Leçon 101: Groupes opérant sur un ensemble. Exemples et

Leçon 101: Groupes opérant sur un ensemble.
Exemples et applications.
Adrien Fontaine
21 décembre 2013
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Table des matières
1 Définition et premières propriétés 3
1.1 Actionsdegroupe.......................... 3
1.2 Action d’un groupe fini sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . 4
2 Applications en théorie des groupes 5
2.1 Action de Gsur lui même par automorphisme intérieur . . . . . 5
2.2 Action de Gpar translation à gauche . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Applications en algèbre linéaire et en algèbre commutative 7
3.1 En algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Représentations linéaires des groupes finis . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Action de Snsur C[X1, ..., Xn]................... 9
4 Applications en géométrie 9
4.1 Angles orientés et espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Action de P SL2(Z)sur le demi plan de Poincaré . . . . . . . . . 9
2

1 DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 3
Cadre : Gun groupe (multiplicatif), eson neutre, Hun sous-groupe de
Get Xun ensemble.
1 Définition et premières propriétés
1.1 Actions de groupe
Perrin p13
Perrin p14
Définition 1
on dit que Gopère sur Xsi on s’est donné une application
G×X→X
(g, x)7→ g.x
vérifiant les axiomes suivant :
(i) ∀g, g0∈G, ∀x∈X, g.(g0.x) = (gg0).x
(ii) ∀x∈X, e.x =x.
Remarque 1
C’est équivalent à la donnée d’un homomorphisme ϕ:G→S(X), où
S(X)désigne l’ensemble des bijections de X.
Définition 2
– On dit que Gopère transitivement sur Xsi on a :
∀x∈X, ∀y∈X, ∃g∈G/g.x =y
– On dit que Gopère fidèlement si ϕ:G→S(X)est injectif, i.e si on
a
(∀x∈g.x =x)→g=e
Remarque 2
G/Ker(ϕ)opère fidèlement sur X.
Exemple 1
P GL(E)opère fidèlement sur P(E), où Eest une espace vectoriel.
Définition 3
On introduit la relation d’équivalence suivante :
x∼y⇔ ∃g∈G/g.x =y
Les classes pour cette action sont les orbites de Gsous X. On note ω(x),
l’orbite de x∈X.

1 DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 4
Perrin p16
Perrin p16
Perrin p28
Remarque 3
Gopère transitivement sur ω(x).
Exemple 2
Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints.
Définition 4
Si x∈X, on définit Gx={g∈G, g.x =x}. C’est un sous-groupe de G
appelé le stabilisateur de x.
Exemple 3
Dans l’opération naturelle de Snsur {1, ..., n}, le stabilisateur d’un point
est isomorphe à Sn−1.
Définition 5
On dit que l’action de Gsur Xest n-fois transitive si
∀(x1, ..., xn),(y1, ..., yn)∈Xn,∃g∈G, ∀1≤i≤n, g.xi=yi
Lemme 1
L’action de Ansur {1, ..., n}est n−2-fois transitive.
Proposition 1
– Si σ∈Snest un cycle d’ordre p,σ= (a1, ..., ap)et si τ∈Sn, on a
τστ−1= (τ(a1), ..., τ(ap))
– Dans Sn, tous les cycles sont d’ordre psont conjugués.
– Si n≥5, les cycles d’ordre 3 sont conjugués dans An.
Application :
Théorème 1
Anest simple pour n≥5.
1.2 Action d’un groupe fini sur un ensemble fini
Perrin p15
Gourdon p22
But : Préciser le lien entre orbite et stabilisateur de x∈X.
Proposition 2
L’application ¯g7→ g.x de G/Gxdans ω(x)est bien définie et est une bijec-
tion.
Corollaire 1
Si Gest fini, on a ∀x∈X, |G|=|ω(x)|.|Gx|.

2 APPLICATIONS EN THÉORIE DES GROUPES 5
Combes p43
Combes p45
Perrin p82
Proposition 3
On suppose Gfini. Soient ω(x1), ..., ω(xk)les orbites de l’action de Gsur
X. Pour tout g∈G, on note F ix(g) = {x∈X, g.x =x}l’ensemble des
éléments de Efixés par g. Alors :
(i) |X|=Pk
i=1 |ω(xi)|=Pk i=1 |G|
|Gx|.
(ii) Le nombre d’orbites est k=1
|G|Pg∈G|F ix(g)|.
Application :
(i) Théorème 2 (de Cauchy)
Soit Gun groupe fini d’ordre n, et soit pun facteur premier de n.
Il existe dans Gdes éléments d’ordre p.
(ii) Développement :
Théorème 3 (de Wedderburn)
Tout corps fini est commutatif.
2 Applications en théorie des groupes
2.1 Action de Gsur lui même par automorphisme inté-
rieur
Perrin p15
Gourdon p27
Gourdon p27
Gourdon p27
On fait agir GyGvia g.a =gag−1.
Définition 6
(i) Les orbites s’appellent alors classe de conjugaison et si a0=gag−1,a0
est un conjugué de a.
(ii) Le stabilisateur de as’appelle centralisateur
Ha={g∈G, gag−1=a}={g∈G, ga =ag}
(iii) On définit de même le centralisateur d’une partie Ade G:
CG(A) = {g∈G, ∀a∈A, ga =ag}
Proposition 4
Le centre d’un p-groupe distinct de {e}n’est pas réduit à {e}.
Théorème 4
Si Gest un groupe d’ordre p2avec ppremier, alors Gest abélien.
Théorème 5
Si Gest un groupe d’ordre pα, alors pour tout 0≤m≤α, il existe un sous