Séries enti`eres. Définition. Soit (an)n≥0 une suite de nombres

S´eries enti`eres.
D´efinition.
Soit (an)n≥0une suite de nombres r´eels ou complexes et fn:C→C
d´efinie par fn(z) = anzn. La s´erie de fonctions Pfn(not´ee aussi P∞
0anzn)
est appel´ee une s´erie enti`ere de la variable complexe z. La somme de cette
s´erie est not´ee s(z) = P∞
0anzn.
Si on remplace zpar une variable r´eelle x, on a une s´erie enti`ere de la
variable r´eelle x:P∞
0anxn.
Probl`eme initial: d´eterminer sur quelle partie de Cou de Rla s´erie
converge.
Il sera commode de consid´erer le symbole +∞comme un nouveau nom-
bre v´erifiant x < +∞pour tout r´eel x.
.
D´efinition. On d´efinit R= sup{r≥0 : la suite (anrn) est born´ee }.
[Si pour tout r > 0 la suite (anrn) est born´ee, R= +∞.]
.
Rest appel´e le rayon de convergence de la s´erie; il est caract´eris´e par
la propri´et´e suivante: si r < R la suite (anrn) est born´ee, si r > R la suite
(anrn) n’est pas born´ee.
Remarque: Le rayon de convergence ne change pas si on modifie un
nombre fini de coefficients de la s´erie.
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Proposition 1. 1) La s´erie P∞
0anznconverge (absolument) pour tout
ztel que |z|< R. Si r0< R, la s´erie P∞
0anznconverge normalement dans
le disque |z|≤ r0.
2) La s´erie P∞
0anzndiverge pour tout ztel que |z|> R.
Le disque D={z∈C:|z|< R}est appel´e le disque de convergence
de la s´erie; si R= +∞,D=C. Si R6= +∞, le cercle {z∈C:|z|=R}est
appel´e le cercle de convergence de la s´erie.
.
Remarque. En g´en´eral, on ne peut rien dire sur la convergence de la s´erie
sur le cercle de convergence.
.
S´erie enti`ere de la variable r´eelle. Pour une s´erie enti`ere de variable
r´eelle P∞
0anxnon a:
- la s´erie converge (absolument) pour tout xtel que |x|< R;
- la s´erie diverge pour tout xtel que |x|> R.
L’intervalle I={x:|x|< R}est appel´e l’intervalle de convergence
de la s´erie; si R= +∞,I=R.
.
1

Proposition 1: comparaison des s´eries.
Soit RA(respectivement, RB) le rayon de convergence de la s´erie P∞
0anzn
(respectivement, P∞
0bnzn).
i) Soit |an|≤ Cns|bn|pour certaines constantes Cet s. Alors
RA≥RB.
ii) Soit Dn−r|bn|≤| an|≤ Cns|bn|pour certaines constantes C, D, r
et s. Alors RA=RB.
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Proposition 2. R`egle de D’Alembert. Si L= limn→∞ |an+1|
|an|existe
dans [0,+∞], alors R=1
L.
R`egle de Cauchy. L= limn→∞ n
p|an|existe dans [0,+∞], alors
R=1
L.
.
On a aussi une propri´et´e plus g´en´erale:
Proposition 2’. Soit RA(respectivement, RB) le rayon de convergence
de la s´erie P∞
0anzn(respectivement, P∞ 0bnzn).
Soit |an=pn|bn|. Alors
1) Si L= limn→∞ |pn+1|
|pn|existe dans [0,+∞], alors RA=1
LRB.
2) Si L= limn→∞ n
p|pn|existe dans [0,+∞], alors RA=1
LRB.
.
Proposition 3. Propri´et´es de la somme d’une s´erie enti`ere.
Soit une s´erie enti`ere P∞
0anxnet s(x) = P∞ 0anxnsa somme d´efinie
dans l’intervalle de convergence I={x:|x|< R}.
.
D´erivation. On peut d´eriver la s´erie terme `a terme: la s´erie des d´eriv´ees
P∞
1nanxn−1a aussi Rpour rayon de convergence, sest d´erivable sur Iet
s0(x) = P∞
1nanxn−1.
.
Int´egration. On peut int´egrer la s´erie terme `a terme: la s´erie des
primitives P∞
0an
n+1 xn+1 a aussi Rpour rayon de convergence et Rx
0s(t)dt =
P∞
0an
n+1 xn+1.
.
Corollaire. La somme s(x) = P∞
0anxnest ind´efiniment d´erivable dans
l’intervalle de convergence; on a s(n)(0) = n!an, donc an=s(n)(0)/n!.
.
D´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction; s´erie de Taylor.
Probl`eme: Etant donne une fonction d´efinie sur un intervalle
I={x:|x|< a}, existe-t-il une s´erie enti`ere P∞
0anxntelle que
f(x) = P∞
0anxnpour tout x∈I?
2

Si oui, on dit que fest d´eveloppable en s´erie enti`ere sur Iet que la
s´erie P∞
0anxnest le d´eveloppement de fen s´erie enti`ere.
On a vu que dans ce cas fest est ind´efiniment d´erivable sur Iet
an=f(n)(0)/n!, donc f(x) = P∞
0
f(n)(0)
n!xn.
La s´erie P∞
0
f(n)(0)
n!xns’appelle la s´erie de Taylor de fen x= 0.
Rappel: Formule de Taylor-Lagrange. Si fest ind´efiniment d´erivable sur
I, pour tout x∈Iet tout nil existe θ, 0 < θ < 1 tel que
f(x) = f(0) + f0(0)
1! x+f00 (0) 2! x2+... +f(n)(0) n!xn+f(n+1)(θx)
(n+1)! xn+1
.
Proposition 4. Soit fune fonction ind´efiniment d´erivable sur l’intervalle
I={x:|x|< a}.fest d´eveloppable en s´erie enti`ere sur Isi et seulement
si pour tout x∈Ile reste de Taylor-Lagrange f(n+1)(θx)
(n+1)! xn+1 tend vers 0
quand n→ ∞. Si cette condition est r´ealis´ee, f(x) = P∞
0
f(n)(0)
n!xn.
.
Exemples: ex=P∞
0xn
n!,
1
1−x=P∞
0xn,
1
(1−x)2=P∞
0(n+ 1)xn, etc. (d´erivation)
1
1+x=P∞
0(−1)nxn,
ln(1 −x) = −P∞
1xn
n,
ln(1 + x) = P∞
1(−1)n+1 xn
n
sin x=P∞
0
(−1)px2p+1
(2p+1)! ,
cos x=P∞
0
(−1)px2p
(2p)! ,
arctan x=P∞
0
(−1)px2p+1
2p+1 ,
(1 + x)α= 1 + P∞
1
α(α−1)...(α−n+1)
n!xn
.
Une ´equation diff´erentielle.
.
Cherchons une solution de l’´equation de Bessel (c≥0 un parametre):
x2u00 +xu0+ (x2−c2)u= 0
sous la forme d’une s´erie enti`ere: u(x) = Panxn.
En mettant la s´erie dans l’´equation on a:
x2X
n≥2
ann(n−1)xn−2+xX
n≥1
anxn−1+ (x2−c2)X
n≥0
anxn= 0
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En rassemlant les termes on a
X
n≥0
an(n2−c2)xn+X
n≥0
anxn+2 = 0
Cela donne:
a0c2= 0;
a1(1 −c2) = 0;
an(n2−c2) = −an−2si n≥2.
Conclusion: si cn’est pas un entier, la seule solution d´eveloppable en
s´erie enti`ere est nulle.
Si c=kest un entier, alors a0=... =ak−1= 0; on choisit ak=α
arbitrairement et la r´ecurrence
an=an−2
c2−n2
donne
ak+2r= [Πr
i=1(k2−(k+ 2i)2)]−1α,
tous les autres coefficients ajsont nuls.
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