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Front d'onde des representations des groupes classiques p -adiques
C Moeglin
American Journal of Mathematics, Volume 118, Number 6, December
1996, pp. 1313-1346 (Article)
Published by The Johns Hopkins University Press
DOI: 10.1353/ajm.1996.0051
For additional information about this article
Access provided by Penn State Univ Libraries (18 Apr 2014 06:10 GMT)
http://muse.jhu.edu/journals/ajm/summary/v118/118.6moeglin.html

FRONT D’ONDE DES REPR´ ESENTATIONS DES GROUPES
CLASSIQUES p-ADIQUES
By C. MŒGLIN
R´esum´e. Dans cet article, on rappelle la d´efinition alg´ebrique du front d’onde d’une repr´esentation
lisse d’un groupe p-adique, donn´ee par Kawanaka. On en donne quelques propri´et´es; en particulier
pour les groupes classiques p-adiques, on montre que ce front d’onde ne contient que des orbites
unipotentes sp´eciales. On termine en montrant que si ce front d’onde est induit, dans certains cas,
cela entraine que la repr´esentation est elle aussi induite.
Soit Gun groupe alg´ebrique, sur un corps p-adique, F.D´efinissons d’abord
ce qu’est le front d’onde d’une repr´esentation lisse de longueur finie. Comme
on le rappellera, cela peut en partie se d´efinir avec le d´eveloppement asympto-
tique du caract`ere de la repr´esentation en l’´el´ement neutre, mais nous suivons
ici Kawanaka [Ka] qui en a donn´e une d´efinition alg´ebrique plus riche. Soit U
une orbite unipotente de G. Soit u U,onnoteC
G
(u) le centralisateur de u
dans Get uCG(u) le radical unipotent de ce groupe. La th´eorie des SL2-triplets
(Kostant [Ko]) permet d’associer canoniquement `atout´el´ement u U une classe
de conjugaison sous uCG(u), de sous-groupe unipotent de G. Soit Ndans cette
classe; la fonction ud´efinie sur Npar (tr est une forme bilin´eaire non d´eg´en´er´ee
et ´equivariante sur et est un caract`ere complexe, lisse, de F):
n N,u(n)= tr(logu)(logn)
soit est un caract`ere de Net on pose N=Nsoit il existe un sous-groupe Nde
N, canoniquement d´efini tel que urestreinte `a Nest un caract`ere stable par N
et le groupe:
Hu:= NKerNu
est un groupe d’Heisenberg de centre NKerNu. On note Sula representation
lisse irr´eductible de Hude caract`ere central u. La distinction entre les deux cas,
d´epend de l’orbite Uet non de Ndans sa classe. De plus, il existe un sous-groupe
r´eductif maximal, not´e CN
G(u), de CG(u) stabilisant Net donc uet Nv´erifiant:
CG(u)=C
N
G(u)u
C
G
(u).
Manuscript received July 1, 1994; revised June 4, 1996.
American Journal of Mathematics 118 (1996), 1313–1346.
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On pose:
A(u)=C
G
(u)u C
G
(u)
et la propri´et´e ci-dessus permet d’identifier A(u)etC
N
G
(u) et ainsi de faire op´erer
A(u) sur N,Naction stabilisant uet se relevant en une repr´esentation projective
sur Su.
Soit ( ,V) une repr´esentation lisse de Gde longueur finie. On d´efinit NuV
l’espace vectoriel engendr´e par l’ensemble des ´el´ements (n)vu(n)v,o`un
parcourt Net vparcourt V.Onpose:
V
u:= V N uV,
si N=N,i.e.si uest un caract`ere de Net
Vu:= HomHu(Su,V N uV),
sinon. Remarquons que Vune d´ependduchoixdeNqu’`a conjugaison pr`es par
les ´el´ements de uCG(u). Alors Vuest une repr´esentation de A(u)siN=Net une
repr´esentation projective de A(u) sinon, dont la classe d’isomorphie ne d´epend
pas du choix de N.
On dit que U NWh()siV
u=0.OnnoteN
Wh,max() l’ensemble des
´el´ements maximaux de NWh() pour la relation d’ordre induite par les inclusions
entre fermetures d’orbites.
En [M-W], on a interpr´et´e NWh,max()`a l’aide du d´evelopement asymptotique
du caract`ere de `a l’origine et on a montr´e que pour tout U NWh,max()et
u U, la dimension de Vuest finie. On obtient le corollaire d´eroutant suivant: si
Gest un groupe alg´ebrique d’alg`ebre de Lie de type B, C ou D, alors les ´el´ements
de NWh,max() sont des orbites sp´eciales. En effet, supposons ici, pour simplifier,
que Glui-mˆeme est classique, pour U NWh,max(), A(U) est un produit de
groupe orthogonaux et de groupes symplectiques et la condition que Vusoit de
dimension finie entraine que A(u)doitop´erer non projectivement sur Suce qui
est une vraie condition sur les facteurs symplectiques et entraine l’assertion apr`es
un calcul explicite. Les autres orbites interviennent peut-ˆetre comme front d’onde
des revˆetements non alg´ebriques des groupes classiques; c’est le cas des orbites
antisp´eciales (cf. 3 ci-dessous) pour le type C, qui interviennent comme front
d’onde des repr´esentations des groupes m´etaplectiques.
On veut d´efinir une action de A(U)surV
udans le cas qui nous int´eresse
le plus, celui o`u Uest sp´eciale. On le fait en supposant que Gest un groupe
classique orthogonal ou symplectique; dans ce cas A(U) est un produit de groupes
orthogonaux et de groupes symplectiques et sans faire d’hypoth`eses sur U,on
note ˜
A(U) le revˆetement de A(U) obtenu en rempla¸cant les groupes symplectiques
parleurrevˆetement m´etaplectique; ces groupes m´etaplectiques op`erent sans au-
cune ambiguit´esurS
uet donc sur Vu; remarquons que si Vuest de dimension

FRONT D’ONDE DES REPR ´ ESENTATIONS DES GROUPES p-ADIQUES 1315
finie cette action est n´ecessairement triviale. On fait op´erer les groupes orthogo-
naux, facteurs de A(U), en consid´erant leur action naturelle dans un mod`ele de
Schr¨odinger de Suobtenu `a partir d’une polarisation stable par ces groupes or-
thogonaux (cf. 1.3 pour la construction de telles polarisations); comme un change-
ment de mod`ele de Schr¨odinger se fait par une transformation de Fourier, cette
d´efinition est ind´ependante du choix du mod`ele de Schr¨odinger choisi. Comme
les groupes orthogonaux ont des caract`eres, il me semble qu’il n’y a pas de
d´efinition canonique possible. On a ainsi d´efini une action de ˜
A(U)surV
u
;siU
est sp´eciale cette action est une action de A(U)lui-mˆeme (cf. 1.3).
On note FO() l’ensemble des couples (U,)o`uU N
Wh,max()et est
la classe d’isomorphie d’une repr´esentation irr´eductible de A(u) intervenant dans
Vu; on compte ces couples avec la multiplicit´edelarepr´esentation .
Expliquons maintenant les motivations pour l’´etude de FO(). On a d´ej`a
vu ci-dessus que cette ´etude donne des r´esultats de non existence de certaines
repr´esentations; on verra aussi (cf. ci-dessous) que si le front d’onde de contient
une orbite rencontrant un Levi et si Gest classique alors ne peut ˆetre temp´eree
et on a mˆeme des renseignements techniques mais utiles sur (cf. ci-dessous).
Plus fondamentalement, le guide de cette ´etude est la conjecture de Kawanaka
selon laquelle la classe d’isomorphie de doit ˆetre d´etermin´ee par son caract`ere
infinit´esimal et son front d’onde. Le caract`ere infinit´esimal est une notion qui
n’est pas d´efini pour les groupes p-adique mais en terme de paquets d’Arthur
(conjecturaux eux aussi et ayant le d´efaut que toute repr´esentation n’est pas
n´ecessairment dans au moins un paquet) il peut se d´efinirdelafa¸con suivante
(sauf erreur de ma part). On suppose que est dans un paquet d´etermin´e par un
homomorphisme:
Ψ:WFSL(2, ) SL(2, ) LG,
alors le caract`ere infinit´esimal associ´e`a devrait ˆetre l’homomorphisme de WF
dans le groupe dual compos´edeΨavec:
id t t:WFWFSL(2, ) SL(2, ),
o`u test:
w WF,t(w)= w1 2 0
0w1 2 .
Cette suggestion suppose que cet homomorphisme est ind´ependant du paquet
contenant , ce qui reste `a prouver. L’ennui majeur est que le front d’onde est
difficile `a calculer. Toutefois on a montr´e en [M1] et [M2] que le front d’onde
seul d´etermine dans certains cas la repr´esentation; c’est un outil puissant.
Il est un corollaire imm´ediat de [M-W] que si est une repr´esentation cusp-
idale de Get si U NWh,max(), alors Une rencontre aucun sous-groupe de Levi

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propre de G. Dans cet article, on g´en´eralise cette propri´et´e aux repr´esentations
temp´er´ees de G, sous l’hypoth`ese que Gest un groupe classique de type B, C ou
D; le r´esultat est imm´ediat, `a partir des classifications pour GL(n)etSL(n). On
obtient ce r´esultat comme corollaire du r´esultat technique suivant.
Soit Uune orbite unipotente de G. On suppose que Urencontre un sous-
groupe de Levi propre, M,deGet on fixe u U M. On fixe aussi un sous-groupe
parabolique Pde Gde Levi M. Alors il existe un caract`ere U,Mde M A(u)
ne d´ependant que de Uet M(il s’interprete commod´ement `a l’aide de l’orbite
duale de U) tel que: soit ,Vune repr´esentation lisse de G; on note VMle
module de Jacquet (normalis´epar 12
P) relativement au radical unipotent de
Pet on d´efinit, pour u U M,VM,ude fa¸con analogue `a Vu; alors il existe
un morphisme surjectif de Vusur VM,u´equivariant pour l’action de M A(u)
`a condition de tordre `a droit par le caractere U,M. Ce morphisme est bijectif
si est irr´eductible et U NWh,max(). Cela fournit des renseignements tr`es
pr´ecis sur VMet ce r´esultat sera utilis´edefa¸con d´eterminante dans l’´etude des
repr´esentations quadratiques unipotentes de G(cf. [M1] et [M2]).
Toutes les constructions de cet article se font avec l’alg`ebre de Lie de G, que
l’on note ; il est donc plus commode de travailler avec des orbites nilpotentes de
plutˆot que des orbites unipotentes de G; ces deux points de vue sont ´equivalents
puisque l’on est en caract´eristique 0 et que dans ce cas l’application exponentielle
d´efinie une bijection de l’ensemble des ´el´ements nilpotents de sur l’ensemble
des ´el´ements unipotents de G;onnoteexp cette application et log son inverse.
1.1. Description del’alg`ebre de Lie de G.On suppose que est classique,
i.e. qu’il existe un espace vectoriel muni d’une forme bilin´eaire sym´etrique ou
antisym´etrique , non d´eg´en´er´ee telle que soit l’alg`ebre de Lie des endomor-
phismes de cette forme. On identifie `a une sous-alg`ebre de End . On pose
1 le scalaire tel que:
v,w,v,w=w,v.
On note ∆l’unique application lin´eaire:
∆:End ,
v´erifiant:
v,w,x,∆(vw)(x)=vw,x wx,v.
On v´erifie ais´ement:
v,w,x,y,∆(vw)(x),y+x,∆(vw)(y)
=v,yw,x w,y x,v+x,vw,y x,w y,v=0;