pleins de curiosité scientifique, nos deux amis décident de vérifier cette
assertion. Pince-moi monte dans un train et place un miroir au plafond
du wagon. A l’aide d’une source lumineuse placée sur le plancher, il
envoie un rayon lumineux vers le miroir, lequel réfléchit le rayon et le
renvoie à son point de départ (voir figure ci-contre). Pince-moi mesure
l’intervalle de temps τ entre ces deux évènements, qui est simplement
égal à la distance parcourue 2H (où H est la hauteur du wagon) divisée
par la vitesse de propagation du signal lumineux, c’est-à-dire la vitesse de
la lumière notée c (pour « célérité ») : τ = 2H/c.
Albert Michelson (1852-
1931).
Edward Morley (1838-1923).
L’expérience du miroir, vue par
Pince-moi dans le train.
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Que fait Pince-mi, resté sur le quai, pendant ce temps ? Eh bien, il mesure
le même intervalle de temps, mais depuis le quai, c’est-à-dire dans un
référentiel où le train est en mouvement à la vitesse constante V. Du
point de vue de Pince-mi, la distance parcourue par le rayon lumineux
est plus grande, puisque le point de départ, le point de réflexion et le
point d’arrivée se déplacent (voir figure ci-contre). D’après la relativité
galiléenne, la vitesse du rayon lumineux dans le référentiel de Pince-mi
devrait être, elle aussi, plus grande – égale à la somme des vitesses du
rayon lumineux emit par Pince-moi et du train, de sorte que les temps de
parcours mesurés par Pince-mi et Pince-moi soient bien les mêmes.
Mais en réalité, la vitesse de la lumière n’est pas plus grande pour
Pince-mi : elle est la même que pour Pince-moi. Et puisque la distance
parcourue est plus grande dans le référentiel de Pince-mi, le temps de
parcours mesuré par ce dernier doit être plus long !!! La notion de durée
devient donc relative... ce qui modifie profondément notre conception
du temps.
Pince-mi et Pince-moi viennent de nous montrer que les durées mesurées
dans le référentiel où le système étudié est en mouvement sont toujours
plus longues que celles dans un référentiel où le système est au repos. Ce
phénomène est connu sous le nom de «dilatation des temps». Il vient de
ce que la vitesse de la lumière est la même dans tout référentiel inertiel,
c’est-à-dire du fait que les lois de l’électromagnétisme – et donc de la
propagation des ondes lumineuses – suivent le principe de relativité.
La relativité restreinte
L’expérience du miroir, vue par Pince-
mi sur le quai.
La dilatation des temps
L’expérience de Pince-mi et Pince-moi permet de quantifier le facteur de dilatation des temps en fonction de la vitesse relative des deux
référentiels, moyennant l’hypothèse que l’espace est euclidien et donc que le théorème de Pythagore est valable (ceci n’est plus vrai en relativité
générale). Voyons comment cela fonctionne grâce à la figure ci-dessus. Le rayon lumineux est émis en A, réfléchi en B, puis revient à son point
de départ qui, du fait du déplacement du système à la vitesse V, s’est déplacé jusqu’au point C pendant le temps t de parcours du rayon (d’où la
distance AC=Vt). Le rayon lumineux va de A en B en un temps t/2, puis de B en C dans le même temps. Comme la lumière se propage à la
vitesse c dans tous les référentiels inertiels, on en déduit la distance AB=ct/2=BC. Le triangle ABC est donc un triangle isocèle, et le théorème
de Pythagore nous dit que H2+(AC/2)2 = AB2, ou H est la hauteur du wagon.
En remplaçant AB et AC par leurs valeurs en fonction de t, on obtient le temps de parcours dans le référentiel de Pince-mi :
2H/c
√(1-V2/c2)
En se rappelant que le temps de parcours mesuré par Pince-moi était τ = 2H/c, on obtient la relation : t = γτ avec le facteur de dilatation du
temps γ=1/√(1-V2/c2). Puisque la vitesse de déplacement V du train est toujours inférieure à la vitesse de la lumière (est-ce vraiment si évident ?
voir « La question qui tue »), le facteur γ (gamma) est supérieur à 1 : le temps écoulé entre les deux évènements « émission du rayon lumineux »
et « réception du rayon réfléchi » mesuré par Pince-mi (référentiel où le miroir est en mouvement) est plus long que le temps écoulé entre les
deux mêmes événements mesuré par Pince-moi (référentiel ou le système est au repos), ce qui est conforme à nos attentes.
En pratique, les effets relativistes tels que la dilatation des temps ne se manifestent que pour des vitesses extrêmement élevées, comparables à la
vitesse de la lumière : c ~ 300 000 km/s. Les vitesses typiques de notre expérience quotidienne ne sont qu’une fraction minuscule de cette vitesse
limite et les effets relativistes ne sont pas manifestes. Par exemple si Pince-moi monte dans un TGV qui circule à une vitesse V = 300 km/h
– soit environ trois dix millionièmes de la vitesse de la lumière – le facteur de dilatation des temps ne diffère de 1 qu’à partir de la quatorzième
décimale. On comprend pourquoi ces effets avaient échappé à l’observation pendant longtemps. Ainsi, pour obtenir une dilatation des temps
de l’ordre de 10%, c’est-à-dire un facteur γ=1,1, on doit atteindre 40% de la vitesse de la lumière, soit environ 125 000 km/s.
t = .
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Trois noms pour une théorie
Les noms de trois physiciens remarquables sont liés à la théorie de la relativité restreinte : Lorentz, Poincaré et Einstein. Leurs apports respectifs
ont souvent été sujets à controverse... en particulier au cours de l’année 2005, qui célébrait le centenaire des travaux d’Einstein sur différents
sujets, dont la relativité restreinte.
Le théoricien néerlandais Hendrik Lorentz reformula en 1892 la théorie de Maxwell sur l’électricité et le magnétisme en
exprimant tous ces phénomènes comme l’interaction entre des charges électriques et l’éther. La théorie de Lorentz incluait
les résultats de Maxwell, mais elle rendait également compte de phénomènes ignorés par son prédécesseur (phénomène
astronomique d’aberration, dispersion de la lumière dans un milieu transparent...). Pour expliquer les résultats de Michelson
et Morley, Lorentz modifia sa théorie en introduisant des changements de coordonnées, qui permettaient de restaurer au
moins en première approximation le principe de relativité, mais que le Néerlandais considérait comme de purs artifices
mathématiques dénués de signification physique. Pour Lorentz, l’éther existait bel et bien, et le principe de relativité devait
être mis en défaut un jour ou l’autre, une fois une précision suffisante atteinte dans les expériences du type de celles effectuées
par Michelson et Morley.
Le mathématicien français Henri Poincaré jugeait la théorie de Lorentz la meilleure disponible, tout en restant critique à son
égard, en particulier au sujet des « coups de pouce » mathématiques nécessaires pour suivre approximativement le principe
de relativité. Tout en modifiant les équations de Maxwell-Lorentz pour leur permettre de satisfaire exactement ce principe, le
français avança que les changements de coordonnées mathématiques introduits par Lorentz permettaient d’accéder au temps
mesuré physiquement par des observateurs en mouvement par rapport à l’éther. Pour Poincaré, le principe de relativité devait
être satisfait exactement par les phénomènes électromagnétiques mais, attaché aux concepts de la mécanique classique, il
persista (jusqu’à sa mort !) à soutenir que l’éther était bien le référentiel absolu permettant de mesurer le temps « vrai », tandis
que les temps mesurés dans d’autres référentiels n’étaient qu’« apparents ».
Albert Einstein reprit l’appareil mathématique développé par Lorentz et Poincaré, mais il procéda à un dernier saut
conceptuel, audacieux et essentiel. Il suivit Poincaré en plaçant le principe de relativité au centre de sa réflexion, mais il
abandonna le concept d’éther et de référentiel absolu. Il postula que les différents référentiels inertiels sont parfaitement
équivalents, y compris pour la propagation des ondes lumineuses dont la vitesse est constante. A partir de ces axiomes, il
retrouva les transformations de coordonnées introduites par Lorentz, montra comment concilier principe de relativité et
électromagnétisme, et enfin étudia la dynamique d’une particule à des vitesses proches de celle de la lumière.
Voilà pourquoi on parle des transformations de Lorentz, qui permettent de passer d’un référentiel à un autre, mais aussi
du groupe de Poincaré pour décrire la structure mathématique de ces mêmes transformations, et enfin de la théorie de la
relativité restreinte d’Einstein !
Le facteur de dilatation des temps γ varie avec la vitesse
de Pince-mi par rapport à Pince-moi. Lorsque les deux
référentiels sont immobiles l’un par rapport à l’autre,
γ=1 et les deux frères mesurent le même temps à leurs
montres respectives. Le facteur de dilatation augmente
avec la vitesse : on est d’abord dans un régime
« classique » où γ reste très proche de 1, puis on entre
dans un régime « relativiste » pour des vitesses non
négligeables devant celle de la lumière. Le facteur de
dilatation des temps devient infiniment grand quand
on tend vers la vitesse de la lumière V=c.