Chapitre 5. Applications linéaires

Chapitre 5. Applications linéaires
§1 Applications linéaires.
Soient E,Fdeux sous espaces vectoriel. Les applications les plus
simples f:E→Fsont linéaires.
Definition : f:E→Fest linéaire si, pour tout ~
u,~ v∈Eet tout
λ∈R, on a
f(~ u+~ v) = f(~ u) + f(~ v),f(λ~ u) = λ·f(~ u).
Exemple : A~ u=~ v. On varie ~ udans Rnet on obtient une
application, linéaire.
Théorème. Toute application linéaire s’écrit sous la forme d’un
~
u7→ A~ uavec un certain choix de A.
Pour retrouver la matrice, il suffit de tester sur la base canonique,
puis appliquer linéairement.

On utilise Epour désigner la base canonique (~ e1,··· ,~ en): de Rn.
Voici 4 écritures d’un vecteur ~
wdans Rn:~ w=
x1
x2
.
.
.
xn
=x1~
e1+x2~
e2+···+xn~
en= (~ e1,··· ,~ en)
x1
x2
.
.
.
xn
=E
x1
x2
.
.
.
xn
.
On applique f:f(~ w) = f(x1~
e1+x2~
e2+···+xn~
en)par linéarité =
x1f(~ e1) + x2f(~ e2) + ···+xnf(~ en) =
(f(~ e1),··· ,f(~ en)) 
x1
x2
.
.
.
xn
= (f(~ e1,··· ,~ en)) 
x1
x2
.
.
.
xn
=EA
x1
x2
.
.
.
xn
.
Géométriquement : on considère fcomme une transformation de
Rnqui transforme un groupe de points en un autre groupe de
points. Par exemple il transforme un point/droite/plan à un autre.

Exemples
1. f(x
y) = 1 0
0 0x
y=x
0est la projection
orthogonale du plan sur l’axe des abscisses.
2. f(x
y) = I2x
y+2
1=x+2
y+1est une translation du
plan.
3. Soit Rθ=cos θ−sin θ
sin θcos θ. Par calcul :
Rθrcos φ
rsin φ=rcos(θ+φ)
rsin(θ+φ.
En utilisant les coordonnées polaires du plan on voit que Rθ
represente une rotation d’angle θ(orienté) du plan.
4. Rπ
2x
y=0−1
1 0 x
y=−y
xest bien la rotation de
π/2=90odans le sens direct.

5. f(x
y) = 1 0
0−1x
y=x
−yest la symétrie par
rapport à l’axe des abscisses.
6. f(x
y) = λ0
0λx
y=λx
λyest appelée homothétie de
rapport λ > 0 dans le plan, centrée à l’origine.
7. f(x
y)= 2 0
0 2x
y+1
0=2x+1
2yest une homothétie
de rapport 2, centrée en (−1;0)(exo).
8. f(x
y) = 1 0
0λx
y=x
λy(avec λ > 0) est appelée
affinité du plan (préservant l’axe des abscisses).

Les 3 formes d’un système linéaire
1. d’un système d’équations
2. de produit matriciel A~
x=~
b, ou bien, en représentant Apar ses
colonnes
(~ v1···~ vm)
x1
.
.
.
xm
=
b1
.
.
.
bn
.
3. de combinaison linéaire :
x1~
v1+x2~ v2+···+xm~ vm=~ b.
Interprétation du point 2 : Etant donner une matrice A, on
considère l’application linéaire f:
x1
.
.
.
xm
7→ A
x1
.
.
.
xm
.Résoudre le
système A~
x=~
brevient à déterminer les antécédents de ~ bpar f.