Chapitre 3: Elasticité et résistance des matériaux

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Chapitre 3: Elasticité et résistance des matériaux
But de ce chapitre: pouvoir comprendre et, dans certains cas, évaluer les conditions dans
lesquelles se produit une facture des os ou des dommages aux tissus.
3.1 Déformation des matériaux
Selon l'importance des contraintes appliquées à un objet, les déformations qu'il subit sont
élastiques, plastiques ou conduisent à la rupture. La relation entre contrainte et déformation
est linéaire jusqu'au point A (ressort). Elle s'écrit:
Loi de Hooke:
€
F=k⋅ Δl
où
€
F
est la force appliquée au ressort
€
Δl
est son allongement du ressort,
€
k
est la constante du ressort [N/m]
Vectoriellement, la loi s'écrit:
€
r
F =−k⋅ Δ
r
l
Dans la figure ci-dessous, on remarque qu'entre A et B, la relation n'est plus linéaire, bien
qu'élastique. Entre B et C on atteint le domaine plastique (déformation permanente, même si
les contraintes disparaissent).
A
B
C
D
Limite linéaire
Limite élastique
Limite de résistance à la traction
Limite de rupture
Contrainte
Déformation (allongement)
On a des relations similaires pour un barreau soumis à une contrainte de tension. La constante
du "ressort" s'exprime dans ce cas en fonction des propriétés élastiques de la matière:
Contrainte:
€
σ =F
A
où A est l'aire de la section droite.
La contrainte est liée à la déformation relative
€
ε =Δl
l
par
€
σ =E⋅ ε
.
On peut encore écrire cette relation sous la forme:
€
Δl
l=1 E⋅F A
où E est le module d'élasticité
ou module de Young (Y), grandeur dépendant du matériau et que l'on trouve dans certaines
tables numériques. Voici quelques exemples:

Elasticité et résistance des matériaux
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Matériau
Module de Young
E [N|m2]
Limite de résistance à
la traction σ
max [N|m2]
Limite de résistance à
la compression σ
max
[N|m2]
Aluminium
7.1010
2.108
Acier
20.1010
5.108
Verre
7.1010
0,5.108
11.108
Os en traction
1,6.1010
1,2.108
Os en compression
0,9.1010
1,7.108
Os en torsion
0,28.108 (torsion)
Bois dur
1010
108
Tendon
2.107
0,69. 108
Caoutchouc
106
Vaisseaux sanguins
0,2.106
Muscle
0,06. 108
Application: une corde de piano en acier de diamètre 1mm tendue avec une force de 600 N
subit une déformation relative de
€
Δl
l=1 E⋅F A=1 20 ⋅1010
600
10−6=0,3%
. Ceci correspond à une
allongement de 3 mm pour une corde longue de 1m.
3.2 Contraintes
Les contraintes que subit un matériau ne sont pas seulement des tensions ou des
compressions: un objet peut aussi être soumis à un cisaillement, une torsion ou à une flexion.
Dans ces derniers cas la situation est plus complexe, car les contraintes et les déformations ne
dépendent plus seulement de la matière dont est faite l'objet et de sa dimension, mais
également de sa forme géométrique.
Type de
déformation
Effort
(Action externe)
Contrainte
(Effet interne)
Déformation
Tension
Force F appliquée
sur un objet de
section A
€
σ =F
A
€
Δl=F
A⋅l E
Torsion
Couple T appliqué
sur un objet de
forme donnée
€
θ ∝T⋅l
Flexion
Moment de force
€
Mf
appliqué sur
un objet de forme
donnée
3.3 Hauteur et forme des arbres
Pour une masse donnée, il est plus favorable d'avoir une structure creuse qu'une structure
pleine (pour le montrer, il faut estimer les contraintes pour des situations où l'aire des sections
est la même). Exemple: un tube creux de diamètre extérieur 5 cm, de diamètre intérieur 4 cm,
présente une même section qu'un tube plein de diamètre 3 cm. On peut alors montrer qu'un

Elasticité et résistance des matériaux
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tube creux est près de 3 fois plus résistant à la torsion qu'un tube plein de même masse et de
même matière. Pour ce qui est de la flexion, on arrive à des conclusions similaires. On aurait
alors tendance à conclure qu'un tube de très gros diamètre avec une paroi très mince est la
géométrie qui résiste le mieux à la torsion et à la flexion. Mais en réalité il y a une limite à ne
pas dépasser, sinon il se produit un flambage:
La nature a créé la structure cylindrique des arbres pour résister au flambage. La hauteur
maximum d'un arbre est ainsi liée à son diamètre. On peut montrer que, pour un cylindre plein
de rayon r, la hauteur limite est donnée par:
€
hlimite =c⋅r2 / 3
. Ce résultat est aussi valable pour
fixer les dimensions des structures cylindriques du corps humain. c est une constante qui
dépend de la masse volumique et du module d'élasticité de l'objet. Ainsi, pour un arbre à la
limite du flambage, doubler son rayon ne permet pas de doubler sa hauteur (mais seulement
de la multiplier par 1,6).
3.4 Chocs et impulsion
Lors d'une collision, la force qui agit sur un objet ou sur un passager est d'autant plus
importante que la durée de collision est brève. Pour traiter plus particulièrement de ce sujet, il
importe d'introduire les notions de quantité de mouvement et d'impulsion. Considérons tout
d'abord une balle qui heurte un mur: elle arrive contre le mur avec une vitesse
€
r
v
1
et rebondit
avec une vitesse
€
r
v
2
. Au cours de la collision, la vitesse change de norme et de direction car le
mur exerce une force
€
r
F
sur la balle pendant le court instant
€
Δt
.
La balle arrive
V1
La balle heurte le mur
F
La balle repart
V2
On définit: quantité de mouvement
€
r
p =m⋅r v
Impulsion:
€
r
J
1,2 =
r
F ⋅ Δt
La loi de la variation de la quantité de mouvement stipule que l'impulsion d'une force
résultante s'exerçant sur un objet, est égale à la différence de la quantité de mouvement de cet
objet avant et après le choc:
€
r
F ⋅ Δt=m⋅r v
2−m⋅r
v
1
pour le cas ci-dessus, cette loi s'écrit en norme comme:
€
F⋅ Δt=m⋅v2−m⋅v1
. Dans le cas où
la force ne serait pas constante pendant la durée de l'impact, on travaille avec une valeur

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moyenne estimée. Exemple: on saute d'une hauteur h, jambes tendues et on se reçoit sur les
talons. Dans ce cas,
€
v2=0
et
€
v1=2gh
. L'impulsion vaut donc
€
F⋅ Δt=m⋅2gh
et la
force est égale à
€
F=m⋅2gh /Δt
. L'os de la jambe est soumis à une contrainte
(compression)
€
σ =F
A=m⋅2gh A⋅ Δt
. Supposons qu'une personne de 80 kg tombe d'une hauteur
de 1 m, et se reçoit, genoux bloqués, sur les talons (
€
A≅2 cm2
) de sorte que la durée du choc
soit de 10-2 s. On trouve
€
σ =1,8 ⋅108N
m2
. D'après le tableau du premier paragraphe, l'os se
fracture. Pour diminuer la contrainte, il faut plier les genoux pour augmenter la durée du choc.
En général, ce n'est pas par compression que les os se brisent, mais surtout par torsion ou
flexion.
3.5 Airbag et autres exemples
• La fonction de l'airbag est de rallonger la durée de la collision ou, ce qui revient au
même, la distance de freinage. La force exercée sur le passager est donc plus faible
qu'en l'absence d'airbag. Si on admet que la contrainte maximale admissible pour ne
pas endommager les tissus est de
€
0,5 ⋅106 N
m2
, on trouve que 70 km/h est la vitesse
maximale possible pour un passager de 70 kg, retenu sur une surface de 1000 cm2 et
freinée sur 30 cm grâce à l'airbag.
• Coup du lapin: on peut estimer de la même manière la vitesse minimum qui
occasionne des lésions lors d'une collision par l'arrière et sans l'usage d'un appuie-tête.
• Quant aux chutes depuis une hauteur importante, la personne peut s'en sortir indemne
si l'amortissement est tel que l'impact n'est pas trop bref ou que la distance de freinage
est relativement grande.

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