Second degré€: Interprétation graphique - Univ

CUEEP Département Mathématiques E910 : Second degré : interprétation graphique p1/6
Second degré : Interprétation graphique
Préliminaire
A chaque expression du second degré de formule générale cbxax ++² on peut associer une équation du second degré 0² =++ cbxax , mais
aussi associer une courbe, c'est-à-dire l’ensemble des points M de coordonnées x et y qui vérifient l’équation cbxaxy ++= ² (approche
géométrique)
A cette courbe on peut aussi associer la fonction cbxaxxf ++= ²)( (approche fonctionnelle)
NB : On retrouve la différence entre l’approche géométrique de la droite associée à l’équation baxy += et l’approche fonctionnelle
associée à la fonction affine baxxf +=)(
Le but de l’exercice est de faire le lien entre la résolution algébrique de l’équation du second degré et la représentation graphique de la fonction
associée.

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Déterminer algébriquement les solutions des équations 0² =++ cbxax quand elles existent et vérifier graphiquement ces solutions en
traçant les courbes associées cbxaxy ++= ²
032²
042²3
0912²4
06
22²
054²
044²
=+−− =++ =+−
=−+
=−+− =−+−
xx
xx
xx
xx
xx
xx
32²
42²3
912²4
6
22²
54²
44²
+−−= ++= +−=
−+=
−+−= −+−=
xxy
xxy
xxy
xx
y
xxy
xxy
Résoudre les équations suivantes sachant que quand un produit de facteurs est nul, alors un des facteurs est nul :
0)3)(1(
0)²32(
0)2
2
)(3(
0)²2(
=+−− =+
=+−
=−−
xx
x
x
x
x
Développer ces expressions et comparer aux précédentes.
Qu’en concluez vous ?

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Corrigé
2pour 0
)²2(44² == −−=−+−= xy xxxy
La courbe coupe l’axe des abscisses
en x=2
234-1
2
-1
-2
-3
01
1
x
y
0pour solution de pas
54² = −+−= y xxy
la courbe ne coupe pas l’axe des
abscisses
2345-1-2
-1
-2
-3
-4
-5
01
1
x
y
4et 3pour 0
)2
2
)(3(6
22²
−===
+−=−+=
xxy
x
x
xx
y
La courbe coupe l’axe des abscisses
en x = 3 et x = -4
234-1-2-3-4-5-6-7
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
01
1
x
y
2/3pour 0
)²32(912²4 == −=+−= xy xxxy
La courbe coupe l’axe des abscisses en
x = 3/2
23-1-2
2
3
-1
-2
01
1
x
y
0pour solution de pas
42²3 = ++= y xxy
la courbe ne coupe pas l’axe des
abscisses
-1-2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-1
-2
-3
01
1
x
y
3et 1pour 0
)3)(1(32² −=== +−−=+−−= xxy xxxxy
La courbe coupe l’axe des abscisses
en x = 1 et x = -3
2-1-2-3-4
2
3
-1
01
1
x
y

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Formalisme
On remarque que :
Lorsque l’équation 0² =++ cbxax admet deux solutions 'x et ''x
le polynôme cbxax ++² peut s’écrire sous la forme factorisée :
)'')('(² xxxxacbxax −−=++
La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisse 'xx = et ''xx =
Lorsque l’équation 0² =++ cbxax admet une seule solution 'x,
le polynôme cbxax ++² peut s’écrire sous la forme factorisée :
)²'(² xxacbxax −=++
La courbe coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse 'xx =
Lorsque l’équation 0² =++ cbxax n’admet pas de solution,
le polynôme cbxax ++² ne peut pas s’écrire sous une forme factorisée.
La courbe ne coupe pas l’axe des abscisses
En conclusion : lorsqu’il existe au moins une valeur qui annule un polynôme du second degré il pourra s’écrire sous la forme d’un
produit de facteurs de deux termes du premier degré.
01
1
x
y
01
1
x
y
01
1
x
y
234-1
2
-1
-2
-3
01
1
x
y
01
1
x
y
01
1
x
y

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Applications
Factorisation d’un polynôme du second degré
Pour savoir si un polynôme du second degré de forme 0² =++ cbxax est factorisable, il suffira de chercher soit algébriquement soit
graphiquement les solutions de l’équation 0² =++ cbxax
Si elles existent le polynôme pourra s’écrire sous la forme : )'')('( xxxxa −−
Exemple : l’expression 38²5 +− xx est –elle factorisable ?
L’équation 038²5 =+− xx admet deux solutions 5
3
''et 1' == xx
L’expression 38²5 +− xx peut se mettre sous la forme )
5
3
)(1(5 −− xx