Introduction au monde quantique - Sciences physiques en MPSI2 à

MPSI2, Louis le Grand
Introduction au monde quantique
Semaine du 22 au 29 septembre
3. En déduire une expression de l’intensité du courant développé par la photodiode en fonction de
P, ν, h e où l’on note e la charge élémentaire et h la constante de Planck. Application numérique : comment choisir la valeur de la résistance sur laquelle débite la photodiode pour récupérer une tension
de l’ordre du volt.
On sera amené à utiliser comme unité d’énergie l’électron volt, de symbole eV, tel que
1 eV = 1,60 · 10−19 J
Exercices d’application : Flux de photons, effet photoélectrique, photodiode, longueurs d’onde de de Broglie
Exercice 4 : Longueurs d’onde de de Broglie
Quelle est la longueur d’onde de de Broglie :
Culture en sciences physiques : Effet photoélectrique, onde de de Broglie, Expérience de Shimizu et Shimizu, boîte quantique unidimensionnelle, dégénérescence quantique,
• d’un électron d’énergie 10 keV. Cette énergie correspond à celle du faisceau d’un oscilloscope cathodique. La dynamique de ce faisceau relève-t-elle de la mécanique quantique ? Comparer aux dimensions atomiques et commenter.
Corrigés en TD : Flux de photons, effet photoélectrique, onde de de Broglie, Shimizu
et Shimizu, boîte quantique, dégénérescence quantique.
• d’un élève de prépa se rendant à la cantine à 11h57. Comparer à la largeur des portes d’entrée du
self des élèves et de celui des professeurs. Pour quelle vitesse observerait-on un phénomène d’interférences ? Commenter.
.
Exercice 1 : Flux de photons
1. Une antenne de radio émet sur la fréquence de 1 MHz avec une puissance de 1 kW. Quel est le nombre
de photons émis par seconde ?
Exercice 5 : Vitesse de propagation de l’onde de de Broglie
Une particule de masse m se déplace à la vitesse v (très inférieure à la vitesse de la lumière).
2. Une étoile de première grandeur émet un flux lumineux sur la terre de 1,6 · 10−10 W · m−2 à une lon-
1. Déterminer l’expression du vecteur d’onde kdB de de Broglie.
gueur d’onde moyenne de 556 nm. Combien de photons traversent la pupille de l’œil par seconde ?
2. L’énergie de la particule est uniquement cinétique. En appliquant la relation de Planck-Einstein, déterminer la pulsation ωdB correspondante.
Exercice 2 : Effet photoélectrique
On rappelle le principe de l’effet photoélectrique. Un photon d’énergie suffisamment importante peut être
absorbé par un métal lors d’une collision qui en éjecte un électron. Le métal doit pour cela recevoir une
énergie minimale, nommée travail d’extraction et notée W.
1. Exprimer la conservation de l’énergie entre l’état initial : photon + électron lié au métal ; et l’état final
électron extrait du métal. En déduire une relation entre la constante de Planck, la vitesse de la lumière
c, la longueur du photon absorbé λ, le travail d’extraction W et l’énergie cinétique de l’électron extrait
Ecin .
3. En déduire la vitesse de phase de propagation de l’onde de de Broglie. Comparer à la vitesse de la
particule.
Exercice 6 : Expérience de Shimizu et Shimizu
On précise les paramètres de l’expérience d’interférences d’atomes de néon métastables froids décrite en
cours.
1. La distance entre deux franges, notée i, dépend de la longueur d’onde λdB et des distances d entre
les fentes et D entre le plan des fentes et l’écran. À votre avis, la distance i est-elle croissante ou
décroissante avec D ? Même question pour d. En déduire une expression de i en fonction de λdB , D d
par analyse dimensionnelle.
2. On envoie sur du potassium, une radiation de longueur d’ondeλ1 = 253,7 nm ; l’énergie maximale des
électrons extraits est 3,14 eV. Elle est 0,36 eV pour λ = 589 nm.
(a) Retrouver la valeur de la constante de Planck.
2. La distance entre deux franges claires successives, notée i est de l’ordre de 1 · 10−3 m, et on a d = 6 µm
et D = 11 cm. En déduire l’ordre de grandeur de la longueur d’onde de de Broglie λdB des atomes de
néon dans les conditions de l’expérience.
(b) Calculer le travail d’extraction W des électrons du potassium.
(c) Calculer la longueur d’onde maximale λmax des radiations provoquant l’effet photoélectrique
sur le potassium.
3.
3. Comparer la quantité de mouvement d’un photon λmax et celle de l’électron extrait. En déduire que
l’ensemble de l’échantillon de potassium acquiert lui-aussi une quantité de mouvement. Doit-on pour
autant en tenir compte dans le bilan d’énergie ?
(a) En déduire l’ordre de grandeur de la vitesse v des atomes de néon dans l’expérience. On fera
intervenir le nombre d’Avogadro et la masse molaire du néon dont les valeurs figurent dans le
cours de chimie.
(b) Cette valeur est-elle compatible avec une hauteur totale de chute de 1 m ?
Exercice 3 : Montage à photodiode
Exercice 7 : Accord d’une boîte quantique unidimensionnelle
Un détecteur de lumière comme une photodiode réalise essentiellement une conversion photon-électron.
On admettra que, si la surface sensible est soumise à un flux de photons, la photodiode se comporte comme
un générateur de courant électrique, en produisant un flux d’électrons égal au flux de photons reçu.
On considère un électron piégé sur un segment de longueur `. On note me la masse de l’électron.
1. Rappeler l’énergie d’un photon associé à une onde laser de fréquence ν. Application numérique pour
une longueur d’onde égale à 532 nm.
2. Exprimer le nombre moyen de photon Φ émis par unité de temps pour un laser de puissance P émettant une onde lumineuse de fréquence ν. Application numérique pour λ = 532 nm et P = 1,0 · 10−3 W.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
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1. Lorsque l’électron passe d’un état caractérisé par une énergie E(n) à un état caractérisé par une énergie
E(m) < E(n), l’électron émet un photon de pulsation ωmn . Exprimer ωmn en fonction des énergies E(m)
et E(n) et de la constante de Planck réduite }.
2. Déterminer l’expression générale de la pulsation du photon émis, puis de sa longueur d’onde λnm ,
en fonction de deux entiers n et m, de la constante de Planck, de la masse me et de la longueur ` du
segment.
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3. Quelle valeur de longueur de segment faut-il choisir pour qu’une transition entre le niveau fondamental et le premier niveau excité corresponde à de la lumière bleue ? À de la lumière rouge ?
Exercice 8 : Longueur d’onde λdB thermique et dégénérescence quantique
On sait depuis 1995 réaliser un état de la matière dans lequel un grand nombre (de l’ordre du million) d’atomes bosoniques (possédant un nombre pair de nucléons) sont tous le même état quantique : le
«condensat de Bose-Einstein». Leur fonction d’onde commune est l’état fondamental du système réalisant
leur confinement, chacune de ces fonctions d’ondes étant de plus en phase.
On détermine un ordre de grandeur de la température pour laquelle se phénomène se produit.
1. Dans un ensemble d’atomes de masse m à la température T (en K), on définit une longueur d’onde de
de Broglie thermique λdBT caractérisant la longueur d’onde moyenne des atomes.
(a) Proposer par analyse dimensionnelle une expression de λdBT en fonction de T, m, h et de la
constante de Boltzmann kB = 1,38 · 10−23 J · K−1 .
(b) En déduire un ordre de grandeur de λdBT pour un élève passant la porte de la cantine. Pourra-ton observer un phénomène de diffraction ?
2. La condensation de Bose-Einstein se produit quand l’ensemble des atomes atteint le régime dit de
«dégénérescence quantique», dans lequel la longueur λdBT devient comparable à la distance caractéristique, notée d, séparant les atomes.
(a) Déterminer par analyse dimensionnelle l’expression de la distance d en fonction du nombre de
particules par m3 noté n.
(b) On piège un nombre N de particules dans une «boite» (au moyen de champs magnétiques et/ou
de faisceaux lasers) cubique de côté a. Établir en ordre de grandeur l’expression reliant N, T et a
au seuil de condensation. Suffit-il que les atomes soient froids pour l’observer ?
(c) Calculer l’ordre de grandeur de la température, notée TBEC , de condensation pour un nombre
N = 2 · 104 d’atomes de Rubidium 87Rb et a = 20 µm.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.
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dhc
. Avec h = 6,63 · 10−34 J · s et c = 3,00 · 108 m · s−1 , on obtient,
dλ
−19
pour λ = 532 nm : ε = 3,74 · 10
J = 2,33 eV.
2. La puissance du faisceau laser est le produit de l’énergie d’un photon par le nombre de photons émis
par unité de temps : P = Φ × ε = Φ × hν. On a donc : Φ = Pε , soit Φ = 2,7 · 1015 photons/s.
3. Si un photon est converti en un électron de charge e (en valeur absolue), alors, la charge émise par
unité de temps, c’est-à-dire l’intensité du courant, vaut :
Correction de l’exercice 1
1. L’énergie d’un photon s’écrit ε = hν =
1. Une puissance P de 1 kW correspond à une énergie de 1 · 103 J par seconde. À la fréquence f = 1 MHz,
dN
= P /(hf ) =
l’énergie de chaque photon est }ω = hf et le nombre de photons par seconde est donc
dt
1,5 · 1030 s−1 .
2. On peut estimer la surface d’une pupille à S = 5 mm2 , la puissance qu’elle reçoit est alors P = 1.6e −
10 × 5e − 6 = 8,0 · 10−16 W. L’énergie de chaque photon est }ω = hc/λ et on calcule comme à la question
dN
précédente
= P λ/(hc) = 2,2 · 103 s−1 .
dt
I=
δq
= Φe.
dt
On obtient, avec e = 1,6 · 10−19 C, une intensité I = 4,3 · 10−4 A. Si cette intensité parcourt une résistance R, la tension récupérée aux bornes du dipôle vaut U = RI. On a donc R = UI . La résistance doit
être de l’ordre de 2,5 kΩ.
Correction de l’exercice 2
1. L’énergie du photon initial est égale à la somme du travail d’extraction et de l’énergie cinétique de
l’électron extrait, soit : hc/λ = W + Ecin .
2.
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Correction de l’exercice 4
(a) On a

hc


 λ1


 hc
λ2
= W + Ecin1
= W + Ecin2
√
• On a λdB = h/p et Ecin = p2 /(2me ). On calcule donc λdB = h/ 2me Ecin = 1,2 · 10−11 m. Cette longueur
est négligeable devant les caractéristiques géométriques du faisceau d’un oscilloscope cathodique :
son mouvement relève donc de la mécanique classique. En revanche cette taille est petite devant la
taille d’un atome, et les distances interatomiques dans un solide de l’ordre de 1 Å = 1 · 10−10 m. On
pourra utiliser un tel faisceau pour observer la structure d’un cristal par diffraction.
• Pour une vitesse de l’ordre de 10 m · s−1 on calcule, pour une masse de 65 kg, λdB = 1,0 · 10−36 m,
négligeable devant la taille des portes et leur séparation. On ne pourra pas réaliser d’interférences
avec ce dispositif évidemment. Pour une longueur d’onde de 1 m, il faudrait une vitesse de l’ordre de
v = p/m = h/(λm) = 1,0 · 10−35 m · s−1 . Comme on le verra à l’exercice 8, il faut en plus que la vitesse
caractéristique de l’agitation thermique de chacune des molécules soit du même ordre, ce qui impose
une température proche de 0 K, où la vie n’est plus possible. . .
.
La différence de ces deux équations permet de calculer h en fonction de c, des longueurs d’onde
et des énergies cinétiques. On retrouve bien la valeur h = 4,1 · 10−15 eV · s = 6,63 · 10−34 J · s.
(b) La somme des deux équations donne cette fois-ci :
hc λ1 + λ1 − (Ecin1 + Ecin2 )
1
2
= 1,74 eV.
W=
2
(c) La longueur d’onde maximale λmax est celle pour laquelle l’énergie cinétique de l’électron est
nulle. On a donc : λmax = (hc)/W = 0,71 µm.
3. La quantité de mouvement d’un photon est pp = h/λ, celle de l’électron est reliée à son énergie ci√
nétique par pe = 2me Ecin . La relation 1 assure que les deux quantités de mouvement ne peuvent
pas être égales : l’ensemble de l’échantillon doit également acquérir une quantité de mouvement pour
que la quantité de mouvement globale soit conservée. Notons respectivement pk et pe les quantités de
mouvement respectives de l’électron et de l’ensemble de l’échantillon, mK et me leurs masses respectives ; les deux bilans de quantité de mouvement et d’énergie s’écrivent alors :


p2

p2

 hc
= W + 2mK + 2me .
λ
e
K



h
= p K + pe
Correction de l’exercice 5
1. On a p = }kdB = mv, soit kdB = mv/(}).
2. On a par ailleurs E = mv 2 /2 = }ωdB , soit ωdB = mv 2 /(2}).
3. La vitesse de phase est alors c = ωdB /kdB = v/2 : elle diffère de la vitesse de la particule qui est en fait
la vitesse de groupe associée à l’onde de matière.
Correction de l’exercice 6
λ
Pour λ et W donnés on peut résoudre et déterminer pK et pe mais le fait que mK me permet de négliger l’énergie l’énergie cinétique de l’échantillon devant celle de l’électron. On peut ppar exemple
calculer pK à partir des valeurs de λ et pe de la première expérience (pK ' h/λ1 − 2me Ecin1 =
−9,5 · 10−25 kg · m · s−1 ) et vérifier que l’énergie cinétique de l’échantillon correspondante (EcinK =
2 /(2m ) = 3 · 10−27 eV pour une masse de 1 g par exemple) est bien négligeable devant celle de l’élecpK
K
tron.
Correction de l’exercice 3
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1. Plus les fentes sont proches, plus on doit observer des angles élevés pour obtenir une interférence
constructive : i doit être donc croissante quand i décroît. De plus, plus on observe loin plus la séparation entre les franges sera importante : i est croissante avec D. L’expression la plus simple qu’on puisse
λ D
postuler est : i = dB
. C’est effectivement la bonne expression pour D élevée.
d
2. Pour cette valeur de i, on calcule λ = di
D ' 55 nm.
3.
(a) Avec l’expression λdB = h/p = h/(mv), on détermine v ' h/(mλdB ) = 3 · 10−1 m · s−1 .
(b) Au cours d’une chute libre
√ dans le vide avec vitesse initiale nulle, la vitesse s’exprime en fonction
de la position par v = 2gx. Une chute de l’ordre de 1 m donnera donc une vitesse de 4,4 m · s−1
sensiblement plus élevée.
Les valeurs données dans l’énoncé étaient un peu trop approximatives. Il faut plutôt prendre
i = 0,23 mm et une distance totale de chute de 20 cm.
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Correction de l’exercice 7
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(c) On obtient :
1. Écrivons la conservation de l’énergie lors du passage d’un état n à un état m < n, en émettant un
photon d’énergie ~ω :
~ω = E(n) − E(m).
p2
. Nous avons vu dans le cours
2. L’énergie de l’électron est ici purement cinétique, de la forme E =
2m
que, pour une particule libre (énergie potentielle nulle), confinée sur un segment de longueur `, on
h
peut écrire, d’une part, la relation de Planck-Einstein p = , et, d’autre part, la prise en compte des
λ
2`
conditions aux limites, soit λ =
avec n entier. L’énergie est repérée par un indice entier positif et de
n
2 h2
n
la forme : E(n) =
2.
T ' N 2/3
h
q mkB
√
!2
= 0,4 µK.
La première condensation de Bose-Einstein a effectivement été observée en 1995 par l’équipe de
E. Cornell du JILA pour une température de 170 nK et des paramètres comparables.
8me `
3. Prenons n = 2 et m = 1, on a alors :
~ω21 =
(22 − 12 )h2
8me ` 2
h 2πc
3h2
=
2π λ21
8me ` 2
λ21 =
8me c` 2
.
3h
La longueur est donc donnée, en fonction des autres paramètres, par :
r
3hλ
.
`=
8me c
• Pour le bleu, prenons λ = 450 nm, on obtient ` = 6,4 · 10−10 m.
• Pour le rouge, prenons λ = 750 nm, on obtient ` = 8,2 · 10−10 m.
Ces dimensions sont de l’ordre de grandeur des dimensions d’un atome ou du paramètre de maille
d’un cristal usuel.
Correction de l’exercice 8
1.
√
√
(a) On doit avoir λdB = h/ mkB T, l’expression utilisée le plus souvent étant λdBT = h/ 2πmkB T.
(b) On calcule, pour 50 kg et T = 310 K, λdBT = 5,7 · 10−25 m négligeable devant la taille d’une porte :
on n’observera pas de diffraction.
Cette expression est celle qu’il faudrait prendre si l’élève formait un seul objet quantique. Il est
plus logique de prendre ici une masse correspondant à un atome, de carbone par exemple. On
obtient alors 3 · 10−11 m, toujours négligeable devant la taille de la porte.
2.
(a) On a immédiatement d ' n−1/3 .
(b) Au seuil de condensation, on a λdBT ' d, soit nλdBT ' 1. Avec n ' N/a3 , cette condition s’écrit :
!3
√
N
a mkB
'
h
T3/2
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