Second degré€: Interprétation graphique - Univ

Second degré : Interprétation graphique
Préliminaire
A chaque expression du second degré de formule générale ax ² + bx + c on peut associer une équation du second degré ax ² + bx + c = 0 , mais
aussi associer une courbe, c'est-à-dire l’ensemble des points M de coordonnées x et y qui vérifient l’équation y = ax ² + bx + c (approche
géométrique)
A cette courbe on peut aussi associer la fonction f ( x) = ax ² + bx + c (approche fonctionnelle)
NB : On retrouve la différence entre l’approche géométrique de la droite associée à l’équation y = ax + b et l’approche fonctionnelle
associée à la fonction affine f ( x) = ax + b
Le but de l’exercice est de faire le lien entre la résolution algébrique de l’équation du second degré et la représentation graphique de la fonction
associée.
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E910 : Second degré : interprétation graphique
p1/6
Déterminer algébriquement les solutions des équations ax ² + bx + c = 0 quand elles existent et vérifier graphiquement ces solutions en
traçant les courbes associées y = ax ² + bx + c
y = − x² + 4 x − 4
y = − x² + 4 x − 5
x² x
y = + −6
2 2
y = 4 x ² − 12 x + 9
y = 3x ² + 2 x + 4
y = − x² − 2 x + 3
− x² + 4 x − 4 = 0
− x² + 4 x − 5 = 0
x² x
+ −6 = 0
2 2
4 x ² − 12 x + 9 = 0
3x ² + 2 x + 4 = 0
− x² − 2 x + 3 = 0
Résoudre les équations suivantes sachant que quand un produit de facteurs est nul, alors un des facteurs est nul :
− ( x − 2)² = 0
x
( x − 3)( + 2) = 0
2
(2 x + 3)² = 0
− ( x − 1)( x + 3) = 0
Développer ces expressions et comparer aux précédentes.
Qu’en concluez vous ?
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Corrigé
y = − x ² + 4 x − 4 = −( x − 2)²
y = − x² + 4 x − 5
y = 0 pour
pas de solution pour y = 0
x=2
La courbe coupe l’axe des abscisses
en x=2
x² x
x
+ − 6 = ( x − 3)( + 2)
2 2
2
y = 0 pour x = 3 et x = −4
y=
la courbe ne coupe pas l’axe des
abscisses
La courbe coupe l’axe des abscisses
en x = 3 et x = -4
y
y
2
y
3
2
1
1
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
-1
-1
0
1
2
3
4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
x
-2
-1
-3
-2
-4
-3
-5
1 2 3 4
x
y = 4 x ² − 12 x + 9 = (2 x − 3)²
y = 3x ² + 2 x + 4
y = − x ² − 2 x + 3 = −( x − 1)( x + 3)
y = 0 pour x = 3 / 2
pas de solution pour y = 0
y = 0 pour
La courbe coupe l’axe des abscisses en
x = 3/2
la courbe ne coupe pas l’axe des
abscisses
3
2
1
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
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x
-2
-1
0
-1
-2
-3
x = −3
La courbe coupe l’axe des abscisses
en x = 1 et x = -3
y
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x = 1 et
y
3
2
1
-4
1
x
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-3
-2
-1
0
1
2x
-1
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Formalisme
On remarque que :
Lorsque l’équation ax ² + bx + c = 0 admet deux solutions x' et x' '
le polynôme ax ² + bx + c peut s’écrire sous la forme factorisée :
ax ² + bx + c = a ( x − x' )( x − x' ' )
y
y
1
1
0
0
1
1
x
x
La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisse x = x' et x = x' '
Lorsque l’équation ax ² + bx + c = 0 admet une seule solution x' ,
le polynôme ax ² + bx + c peut s’écrire sous la forme factorisée :
y
y
2
1
-1
ax ² + bx + c = a ( x − x' )²
1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
0
1
x
-3
La courbe coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse x = x'
y
y
1
Lorsque l’équation ax ² + bx + c = 0 n’admet pas de solution,
le polynôme ax ² + bx + c ne peut pas s’écrire sous une forme factorisée.
La courbe ne coupe pas l’axe des abscisses
0
1
x
1
0
1
x
En conclusion : lorsqu’il existe au moins une valeur qui annule un polynôme du second degré il pourra s’écrire sous la forme d’un
produit de facteurs de deux termes du premier degré.
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Applications
Factorisation d’un polynôme du second degré
Pour savoir si un polynôme du second degré de forme ax ² + bx + c = 0 est factorisable, il suffira de chercher soit algébriquement soit
graphiquement les solutions de l’équation ax ² + bx + c = 0
Si elles existent le polynôme pourra s’écrire sous la forme : a ( x − x' )( x − x' ' )
Exemple : l’expression 5 x ² − 8 x + 3 est –elle factorisable ?
L’équation
5 x² − 8 x + 3 = 0
admet deux solutions x' = 1
x' ' =
et
3
5
3
5
L’expression 5 x ² − 8 x + 3 peut se mettre sous la forme 5( x − 1)( x − )
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Déterminer l’équation d’une parabole
Pour déterminer l’équation d’une fonction du second degré à partir de sa représentation graphique, si la courbe coupe l’axe des
abscisses il sera inutile de poser un système de 3 équations à 3 inconnues pour déterminer les coefficients a, b et c.
Il suffit de repérer les abscisses x' et x' ' correspondant à y = 0 , d’écrire la formule y = a ( x − x' )( x − x' ' ) et de déterminer le coefficient
« a » à l’aide d’une autre point appartenant à la courbe (le plus simple est de prendre le point d’abscisse x = 0 )
Exemple : Déterminer l’équation de cette fonction du second degré :
La fonction s’annule pour x = −2 et x = 3 .
y
2
-4
-3
-2
-1
0
L’équation ax ² + bx + c peut s’écrire a ( x + 2)( x − 3)
1
2
3
-2
-4
4
5
x
La courbe passe par le point de coordonnées x = 0 et y = −12 .
On a donc : − 12 = −6a
a=2
-6
-8
-10
L’équation de la courbe associée à la fonction est alors :
y = 2( x + 2)( x − 3) = 2 x ² − 2 x − 12
-12
-14
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