Introduction au monde quantique - Sciences physiques en MPSI2 à

MPSI2, Louis le Grand Introduction au monde quantique Semaine du 22 au 29 septembre
On sera amené à utiliser comme unité d’énergie l’électron volt, de symbole eV, tel que
1eV = 1,60 ·10−19 J
Exercices d’application : Flux de photons, effet photoélectrique, photodiode, lon-
gueurs d’onde de de Broglie
Culture en sciences physiques : Effet photoélectrique, onde de de Broglie, Expé-
rience de Shimizu et Shimizu, boîte quantique unidimensionnelle, dégénéres-
cence quantique,
Corrigés en TD : Flux de photons, effet photoélectrique, onde de de Broglie, Shimizu
et Shimizu, boîte quantique, dégénérescence quantique.
.
Exercice 1 : Flux de photons
1. Une antenne de radio émet sur la fréquence de 1MHz avec une puissance de 1kW. Quel est le nombre
de photons émis par seconde ?
2. Une étoile de première grandeur émet un flux lumineux sur la terre de 1,6·10−10 W·m−2à une lon-
gueur d’onde moyenne de 556nm. Combien de photons traversent la pupille de l’œil par seconde ?
Exercice 2 : Effet photoélectrique
On rappelle le principe de l’effet photoélectrique. Un photon d’énergie suffisamment importante peut être
absorbé par un métal lors d’une collision qui en éjecte un électron. Le métal doit pour cela recevoir une
énergie minimale, nommée travail d’extraction et notée W.
1. Exprimer la conservation de l’énergie entre l’état initial : photon + électron lié au métal ; et l’état final
électron extrait du métal. En déduire une relation entre la constante de Planck, la vitesse de la lumière
c, la longueur du photon absorbé λ, le travail d’extraction W et l’énergie cinétique de l’électron extrait
Ecin.
2. On envoie sur du potassium, une radiation de longueur d’ondeλ1= 253,7nm ; l’énergie maximale des
électrons extraits est 3,14eV. Elle est 0,36eV pour λ= 589nm.
(a) Retrouver la valeur de la constante de Planck.
(b) Calculer le travail d’extraction W des électrons du potassium.
(c) Calculer la longueur d’onde maximale λmax des radiations provoquant l’effet photoélectrique
sur le potassium.
3. Comparer la quantité de mouvement d’un photon λmax et celle de l’électron extrait. En déduire que
l’ensemble de l’échantillon de potassium acquiert lui-aussi une quantité de mouvement. Doit-on pour
autant en tenir compte dans le bilan d’énergie ?
Exercice 3 : Montage à photodiode
Un détecteur de lumière comme une photodiode réalise essentiellement une conversion photon-électron.
On admettra que, si la surface sensible est soumise à un flux de photons, la photodiode se comporte comme
un générateur de courant électrique, en produisant un flux d’électrons égal au flux de photons reçu.
1. Rappeler l’énergie d’un photon associé à une onde laser de fréquence ν. Application numérique pour
une longueur d’onde égale à 532 nm.
2. Exprimer le nombre moyen de photon Φémis par unité de temps pour un laser de puissance P émet-
tant une onde lumineuse de fréquence ν. Application numérique pour λ= 532nm et P = 1,0·10−3W.
3. En déduire une expression de l’intensité du courant développé par la photodiode en fonction de
P,ν, he où l’on note ela charge élémentaire et hla constante de Planck. Application numérique : com-
ment choisir la valeur de la résistance sur laquelle débite la photodiode pour récupérer une tension
de l’ordre du volt.
Exercice 4 : Longueurs d’onde de de Broglie
Quelle est la longueur d’onde de de Broglie :
•d’un électron d’énergie 10keV. Cette énergie correspond à celle du faisceau d’un oscilloscope catho-
dique. La dynamique de ce faisceau relève-t-elle de la mécanique quantique ? Comparer aux dimen-
sions atomiques et commenter.
•d’un élève de prépa se rendant à la cantine à 11h57. Comparer à la largeur des portes d’entrée du
self des élèves et de celui des professeurs. Pour quelle vitesse observerait-on un phénomène d’interfé-
rences ? Commenter.
Exercice 5 : Vitesse de propagation de l’onde de de Broglie
Une particule de masse mse déplace à la vitesse v(très inférieure à la vitesse de la lumière).
1. Déterminer l’expression du vecteur d’onde kdBde de Broglie.
2. L’énergie de la particule est uniquement cinétique. En appliquant la relation de Planck-Einstein, dé-
terminer la pulsation ωdBcorrespondante.
3. En déduire la vitesse de phase de propagation de l’onde de de Broglie. Comparer à la vitesse de la
particule.
Exercice 6 : Expérience de Shimizu et Shimizu
On précise les paramètres de l’expérience d’interférences d’atomes de néon métastables froids décrite en
cours.
1. La distance entre deux franges, notée i, dépend de la longueur d’onde λdBet des distances dentre
les fentes et D entre le plan des fentes et l’écran. À votre avis, la distance iest-elle croissante ou
décroissante avec D ? Même question pour d. En déduire une expression de ien fonction de λdB, D d
par analyse dimensionnelle.
2. La distance entre deux franges claires successives, notée iest de l’ordre de 1 ·10−3m, et on a d= 6µm
et D = 11cm. En déduire l’ordre de grandeur de la longueur d’onde de de Broglie λdBdes atomes de
néon dans les conditions de l’expérience.
3. (a) En déduire l’ordre de grandeur de la vitesse vdes atomes de néon dans l’expérience. On fera
intervenir le nombre d’Avogadro et la masse molaire du néon dont les valeurs figurent dans le
cours de chimie.
(b) Cette valeur est-elle compatible avec une hauteur totale de chute de 1m ?
Exercice 7 : Accord d’une boîte quantique unidimensionnelle
On considère un électron piégé sur un segment de longueur `. On note mela masse de l’électron.
1. Lorsque l’électron passe d’un état caractérisé par une énergie E(n) à un état caractérisé par une énergie
E(m)<E(n), l’électron émet un photon de pulsation ωmn. Exprimer ωmn en fonction des énergies E(m)
et E(n) et de la constante de Planck réduite }.
2. Déterminer l’expression générale de la pulsation du photon émis, puis de sa longueur d’onde λnm,
en fonction de deux entiers net m, de la constante de Planck, de la masse meet de la longueur `du
segment.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.1/42016–2017

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3. Quelle valeur de longueur de segment faut-il choisir pour qu’une transition entre le niveau fonda-
mental et le premier niveau excité corresponde à de la lumière bleue ? À de la lumière rouge?
Exercice 8 : Longueur d’onde λdB thermique et dégénérescence quantique
On sait depuis 1995 réaliser un état de la matière dans lequel un grand nombre (de l’ordre du mil-
lion) d’atomes bosoniques (possédant un nombre pair de nucléons) sont tous le même état quantique : le
«condensat de Bose-Einstein». Leur fonction d’onde commune est l’état fondamental du système réalisant
leur confinement, chacune de ces fonctions d’ondes étant de plus en phase.
On détermine un ordre de grandeur de la température pour laquelle se phénomène se produit.
1. Dans un ensemble d’atomes de masse mà la température T (en K), on définit une longueur d’onde de
de Broglie thermique λdBT caractérisant la longueur d’onde moyenne des atomes.
(a) Proposer par analyse dimensionnelle une expression de λdBT en fonction de T, m,het de la
constante de Boltzmann kB= 1,38 ·10−23 J·K−1.
(b) En déduire un ordre de grandeur de λdBT pour un élève passant la porte de la cantine. Pourra-t-
on observer un phénomène de diffraction ?
2. La condensation de Bose-Einstein se produit quand l’ensemble des atomes atteint le régime dit de
«dégénérescence quantique», dans lequel la longueur λdBT devient comparable à la distance caracté-
ristique, notée d, séparant les atomes.
(a) Déterminer par analyse dimensionnelle l’expression de la distance den fonction du nombre de
particules par m3noté n.
(b) On piège un nombre N de particules dans une «boite» (au moyen de champs magnétiques et/ou
de faisceaux lasers) cubique de côté a. Établir en ordre de grandeur l’expression reliant N,T et a
au seuil de condensation. Suffit-il que les atomes soient froids pour l’observer ?
(c) Calculer l’ordre de grandeur de la température, notée TBEC, de condensation pour un nombre
N = 2 ·104d’atomes de Rubidium 87Rb et a= 20µm.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.2/42016–2017

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Correction de l’exercice 1
1. Une puissance Pde 1kW correspond à une énergie de 1 ·103J par seconde. À la fréquence f= 1MHz,
l’énergie de chaque photon est }ω=hf et le nombre de photons par seconde est donc dN
dt=P/(hf ) =
1,5·1030 s−1.
2. On peut estimer la surface d’une pupille à S = 5mm2, la puissance qu’elle reçoit est alors P= 1.6e−
10×5e−6=8,0·10−16 W. L’énergie de chaque photon est }ω=hc/λet on calcule comme à la question
précédente dN
dt=Pλ/(hc)=2,2·103s−1.
Correction de l’exercice 2
1. L’énergie du photon initial est égale à la somme du travail d’extraction et de l’énergie cinétique de
l’électron extrait, soit : hc/λ= W + Ecin.
2. (a) On a
hc
λ1= W + Ecin1
hc
λ2= W + Ecin2.
La différence de ces deux équations permet de calculer hen fonction de c, des longueurs d’onde
et des énergies cinétiques. On retrouve bien la valeur h= 4,1·10−15 eV ·s=6,63 ·10−34 J·s.
(b) La somme des deux équations donne cette fois-ci :
W = hc 1
λ1+1 λ2−(Ecin1+Ecin2)
2= 1,74eV.
(c) La longueur d’onde maximale λmax est celle pour laquelle l’énergie cinétique de l’électron est
nulle. On a donc : λmax = (hc)/W=0,71µm.
3. La quantité de mouvement d’un photon est pp=h/λ, celle de l’électron est reliée à son énergie ci-
nétique par pe=√2meEcin. La relation 1 assure que les deux quantités de mouvement ne peuvent
pas être égales : l’ensemble de l’échantillon doit également acquérir une quantité de mouvement pour
que la quantité de mouvement globale soit conservée. Notons respectivement pket peles quantités de
mouvement respectives de l’électron et de l’ensemble de l’échantillon, mKet meleurs masses respec-
tives ; les deux bilans de quantité de mouvement et d’énergie s’écrivent alors :
hc
λ= W + p2
K
2mK+p2
e
2me
h
λ=pK+pe
.
Pour λet W donnés on peut résoudre et déterminer pKet pemais le fait que mKmepermet de né-
gliger l’énergie l’énergie cinétique de l’échantillon devant celle de l’électron. On peut par exemple
calculer pKà partir des valeurs de λet pede la première expérience (pK'h/λ1−p2meEcin1=
−9,5·10−25 kg ·m·s−1) et vérifier que l’énergie cinétique de l’échantillon correspondante (EcinK=
p2
K/(2mK)=3·10−27 eV pour une masse de 1g par exemple) est bien négligeable devant celle de l’élec-
tron.
Correction de l’exercice 3
1. L’énergie d’un photon s’écrit ε=hν=dhc
dλ. Avec h= 6,63 ·10−34 J·s et c= 3,00 ·108m·s−1, on obtient,
pour λ= 532nm : ε= 3,74 ·10−19 J=2,33eV.
2. La puissance du faisceau laser est le produit de l’énergie d’un photon par le nombre de photons émis
par unité de temps : P = Φ×ε=Φ×hν. On a donc : Φ=P
ε, soit Φ= 2,7·1015 photons/s.
3. Si un photon est converti en un électron de charge e(en valeur absolue), alors, la charge émise par
unité de temps, c’est-à-dire l’intensité du courant, vaut :
I = δq
dt=Φe.
On obtient, avec e= 1,6·10−19 C, une intensité I = 4,3·10−4A. Si cette intensité parcourt une résis-
tance R, la tension récupérée aux bornes du dipôle vaut U = RI. On a donc R = U
I. La résistance doit
être de l’ordre de 2,5kΩ.
Correction de l’exercice 4
•On a λdB=h/p et Ecin =p2/(2me). On calcule donc λdB=h/√2meEcin = 1,2·10−11 m. Cette longueur
est négligeable devant les caractéristiques géométriques du faisceau d’un oscilloscope cathodique :
son mouvement relève donc de la mécanique classique. En revanche cette taille est petite devant la
taille d’un atome, et les distances interatomiques dans un solide de l’ordre de 1Å = 1 ·10−10 m. On
pourra utiliser un tel faisceau pour observer la structure d’un cristal par diffraction.
•Pour une vitesse de l’ordre de 10m ·s−1on calcule, pour une masse de 65kg, λdB= 1,0·10−36 m,
négligeable devant la taille des portes et leur séparation. On ne pourra pas réaliser d’interférences
avec ce dispositif évidemment. Pour une longueur d’onde de 1m, il faudrait une vitesse de l’ordre de
v=p/m =h/(λm)=1,0·10−35 m·s−1. Comme on le verra à l’exercice 8, il faut en plus que la vitesse
caractéristique de l’agitation thermique de chacune des molécules soit du même ordre, ce qui impose
une température proche de 0K, où la vie n’est plus possible...
Correction de l’exercice 5
1. On a p=}kdB=mv, soit kdB=mv/(}).
2. On a par ailleurs E=mv2/2 = }ωdB, soit ωdB=mv2/(2}).
3. La vitesse de phase est alors c=ωdB/kdB=v/2 : elle diffère de la vitesse de la particule qui est en fait
la vitesse de groupe associée à l’onde de matière.
Correction de l’exercice 6
1. Plus les fentes sont proches, plus on doit observer des angles élevés pour obtenir une interférence
constructive : idoit être donc croissante quand idécroît. De plus, plus on observe loin plus la sépara-
tion entre les franges sera importante : iest croissante avec D. L’expression la plus simple qu’on puisse
postuler est : i=λdBD
d. C’est effectivement la bonne expression pour D élevée.
2. Pour cette valeur de i, on calcule λ=di
D'55nm.
3. (a) Avec l’expression λdB=h/p =h/(mv), on détermine v'h/(mλdB)=3·10−1m·s−1.
(b) Au cours d’une chute libre dans le vide avec vitesse initiale nulle, la vitesse s’exprime en fonction
de la position par v=√2gx. Une chute de l’ordre de 1m donnera donc une vitesse de 4,4m ·s−1
sensiblement plus élevée.
Les valeurs données dans l’énoncé étaient un peu trop approximatives. Il faut plutôt prendre
i= 0,23mm et une distance totale de chute de 20cm.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.3/42016–2017

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Correction de l’exercice 7
1. Écrivons la conservation de l’énergie lors du passage d’un état nà un état m < n, en émettant un
photon d’énergie ~ω:
~ω= E(n)−E(m).
2. L’énergie de l’électron est ici purement cinétique, de la forme E = p2
2m. Nous avons vu dans le cours
que, pour une particule libre (énergie potentielle nulle), confinée sur un segment de longueur `, on
peut écrire, d’une part, la relation de Planck-Einstein p=h
λ, et, d’autre part, la prise en compte des
conditions aux limites, soit λ=2`
navec nentier. L’énergie est repérée par un indice entier positif et de
la forme : E(n) = n2h2
8me`2.
3. Prenons n= 2 et m= 1, on a alors :
~ω21 =(22−12)h2
8me`2
h
2π
2πc
λ21 =3h2
8me`2
λ21 =8mec`2
3h.
La longueur est donc donnée, en fonction des autres paramètres, par :
`=r3hλ
8mec.
•Pour le bleu, prenons λ= 450nm, on obtient `= 6,4·10−10 m.
•Pour le rouge, prenons λ= 750nm, on obtient `= 8,2·10−10 m.
Ces dimensions sont de l’ordre de grandeur des dimensions d’un atome ou du paramètre de maille
d’un cristal usuel.
Correction de l’exercice 8
1. (a) On doit avoir λdB=h/√mkBT, l’expression utilisée le plus souvent étant λdBT =h/√2πmkBT.
(b) On calcule, pour 50kg et T = 310K, λdBT = 5,7·10−25 m négligeable devant la taille d’une porte :
on n’observera pas de diffraction.
Cette expression est celle qu’il faudrait prendre si l’élève formait un seul objet quantique. Il est
plus logique de prendre ici une masse correspondant à un atome, de carbone par exemple. On
obtient alors 3 ·10−11 m, toujours négligeable devant la taille de la porte.
2. (a) On a immédiatement d'n−1/3.
(b) Au seuil de condensation, on a λdBT 'd, soit nλdBT '1. Avec n'N/a3, cette condition s’écrit :
N
T3/2' a√mkB
h!3
(c) On obtient :
T'N2/3 h
q√mkB!2
= 0,4µK.
La première condensation de Bose-Einstein a effectivement été observée en 1995 par l’équipe de
E. Cornell du JILA pour une température de 170nK et des paramètres comparables.
Julien Cubizolles, sous licence http://creativecommons.org/licenses/by- nc- nd/2.0/fr/.4/42016–2017