LES CONSTANTES DES EQUATIONS FONCTIONNELLES DES FONCTIONS L Par P. Deligne International Summer School on Modular Function~ Antwerp 1972 -502Del-2 Contents - Introduction 3 - §l. Representations virtuelles d'un groupe fini 7 - §2. Groupes de Weil 21 - §3. Rappels sur les fonctions L 26 - §4. Existence des constantes locales 35 - §5. Formulaire 48 - §6. Reduction modulo t des constantes locales 54 - §7. Fonction L modulaires 58 - §8. Representations t-adiques des groupes de Weil locaux non archimediens- Structures de Hodge et groupes de Weil locaux archimediens . 66 - §9. Systemes compatibles de representations t-adiques 74 - §lO.La theorie de Grothendieck 81 §l1.~ppendice. Le calcul de Bibliographie £ modulo les racines de l'unite 93 96 -503- Del-3 INTRODUCTION Les resultats essentiels de cet article sont les suivants (A) On donne une demonstration simple du theoreme de Langlands [9] (deja prouve au signe pres par Dwork [6] ) qui permet d'ecrire la constante des equations fonctionnelles des fonctions L d'Artin (ou de Weil [19] ) comme produit de constantes 10- cales. Le theoreme a demontrer est local, et la demonstration de Langlands avait l'elegance d'~tre purement locale. Pour l'essentiel, il s'agit de demontrer une identite (multiplicative)entre sommes de Gauss un peu generalisees chaque fois qu'on a une relation ~-lineaire entre caracteres de groupes de Galois locaux induits par des caracteres de representations de dimension un de sous-groupes. Langlands construisait un ensemble generateur de telles relations, et ramenait les identites a demontrer a des identites entre Sommes de Gauss qu'il demontrait en s'appuyant sur Ie theoreme de Stickelberger. La demonstration presentee ici est tres proche de la demonstration [5] de l'identite de Hasse-Davenport (cf. aussi Weil [ISJ ). Elle utilise un argument global (4.12), et Ie fait que les constantes locales a definir sont de nature essentiellement triviale a l'infini, dans Ie cas non ramifie, et dans certains cas tres ramifies (4.14). (B) Soient K un corps de fonctions et P: Gal (K/K) ~ GL(n,~t) une representa- tion t-adique du groupe de Galois de K, presque partout non ramifiee. Grothendieck a montre que Ie produit eulerien etendu aux places de K (avec p-s remplace par une indeterminee t) Z (P,t) rr V det (l-F t deg(v) v ( ..~) P(I v ) )-1 E III [ [ ] ] "'", '" t t -504Del-4 est une fraction rationnelle, et qu'une equation fonctionnelle relie a Z(P,t) v Z(P,t} : v Z(P,pt (la constante -1 ) e: est un mon5me a t b ). e: • Z(P,t) Cette theorie est resumee au §l0. Le resul- tat (A) suggere une formule pour exprimer la constante E: comme produit de constan- tes locales. Nous montrons que cette formule est vraie lorsque P appartient a un systeme compatible infini de representations L-adiques (9.3 et 9.9) . D'apres Weil [16J et Jacquet-Langlands [81 , cette formule, appliquee au systeme compatible de representations !-adiques defini par une courbe elliptique sur une forme modulaire pour GL(Z,K) K, permet d'associer a toute courbe elliptique sur K II serait tres interessant de savoir si la formule obtenue reste valable pour une .quelconque representation !-adique. Voici Ie contenu des divers §§, et leur interdependance. Le debut du § 1 rassemble quelques resultats sur les representations induites des groupes finis qui nous seront utiles. La fin du § (l,ll-fin) ne sert pas dans Ie reste de l'.article. Pour G un groupe resoluble, on y decrit un ensemble R de relations lineaires (sur ~ ) entre les caracteres de G induits par des caracteres de dimension un de sous-groupes, et on montre que toute telle relation est combinaison lineaire d'elements de R. Le resultat, et sa demonstration,sont contenus implicitement dans [9J . Les §§Z et 3 servent essentiellement a fixer les notations. Au §Z, on rappelle la structure du groupe de Galois d'un corps local [lOJ , on definit les "groupes de Weil" (variante des groupes de Galois) et on donne quelques enonces de la theorie du corps de classe. Le lecteur prendra garde que, dans tout cet article, -505Del-5 l'isomorphisme de la theorie du corps de classe local transforme uniformisante en inverse de la substitution de Frobenius (la raison est donnee en 3.6). Le §3 est un rappel de la these de Tate, et de Artin [lJ Le §4 contient la demonstration du resultat annonce en (A) ci-dessus le formulaire du §S donne une liste de proprietes fondamentales des constantes locales construites au §4, et quelques identites entre sommes de Gauss qui en resultent. Les §§6,7 et 8 (qui ne depend que du §2) sont preliminaires a la de- monstration de (B), donnee au §9. Dans les enonces des §§3 et 4 , nous avions ete tres attentifs a n'utiliser que des formules "rationnelles", ne contenant ni passage a la limite ni racine carree (filt-ce d'un entier positif) Nous en recoltons Ie fruit aux §§6 et 7. Au §6, pour K un corps local non archimedien et V une representation mo·dulaire de W(K/K) sur un corps transport de structure pour locale E: A de caracteristique t 0 t f p, nous definissons (par et par reduction mod t pour t f 0) une constante (V, '!', dx) E A* . Au §7, pour tion modulaire de K global de caracteristique p et V une representa- W(K/K) , nous prouvons par reduction mod tune equation fonction- nelle pour la fonction L E A(t) correspondante. Au §8, nous donnons des classes d'isomorphie de representations t-adiquesdu groupe de Weil d'un corps local une description purement algebrique, independante de la topologie de sentation t et ~t . Ceci sert a definir la compatibilite de repre- t'-adique. La notion introduite est plus fine que celle de Serre Le §9 donne la demonstration de (B) (9.3 et 9.9). L'idee est que pour demontrer une identite, il suffit de la demontrer mod t pour une infi~ite Nous donnons aussi, pour les corps de fonctions, une reponse partielle de Serre en montrant (9.8) que deux representations t de t a une question et t'-adiques, donnant lieu -506Del-6 au m~me polyn~me caracteristique de FrOb.enius (suppose dans ~[tJ)en presque toutes les places, verifient une compatibilite aux places residuelles. Le §10 resume la theorie de Grothendieck des fonctions et SGA 5), qui nous a servi de fa~on L (cf [7J cruciale au §9. En 10.11, je tente d'expl.iquer Ie sel de sa methode. Les resultats farfelus 10.n resultent aussit5t de ce qui precede. J'ignore leur signification. -507- Del-7 §1.- REPRESENTATIONS VIRTUELLES D'UN GROUPE FINI Soit 1.1 sera celui ou Soit K un corps (commutatif). Le cas Ie plus important pour neus K est algebriquement clos de caracteristique 0, par exemple G un groupe . On notera ~(G) K[G] - modules de dimension finie sur K= ~ Ie groupe de Grothendieck de la categerie des K. 11 s' identifie au 7l -module libre de base l'ensemble des classes d'isomorphie de representations lineaires K-irreductiblesde sur K. C'est un anneau commutatif a unite (pour Ie produit tensoriel sur m~me un ~-anneau K) et au sens de Grothendieek. Ses elements sont les representations virtuelles de G sur K . Pour definir un homomorphisme tif f de RK(G) dans un groupe commuta- X, il suffit : a) de definir f(V), pour V une representation de G sur K b) de verifier que pour toute suite exaete de representations 0 __ on a f(V) f(v') + V'--V-- V"~O, f( V") . Appliquant cette regIe, on definit la dimension d'une representation virtuelle dim ---~» 7l et son determinant det : R (G) --~> K Si Hom (G ,K*). H est un sous-groupe d'indice fini de G comme correspondant a l'extension des sealaires ,on definit l'induction V~ K[Gl ®K[H] V (e'est un foncteur exact; il passe done aux representations virtuelles). Pour f : G on definit la restriction Res H G ~ H, G -508- Del-8 conune restriction des sc alaires de plut~t K[G J . Pour f sUljectif, on parle parfois d'inflation. Pour tout groupe de a K[H] G. Un K-quasi-caractere on note G Ie plus grand quotient abelien X de G est un homomorphisme X: l'identifie au K-quasi-caractere de Gab G ~ K* ; on par lequel il se factorise, et on note [yJ la representation de dimension I correspondante. Pour G fini, nous emploierons indifferemment les mots "caractere" et "quasi-caractere". "Caractere" ne signifiera jamais "caractere d'une representation de dimension> 1". The following proposition is due to P. Gallagher [20). Proposition l.~ Gab ~ Hab H et - ~ G un groupe, Ie transfert. Pour H un sous-groupe d'indice fini et P une t representation virtuelle de dimension de 0 on a G det(IndH(p»)(x) • det(p) (t(x)) On montrera (a peine) plus generalement que, si de la representation de permutation de G sur ---~~ on a, pour P e est Ie determinant G/H + de dimension quelconque, det(Ind~(p)) (x) 8 dim p det(p) (t(x)) C'est assez evident en termes topologiques. Soient B Ie classiG fiant de G et BH celui de H ,vu conune rev~tement a [G: HJ feuillets de B : G f : BH ---> BG . Les representations de G s'identifient aux systemes locaux de K-vectoriels de dimension finie sur B , et G Ind G H au foncteur HI (B G) ~ HI (B H) est transpose aux morphismes trace (X groupe abelien). Pour N(L), systeme local sur images reciproques de L 1 de . Le transfert * f! : H1 (BG,X) ~ H1 (BH,X) , correspond a la ~ : si X = K* ,f! la classe d'un systeme local de rang f K-vectoriels L, f! (TV T) ..,. E H1 (BG,K) est est la classe de B qui localement sur B est Ie produit tensoriel des G G par [G:H J sections disjointes. -:'09- Del-9 Posons morphisme canonique, pour 1\ (pour V V un systeme local) V systeme local sur e@ dim V Construction 1.3 - Pour (Vi)i E I e , et = H N(det V ) @ B G une famille finie de elle se ramene a la K-vectoriels de dimension I det(K ), on a canoniquement La fleche est, pour 1\ ••• ~ B La construction de cet isomorphisme est locale sur d et soit La proposition 1.2 resulte de l'existence d'un iso- det f¢ Ie systeme local dimV det V t, e. 1. 1' d) 1\ •••• 1\ (e. 1 n, i l ... i n la suite des elements de I 1 @d (ilA ... Ai n ) Parenthese 1.4. @ (e. 1 1, lA ... Ae .. l.n' d) ® Plut6t qu'un classifiant B , on eut plus intrinsequement G pu prendre dans Ie raisonnement precedent Ie topos classifiant Grothendieck Supposons (SGA 4 IV 2.4 pg. 315 (pour G fini. Nous dirons que E Un groupe H sera dit = (Ens». K est assez gros les racines de l'unite d'ordre divisant Ie de ppcm s'il contient toutes des ordres des elements de G. p-elementaire s'il est produit d'un p-groupe par un groupe cyclique, elementaire s~il est p-elementaire pour un nombre premier p convenable. Nous aurons be so in de la variante suivante du theoreme de Brauer sur les teres induits (qu'on obtient en omettant partout "de dimension 0">' car~c- -510Del-10 est assez gros, toute Proposition 1. 5. Si dimension G est sornme de x de 0 K virtuel de dimension 0, repr~sentations D'apres Ie repr~sentations ~l~mentaire de dimension 1 de th~oreme G, il existe une de H repr~sentation x et virtuelle de virtuelles Ind G(x), H combinaison lin~aire ~ de H. de Brauer appliqu~ a la repr~sentation triviale lG d~composition E (H H~mentaire). H Pour y repr~sentation Par dim (Res~(Y)'ZH) lin~arit~, irr~ductible, 0 de G, on a alors = O. supposer = y avec virtuelle de dimension on peut supposer donc (puisque X d'un sous-groupe H de a Ceci nous ramene y G ~l~mentaire. p - dim(p).lG ,avec de la forme G est nilpotent) induite par un caractere Z. On a alors G contenant Ie centre Le premier terme est du type voulu, et Ie second est 1 'inflation d'une tation virtuelle de dimension de G (noter que Scholie 1. 6. valeur en 1.7. IGI Un homomorphisme lG Soit jG/ZI < et en les de l'homomorphisme de V une G/Z. On conclut par une de si G ~ (e}). f: ~(G) ~ G IndH(x-lH), pour K et de corps d~composition d pour 0 H repr~sentation de r~siduel repr~sen- r~currence ~l~mentaire et X un caractere de d'in~gale caract~ristique k = Aim. Rappelons la : ~(G) --~> ~(G) K et E un r~seau p de d~finition ([llJ III 2.2) G sur sur l'ordre X est connu quand on connatt sa A un anne au de valuation discrete corps des fractions p G-invariant, H • -511- Del-II d«(VJ) Proposition 1.8. d d~composition On suppose est alors K assez gros. Le noyau de l'homomorphisme de engendr~ par les Ind~( (X' J - [X" J) pour H L'homomorphisme d'anneaux nous ramene au cas ou un groupe ~(G) p, H G d est commutant ~l~mentaire, a d'ordre premier = ~(P) ® ~(H), d X', X" un sous-groupe ~l~mentaire et a 1 'induction, Ie raisonnement de 1.5 K et k ~tant d'un p-groupe est congru la fin de ce Dan~ a Ie groupe des caracteres de Soit R+(G) 1 assez gros, on a a a H, on voit qu'il suffit de prouver 1.8 XE on suppose que ~(G) en K R(G). Pour (1. 9.1) = ~, G on ne considere que des commutatif, on note Ie ~ -module libre de base l'ensemble des classes de G et X ~ (Ax n BY, (X,Y)EG\(G!AXG!B) tiplication, aX R+(G) H. (axIAxnBY).(~YIAxnBY» parcourt des represent ants des orbites de et caractere de une multiplication par la regIe ~(G) (A,a).(B,~) = = xAx- 1 G* G. G-conjugaison de couples(H,x) : H sous-groupe de On d~finit dans Hom(P,K*) mod m. nu~ro, groupes finis et on abrege AX par ~. Pour un groupe d'ordre premier pour un p-groupe. Ce cas est trivial, car tout caractere «x,y) P est bijectif. On a donc Appliquant Ie theoreme de Brauer 1.9. mod m . donc produit d'un p-groupe p. Les corps et de mame pour E Hom(H,K*) congrus est Ie caractere G a(x-lax) de AX). est un anneau commutatif d'unite dans G/A x G/B, Pour cette mul(G,l), et on -512Del-12 d€finit un homomorphisme d'anneaux (1.9.2) Cet homomorphisme est surjectif d'apres Ie theoreme de Brauer. Pour caractere de torsion par G, la multiplication par se note . X et s' appe11e X: (H,q>). X (1.9.3) Pour (G,X) X un (H,q>. (X\H» G' C G, on definit l'induction (1.9.4) Pour G ---> G' u Res 0.9.5) (s un morphisme, on definit la restriction ( H,X) ~ ~ sEu(G)\ G' /H (u -1 (sHs -1 ),X s 0 u) parcourt un ensemble de representants des doubles classes). On dispose de diagrammes commutatifs (pour Ie second, cf. [11J p. 75) R+ (G') b Ind 1 R(G' ) b Ind et on a la formule, pour 0.9.6) > R+ (G) > R 1 b 1 R(G' ) _ _.. ; R.:. e. ; .s_ _~> R(G) R(G) E R+(G), R. (H,X) On parle d'inflation lorsque 0.9.]) R+ (G') u est surjectif : -513Del-13 Notation 1.9.8. m~me Pour toute fonction additive de representation la fonction qu'elle definit sur R(G), et Ie compose F, on note de Fob. Ainsi, = dim(b(v», ... dim(v) Variantes 1.10. R~(G) (i) On note Ie sous-groupe de Pour (H,x) .parcourant la base canonique de ces elements formant une base de R+(G). Soit o de engendre par les (H,x) - (H,l). R+(G), a 1 'exception des (H,l), R~(G). On verifie que R~(G) est un ideal de l'ensemble des representations virtuelles de dimension G. D'apres 1.5, l'application naturelle, induite par (1.9.2), de R~(G) (ii) RO(G) C R(G) R+(G) dans Pour RO(G) est surjective. G un groupe topologique (fini au non), on note R+(G) et R~(G) les groupes andlogues aux precedents obtenus en se limitant aux sous-groupes fermes H d'indice fini et aux quasi-caracteres continus. Les fonctorialites 1.9 se generalisent, mutatis mutandis. La fin de ce § ne servira plus par la suite. Nous y exposons des resultats tires de Langlands [9]. Lemme 1.11. Supposons que un caractere de ~ C* = H.C, G H . Pour tout par conjugaison). Si avec C commutatif distingue, et soit \..l E C*, soit xlHnc G = \..lIHnC, C G \..l on note X Ie fixateur de {X,\..l} Ie caractere de (H n G). C qui prolonge xlHnG et \..l. On a, pour \..l parcourant un G \..l \..l \..l ensemble de representants des classes de G-conjugaison de caracteres de C tels ~ X\HnC = \..lIHnC, Ind~ \..l E C*/G La verification est laissee au lecteur. ({X,\..l}) \..l -514Del-14 1.12. Un €l€ment R de s'il existe un quotient Ker(R+(G) S Ker(R+(A) par inflation de et induction de I II A 7/.. R(A» B de G tel que I, II ou III R s'obtienne de l'un des types respectifs suivants de A a B, torsion par un caractere de t B a G . On d€signe par S It A est une extension centrale de H (i=l,2) l'image r€ciproque dans i un caractere de sera dit de type A d'un sous-groupe a partir d'un €l€ment ~ R(G» ~ un nombre premier. = (e, [lJ) - E XEA* (A,X) 2 11.) par un groupe abHien (7/.. A des premiers et second facteurs Hi . On suppose que B Z , 7/.. It ,et Xl!Z = X2!Z' et que ce caractere de Z est non trivial s9r un commutateur. lC~>t H '-c 2 La relation III S ~> est A est un produit semi-direct groupe distingu€ non triviaux de A H.C, X est un caractere de H et Ie sous- C est minimal parmi les sous-groupes commutatifs distingu€s A. Pour tout caractere est Ie caractere de A ~ ~ de par conjugaison C* de est Ie fixateur de C qui prolonge la relation suivante, ou A agissant dans ~ et parcourt un ensemble de S ~. r~pr~sentants exprime des orbites E ~EC*/A Ces relations sont des cas particuliers de 1.11 (pour pour II, H = HI' C = H2 pour III, H et C sont I, H = [e}, C H et C). A -515- Del-1S Toute relation deduite par induction, inflation ou torsion d'une relation de type I Crespo II, III) est encore du m@me type. Theoreme 1.13. (Langlands [9J § 18). Si - ? RCG) est engendre b : R+CG) de type I et Lenme 1.13.1. de type G est nilpotent, Ie noyau de C~ 7Z -module) par les relations II . Si G est commutatif, KerCb) est engendre par les relations I. 11 faut montrer que pour tout sous-groupe H de X E H* , G et tout la relation (0 est consequence C= combinaison lineaire) de relations de type sont les suivantes : pour de H' H' C H" C G avec I . Celles-ci [H":H'J premier, et X un caractere (toujours induit par un caractere de G), Ind G H I (X) que (1) en resulte se voit en prenant une suite de Jordan-HVlder de G/H. La verification du lemme suivant est laissee au lecteur. Lemme 1.13.2. Soient C un sous-groupe commutatif distingue de ensemble de representants de (Hi) e*/G, x. Ic ~ ~st et E T . Si la relation Ind vraie dans RCG), la relation T un G Ie fixateur de Il. Soit Il G contenant C, ~ Xi un caractere de f.l E T, une famille de sous-groupes de G, G Hi CX·) ~ o Hi' - 516Del-16 l: x·IC=1J. 1 est vraie dans Soit Z o n. 1 R(G). IJ. Ie centre de G et prouvons 1.13 par recurrence sur I'ordre de G/Z . D'apres 1.13.1, on peut supposer G non commutatif. Soit done sous-groupe commutatif distingue contenant et d'image centrale dans Z , tel que [C:Z] = £ C un soit premier, G/Z. Soit une relation (1) l: o n. 1 i Elle est consequence de relations induites par les relations l: [xi] xilHi=x i et d'une relation (2) analogue Les relations (a ) i a (1), avec H. :::J Z • 1 sont combinaisons lineaires de relations de type I on peut Ie deduire de 1.13.1 applique a HiZ/Ker(x ). i La relation (2) est consequence pour HC, H, C, X (avec Ind (b) de relations induites par des relations 1.11 H::> Z) HC (X) H l: xlHnc = IJ.IHnC IJ. E C*/H et d'une relation (3) analogue 1.13.2 a a (1), avec cette fois Hi::> C. Appliquons (3), pour l'exprimer comme somme de relations induites par des relations G E n . Iud IJ. (Y.) i 1 Hi "1. o -517- Del-17 L'image de C dans est injectif sur G ~ C/Ker(~». G ,et les relations (4) ~ Ie sont. Si Si Soit HC HC = G, ~ est centrale (car /Ker(~) ~ a sont du type voulu. Prouvons que les relations (b) a G, cela resulte de l'hypothese de recurrence, appliquee H est distingue, car il contient 1 'inflation d'une relation analogue pour a G , invariant par L'hypothese de recurrence s'applique donc Z et que C est central mod Z. G/A. Si l'hypothese de recurrence G/A, on a gagne. Sinon, on se retrouve dans la = (e,}, HC. X. La relation (b) est A l'intersection des noyaux des conjugues de s'applique ~ qu'avant, avec A Lemme 1.13.3. Avec les notations precedentes, si situation m~me et on conclut par Ie A (e}, la relation (b) est de la forme II. Le groupe Le groupe Z Pour de c Z, car H est comnmtatif, car des caracteres separent ses elements. est cyclique, car un seul caractere separe ses elements. E C et h E H, posons C est central ® H/Z est Ie centre et que G ~ Z, u cyclique tuee par ~ Z . Soit c engendrant ~(c, ) : H/Z ~ Z L et non triviale. Des lors, est extension centrale de c-lh- l . C'est un element mod Z. II depend biadditivemertt de C/Z et definit = ch u(c,h) C/Z X H/Z d'au moins un de ses conjugues (sinon par C/Z. c et h Puisque Z est inje~tif, d'image \C/zi = IH/zi Z . Le caractere = L, et G X est distinct H serait central) ; il est donc non trivial sur un commutateur, et on est dans la situation II. Theoreme 1.14. b : R+(G) ~ Lemme 1.14.1. (Langlands [9J). Si R(G) S1 G est resoluble, Ie noyau de est engendre par les relations de type I, II et III. G est resoluble, Ie sous ~ -module par les relations de type I, II et III est un ideal. N(G) de R+(G) engendre -518Del-18 Prouvons 1.14 et 1.14.1 (A) 1.14 pour 1es sous-groupes propres de Soient R E R+(G) R.(H,X) EN = N(G). ResH(R) E N(H) torsion et induction est dans (B) 1.14.1 1.14 pour pour G ~ 1.14 8i G. H Si G ResH(R) E Ker(R+(H) avec G Vu l'hypothese, et R.(H,X) G. G. X un = G, ce1a resu1te de ce H + G, on a (1.9.6) ---> que R(H». qui se deduit de G ResH(R) par N(G). pour 1es groupes d'ordre plus petit impliquent G. Soit Z G. D'apres 1.13, on peut supposer (et on suppose) 1e centre de G n'est pas nilpotent. Distinguons deux cas. (BO Z ;. {e} D'apres 1e theoreme de Brauer dans H. ::JZ 1. de G et des caracteres 1 G/Z S Soit Puisque E n.1. ou 1 'hypothese, Z G G/Z In~./Z te1s que (Xt) 1. G/Z, de sorte que (1.9.6) R.S E N(G). On conc1ut en notant que, d'apres 1.13 Res . (R) E N(H.) 1. H1. = {e} a H/Z (G,O R E Ker(b). On a S E N(G), on a G/Z, i1 existe des sous-groupes ni1potents de Xi L'hypothese de recurrence s'app1ique (B2) H un sous-groupe et est stable par torsion par un caractere de G G R.(H,X) = IndH(ResH(R). X), que G imp1ique 1.14.1 pour de type I, II ou III, G. Prouvons que caractere de N par une recurrence simu1tanee sur l'ordre de -519Del-19 Soit pour ~ C un sous-groupe commutatif E C*, soit G ~ son fixateur. 1.13. On trouve que toute relation R (a) induites par des relations 1.11 de H, H P C) Proc~dons cornme dans la E Ker(b) est combinaison pour G Ind ~ Hi (~ IG /Ker(~) ~ I< Consid~rons HC IGI HC, H, C, X d~monstration (H C G, lin~aire X de de relations caractere H minimalite de Remarque 1.15. nC C, (Y.) '~ caractere de a a C). Puisque Z· {e}, et l'hypothese de r~currence s'applique aces dernieres. une relation (a). Si = G, non trivial minimal et, et de relations induites par des relations exprimant une identit~ (b) Si distingu~ HC ~ est distingue car H n C = {e} G, on applique l'hypothese de recurrence. distingu~ dans H et dans : la relation est du type III. II est vraisemblablement possible d'extraire de description d'un systeme g~n~rateur de groupes convenables C. Par Ker(R~(G) ---> RO(G», [9J la pour des G. Je n'ai pas eu Ie courage de m'y essayer. -520Del-20 § 2. GROUPES DE WElL. 2.1. Racines de l'unite. Soit K un corps separablement clos d'exposant caracteristique Pour tout entier n, on note des racines niemes de l'unite de transition Zl Im(I) au simplement Zl In(I)(K), K Pour . Zl p. In(l), Ie groupe nlm, on dispose d'une application de m x t----? x n; on pose --:> Zl In(I) " lim Z l(I) Zlln(l) "" n Pour L un nombre premier, on pose de l;.m ZlL(I) Les applications evidentes m~me Zlll(I) k " Zl (1) --:> Zl L(l) induisent un isomorphisme _. A Zl(I) Pour tout A Zl -module tv n > 7l L(I) L'FP 1\ V(I) = V I8i Zl(I). Pour Zl V, on pose V un Zl L-module, " V(I) ~ V I8i '11. (I). Pour Ie Zl -module lI!IZl, lI!lZl (I) est canoniquement Zl J, t isomorphe au groupe de racines de l'unite de K : pour ~ E lI! et xEZl(I), on a d'image x Pour dans Zl L ,;, p, 1m (I), l' image de m dans I8i x est libre de rang note Zl t(i) sa puissance tensorielle de n ~ Zl £(-i». Pour tout Zl L-module 1 iieme (pour lI!l7l (I) sur Zl £ . Pour iSO, V, on pose encore -n est identifiee a x i E Zl, on Zl t(i) est Ie dual V(i) = V I8i Zl Zl L(i). L 2.2. Notations. 2.2.1. Soit si est une mesure de Haar, dx K un corps local. On note 1I a ll J d(ax) 11 II la valeur absolue normalisee de J f(ax) dx Iiall f(x) dx dx i.e K -521Del-21 Pour sEa:, on note Ws Si K valuation p v est non archimedien de II x ll = q -vex) 2.2.2. Supposons de K et on ~ote de IS ~ K, n la caracteristique de done Ie quasi-caractere x .......... ~ x lis ( ::f:. ou ]R q:), on note une uniformisante, k , et on pose K~ de dans I' anneau de la IS k le corps residuel = [k:lF p J, d d =P q a:lf; • IS/(n), .. k. On a . K non archimedien. On designe par IS la c18ture integrale de (une c18ture algebrique de , qui prolonge celIe de k), et v IS K une c18ture separable dans k K, Ie corps residuel K, a valeurs dans la valuation de K. On dispose d'une filtration en trois crans du groupe de Galois Gal (K/K) Gal(K/K), ~ I ~ P de quotients successifs Gal (K/K) II Gal(k/k) lip un pro-p-groupe P On l'obtient comme suit (pour les demonstrations, on renvoie a) Par transport de structure, d'inertie I Gal (k/k) Gal(K/K) -----7 ~ et k . Le groupe Gal(k/k) est canoniquement isomorphe a la substitution de Frobenius b) agit sur [loJ). est Ie noyau de la fleche de reduction v' Le quotient Gal (K/K) a ~: x ~ x Le groupe d'inertie sauvage Le morphisme equivariant t: I de generateur topologique . Pest l'unique pro-p-groupe de Sylow de ---> 1\ ~ la congruence (modulo l'ideal maximal de o(x) q "- ~, _ (l)(k), denoyau ~) do). vex) (0 E I, I P, est caracterise par -522Del-22 ou Pour 2.2.3. On note J,,, p premier, on note k un corps fini a q ~l~ments W(k/k) 1e sous-groupe de Gal(k!k) Soit cp : x l----7 x q tJ, 2.2.4. g~o~trique Soient Wei1 abso1u de v'(o) de clOture alg~brique k " -~ 2Z K, K, ~ E W(k/k) ~ 2Z engendr~ par est par definition K comrne en 2.2.2.Le groupe de Weil est 1e sous-groupe de induisant 1a topo10gie nature11e de Gal (K/K) Gal (K/K) sous-groupes ouverts d'indice fini ; pour 1e sous-groupe correspondant de -1 W(K/K), ou groupe de I 0 te1s que est ouvert pour 1a topo10gie des une extension finie de W(K/K) s'identifie a W(K/L). parfois Frobenius geo~triques 1es elements de cp) cp. On 1e munit de 1a topo10gie W(K/K) L cp for~ des I, et pour 1aque11e est 1e comp1~t~ de par (engendr~ soit une puissance entiere du Frobenius Le groupe compos~e . On a canoniquement W(k/k) Le Frobenius 1 'application Ga1(K/K) ou K dans K On appe11era W(K/K) d'image F. -523- de clOture 2.2.5. Supposons W(K/K) comme 1 'extension suivante de K 1) F 2 = -1 2) 2.3. :R et K K archim~dien, : W(K/K) F z F-1 '" -z 4; est W(K/K) par 'K alg~brique Gal (K/K) engendr~ par K* et un 'K* On definit F , ~l~ment avec E K* z pour Del-23 = K* La theorie du corps de classe local fournit un isomorphisme entre W(K/K)ab et Supposons K* K non archimedien. Pour une raison expliqu~e en 3.6, nous normaliserons alors cet isomorphisme (= choisirons lui ou son inverse) de telle sorte que les Frobenius g~ometriques > I <:..-~ W(K/K) pC 1 1 1 l+(rr) ~ ~* ("'---» Une repr~sentation de W(K/K) si elle est triviale sur de K* (resp. I t ----? W(k/k) K* (resp. sur a (resp. mod~r~ment ramifi~e) ramifie) s'il est trivial sur p, l'action de est non ramifiee, decrite par Ie quasi-caractere Pour 1~1 p). De ml!me, un quasi-caractere mod~rement premier '" 7l _ _ _....:v:......_ _---'» 7l est non ramifi~e est non ramifie (resp. l+(rr». Pour correspondent aux uniformisantes. WI Gal (K/K) = Ilxll sur de X ~ 7l tel) K* K complexe, l'isomorphisme de la theorie du corps de classe local est celui evident sur 2.2.5; pour K reel, c'est celui qui rend vrai 2.3.1, 2.3.2 ci-dessous. Soit L C K une extension finie de Les diagrammes suivants (ou commutatifs ([lOJ XIII § 4) K, de Borte que Nest la norme et t W(K/L) C W(K/K). Ie transfert) sont -524Del-24 (2.3.0 :> w(i{JL) r W(K/L) W(K/L)ab L* > W(K/K)ab K* i (2.3.2) W(K/K) ab --....:....;=---- t ~ W(K/L) ab 2.4. Soient K --'-='--- K, L* un corps de fonctions d'une variable sur des constantes (fermeture algibrique de F separable de [ K* k la clOture algebrique de noyau de l'applica~ion de restriction de groupe de Weil global (absolu) W(K/K) p IF dans K). k Gal (K/K) dans dans p et k son corps Soient K une clSture K et Galo(K/K) Ie Gal(k/k). Le est, en analogie avec 2.2.4, defini par Ie diagramme Soient de v une place de K et supposons choisie une place de v. On dispose alors d'un diagramme commutatif K au-dessus -525- Del-25 ~ [ I H<kr' >W<k/k~O j 0-----:.-) I ~a th~orie v --~) W(K /K ) v v du corps de classe global fournit un isomorphisme (groupe des classes d'ideles) IA~/K* rendant commutatifs les diagrammes W(K /K )ab v v -----~> W(K/K) s s K* v 2.5. Pour la d~finition nombres on renvoie a Weil qu I incidemment. -------~> /~/K* des groupes de Weil globaux dans Ie cas des corps de [19J ou a [2] XIV. Nous ne nous en servirons -526Del-26 § 3. RAPPELS SUR LES FONCTIONS L . 3.1. Soit par dx 3.2. un corps local et reprenons les notations 2.2.1. On une mesure de Haar sur $ et par K X un quasi-caractere (. K une mesure de Haar sur K dans :R. On pose a et K* K. homomo~phisme continu) X K* ~ ~ , L(X) E ¢ U {=}. on d~finit comme suit de d*x un caractere additif non trivial de Pour <3.2.1) K, par d~signera N '" 0 fm. (s) '" TTou s/2 f ( ; ), et, pour x Ie plongement 1, fm. (s) (3.2.2) de K (3.2.3) On pose K dans K ( et N ~ f~(s) '" 2. (2TT)-s f(s), et, pour z un plongement 0, non archi~dien. On pose 1 L(X) 1 L(X) '" (X ramifi~) (X non ramifie) l-X(TT) 3.3. V et compact sur dx etant donn~s, on pose, pour une fonction C= a support K A f(y) On definit f e(X,V,dx) E ~ S f(x) V(xy) dx par l'equation fonctionnelle locale de Tate (independante de f) J f(x) X(x) d*x <3.3.1) L(X) -527- (on prend la m~me mesure de Haar membres sont X.w (s E s d~finis d*x Del-27 dans les deux membres). Les deux par prolongement analytique en ~). Dans ces familIes, € X est de la forme dans les familIes A.e Bs On a 0.3.2} 0.3.3} 3.4. Pour K non archi~dien, n(~} plus petit entier m Ie plus grand entier = Ie a(x} conducteur de tel que sw(X} X nous poserons =0 X!(l+(n)m} pour X X n (0 si =1 si X X =1 ~I~-n~ tel que ; est non ramifi~, Ie est ramifi~} ; non ou mod~rement ramifi~, a(X}-l pour ramifi~ y = un La constante locale ~l~ment € est de K* donn~e de valuation nKW} + sw(X}+l. par (3.3.2), (3.3.3) et les formules suivantes. 0.4.0 K'::::"':R Soient x et la mesure de Lebesgue, dx 0.4.2} Ie plongement de K , = exp(2ni K Soient Tr~/:R (z» et z dans ~ et N = 0 ou 1. Pour un plongement de dx =Idz 1\ dzJ. 2 da db K dans (pour ~ W = exp(2n ix} et N ~ z .. a + bi), 0 . Pour -528Del-28 K non archimedien. 3.4.3. Si X est non ramifi~, que J dx = 1 $ 1 0.4.3.0 Pour 0, n(~) et que X ramifi~, on a ~-IC9* On verra qu'il est naturel d'unifier ces deux fornillies de la fa90n suivante si on definit Eo(X,~,dx) par les formules (X ramifi~), et 0.4.3.3) (X non ramifi~), on a dx 0.4.3.4) De (3.4.3.3) et (3.4.3.4), on d~duit que pour W non ramifi~, 0.4.3.5) d) e: ( XW, ,I," x 3.5. Supposons K non = archim~dien, (n(~)+a(x)) W TT € continues d'une repr~sentation et 0.5.0 E Les repr~sentations p: W(K/K) ~ GL(V) un sous-groupe ouvert de VI (X , ~ , dx) et reprenons les notations 2.2.1. Soit un espace vectoriel de dimension finie sur un corps ou sur e: • I de caract~ristique V 0, seront toujours suppos~es agit trivialement. Pour V l'espace Ie sous-espace des invariants sous l'inertie, on pose -529Del-29 L(V) 0.5.2) Notons w t(F) = t d t Z(V; 1) lit U {oo} ) W(K/K) ~ E«t))* Ie caractere non ramifie tel que ( -s) ). On a (en un sens evident, on a W =w p s w <3.5.3) 3.6. (E E Z(V,t) C'est pour que L(V <81 wt) (3.2.3) et (3.5.2) soient compatibles que nous avons normalises l'isomorphisme du corps de classe local de telle sorte que les Frobenius geometriques correspondent aux uniformisantes. Tant (3.2.3) que (3.5.2) sont tres naturels : 3.2.3 s'impose du point de vue analytique (cf. 3.3.1), et 3.5.2 suit la tradition des geometres:c'est Ie Frobenius geometrique qui tend a agir sur la cohomologie des varietes algebriques avec pour valeurs propres des entiers algebriques. 3.7. Les representations (continues) complexes irreductibles de pour K complexe, 1es quasi-caracteres. Pour quasi-caracteres de W(K/K) sont, K reel, elles sont, outre les K*, les representations induites par les quasi-caracteres X de K* tels que X # X cr , pour cr 1a conjugaison complexe de K 0 Pour toute representation complexe des representations de L(V) N et L(V) V 11 i 2) K exprimee, dans Ie groupe de Grothendieck W(K/K) comme somme de representations simples, on definit comme suit K-m. V, -530- Del-3D Proposition 3.8. Soient K un corps local et Pour toute suite exacte (n complexes de L(V) Soient ~ V' ~ V ~ V" ---'> 0 de alg~brique de K. repr~sentations W(K/K), ~ (3.8.0 (ii) 0 K une clOture L = L{V') L(V") une extension finie s~parable de repr~sentation complexe de w(K/L). Soit K dans K et V L une V la repr~sentation induite de K On a w(K/K). 0.8.2) L'assertion (i) est triviale. Dans Ie cas r~sulte archim~dien, 1 'assertion (ii) de la formule de duplication correspondant a 1nd([w J) = [w J + [x-l.w IJ s s s+ Prouvons (ii) pour de K et K non archim~dien. Notant k et tIes corps r~siduels L, on a I [ (isomorphisme de dW(!/K) I dW(E/k) n Vl (k/1,) nVl(K/L) w(k/k)-repr~sentations), les deux membres s'identifiant a H°'\l(K/L) (fonctions covariantes de W(k/k) dans VL ' par translation; cf. Ie diagramme commutatif W(K/L) agissant sur W(k/k) -531- Del-31 > W(k!i,) W(K/L) 1 1 > w(kl £) w(K/K) Ceci ramene (3.8.2) Lemme Soient 3~9. n V phisme de Fn(V~ en_I) F = V~ = F(v) un endomorphisme de n t au lemme bien connu suivant. Fn(V ~ e ) i tel que ~ eo V, n un entier et =v ~ e ifl ~ i (0 F l'endomor- n < n-l) et On a det(l - F t} n Par Ie principe de prolongement des identit~s diagonal, dans une base convenable de cas ou dim(V) la base f i = 1, et ou = a-i(v ~ vecteurs propres de n F V; on se ramene des lors aussitOt au Fest la multiplication par un nombre e ), on a alors i F algebriques, on peut supposer Fn(f ) i sont les =a f + i l (i E~ (x caractere de an(a + 0). Dans In). Les ~ In), et detCl-F t) n 3.10. v de Soit K un corps global K , on notera K v ~-corps, Ie corps local au sens de [15J), Pour toute place complet~ de K en iefinis plus haut pour tout corps local seront, pour )n note IA l'anneau des adeles de fCax) '"' lIali dx pour une mesure de 'Ixlls de IA* . Notant Xv dx II II Haar dx = not~s avec un indice la valeur absolue (v~rifiant sur IA), et la composante de II xll On designera par K, K ' v v . Les objets x E IA til s dans Ie quasi-caractere K ' on a donc v Trv IlxvII v 1 'unique mesure de Haar sur IA telle que v. -532Del-32 f IA/K (mesure de Tamagawa), par d*x dx 1 une mesure de Haar sur non trivial de /A/K, de composantes locales A*, et par f Pour $v 00 C $ un caractere a support compact sur lA, on pose flY) .. 3.11. L'~quation quasi-caractere de f(x) dx $(xy) fonctionnelle globale de Tate [14J IA*/K* ff(X) <3.n.U f (int~grales d~finies X' (x) dx* .. J f(x) X(x) s'~crit, pour X un d*x par prolongement ana1ytique dans les familIes X.ws)' Posons <3.11.2) (d~fini par prolongement analytique), et, pour dx ,. <81 dx v <3.n.3) Le produit 3.11.3 est d~composition tout v, de ~~v ind~pendant dx, comme on dxv .. 1, d~duit du choix de presque tous ses facteurs sont <3.11.4) L de et de ce1ui de 1a de (3.3.2) et (3.3.3). Si, pour presque Les formu1es (3.3.1) et (3.11.1) fournissent globale des fonctions $ Hecke e:(x) L(X') ~gaux a l'~quation 1 • fonctionne11e -533Del-33 3.12. Les r~sultats ~nonc~s ci-dessous sont d~montr~s dans Soient K un corps global, une repr~sentation complexe de l'action de Gal (K/K) Pour chaque place la v (A) de d~composition Pour X une clOture Gal(K/K». alg~brique de K K, soit encore de V V et V (Toujours supposee continue se factorise par un groupe de Galois fini repr~sentation d~duite groupe de K [1] et [19] • une place de R Gal(K'/K) au-dessus, et par restriction au sous-groupe W(K /K ) v v V v du Gal(K /K ). v v un quasi-caractere de £*/K*, de composantes locales Xv' Ie produit infini peut ~tre d~fini x.w s ' 11 converge pour ~romorphe (B) de Notons par prolongement analytique en Re(s) X dans les familIes grand, et se prolonge en une fonction s. v* Ie dual de V. On a L(V,X) e(V,x) E t* avec (e) Soit L A. eBs de la forme une extension finie de repr~sentation de Gal (K/L), et K V K pour X variant dans les familIes dans K_, N / la norme, V une L K L Gal(K/K) Ind Gal(K/L) (V ) . Pour X un L quasi-caractere de A~/K* , on a (A) et (B) via Ie se d~montrent par r~duction au cas Oll th~oreme (cons~quence de Brauer. (e) de 2.10), r~sulte dim V • I, de (B) et de ce que, x.w s . -534Del-34 On a aussi, de m@me, dv' + V" , X) (D) ce qui permet de d~finir e(v,~) pour ~ e(v',x).dv",X) V seulement une repr~sentation virtuelle. -535Del-35 § 4. EXISTENCE DES CONSTANTES LOCALES Theoreme 4.1. (1) ! 11 existe une et une seule fonction (4) ci-dessous, qui associe un nombre d'isomorphie de sextuples $ : K~ ~*, (1) ~ formes d'un corps local K, K, d'un caractere additif non trivial d'une mesure de Haar de dimension finie sur a chaque classe e(V,$,dx) E t* (K, K, $, dx, V, p) K de d'une clOture algebrique e, verifiant les conditions dx K, d'un espace vectoriel ~ p: W(K/K) et d'une representation V ~ GL(V). Pour toute suite exacte de representations O~V'~V~V"~O on a e<V, $,dx) = e<V', $,dx) e<V", $,dx). Cette condition montre que e(V,$,dx) ne depend que de la classe de W(K/K) dans le groupe de Grothendieck des representations de donner un sens a e(V,$,dx) En particulier, pour independant de Si L ie dimension zero Si dim a dimV e<V,$,dx) V V L = 1, de e(V,$,dx) 0, est e(v,$). est une extension separable finie de la representation virtuelle de :4) = V virtuel de dimension dx. On le note et permet de V seulement une representation virtuelle. e<V,$,a dx) (2 ) (3) pour V w(K/K) K dans ~ et que VK est induite par une representation virtuelle W(K/L), on a P etant defini par un guasi-caractere e<V, $,dx) e<x, $, dx) X de K*, on a -536- Del-36 4.2. Soit a deux non v =E nijCHi,Xij) E R: CWCK/K» i,j conjugu~s. Soit Ki 1 'extension de 1e quasi-caractere de encore de mesures de Haar sur 1es K 1 d~finie par Hi' H.1 deux et no tons Pour un choix que1conque par d~fini K~ K ,et i W un caractere additif de K, on pose "IT C4.2.1) 11 C1.10). On suppose 1es i,j r~su1te Lemme 4.3. e est de C3.3.2) que Avec 1a notation 1.9.8, pour v~rifier pour correspondant a une extension virtue11e [xJ - [lJ de v L de dx. 1 v E R:CWCK/K», ~ detCv)Ca) dv, WCax» 11 suffit de Ie du choix des ind~pendant de 1a forme K dans eCv, W) CH,x) - CH,l), K. Soit v o 1a H repr~sentation WCK/L). La formu1e C3.3.3) fournit dv, w(ax» On sait C[10] XII § 4) que l'inc1usion de K* W(K/K)ab ~W(K/L)ab . Puisque transfert dans b(v) L* s'identifie au = Ind(vo )' 4.3 r~su1te de 1.2. Lemme 4.4. Pour Le th~oreme est vrai dans 1e cas K ::::. C, on d~finit automatique. Pour engendr~ x b(v) =V par 1es formu1es (1) et (4), et (2) est K ::::. lR, on v~rifie sur est surjective, de noyau Pour e archi~dien s par 1es 2.9 que 1 'application X s (K*, ws )u - r,W sJ V une repr~sentation virtue11e et - dimCV).[lJ, on pose - x t ' pour -1 [x ws +1 J v E R~(W(K/K» tel que -537- Del-37 (4.4.1) V~rifions v que Ie second membre est verifiant pour b(v) = 0, = exp(2TT ~(x) on a ind~pendant €(v'~) =1 € l'assertion resu1te de 1a ~, Ker(b) et du fait que Ie second membre de (3.4.1), (3.4.2) soit independant de II est clair que v, i.e. que pour . D'apres 4.3, i1 suffit Ie verifier ix). Pour ce choix de determination ci-dessus de du choix de s. d~fini par (4.4.1) verifie (1) a (4). On se restreint maintenant au cas non archimedien. 4.5. Soit K un corps local non archimedien, K et K C K 1 'extension non ramifiee maximale de nr groupe distingue ouvert du groupe d'inertie correspondante de K . Pour nr o K une c16ture separable de 1= GaI(K/Knr) et J un sous- L I'extension E I/J, on pose tII/O) = inf (v (o(x)-x) L et on definit des fonctions K. Soit Ix entier dans par Ies formu1es et (4.5.1) pour pour D'apres Artin (voir [IOJ VI § 2 Th. 1), de de m~me a I/J on a est I/J, 1a representation d'Artin. D'apres 10c. cit. prop. 2, Ie caractere d'une representation SWI/J SW I/J , 1a representation de Swan. et de Ia representation d'augmentation de A I/J I/J. Pour (loc. cit. prop. 3) (4.5.2) 0'" e 0'" e est Ie caractere d'unc representation Ces representations ne sont definies qu'a isomorphisme pres. de L) et done est somme I ~ J ~ K, -538Del-38 Si d rente est la valuation du discriminant ~L/K b ,i.e. la valuation de la diffeL/K nr ([10] III § 3 prop. 6) et que r designe une representation reguliere, on a (loc. cit.prop. 4) (4.5.3) Soit caractere W(K/K) , triviale sur V une representation de *. J C I, et de On definit les conducteurs d'Artin et de Swan de V par les formules a(V) (4.5.4) = dim Hom I/J (AI/J,V) = sw(V) + dim V - VI 1 I/J D'apres 4.5.2, ces conducteurs sont independants du choix de Pour V de dimension 1, defini par un quasi-caractere a(V) (4.5.5) conducteur a(x) de J. X, on a (loc. cit. prop. 5) X Les notations precedentes sont done compatibles avec celles introduites en 3.4. Avec la notation 1.9.8, on a Lemme 4.5. Pour v E R:(W(K/K»!!X un quasi-caractere non rami fie de II suffit de Ie verifier pour une extension L de K et A,~ la differente de l'extension I CW(K/K) Calculons (4.~.3) et et J cW(K/L) v de la forme (H,A) - etant deux quasi-caracteres de L/K, f (H,~), K*, ~ H definissant L*. Soit d la valuation de Ie degre de 1 'extension residuelle, les groupes d'inertie et KC J assez petit. a(v) . La formule d'adjonction pour les representations induites, (4.~.5) fournissent, pour tout Quasi-caractere V de H (i.e. de L*) -539- Del-39 (4.5.1) d'oll a(v) Pour n = n (W f(a(~) - a(~)) xt V un quasi-earaetere de L*, 0 Tr L/K ) un quasi-caraetere non ramifie de L*, et eomme en 3.4, on a d'apres (3.4.3.1) ou (3.4.3.2), e;(v.Xl' W \jJ 0 Tr, dx) 0 Tr, dx) d'ou ee qui est la formule annoneee. Terminologie 4.6. de groupe de Galois G, (0) L Pour de K Kl/K ~ €~,\jJ H un sous-groupe ouvert de V une representation de ,I,(V, dx) ~, f Pour une suite exaete de € €~'w K* et \jJ un quasi-caraetere de s'il existe € 0) une extension galoisienne (finie au non) de K. On dira qu'il existe une additif non trivial de constantes pour K l Soient un earaetere \jJ - theorie des ~, du type suivant G, definissant une extension finie H, et dx E ~* representation~ ,I,<V, dx) ~, f K, = € ~, \jJ <V', une mesure de Haar sur L, est defini. 0 dx) ~ € V' ~,\jJ ~ (V" V ---? V" ---? 0 , , dx) garde done une sens pour les representations virtuelles. -540Del-40 (Z) On a "e: En particulier, pour e: on Ie note (3) Pour ~,* (V, a dx) = a dimV e: V virtuel de dimension HI C HZ ~ G, definissant de 0 L l ~ L V de dimension 1, defini par e: Soient non trivial de ,I, est independant de V une representation ~,~ K Kl/K Z ' et ,I,(V) ~,~ un caractere * ,I, (V, dx) ~, ~ et ~ X de comme plus haut, II existe au plus une ~,*- ~ 0 * un L* , Tr L / K , dx) caractere additif theorie des constantes pour Kl/K . Pour qu'il en existe une, il faut et suffit que pour tout v o E Ker(R+(G) Soient v E R:(H) dx HI' on a e: Lemme 4.7. 0, e: ,I. (V). ~, ~ virtuelle de dimension Pour ,I, ( V,dx) ~,~ ~ R(G)), on ait He G, L d'image et V comme plus haut. D'apres 1.5, il existe V - dim (V). [lJ dans R(H). On a necessairement (4.7.0 d'ou l'unicite. L'hypothese assure que est independant du choix de e: ,I< ~, ~ ' defini par cette formule, v ; on verifie aisement les axiomes (0) a (4). -541Del-41 Lemme 4.8. Soit (i) $' = $ (ax) SL 0 K* (resp. K1/K, il faut et il suffit qu'il en existe une a,$'-theorie). Pour ~ =S un quasi-caractere non ramifie de un caractere additif non trivial). Pour qu'il existe une des constantes pour (resp. S et NL/K ~ =a 0 H, L et V comme plus haut, a,$-theorie a.S,$-theorie =$ $L 0 Tr L/K ' NL/K ' on a alors (4.8.l) (4.8.2) € 0., ,I,' (V,dx) f II a jj L-dim(V) . det(V ~ ) ( ) a. €a, ~(V, dx) La premiere assertion resulte du critere 4.7 et de 4.5 (resp. de 4.3). 11 suffit de prouver (4.8.1) (4.8.2) pour que soit V E RO(Gal(K1/K)), soit V K = L. = [1]. De plus, on peut supposer Dans le premier cas, on applique 4.5 et 4.3. Dans le second, on utilise (4.7.l)et la definition 3.4.3. On dira qu'il existe une (pour un) $, Kl ~ L ~ a,$-theorie des constantes pour K, il existe alors une Reduction 4.9. (*) il existe une a-theorie des constantes pour 0. a-theorie des constantes pour K et toute extension galoisienne 0. implique que, pour K*, K une un quasi-caractere non ramifie quelconque de a-theorie des constantes pour de et une Kl/K. D'apres 4.8, l'assertion (*) 0. Kl/L. Le theoreme 4.1 est implique par l'assertion suivante K1/K, il existe un quasi-caractere non ramifie K et Kl/K. Pour NL/K-theorie des constantes pour Pour tout corps local non archimedien finie de 0 Kl/K si pour tout cl~ture separable K*, il existe une K/K. La discussion ci-dessous nous permettra de passer du groupe de Galois au groupe de Weil. Del-'l2 Toute repr~sentation V de 4.10. d'indice fini convenable I/J Puisque I/J sur de l'inertie I . Soit J est fini, une puissance convenable m F de si une puissance Vest alors l'~l~ment n F (x .... E Xm D a a* . Toute Les repr~sentations de ab~lienne R F g~om~trique. agit trivialEment w(K/K)/J. On dira que V a. Le ~ n 4:* , cp n,m =x (x) W(K/K) de type donn~ r m n a un type. formant une cat~gorie W(K/K) ' et la cat~gorie de toutes les repr~sentations de r Rr(W(K/K)) est Ie groupe de Grothendieck R , on a done r R(W(K/K) ) (4.10.1) Les de repr~sentation irr~ductible est somme de ces sous-cat~gories. Si de n F un Frobenius n'a qu'une valeur propre nlm par F de la limite inductive lim d~fini est triviale sur un sous-groupe par conjugaison, donc est centrale dans a un ~ de w(K/K) repr~sentations semi-simples de type 1 sont exaetement les (continues) de Gal(K/K). Si repr~sentations est un quasi-earaetere de type T (il existe des quasi- caraeteres, m@me non ramifi6s, de tous les types), la torsion par Xr d6finit done un isomorphisme (4.10.2) Soient une extension de 1 'extension d~gr~ de type que L V o , la s~parable r~siduelle. repr~sentation est de K-type r si Si finie de une repr6sentation induite de of =r K dans w(K/K) K V de est de type L'ensemble des et Ie f W(K/L) c/ . est On dit repr~sentations de K-type donn6 est done stable par induction. Variante 4.10.3. je ~ Les arguments pr~e6dents s'appliquent a tout groupe extension par un groupe fini, et aux limites projectives de tellesextensions. Le -543Del-43 cas des groupes de Wei1 globaux noussera utile plus tard. 4.11. Admettons (*). Pour tout type de type r . Puisqu'i1 existe une e Rr(W(K/K» sur r~su1te de l'unicit~ On d~finit ensuite Xr 1jI, dx) e A avec et ~ est € ramifi~ des constantes, on peut d~finir v~rifier Xr-1 ' dx) ind~pendant Xr du choix de par additivit~ (4.10.1). D'apres 4.1, el1e est On a fait ce qu'il fal1ait pour que a r R(W(K/K» th~orie ,I. (V ~ X ,~ 4.7. que cet sur € 4.7, s'il existe une a un type. II reste -th~orie un caractere non par 1a formu1e e<v, II Xr r , soit donn~e v~rifie € (3) pour (1), (2), (4) et (3) Iorsque V de Ia forme L deux quasi-caracteres non ramifi~ e. par cet de [A 0 NL/K]-[~ K*, de types 0 V L N ] , L/K donn~s. On a, par (3.4.3.1), (3.3.2), (3.3.3) D'apres 4.8, on a d'autre part Soient et f Ie d degr~ Ia valuation de 1a de 1 'extension de sorte que Ia formule a diff~rente r~siduelle. d~montrer se qui est essentiellement Ia d~finition Le point clef de Ia L/K, e I'indice de ramification La formule (4.5.1) fournit r~duit f d de a + [L:K] n(1jI) de Ia d~monstration diff~rente soit ([10] III § 3). de (*) est Ie Iemme suivant. -544Del-44 Lemme 4.12. place Soit w de Soient a place de w # v K'/K une extension galoisienne de corps globaux. Pour chaque K, on choisit une place de K Qui ne se decompose pas dans K, il existe une il existe une Soient On a = Gal(K~/Kv)' ' avec dx de v v v de ete definie en 3.12. w Soit ifAL/L Gal(K~/Kw)' w une place de alors, L sa v-composante. Nous K' /K v v . Gal(K' /K ) v de K definit v de complete L v de volume 1), et posons vv de H Une constante globale L, et no tons encore w €(v,a) a la place de infinie, on dispose (4.4) de constantes locales w e<Vw·(aoNL/K~,(WoTrL/K)w' dxw) . Pour par hypothese de constantes € € (V , W, dx ), on pose a w une Gal(K'/L) et, par restriction, des representations des groupes de decomposition K image. Pour W v H de K ' une extension v L ~/Kw' choisi a l'avance. Toute representation definit une representation V w et ~/K, Un sous-groupe la mesure de Tamagawa sur /A = @ dxw w L v K' /K v v a ' wv-theorie des constantes pour v done, outre une extension dx aw-theorie des constantes pour W un caractere non trivial de Gal(K'/K) K, et w K'. Si, pour toute place finie av-theorie des constantes pour allons construire une dx au-dessus, et on la note encore un Quasi-caractere du groupe des classes d'ideles de de Soit K' ,I, Ow' ~w (V w finie autre que , dxw) v, on diBpose aussi Notant les unes et les autres w dV,a) € av ' ,I, (V , dx ) ~v v v 1T w'fv € (V ,W,dx) a w w = @ dxw €a ,I, v' ~v et verifie les axiomes ne depend pas du choix de la decomposition Lemme 4.13. Soit une extension galoisienne de corps locaux. 11 existe une On verifie que K'/K (0) a (4). Le point clef est 3.l2(C). extension galoisienne de corps globaux se decompose pas dans et K' dx lK', telle que a une sous-extension de lK~ lK'/lK, et une place K /lK v v de s 'identi fie au comple te de lK qui ne en v -545Del-45 C'est trivial: on prend d'abord remplace 1K Lemme 4.14. de K et Soient K un corps global, n Si S K' lK~ ~ ~ K S, a w mew), et que pour ~ on peut en effet librement specifier nombre~ 1T lS* n K* w w ne rencontre K* au a lS~, de conducteur arbitrairement constantes pour ~ additive en de Pour * K'/K m, il existe une Soit et a un quasi-caractere de K;~. sont non ramifies, il existe une a-theorie des un caractere de pour K, i l existe donc K tel que donne, il existe v(a) m ~ et m-n. Si n = [m+l J . * n(*) o . 11 suffit alors m tel que, si le conducteur a-theorie des constantes pour a de conducteur a G K'/K Choisissons pour ~ resultent des K'/K est une extension galoisienne finie de corps locaux K'/K ~ qu'en {l}. ki~. non archimedien, de groupe de Galois Si sur k, on a D'apres 4.12, 4.13 et 4.14, 1 'assertion 4.9 (*) et donc 4.1 deux lemmes suivants, a k* et on remarque qu'il existe des caracteres de grand, qui soient triviaux sur v . soit non ramifie. K est un corps de fonctions, de corps de constantes Lemme 4.16. ' puis on du groupe des classes soit car ce sous-groupe compact de /A* ~, a w E S, le conducteur de K est un corps de Lemme 4.15. = lKv un ensemble fini de places finies 11 existe un caractere m: S - - ? " toute place finie hors de w fini avec par l' el:tension definie par un groupe de decomposition en d'ideles tel que, pour Si lK'/lK K'/K. La fonction 2 m de aO+a) est alors est un caractere additif non trivial y, de valuation - (m + n (1jJ» et bien defini modulo a -546Del-46 a(li-a) = 1jJ(ya) Pour X un quasi-caractere de (4. 16.0 W, e;(x a., paUl" yea) ;;. n. K*, de conducteur :s; m - n, on a alol"s dx) = Pour TI- m- n (1jJ)u non contenu dans y(1i-(TIm- n », l'integrale partielle correspondante est nul Ie : c'est l'integrale d'un cal"actere additif non trivial. mn constant de valeur X(y) sur y(li-(TI e;( Xa., de K et a., 1 'inclusion de XIII Soit § det(V) y W, dx) a.,W-theorie He G definissant une extension L H -1 (y). e;(a.oNL/K , woTrL/K,dx) dim V (0) (1) (2) sont triviaux. L'axiome (3) resulte de ce que Les axiomes ([IOJ K'/K en posant, pour ,1,(V,dx) e;(a., m assez grand, on obtient une V une representation de e; on a done X-1 (y) W' dx) Nous allons montrer que, pour des constantes pour », Puisque X est K* dans L* s'identifie au transfert W(K/K)ab ~W(K/L)ab 4) et de 1.2. Reste l'axiome (4). He G correspondant a L/K, et Rappelons que pour u e l'indice de ramification. E ~ et n = Ie plus petit entier tel que n e ~ 2v(u), (4.16.2) On Ie verifie en ecrivant Ia norme de (I+u) comme Ie produit de ses conjugues. Nous noterons 0(1) D'apres 4.1 5 .2, si a. tout nombre borne en terme de est de conducteur [m+I J m, em - 00). De plus, pour -yea) e - " -2- + 0(0, a.oNL/K K'/K seulement. est de conducteur -547Del-47 a(l+Tr(a)) Pour tout caractere X de raisonnement fait plus haut iii (y Tra) H, de conducteur 0(1), on peut refaire 1e on obtient 1a formu1e vou1ue -548Del-48 § 5. FORMULAlRE. 5. Formu1aire. (5.1) Outre 1a eonstante locale €(V,~,dx) definie par 4.1, nous eonsidererons aussi, dans le cas non arehimedien, la eonstante €o definie par dV, ~,dx) Les constantes (5.2) € et (5.3) € et € €o et €o ont les proprietes suivantes. sont additifs en sont independant de a et de m~me pour € dx pour V virtuel. virtuel de dimension O. un quasi-earaetere non ramifie de K*, dim V dV, ~(ax), dx) m~me (5.5) pour Pour € o K non arehimedien et X on a (5.5.1) et En particu1ier, si on pose dv, ~,dx,s) et de V o (5.4) et de V, done gardent un sens pour m~me (5.5.2) pour e: , on a o dV,~,dx,s) ,I'd) e: (V ''t'' x .q -(a(V)+dim(V).n(~».s -549Del-49 q Pour -(sw(V)+ dim(V)(n( ~)+1). s W une representation non ramifiee, on a de m~me (5.5.3) Pour (5.6) L/K a de dimension une extension separable finie, de W(K/L) et V L une representation virtuelle V la representation induite de K W(K/K), on a (5.6.1) et de m~me pour tel que, pour 8 V L 0 , En d'autres termes, il existe de dimension quelconque, (5.6.2) La m~me formule vaut pour Dans Langlands 8 o [9J, c'est (5.6.2) qui fournit Ie De plus, il prend systematiquement pour ~ dx cadre de la theorie. la mesure de Haar autoduale pour ' et il l'omet de la notation. Les constantes sont de plus normalisees pour ~tre de valeur absolue complexe 1. Tout ceci lui impose une autre formule (5.4). 5.7. Soient relativement V* a ~ Ie dual de . V et dx' la mesure de Haar duale de dx, On a (5.7.1) En particulier, si K est non archimedien et que Vest unitaire, de sorte -550Del-50 que V* = V, on a -dim(V) 2 (5.7.2) 5.8. \dV,*,dx) 1 = (::') € q a(V)+dim(V).n(*) apparatt dans l'equation fonctionnelle locale de Tate; posant X' = WIX (5.8.I> j(f(X)X'(X)d*X = €(X,*,dx) Pour K non archimedien, L(X) y E K* de valuation f (5.8.2) -1 y 5.9. € ( X, Pour *, d)x K _ - non archimedien, si (n(*» X 11 •q n(*) (Tate) • !fCx) X(x) d*x L(X' ) . (d J$ x X • l+sw(x)+n(*), on a (3.4.3.4) -1 X (x) *(x) <9* dx est non rami fie on a En particulier, si n(*) =0 et que .f<9 on a 5.10. Prenons Soient X k et K non archimedien, *k les caracteres de a(x) ~ k* 1, et (5.10.I> OU Test la somme de Gauss (5.10.2) xEk* ~gale a 1 pour (5.10.3) ~ -1 trivial. En particulier, n(*) k = -1 et definis par ( dx ) (TT) X et = 1. *. On a dx = 1, -551Del-51 5.11. Soit global de K un corps global. Pour K, ¢ V une repr~sentation un caractere additif de non trivial de ~/K du groupe de Weil et dx =~ v dx v la mesure de Tamagawa sur £K' on pose (5.11.0 L(V) IT v L(V ) v (5.11.2) e(V) If v e(Vv ' L'~quation fonctionnelle globale (5.11.3) W v' dx ) v s'~crit L(V) 5.2, 5.3, D~monstrations: 5.4 et 5.5 e t 5. 8 son t 4. 1 (l) e t (2), (3 ), (4) (e t 3.3) - 5.6 resultent de 4.8. 11 suffit de prouver (5.7.1) pour V d~fini par un caractere ; la formu1e resulte alors de (5.8.1) et de 1a formu1e d'inversion de Fourrier. (5.7.2) resu1te de (5.7.1) et de (5.3) (5.4). 5.9 r~su1te Enfin, 5.11 connus de (3.4.3.1) et (5.10) de (5.8.2). resulte de ce qui pr~cede et de (3.11.4) par des arguments [lJ, [19J. La restriction de 4.1 au cas des extensions et des caracteres moderement ramifi~s On y equivaut aux identites suivantes sur 1es sommes de Gauss (5.10.2). designe par k un corps fini additif non trivial de 5.12. q ~lements et W un par caractere k. (Hasse-Davenport). un caractere de a k*. On a Soient k' une extension de k de degr~ n et X - 5 5 2-- Del-52 5.13. Soient X un caractere de k* et un entier premier a q. Soit n un ensemble de repr~sentants des classes d'isomorphie de couples form~s d'une extension k' de k et d'un caractere x' (b) entre k de (k',X') k'* tel que et (a) ~diaire X' X et k' , n'est pas de la forme x"oNk'/k" pour kit f' Le. x,q # X' pour 0< f' < [k':k]. inter- Posons (k' ,X')EX Alors, (5.13.1) Cette identit~ se d~visseen les deux suivantes. 5.14. (Langlands [9] 7.8). Soient de dans de q repr~sentants d'ordre J k' (~/L)*, de k~ ~ une extension de des orbites de Gal(k'/k) et X un caractere de ~ L r(X ,$ ) reX, $) .ieme, ~ caractere de tel que k'* k' ~ de T un ensemble $oTrk'/k) un nombre premier divisant k* X un caractere de une extension de L X'(x ) f, l'ordre k*. On a r(X oN k , /k· iJ' ~ degr~ f dans les caracteres (non triviaux) Tr (Langlands [9] 7.9). Soient pas une puissance de r(iJ, $oTr k , /k) iJET semble des caracteres d'ordre k "IT iJET 5.15 un nombre premier a q, = XoNk'/k(x). degr~ On a L de q-l, k* k et T l'en- qui n'est X' un -553Del-53 5.16. Demonstrations. Si K'!K corps locaux non archimedien et on a encore Soit n(~oTrK'!K) = -1, est une extension moderement ramifiee de un caractere additif de ~ de sorte que 5.10 V une representation moderement ramifiee K tel que s 'applique tant a n(~) K qu'a i Soient Pour Ie corps residue1 de k~ I. dx une mesure de Haar sur (5.16.1) €o(V,~,dx) = + Ind([~]-[l]) ~ (Ind([l])-[K :K][l]) i I. K~ I. K et Ie caractere de Xi JTI) telle que (_1)dim V 1f i k* defini par Xi' dx = 1, on trouve T(X:, ~koTrk~!k. ) I. I. La formu1e (5.12) s'obtient en prenant une extension non ramifiee et en ecrivant que, pour Xi Ki!K. dim(V). [1] + 2: v X un caractere (ici moderement ramifie) de K'!K, K*, on a 2: [~]-[IJ.] IJ. OU IJ. parcourt 1es caracteres non ramifies d'ordre divisant [K':K]. Cette formu1e (5.12) assure que Ie second membre de (5.16.1) ne depend que de V. Les identites 5.13 s'obtiennent en prenant une extension tota1ement ramifiee de degre n K'!K, et en conjugant 5.6.1 et (5.16.1) pour caractere modere X de de K'* est V induite par un K'. (5.14) et (5.15) sont Ie cas particu1ier de (5.13.1) OU nombre premier K'. W(K!K). On peut toujours l'ecrire comme somme de representations induites par des caracteres moderes d'extensions non ramifiees -1, n est un £. Dans 5.14 (resp. 5.15), on suppose que Ie caractere (resp. n'est pas) une puissance £ieme. X -554Del-54 § 6. REDUCTION Soient t MODI~O DES CONSTANTES LOCALES. K un corps local non archim~dien, et reprenons les notations 2.2. Soit soit inversible. On simplifierait supposant que un sens dans 6.1. K une c16ture s~parable A un anneau commutatif dans lequel sans perte de l'expos~, A es t local, voire un corps. Pour x E K, Ilxll sur ~ K, a valeurs dans un ~ a par hypothese [l/p]-module M, et invariante par translation. La fonction additive IJ:o (a + x ttl) est l'unique mesure de Haar a int~grer valeurs dans [lip] K, a valeurs A contre une mesure de Haar 6.2. p : w(K/K) ~ GLA(V) V, et a m.~o a valeurs dans SWI/J par J (m = ~o(~) EM) support compact a A. un sous-groupe t peut se r~aliser comme un ouvert de p, on sait que la ~ t[I/J]-module A est une projectif. Si A est de plus local, il est libre ; son rang est le conducteur de Swan de V Plus conducteur de Swan de entieres sur des scalaires g~n~ralement, on HomI/J(SwI/J'V) ~ distingu~ projectif. Si ~ t-algebre, lJ:o(ttl)= 1, et une repr~sentation du groupe de Weil sur p soit trivial. Pour tout nombre premier repr~sentation de Swan d~finie telle que M est de la forme valeurs dans sur lequel ~ une fonction localement constante un A-module libre (ou projectif) M est ilxll toute mesure de Haar a valeurs dans Soient p A. Une mesure de Haar On peut K en g~n~ralit~, une fonction simplement additive de parties compactes ouvertes de dans de v~rifie est donc un qu'on peut toujours A-module d~finir le V comme une fonction localement constante a valeurs Spec(A). Ce conducteur est invariant par extension de l'anneau A. I -555- 6.3. , Si est une racl.·ne (pn)ieme d e l' unl.t~ ." d ans une fonction localement constante sur cyclotomiques de sorte que de P /I a ~ p engendrent l'ideal trivial de =0 i (C) /Ii , est + n W\rr- ~ m si mod 6.4. Pour W un X E Hom(K*,/I*), dx p -1 E /I), P i /1*, il Spec(/I) ; en un ideal premier A, et Ie plus grand entier new) n new) A tel que /lA' crest pareil). Par est non trivial si caractere additif non trivial de et (puisque K a valeurs dans A (ou dans Ie localise abus de langage, on dit que est (pn)iemes de l'unite. Ceci permet de definir west trivial mod soit trivial /I[X] est d'ordre west un caractere additif (continu) de comme une fonction localement constante sur new) , ~ i ~ n), la i eme coordonnee (1 . Sur valeurs dans les racines /I , l' ~ d de Spec(/I) : deux quelconques des polyn6mes est produits d'anneaux verifiant , Si est i(X) ~ Del-55 n'est nulle part + m. new) K a valeurs dans une mesure de Haar a valeurs dans /I, II, on peut maintenant de£inir par la formule C3 .4.3.4) (plus precisement, si Spec(/I) If /I '" . /I.l. , avec new) et l. . erne On definit alors la l. projection de eo par commence par ecrire Theoreme 6.5. (a) Pour K un corps local non archimedien, + p, un vectoriel de dimension finie sur valeurs dans /I et dx eo eo du type suivant V une representation de /I, W un W(K/K) K, dans caractere additif non trivial une mesure de Haar (non nulle) est invariant par extension du corps Spec(lI ) . i K une cl6ture separable de E /1* (b) constant sur (3.4.3.4»' II existe une et une seule fonctions /I ~ corps de caracteristique a Sw(x) n'est pas connexe, on /I a valeurs dans /I, on a -550Del-56 (c) Soit A un anneau de valuation discrete de caracteristique residuelle son corps des fractions et ~ W(K/K) tation de V une represen W et dans un A-module libre de rang fini, et pour A, on a valeurs dans s=A/m son corps residuel. Pour ~ o W, (V , ~ Les conditions (1) (e) Pour dim V = 1, est donne par 6.4. ~o separablement clos. Si =~ A traite en 4.1. Supposons donc Gal (K/K) G un quotient fini de et A un anneau de valuation discrete d'inegale caracteristique de corps residuel a releve en un caractere additif valeurs dans relativement a G sur On A* ~ A/m =A X m~me ~,on a d'une sous-groupe de ~o dx en une mesure de Haar de A est assez gros (1.4) dans G a valeurs dans correspondante est clairement dans ~o(V~, W' dx) E A* d(V) A. D'apres . d: R~(G) ~ surjectif (les representations virtuelles se relevent). Pour tel que en ~*, On en deduit que, pour toute representation sait que l'homomorphisme de decomposition V E R~(G) W . On suppose G. A*, la constante 5.7.1, elle est valeurs dans A, et que Ie corps des fractions Pour tout caractere de A de caracte- + O. L Soient fait dans A est un corps A est de caracteristique 0, l'enonce, etant purement algebrique, resulte du cas a m. ! (3) de 4.1 sont verifiees Par descente galoisienne, il suffit de traiter Ie cas ou ristique a dx dx) E A* , et mod (d) + p, = V, V RA(G) E RA(G), on pose reduction mod m de ~o(V, W, dx) est et -557Del-57 D'apres 1.8, pour legitimer cette definition, il suffit de verifier que (*) Pour et X', X" congrus H C G definissant une extension deux caracteres de H a L de valeurs dans K, *L T]*, si X' est X" mod m, on a Les conducteurs de Swan de de Swan de X' mod m. Pour y f -1~* eo Y X' = IT et X" sont tous deux egaux au conducteur l+Sw(X')+n(*L) , on a done X I -1 (x) L Numerateur et denominateurs sont des unites, et sont clairement congrus On a done Pour eo V une representation de Gal(K/K), on obtient ainsi une fonction cel1es exp1icitees dans Ie formula ire 5.1 dans Ie cas Gal (K/K) mod m . 1. ayant 1es proprietes annoncees. Ses proprietes formelles sont les de sont a W(K/K) A m~mes E: o que a; • Pour passer on peut done reprendre l'argument utilise en 4.9, a l'aide de 1a deuxieme formule (5.5.1). Remarque 6.6. Dans tout ce numero, i1 a ete essentie1 de travail1er avec E: o plut6t qu'avec E: . D'abord pour avoir a uti1iser Ie conducteur de Swan (invariant par reduction mod L) plutOt que Ie conducteur d'Artin, ensuite pour n'avoir pas a distinguer, dans 1a definition de E:o(X, *, dx), entre les cas non ramifie et moderement ramifie. La signification de numero suivant E: o apparattra plus c1airement au -558Del-58 § 7. FONCTIONS Soit 7.1. L MODULAIRES X une courbe projective non singulieres sur X irreductible, on note K son corps de fonctions rationnelles et on identifie points fermes de triquernent irreductible, 7.2. de Soit ~ X et places de F P i.e. x X (SGA 4 IX 2.3). et ,qui est un clOture separable de ~-module k(x) dans X), et K v Pour tout K . x EX, et pour k(x), un tel faisceau k(i) G a une fibre de type fini. Ce dernier ne depend que de la k(i) , et par transport de structure. De plus, pour de X geome- un anneau noetherien. On sait ce qu'est un faisceau constructible ~-modules sur en K. On ne suppose pas algebriquement ferme dans une extension separablement close de ~ F p . On suppose une clOture algebrique de Gal(k(x)/k(x» v une place de agit sur ~ K (point ferme K ' on dispose d'une fleche de v specialisation Gk(v) ---~>~ v Cette fleche est equivariante ; son image est done contenue dans On dit que G est non ramifie en v si sPv I ~v v est un isomorphisme. Un faisceau constructible est presque partout non ramifie. Une fois choisies une clOture separable au-des sus de chaque place de constructible de (a) ou (b) ~-modules On se donne les fibres K, K de K et une place de K on peut reciproquernent definir un faisceau cornrne suit. ~ et Gk(V') (respectivement des ~-Gal(K/K) - A-Gal(k(v)/k(v»-modules, de type fini sur ~). On se donne les fleches de specialisation (equivariantes pour l'action des groupes de decomposition) Gk( v) Pour que (a) (b) ----.;» ~ definissent un faisceau, il suffit que les presque tous des isomorphismes. soient -559- Del-59 7.3. II nous sera commode de modifier la definition precedente en les groupes de Galois par des groupes de Weil. Soit Soient Weil IF une cll'lture algebrique de p (resp. un faisceau de Weil de un faisceau (resp. un faisceau de une action de Frobenius sur *Remarque (inutile) : Y topos IF «'it Y un schema sur = Y ISlF p IF p Y G sur G G, au-dessus de son action sur sur au topos classifiant B~ , on a wet * A-modules constructible peut se decrire en termes galoisien comme en 7.2, en rampla~ant partout Gal(k /k ) par 7.5. K sur v Soit W(K/K), W(K /K ) v v et Gal (K/K), en paraphrasant 7.3. Soit Spec(~v) OJ( , v un v et v K v une cll'lture separable de A-W(K /kv )-module.. de type fini sur v K v A-modules constructible A', Gjz , un A-W(kv /kv )-module, de type Hni sur A la fibre c) la fleche de specialisation, v sp v v ou de se donner b) Soient v W(k /k ) = ~ II revient au m@me de se donner un faisceau (de Weil) de a) la fibre GaHK /K) un corps local non archimedien. On definit un faisceau de Weil v Spec(~) G sur les faisceaux seront appeles faisceaux etales. Un faisceau 7.3. de v Yet' plus Y forment un Nous appellerons simplement faisceaux les faisceaux de Weil 7.4. Y est Y Les faisceaux de Weil en ensembles sur y Yet P . Un faisceau de p A-modules constructible) A-modules constrcutible) IF . On peut Ie decrire comme un 2-produit fibre de topos : identifiant wet Spec( IF) t P e sur rempla~ant une place de faisceau (de Weil) de ; W(K /K )-equivariante v v OJ;v K et ----~> OJ( v xv Spec(~v)' A-modules constructible sur Par restriction, tout X en definit un sur X v -500Del-50 Un faisceau est plat si ses fibres sont des 7.6. Soit tel que Soit Ie quasi-caractere non ramifie de G un faisceau constructible plat sur = det(l-Fvtdeg(v),Gk )-1 v Pour p inversible dans 0.6.2) = sw(~ a(G) (un entier si a valeurs dans W(K/K), v v Wt(F ) = tdeg(v) v Z(Gv,t) 0.6.0 deg(v) = [k ::IF ] v P un corps local non archimedien. On pose K v t et on note W A( t), A-modules plats. v Spec(~v)' = det(l-F v ' ~ On pose ®wt)-l v A, on definit un conducteur ) + dim(~ )-dim(~ ) v v A est local, une fonction localement constante sur Spec(A) en general). Supposons que caractere additif non trivial de de Haar a # p. Soient A soit un corps de caracteristique valeurs dans K v a valeurs dans A*, et dx une mesure A, comme en 6.5. On pose e:o(~ ®w t , W, dx). det<_Fvtdeg(V), ~ )-1 0.6.3) v e: W un v est un monOme. D'apres (5,5,2), son degre en Remarque 7.7. Soit M une representation de definit des faisceaux JIM et j*M sur test a(G),deg(v), W(K /K ). En termes galoisiens, on v Spec(~v) v par les fleches de specia- lisation a ----»M I M v ---»M Les quantites e: et des § precedents s'identifient a la quantite (7.6.3) e:o relative respectivement a j*M et j,M. Au contraire de j*, Ie foncteur j, commute a la reduction mod L . Ceci peut expliquer pourquoi, au § 6, nous n'avons -561Del-51 7.8. Soit place v G un faisceau constructible de de G induit un faisceau K, 0.8.0 7.9. dx Les v v Spec(~v)' = 1. X. Pour chaque On pose E A[[t]] K une unique mesure de Haar a ~ p. 11 existe sur va1eurs dans = I8i ~[l/p] (dx = mesure de Haar dx v v v dx = O. ~ [l/p] ; pour presque tout v v v definissent des mesures de Haar a va1eurs dans A dx JA/K K , a va1eurs dans v sur sur A soit un corps de caracteristique l'anneau des ade1es de telle que G v IT Z(Gv , t} Z(G, t) Supposons que A-modules plats sur On peut ecrire dx , I~ * de S'i1 existe un caractere non trivial A/K, a va1eurs dans A*, on pose e:CG, t) (7.9.0 Presque tous 1es termes du produit sont egaux pas du choix de Soit AI * independante de de definir 7.10. de e de * i 1 'inclusion de Z(G,t) (ii) ~ Z(G,t)/e(G,t) (iii) Spec(K) dans ~ 00 *. X. Si A Ceci perme t K ega1e a V, et sPv: V v~V. A un corps de caracteristique , 1. Vest une representation X de fibre en A-vectorie1s, Z(G,t) ~ p. Soient 1 G en G un K t . est asymptotique a est une serie forme11e en L V 1a fibre de ~ est une fraction rationne11e en t de I sont faisceau constructible de (i) Gal(A'/A), donc dans $* V 1e faisceau sur Soit ieme La constante globa1e correspondante, etant s'i1 n'existe pas de caractere pour 1eque1 1es Theoreme 7.11. A'* , est invariante par W(K/K), on note dx A par adjonction d'une racine primitive p va1eurs dans m~me Notons 1, et 1e produit ne depend ni de 1a decomposition choisie de * dedui t a I1 exis te a e(G,t). En d'autres termes, t- , de terme constant 1. -552Del-52 Soit S un ensemble fini de places con tenant toutes les places ou la sentation V est j,V ramifi~e. Ie faisceau sur de fibre nulle en (i') Z(j,V,t) (ii') Pour en dehors de ~gale E s. v S = j 1 'inclusion de g~n~rale 1, V, non X-S dans X, et soit en dehors de ramifi~ On v~rifie aussitOt que (i) (ii) ~quivalent est fonction rationnelle de Supposons que j*W X, de fibre ---> =, t Soit repr~- S, et a t Z(j, V,t) + 0. (identifi~e l i*W , R j*W Pour toute repr~sentation W de a W(K/K) , non ramifi~e un faisceau localement constant sur Ie faisceau nul en dehors de X-S), posons S, de fibre en v ES 1 a H (Iv'W), et O.ll.1) Soit de Iv P' sur Ie noyau de t£: Iv ---> ~ 1,(1) . Pour toute repr~sentation W A, on a canoniquement O.1l.2) Pour toute repr~sentation W de W) O.1l.3) ~ 1,(1), on a canoniquement ~ .(1) ~ =W 1 H (~ 1,(1), W) = W~ 1,(1) (-1) Hi(~ 1,(1), w) = (invariants) (coinvariants tordu). ° (i ~ 2) Puisque 1a dualit~ ~change invariants et coinvariants, on a Lemme 7. II . 4 . Pour et 1, ". 0, (cf. 2.3). sont canoniquement en duali t~. Naus n'uti1iserons pas que cette dualit~ peut s'interpr~ter comme un cup-produit tl, mod 1, . a va1eurs dans 1 H (I ,A(l» v = Hom(I v , A(l»~ A , engendr~ par -553Del-53 t Pour 0, dans Ie courant de cette demonstration, nous poserons z et definirons Z(Rj*W,t) (7.11.1). Cette definition est justifiee par par 7.11.5 et 7.11.6 ci-dessous. Pour W une representation de W(K /K ), nous v v poserons encore Soient et A un anneau de valuation discrete d'inegale caracteristique W(K /K ) v v un A-module libre sur lequel W fractions de A, Lemme 7.ll.5. s A/m z agit. Soient t # p Ie corps des Ie corps residuel. Z (Rj*W ,t) v s mod Z (Rj*W ,t) v Tl z m. La demonstration ci-dessous perdra son mystere au § 10. Soient F P' = Ker(tt : I ~ ~ tel»~, un Frobenius geometrique et K a un generateur de ~ Ie complexe concentre endegres tel), ° et 1 K L'endomorphisme q-l i a est unipotent et q est l'unique valeur propre de ~ a i l'identite, Soit F 1 a de WP ' est inversible: il suffit de Ie voir apres i=l n reduction modulo 1 'ideal maximal de A. Apres reduction, puisqu'un at est ~ K = (Fo,F l ) =F q-l 0 (~ l'endomorphisme de i-I a) . La quantite de compos antes et 1 detCl-F tdeg(v) Wp ') -1 o ' Z est de formation compatible extension des scala ires a Tl Z K = det(l_Ftdeg(v) - H (K»-l '0 a detCl- Fltdeg(v) ,W p ') 1 'extension des scalaires a Tl ou s . Apres (resp s), on a detCl_Ftdeg(v) - , Hl(K». On conclut en notant que Del-54 et Variante 7.11.6. Supposons W(K /K) v v A complet et soit W un A-module sur lequel agit continOment pour la topologie ~-adique (et non plus, comme auparavant, pour la topologie discrete). On pose encore (W et on definit Le HI Zv(Rj*W,t) p' )7£ T1 ~ comme auparavant. (coinvariants tordu). (1) (-1) defini plus haut peut s'interpreter comme un HI continu lim O.1l.6.1) <-- La formule de reduction 7.11.5 reste valable (avec la m@me demonstration). La formule (iii) equivaut a Lemme 7.11.7. O.ll.B) 7.11.7 resulte de l'identite locale Si on remplace V par la representation V <81 wt de W(K /K ) v v sur II< (t)) , cetce formule se simplifie en qui resulte de la dualite locale 7.11.4. Prouvons 7.11. Si A = ¢, Ie produit infini as sez pe ti t, e t L(V,s) Z(j*V,t) converge pour It I -505- Del-55 Z est done une fonction qu'e11e est de t. =t croissance L'~quation Les A a ~nonc~s mod~r~e de pour t; t ~ ~ (i) et (iii) sont purement ES A de caract~ristique un sous-groupe ouvert J , done une fonction rationne11e L fournit (iii). a1g~briques. . Si une repr~sentation V de d~pendent Etant vrais pour g~n~ra1 0. La m~thode cas des groupes finis, i.e. au L'~nonc~ (ii') Proposition 7.12. constructible de Dans 1a 1 'hypothese r~su1te Si L ~ p. sur A de I se re1eve en v caract~ristique r~duction mod L Z{j,V,t), Z{Rj*V,t) i1 suffit done de savoir que, apres W{K/K)/J se re1eve virtue11ement de 4.10 (cf. 4.10.3) ramene cette question au th~oreme 0. pour V (une extension donne un produit). de Brauer. A est un corps de d~monstration W{K/K), contenant de (7.11.8) et ce que, pour A-vectorie1s, caract~ristique 0. quantit~s extension des sca1aires toute repr~sentation de caract~ristique A de V s'obtiennent par additivement de Pour obtenir (i) et (7.1l.8) en ~ de W{K/K)/J (compte tenu, pour (7.1l.8), de 7.11.5). Les e{j,V,t) L distingu~ 0, 1es assertions (i') et (7.1l.8) pour en fonctionne11e montre (ainsi que (i') et (7.11.8», i1s restent vrais pour Soit et l'~quation fonctionne11e de 1a fonction Supposons maintenant v m~romorphe caract~ristique t 0, Z p ~ 1. G un faisceau Z{G,t) est encore une fraction rationne11e en 7.11 (i) nous n'avons en effet pas fait usage de t. -566Del-66 § 8. REPRESENTATIONS L-ADIQUES DES GROUPES DE WElL LOCAUX NON ARCHlMEDIENS. STRUCTURES DE HODGE ET GROUPES DE WElL LOCAUX ARCHlMEDIENS. 8.1. Soit K un corps local non archi~dien. Nous utiliserons les notations 2.1 et 2.2. Soient L un nombre premier une extension finie de " p (on pourrait prendre pour E , plus generalement, un corps valu~ extension A ~L)' Une representation A-adique V de W(K/K) est une representation de continue pour la topologie un A-adique p : W(K/K) ~ GL(V) de W(K/K) sur EA-vectoriel de dimension finie. Le resultat suivant est demontre dans [13]. Theoreme 8.2. (Grothendieck). Soit (V,p) W(K/K). 11 existe d'indice fini de Ce une representation N E End(V)(-l), nilpotent, tel que pour A-adique de cr dans un sous-groupe I, on ait N E End(V)(-l) est unique, done invariant par Galois pour w E W(K/K), on a p(w) N p(w) -1 • V(w) N q • Nous allons utiliser 8.2 pour decrire les representations A-adiques de A(K/K) 8.3 )n EA' Ce sera fait deux fois est plus intrinseque, et 8.4, qui nous suffit, plus elementaire. 8.3.1. sur en termes independants de la topologie de A isomorphisme unique pres, il existe un et un seul groupe algebrique ~L' isomorphe Ie note C (1). a a Ca , et muni d'un isomorphisme ~L(l) ~ G(~L) . G -567Del-67 8.3.2. J' ~ J Soit J C I un sous-groupe invariant ouvert de n Ker(tt)' w(K/K)/J par Le quotient on obtient une extension w1 est extension du groupe discret W(K/K)/J' J/J' ; app1iquant de a W(K/K) , et : J/J' ~ ~ t ~ 'a(l), L aa(l) (voir Serre [12J II 1.3). cette extension W(K/K)/J) par t ---~> W(K/K)/J - - - ? 0 8.3.3. W~ forment un systeme projectif, et 8.2 signifie que toute Les repr~sentation A-adique de W(K/K) se factorise par une repr~sentation a1g~brique d'un w~. i.e. par une repr~sentation du sch~ma en groupes 8.3.4. Soient Associons Cette section It J a 1 'image r~ciproque d~ II J CW(K/K) I J et 1'' • _lim ItJ .1 0 E I/J, d~finit image de 0 0 0 t t > W(K/K) > I > I X C > 0 t II >~ >0 (0 - - ? WL(K/K) - - - ? ~ > 0 t fc f j a 0 a(o) t(-tt(O» des scindages On a un diagrannne 0 0 E I/J, l'~l~ment f 0 (1) G (1) at 0 de W~ -568Del-68 Soit IW t 8.3.5. W(K/K) agit par Wt(K/K) W 'W t et Ie produit semi-direct de x w- l = qV'(w).x. W(K/K) par Ga(l), sur lequel 11 existe des isomorphismes entre qui rendent commutatif ----~> W(K/K) I~ II ---~> 'Wt(K/K) ---~> W(K/K) et on v~rifie facilement que deux quelconques sont (l'ind~termination est Frobenius F E W(K/K), et on utilise que 8.3.6. Soit W(K/K) par 'w isomorphisme 'w ~ Ie sch~ma lC a ' sur lequel W(K/K) 'a ~ 'a(l) (i.e. par un + 0; ~, agit par voir 8.4.3 ci-dessous). produit semi-direct de -1 w x w Q!t ~ ~t(l» = qv' (w) .x. v~rifie ~ agissant (voir 8.4.3) ci-dessous) que ce groupe d'automorphismes agit trivialement sur l'ensemble des classes d'isomorphismes de de Chaque d~finit un isomorphisme 'W t , d'on une classe de tels automorphismes modulo Q!t sur 'W t via son action sur On ~l~ment dans Ie choix d'un relevement d'un q-l en groupes sur conjugu~s repr~sentations 'W t . Au total, on a obtenu que (8.3.7). Les classes d'isomorphie de repr~sentations A-adiques de W(K/K) sont en correspondance bijective naturelle avec les classes d'isomorphie de repr~sentations D~finition de (a) 'W(K/k) sur 8.4.1. ~ du E A Soit sch~ma en groupes sur E un corps de E est un couple Q ~ caract~ristique = (p',N') une repr~sentation de dimension finie un endomorphisme nilpotent (8.4.1.1) N de O. Une repr~sentation consistant en p' : W(K/K) W(K/K) ~ E (b) 'W . V, tel que ~ GL(V) de de -559Del-59 8.4.2. Choisissons un Frobenius geometrique F E W(K/K) et un isomorphisme T : ~L(l) ~ ~L . On associe comme suit une representation 'W(K/K) E a une representation A sur a E I, on pose (a) Pour (b) N' E End(V) (N A-adique F correspond a N, via T . et Changeons W(K/K) : de etant defini par 8.2) Lemme 8.4.3. La cIa sse d'isomorphie de choix de (V,p) (p',N') de (p',N') ne depend que de p, non des T. F en F p , pour obtenir (p",N'). On a pour A Changer = exp«l-q -1 ) -1 en T change ST pour toute representation (p' ,N') Soient tL(p») (p',N') (p',N') en (p',aN'). Nous IDontrerons que 'W(K/K) de sur un corps E, et tout a E E, (p',a N'). I' = Ker(p') ~ Aut(I/I'». de E, soit Pour va et n n F tel que sont central dans a une classe de conjugaison dans une clOture algebrique Ie plus grand sous-espace de valeurs propres de W/I' (par exemple, n F I Vo. soient dans V, stable par n F , tel que les a On verifie que (a) (b) Si lue Va est stable sous -n N ya c yq a p'(W(K/K), et V =e yU A est la transformation lineaire, laissant stable les AIYo.. A(a), avec A(q-na ) · a A(o.) , on a done A(p',N')A De 8.4.3 -1 .(p',aN') on deduit aussitOt la conclusion 8.3.7. yo., et telle -570Del-70 8.5. Soit (p',N') une repr€sentation de est centrale dans Si +0 un p'(w ) l et p'(W ) Z u, done u u la N' E E dey) puissance de centralise F Im(p'). ont une puissance commune. On en est la composante unipotente de p'(FnO) (0 E I), et, pour , aussi celIe de p' (F n 0), exp (a N) exp«l-q qui en est Ie conjugu€ par -n -1 ) .a.N). Posons (8.s.U u D€finition 8.6. (ii) E . Soit commutent. Puisqu'une Im(p'), une puissance de z d€duit que n p'(F), u et N' WI' W E W(K/K)-I, sur p'(F) : p'(F) ~ p'(F)sS . u. Puisque composante unipotente de est vecteur propre de 'W(K/K) (i) On dit que (p'ss, N') (p',N') (resp. pour tout) est la F-semi-simplifi€e de p' = p'ss, ~ (resp.~) a E E, ~ F-semi-simple si W E W(K/K)-I p'(W) -n (p',N') l.~. si pour un exp (aN) est semi-simple. Pour une repr€sentation A-adique, on d€finit encore sa F-semi-simplifi€e par (8.5.1), et la F-semi-simplicit€ comme en (ii). 8.7. Le formalisme 8.3 ou 8.4 permet de comparer des repr€sentations A-adiques pour diff€rents corps EA' Pour oe faire, introduisons la terminologie classique suivante Soit On dit que F Q est d€finie quement close sur sur de F Soient 'W(K/K) une extension de F F.~ l sur E ~ une repr€sentation de 'W(K/K) sur F. si, pour toute (pour une) extension alg€bri- F, .Q- est isomorphe a ses conjugu€s sous AutC'F/E) . p deux extensions de E, et Qi une repr€sentation de et F Z On dit que E et que, pour E, et ~ ~ et Ql F , F l Z ~ E QZ sont compatibles si elles sont d€finies une extension alg€briquement close commune -571De1-71 de FI et F 2 , Q et Q IF Defini tion 8.8. ~ ne divisant pas p de de W(K/K} . On dit que correspondantes de sont isomorphes. 2F un corps de nombre, E E et ~ PI 'W(K/K} , PI P2 Al ~ deux places finies A2 des representations P2 Al - et A -adiques 2 sont compatibles si les representations Ie sont (8.7). On laisse au lecteur la verification du plaisant exercice suivant. Supposons Propos i tion 8.9. (Vl,P ) l filtration finie croissante de Vi (V ,P ) 2 2 ~ F-semi-simples. Soit W 1 'unique k N W telle que k CW - 2 et que N induise un isomorphisme Pour que PI ~ P2 sont compatibles, il faut et il suffit que les caracteres des representations de dans F W(K/K} Gr~CVl} et Gr4Cv2} soient a valeur~ sur les et respectivement egaux. Exemple 8.10 (on fait representations de E = ~). Soit WCK/K} C GalCK/K} A une variete abelienne sur sur les VL(A} = TL(A} ® ~L K. Les sont F-semi-simples et compatibles. Variante 8.11. Soit G un groupe algebrique lineaire sur Une representation de 'w (p',N') : p' : W(K/K} ----> N' E Lie(G}, dans G (sur E) est un couple G(E} (trivial sur un sous-groupe ouvert) C8.4.1.0 etant verifie. Pour 'w associent une representation de pour la topologie A-adique E de caracteristique O. P (apres extension des scalaires a dans E G = EA ' a et les formules C8.4.2} toute representation continue W--7 G {E }. Sa classe d' isomorphie geometrique A FA) ne depend pas des choix arbitraires faits: la premiere partie de la demonstration 8.4.3 s'applique encore, il reste a montrer que (p' ,N') ~ (p' ,a N'). Pour ce, on note que Ie sous-groupe algebrique -572Del-72 H de G qui centralise m p'(F ), done un element de Im(p') g N' ge~eralise Facteur locaux : Soit E-vectoriel caractere ne peut done qu'@tre surjectif. E, on definit la compatibilite W(K/K) ~ G(E ) A A-adiques Le sorite 8.5, 8.6 se sur un multiple contient un = qmN,. Le G est defini sur un corps de nombres de representation 8.12. N' envoie adg(N') tel que H donnant l'action sur Si et (p',N') comme en 8.7, 8.8. tel quel. une representation de 'W(K/K) sur un V. Par abus de notation, on pose VI c'est une representation de = Ker(N,)P'(I) W(k/k). On definit un conducteur, un facteur L local et des constantes locales par les formules a(V) (8.12.1) sw(V ,p I) + dim V _ dim VI (8.12.2) (8.12.3) (8.12.4) Pour (p'N') definis par une representation VI Z(V,t) eo(V,t) Le cas archimedien: p sur V, on a Vp(n = det(l-Ft, = eo yP(I» (semi-simplifiee de V,t) Dans Ie cas non archimedien, ce que fournit la geometrie (la cohomologie t-adique) sont des representation tations de A-adique 'W(K/K), non des representations de A-adiques, i.e. des represen- W(K/K). -573- Del-73 Dans Ie cas archimedien, de m@me, la geometrie fournit non des representations de a W(K/K), mais des structures de Hodge. Voici la regIe utiliser pour passer des structures de Hodge aux representations. (A) K complexe. La geometrie fournit des vectoriels V sur K, munis d'une Hn(X,K) est muni d'une bigraduation de Hodge (par exemple, pour X une variete algebrique sur K, telle decomposition). On en deduit une representation (semi-simple) p W(K/K) (B) = K* K reel sur V en posant La geometrie fournit des vectoriels bigraduation de Hodge =e V pq V =~ /2 agit sur X(K) V sur F~ et d'une involution Par exemple, pour Gal(K/K) de et K, munis d'une telle que X une variete algebrique sur Hn(X(K),K) K, est muni d'une telle structure p On en deduit une representation (semi-simple) de W(K/K) sur V en posant Ces formules different de celles de [3J 1.12 (defigure en outre par une faute "d'impression" p. 21 .12), parce qu'aux places finies j'utilisais dans loco cit. 1 'inverse de l'isomorphisme de la theorie du corps de classe local utilise ici. Aux places finies, 1 - WI . De ml!me, F~ -1 si H (lP 1, 2 ~.t) ~ ~ .t(0 correspond au quasi-caractere - H (lP (K),K), structure de Hodge de type (-1,-0, avec 2 K = It, correspond au quasi-caractere WI de W(K/K). -574Del-74 § 9. SYSTEMES CO}WATIBLES DE REPRESENTATIONS L-ADIQUES. Pour simplifier 1 'expose, nous ne considererons dans ce § que des repre- sentations de groupes de Galois de Weil). Comme en 7.1, on note irreductible sur 9.1. Soit IF p' (plut~t X une courbe projective et lisse sur de corps de fonctions la topologie de A-adique de ~t' E et presque partout non ramifiee de A E WO A = W). avec L + p. Soit W Gal (K/K) dans un EA' Le groupe de Galois etant compact, il W un reseau invariant W tel que P Gal (K/K), i.e. une representation continue pour vectoriel de dimension finie sur de IF K. E un corps local extension finie de A une representation existe dans que des representations de groupes O W (un reseau est un SOus-GA-module libre Les facteurs locaux de tC l-F t deg( v) v sont donc dans ~A [[t]], ainsi que leur produit noyau de 1 'application de de GROTHENDIECK, GaHK/K) dans Z(W,t). Soit Galo(K/K) Ie GaHlFp /lF p )' D'apres un theoreme Z(W,t) est une fraction rationnelle, est m@me un polynOme si 0- WGal (K/K) o et verifie une equation fonctionnelle (9.1.0 on €Gr z'(W, t) est un monOme de degre t deg(v).a(i*Wv ) v (8.12.0. Le lecteur trouvera au § 10 un resume de la theorie de Grothendieck. -575- Del-75 9.2. Soient E un corps de nombre , divisant pas tout >.. par A e ~. p de E et ~ C E un ensemble infini de places finies ne ~ l'anneau des elements de E A l'ideal premier de & On designe encore par AE Supposons donne, pour chaque AV ),,-adique de dEHini , une representation ~ Gal(i(/K). On suppose que, pour toute place les representations de )..-adiques W(i( /K ) v v (8.6) sont compatibles et la "constante" (ua K, Z(AV,t) e &(t) mon~me) sont done independantes de v 1\ V V wv A (cornrne d'habitude, les d'un caractere non trivial de ~/K On note ces fonction et constante E l!l( t) e:C,V, ljr ,dx ,t) V et dx ~ Z{V,t) v et sont les cornposantes est une mesure de Tamagawa). e{V,t). Sous les hypotheses precedentes, Z{V,t) .. (9.3.U ~ Puis que e{V,t) Z{V*,pt -1 ) Tf ~/A est infini, l'application i l suffi t de prouver 9.3.1 apres reduc tion l!l---"> mod A pour tou t est injective A E ~. allons pour cela mettre 9.3.1 sous une forme compatible a la reduction et justifiable, S V se ramifie et A-adique de F-semL-simplifiees (cf. aussi 9.8). La fraction rationnelle .. Tf Soient v soient compatibles, au sens strict (8.8). 11 nous suffirai t en fait de savoir que leurs Theoreme 9.3. A-entiers pour Nous mod A, mod A , de (i.ll.8). un ensemble fini de places de 1 'inclusion de X-S W, non ramifiee en dehors de Tfe: S v Tf v~S v X. Pour toute representation dans S, nous poserons det{l-F tdeg{v) v v detCl-F tdeg{v) K, contenant toutes les places ou ' e:CW ' ljr,dx,t). v W I v) v 1T vES -j Tf vES detCl-F tdeg{v) ,W (_l»-l v vl v e (W ,ljr,dx,t> 0 v -576Del-76 Un calcul facile, deja fait en 7.11.7, montre que (9.3.1) equivaut a (9.3.2) On conclut par 7.11.6 et 7.11.8. Stabilite9.4. Soient F uneextensionde E Un systeme compatible de representations et lL F l'imagereciproquede O. ElL) ,,--adiques definit par extension des scalaires un systeme compatible de representations (A E lL ). Si F ,,--adiques X est un caractere du groupe des classes d'ideles, a valeurs dans les racines de l'unite de F, les ,,-V.X forment encore un systeme compatible, justiciable de 9.3. Corollaire 9.5. Soit X un caractere du groupe des classes d'ideles, a valeurs dans les racines de l'unite d'une extension finie de SeX) (resp. S(V» Supposons que l'ensemble des places de S(V) n SeX) = 0 K ou (cf. 9.4). Soient X (resp. V) se ramifie. . On a par de fi ni tion €«V-dimV[llX[x)-ll),t) €(Vx,t) € (V,t)-l E €(X,t)-dim(V) €([l),t)dim(V) IT vES(V) v IT E Sex) a(x) det V (11 ) v v C'est un corollaire de 5.5.3. Exemple 9.6. (pour E =~ est une courbe elliptique sur lL = les K, les nombres premier autres que de representa tiors L-adiques. Si 1 'invariant modulaire pour tout caractere X comme en 9.5, p). Si F 1 H (F'~L) forment un systeme compatible n'est pas constant, les fractions rationnelles correspondantes sont des polynOmes, et verifient 9.5. Z(FX,t) lL. -577Del-77 9.7. a Weil On renvoie dim(V) .. 2 , entre Le cas Ie plus [16J Z(V, t) et "formes modulaires" sur int~ressant On obtient des par exemple E pour la relation que 9.5 implique, lorsque est fourni par 9.6. r~sultats plus pr~cis une courbe elliptique sur en invoquant Jacquet-Langlands. Soit K, d'invariant modulaire non constant. D'apres Ie dictionnaire de Langlands (voir [4J K, la de repr~sentation 1 H (E'~t)' pour et est correspondante. La vecteur t. de ind~pendant (i.e. Ie centre Nous de K~ TI(E) .. consid~rerons TI v repr~sentation TI peut ~tre d~fini sur v la w2 ), de repr~sentations ~ complexe repr~sentation est de dimension infinie, de poids GL(2,K ) agit par v 2 et a presque toujours un D'apres 9.3, 9.6 et [8J 11.5 GL(2'~v)-invariant. restreint GL (K ). Les 2 v variable, ~tant compatibles, ~ v Hl(E,~~), d~finit une sur de irr~ductible ), pour chaque place 3 GaI(K /K ) :;W(K /K ) v v v v admissible repr~sentation GL(2,A)/GL(2,K). Ie produit tensoriel figure cornme facteur direct dans la repr~sentation TI v v admissible ~ (GL(2,#.)/ (GL(2,K» de GL(2,M dans l'espace des fonctions 2 localement constantes sur GL(2 JA) /GL(2 ,K), se trans formant sous 1 'action du ~ W ' a support compact 2 centre par Ie quasi-caractere modulo Ie centre et cuspidales. Th~oreme 9.8. Soient A- ~ ~-adi9ues de supposons que, pour A, ~ des places de Gal(K/K). Soit v It s, S E et AV, place repr~sentations un ensemble fini de places de les semi-simplifi~es de compatibles. Alors, pour toute des ~V v, les et v soient ~v semi-simplifi~es K et et de sont compatibles. Si S est pris assez grand pour contenir toutes les places ou (*) et Pour V ~v Le V, 1 'hypothese se ~v v It S, les polynOmes sont dans th~oreme int~ressant 9.8 E[tJ et r~duit ramifi~es a caract~ristiques de F v agissant dans AVV ~gaux. est done une des corps de fonctions, r~ponse a partielle, dans Ie cas Ie moins la question 1 de Serre [12J I 12. v ~v -578Del-78 On prendra garde aux points suivants. (a) La conclusion porte seulement sur les locales, ~ sur leur F-semi-simplifi~e. de 8.4.2, on considere seulement la (b) Pour A" \..l ' AV • \..lV , Ie semi-simplifi~e ont un caractere a valeurs dans de affirme W(Kv/K ) v Appliquons Ie cette identit~ se de et th~oreme de p' , et ~ N . que les semi-simplifi!les sont d~finies sur 5 E, i.e. contient toutes les places ou a v l 5, il n'y a des lors plus agit via un groupe infini. Pour semi-simplifi~e repr~sentations E. On peut supposer, et on suppose que entre des En d'autres termes, avec les notations th~oreme AVV des repr~sentations locales semi-simplifi~es Iv distinguer F-semi-simplifi~e. de Grothendieck rappel~ en 9.1 r~crit Tf z (, V* vEs v I\. lTz (,vwl,t) vE5 v I\. ou Ie premier membre est dans membre est done dans E(T), et Ie m@me pour ind~pendant de A. et D~composant V . Le second I-l Ie second membre en Ie produit d'un monOme et d'une fraction rationnelle valant 1 en trouve par Ie calcul local de 7.11.7 Tf v E 5 est Ie m@me pour (det( l-F t deg (v) v AV et que I V v)/ det(l-F tdeg(v) V ' A v' A I v Av et sa coinvariants de semi-simplifi~e Iv v (1)) - \-lV' Les facteurs de ce produit sont additifs en (une extension donne un produit ; cela pour t .. 0, on r~sulte AVV de (7.11.6.1)), done les m@mes Pour celle-ci, invariants de sont pareils, et on trouve que et -579- 1T (9.8.1) ES v v est Ie m@me pour Soit V I.l E S, et tordons o classes d'ideles non (X Del-79 ramifi~ v par un caractere et en I.l et tres V o est a valeurs dans une extension de Les hypotheses faites sur (AV, I.lV) ramifi~ Posons APv(T) V a det (l-F v # v E S, on a, dans X(F). E(T), P (T) / P (q T) I.l v Rq(T). R(T)/R(q T) = lim div (R) De 9.8.2, on d~duit donc que I.l v en 0 N lfR (q T» o q div( APv(T) E E[T] (1 imi te simple), et que P (T) a une extension finie extension finie locale Gal(K /K) v v K' et (remplacer K~/Kv ~tant K~ V sont respect~es par passage de I.l S par son image r~ciproque). Toute est un sous-groupe fer~ de les diverses repr~sentations soient non K induite par une extension globale vaut aussi pour les repr~sentations de E Iv ' on a 1 I.l v Les hypotheses faites sur Prenant pour R valant est injective: pour les diviseurs, on a (9.8.3) F deviennent 1. o T, (AV;S) V). Appliquant l'invariance de (9.8.1) La transformation qui a une fraction rationnelle ces V I v V o X convenable, subit une modification triviale, qui se lit sur o (9.8.2) car E S autres que sont stables par torsion. Pour a (AVX, I.lVX ) , on trouve que, pour chaque associe v E; pour l'existence, cf. 4.14). apres torsion, les facteurs de 9.8.1 relatifs aux Celui relatifa en les A du groupe des Gal(K/K», on trouve que W(K /K') v v d~finies extensions telles que les ramifi~e, 9.8.3 et par semi-simplifi~es on trouve que, pour tout F de EW(K v /K ), v -580Del-80 En dehors de v Iv ' les caracteres des representations I-l cotncident done. Les m@mes arguments, on on ne retient de nent que pour tout sous-groupe ouvert J de Iv et tout caractere et X de J, vssll et Vssll v I-l v cotncident done sur tout D'apres Ie theoreme de Brauer, ceci implique que ont m@me caractere. Les caracteres de que l'egalite des degres, don- 9.8.~ A v I-l W(K /K ), et ceci acheve la demonstration v v Proposition 9.9. Soit (AV)AEL un systeme infini de representations On suppose que pour toute (ou presque toute : 9.8) place simplifiees des AVV v sont compatibles. Alors, pour chaque de A-adiques. K, les semi- A, (9.9.0 Posons Zss(AV,t) E: ss (AV,t) Ifv dedl-F tdeg(v) ( VSS ) v ' Av If v ss e;(AV , Un calcul local montre que (9.9.1) equivaut 1\r , I v)-l dx, t) a (9.9.2) (Ie quotient des facteurs locaux en additif en des deux membres de ~.9.l) ou (9.9.2) est AVV' et ces quotients cotncident dans Ie cas semi-simple). L'identite pour chaque v a prouver (9.9.2) est independante de A, et on conclut comme en 9.3. A. On la prouve mod A -581- § 10. LA THEORIE DE GROTHENDIECK 10.1. Soient X une courbe projective non singuliere sur Ie corps fini une clOture IF P de IF a p alg~brique IF P • L de IF p' X d~duit un nombre premier premier de X a P par extension des scalaires p et A un anneau G un faisceau (de Weil : 7.3, 7.4) constructible de Soit IF noeth~rien tue L. par une puissance de plats. Notons encore 10.2. Del-81 G Ie faisceau ~tale Les groupes de cohomologie etale A-modules X qui s'en deduit. sur Hi(X,G) sont des A-modules de type finis. N'etant pas projectifs, ils ne nous seront d'aucun usage. Nous devrons utiliser un objet plus fin que RI'(X, G) EOb D f(A) par qui leur donne naissance. Rappelons peut se definir comme la categorie des complexes finis de D par f(A) A-modules projectifs de type fini, les morphismes etant les morphismes de complexes pris a homotopie pres. RI'(X,G) de type fini, concentre en est un complexe fini de degr~s 0,1 et 2 A-modules projectifs si on veut, bien defini a homotopie pres, et dont les groupes de cohomologie sont les Hi(X,G). Par "transport de structure", la substitution de Frobenius agit sur a Pour K un complexe fini de A-modules projectifs et u et llr detO-ut,K) un endomorphisme det(l_ut,Ki)(-l)i i v sont des endomorphismes homotopes, on a de t ( l-u t , K) de sorte que detO-ut,K) est bien Prenant 1 'oppose du coefficient de de u K, on pose 00.3.0 Si c'est un endomorphisme du complexe homotopie pres, et induisant sur la cohomologie l'automorphisme de Frobenius. 10.3. de RI'(X,G) cp E GalCi' /IF ) P P RI'(X,G), bien d~termine det(l-ut,K), on d~finit la detO-vt,K) d~fini t ~ pour dans Ie K E Ob Dpar f(A) d~veloppement et u E End(K). en serie formelle -582Del-82 Tr(u, K) (1O.3.2~ 8i u est une auto-~quivalence (K',u') isomorphe dans cohomologie), on peut trouver u' un automorphisme du complexe et cette quantit~ ne d~pend inverse homotopique de On pose a10rs pas des choix arbitraires faits. 8i 8i D(K) un contragr~dient de Th~oreme K (complexe de composantes les D(K)i. Hom(K-i,I\», u, on a aussi 10.4. d~monstration du th~oreme suivant est donn~e en 10.8. (Grothendieck). On a 00.4.0 Z(G, t) -1 det(l-Ft, ar(x,G» Dans les applications, les hypotheses faites sur I1 y a lieu de prendre comme "coefficients" un un complexe £ini G* pour la topologie ~tale constructibles de ~l~ment de faisceaux (de Weil) de sur X soit homo tope a G soot trop restrictives. de Dpar/X,I\), i. e. A-modules sur X, qui 10ca1ement un complexe fini de faisceaux A-modules plats. Utilisant 10.3, on peut, pour d~finir det(l-F tdeg(x) r.*)-l x ' -it On pose est un det(l-ut, K) • det(-ut, K) det(l - ~t-l, D(K». Une esquisse de la X, -1 u, on a est Ie dual de (10.3.5) de u der(l-ut, K) • det(-ut, K) det(1_u-lt- 1 , K) (10.3.4) ~ K. (K,u), avec D par f(l\) det{u,K) (10.3.3) et d'homotopie (i.e. induit un automorphisme sur la x un point fer~ -583- t> = Z(G*, On d~finit encore logie de Zx (G*, x X a valeurs dans G*, et on a det(l-Ft, Rr(X, G*»-l Z(G*,t) Tout e Dparf (X,II) G* (11(1). placl en t> Rr(X,G*), de groupes de cohomologie les groupes d'hypercohomo- (10.4.2) 10.5. IT Del-83 a un "dual a valeur dans Ie complexe dualisant degr~-2)" E Dpar f(X,II) de i eme faisceau de cohomologie de 11(1). La dualit~ de Poincar~ Appliquant 10.3.5, on obtient S Soient de points • fer~s) et fonctionnelle et par X (compl~ment d'un ensemble fini f(U,II). On note Rj* Ie foncteur Ie foncteur d~riv~ d~riv~ du foncteur du foncteur image directe j . --~:> Le avec det(-Ft, Rr(G,t»-l Z(D(G), t- l ) G* ED 0" G* D(Rr(X,G*» l'~quation j : u~ X un ouvert de exact "prolongement par par = Z(G,t) (10.5.2) hyperext local de prend la forme Rr(X,D(G*» (10.5.0 10.6. (2+i)ieme de th~oreme dualit~ locale (prouv~ D f(X,II) par notamment en dimension un) donne (10.6.0 Pour de dual G un faisceau localement constant de "G, on a " D(G)· G(l) [2J et (10.5.2) II-modules projectifs sur prend la forme U, -584Del-84 (10.6.2) 0.7. Nous allons expliciter cette formule. Les fonctions Z des deux membres sont produits de facteurs locaux. Pour Ie membre de gauche, Ie facteur local en x point ferme de X est { det(l-F tdeg(x), G..) -1 x x Zx(j,G,t) 1 si xEs si xES Pour Ie membre de droite, c'est ={ Cette derniere formule se de W(K IK ), x x sous a det(l-F tdeg(x), x ~(l)-l x detCl_FxtdegCx), RrClx'~KCl»)-l si v lit ainsi : GK(l) une xES xEs repr~sentation laquelle on applique Ie foncteur d~riv~ du foncteur "invariants I" . On obtient ainsi un complexe de agit, et on effectue la construction 10.3. (a) d~finit si Ie foncteur "invariants sous "invariants sous p ' . Ker(t.t)" foncteur "invariants sous A-module projectif en I" est A-modules projectifs, sur lequel Frobenius Explicitons: compos~ I-modules du foncteur ~ IIp'-modules et du 7l il)" . Le premier foncteur est exact et transforme A-module projectif ; pour tout I-module V, on a RrCI, V) Pour tout une r~solution 7l t(l) de module W, on peut calculer W par des modules coinduits fonctions localement constantes de par f(x) ~ f(rx). Pour (J 7l .t(l) dans un g~n~rateur de Rr(71 .tCl), W) 3(71 .t(l),M) en prenant = module M, sur lequel des 7l t(l) agit 7l .t(l), on a une suite exacte -585Del-85 fleches m ~ (i t---? im) CL f ~ (i t---? Hai) - a(f(i))). Passant et aux invariants, on identifie &r(~ (10.7.0 l-a ------'l» W W a en Quant on change L(l), W) au complexe E ~1)' l'unique diagramme commutatif (v CL a ~O CLV "-?> CJ(~ L(O,W) ----'> 0 ""-a :;(~ L(O,W) fournit par passage aux invariants l-a W 00.7.2) 1 1 > l_aV > W ou, pour n entier convergeant dans (10.7.3) l-a V l-a On conclut que w . lim &r(~L(l),W) vers ~L W 1 l_aV l-a W v, n-l i !: aw 0 se repr~sente des complexes (10.7.1), ces complexes, pour comme n'importe lequel ~tant a variable , ~tant identifi~s par les isomorphismes (10.7.2). Quand on part d'un W(K/K)-module Y, Frobenius agit par "transport de structure" sur &reI, y) Quel que soit le FrobeniuG p' [ Y g~om~trique 1 - a > yP'J F et a engendrant ~ L(l), F d~finit -586Del-86 I-a Pl [V -------~:> qui, v~a (10.7.2), s'identifie a l'automorphisme du comp1exe de composantes est d~fini vPJ (F, o F) o~ comme en (10.7.3). On a done ded1-Ft, RI'(r,v» o~ F de 7l 1,(1) . d~signe pI 1 - C; • ded1-Ft, V ). detO- - - 1 - c;q un que1conque Frobenius La formu1e 10.6.2 se g~o~trique et _p' 0 Ft, 'V)- a un que1conque 1 g~n~rateur r~crit (10.7.4) 1T xEs ded1-F tdeg(x) x ' 1T xEs "IT xES 10.8. Par passage a • det (l-F t-deg(x) G_(l»-l x ' x det(l-F t-deg(x) x ' 1a limite projective, les aux faisceaux J,-adiques (ou raison (c f ax) r~su1tats pr~c~dents )..-adiques), et on obtient 1es ~nonc~s se g~n~ralisent de 9.1. La 10.5.2) de 1a formu1e simple (9.1.1) est Ie resu1tat local que, pour -587- G localement constant sur Del-87 u~X, on a Toutefois, la formule obtenue pour la "constante" (determinant de - Ft agissant sur la cohomologie) n'est pas tres explicite, et on nlen a pas de theorie locale. Remargue 10.9. Soient algebtiquement clos libres sur k X une courbe projective non singuliere sur un corps et V un faisceau localement constant de X . Pour simplifier, on suppose et Voici deux methodes pour attacher (a) Ecrivons Alors, Rr(X,V) a V un X coanexe de genre comme un complexe fini det(Rr(X,V» K de det =~ K n Pi i 1 et A local. puissance exterieure son dual. Soit ~ A-modules libres. maximale] ne depend, a isomorphisme canonique pres, que de (b) g A-module libre de rang 1 . i h(V) A-modules un diviseur canonique (~(K) ~ Rr(X,V). On note ai), et ~ det(Vp .) ~i . L'ensemble des diviseurs canoniques positifs forme NK(V) l. l. un espace projectif, et les NK(V) forment un systeme local necessairement trivial sur cet espace projectif. Les NK(V) pour K variable sont donc canoniquement isomorphes, et on pose Si (X, V) est defini sur extension des scalaires de Gal (k/k) agit sur (a valeurs dans h(V) k C (Xo,V ) o et k , i. e. est donne comme provenant par sur Spec(k), < Ol,v > par des caracteres Xk(V) Proposition 10.9.1. A (b) V = ~A ~ et A*). Ces constructions se generalisent au cas (a) Ie groupe de Galois Supposons verifiee llune des conditions suivantes V se trivialise sur un ~rang A-adique. 1 . rev~tement fini de X; Xo(V) -588Del-88 ~ W est Ie caractere donnant l'action de Galois sur n :iZ/n). " Un argument standard, uti1isant Cebotarev, nous ramene au cas ou un corps fini et ou k et est sa c1~ture a1g~brique. k est II s'agit de montrer que prennent 1a m@me valeur sur Ie Frobenius. Dans Ie cas (a), Ie groupe de Wei1 W(i( /K ) o 0 de X o agit continument, pour 1a topo1ogie discrete, sur (Vo)i( , de sorte qu'on peut app1iquer 9.3. o Comparons (9.3 ) a (10.7.4) (pour S a 0). Ce sont des fonctionne11es reliant 1es m@mes fonctions ~quations Z. Exprimant qu'e11es ont 1a m@me constante, on trouve (10.9.1) (i1 peut @tre plus commode de ne faire ce ca1cu1 que pour pour V V virtue1 de dimension 0, et de (b), on pro cede de m@me en uti1isant 10.12.1 ci-dessous. II serait tres int~ressant de isomorphisme canonique entre h(V)et (10.9.1) au cas Remarque 10.10. Le de th~oreme 10.4 r~su1ter D~monstration Dans [7J, 10.4 de < rl,v> (10.9.1) en d~finissant un «l-g)dim(V», et de g~n~raliser est sans doute encore va1ab1e pour caract~ristique p, i.e. tel que d~monstration A un pA· 0 . La formu1e de traces de 1a formu1e des traces en cohomo1ogie (Woodsho1e trace formula). La m~thode pr~ciser ramifi~. noeth~rien requise devrait 10.11. (10.9.1) directement = :iZ 1," Dans Ie cas anne au v~rifier n'a toutefois pas coh~rente ~t~ r~dig~e. de 10.4. n'est d~monstration, d~montr~ bas~e que pour des faisceaux 1,-adiques, car 1a sur 1a formu1e des traces de Lefschetz sur pour 1es puissances de l'endomorphisme de Frobenius, un entier arbitraire pour passer de Lefschetz a requ~rait X que l'on divise par (10.4.1) (passage par 1a d~riv~e logarithmique de Z). Pour obtenir 10.4 tel que1, i1 faut uti1iser SGA 4 XVII 5.5, 1a formu1e des traces de Lefschetz sur 1es Symn(X), et d~ve1opperen s~rie 1es deux membres -589- Del-89 de 10.4.1, Ie second se developpant comme det(l-Ft, Rr(X,G»-l Z Tr(F,Symn(Rr(X,G» t n n (Sym n est Ie foncteur derive du foncteur (non additif) puissance symetrique n ieme Par ailleurs, la methode de demonstration de [7J, par fibrations par courbes successives, ramene la formule des traces a demontrer au cas des courbes : Formule des Traces 10.11.1. U unouvert de Soient X une courbe projective et lisse sur X !! G un faisceau (de Weil) localement constant de Wq A-modules projectifs. On a Dans cette formule, les Frobenius sont relatifs On peut supposer que Wq W q ,et X = X I8i Wq Wq est Ie sous-corps des constantes du corps des fonctions X, sans quoi les deux membres sont K de a 0 La methode de demonstration exposee par Grothendieck dans Ie seminaire oral SGA 5 consiste a se ramener a la formule de Lefschetz sur Ie nombre de points fixes d 'endomorphismes de courbes completes (deja prouve dans [17]), en etudiant X comme representations du groupe du rev@tement. la cohomologie de rev@tements de Soit de K une clOture algebrique de X. Le faisceau projectif K, con tenant Ie corps des fonctions G definit une representation. de ~. L'intersection de J W(K/K) sur Ie A-module Galo(K/K) et du noyau de cette represen- u U tation definit un rev@tement etale connexe f G devient trivial. Posons H est une extension de groupe Ho Soit du rev@tement j' H - W(K/K)/J u'/u, 1 'inclusion de U' et ~ f ~ de U sur lequel est une representation de ~ par Ie H. dans une courbe projective non singuliere X'. La cohomologie L-adique a support propre de U' est une representation de Des arguments standards permettent de faire mieux, et de definir H ). -590Del-gO RI' c (u' ' ~ J, ) = RI'(X' , J" ~ ! l'action ~vidente). E ) D f(~'[H J), sur 1eque1 par" a son action sur semi-1in~aire re1ativement ~tant J, 0 H agit (de et l'action de ~ J,[HoJ fa~on H C H o On a canoniquement H o OO.1l.2) isomorphisme compatible a 1 'action de Frobenius sur 1es deux membres. Ecrivons RI'(X', connne un comp1exe fini de j!~ t) projectifs, sur lequel Frobenius agit. »c extension de Lennne 10.11.3. M ~ A ~ ~ par ~ Soient H+ H+ ~ J,-a1gebre et et H (h) o H un produit semi-direct de » par un groupe fini J,[H+ J-modu1e, projectif de rang fini en tant que V un i1 existe une fonction h E H Ie sous-monoide de H ' On leur applique Ie 1ennne suivant. o A[H+J-modu1e, projectif de rang fini connne M et V H, a va1eurs dans ~ 1es caracteres de (i) o Les cornposantes de ce cornplexe ~ J,[H+J-modu1es, pour apparaissent connne des ~ J,[H J-modules ~ ~ = centra1isateur ~(h) = dfn de h dans J, , te11e que, pour on ait Tr(h,M) ~(h) x.v(h) h -? F, mod Ho-conjugaison App1iquant Lefschetz, on ca1cu1e diff~rence de RI'(X',~ J,) x* pour RI'(X',ji ~ J,) (virtue11ement 1a et d'une quantit~ ~l~mentaire) et 10.11.2, 10.11.3 fournissent 1a formu1e vou1ue. -591- Del-91 10.12. Le cas abelien, et une application farfelue. Soit X : W(K/K) ----? un quasi-caractere 1\* non ramifie en dehors d'un ensemble fini de U =X dans - S et prolonge par 0 X, et valeurs dans de places de 1\* Soit K Ie faisceau de rang un sur j, [X] U 1 'inclusion defini par X Posons Tr 11 vES ro•• t \IoU S a est comme en 7.6; eo e (y .W t ,1\1 ,dx ). e (XUl t ,\jJ ,dx ) o .." V V ve:S v v est defini en 6.4 e , pour un caractere non ramifie, est defini par 3.4.3.3. Proposition 10.12.1. On a Cette proposition precise 10.7.4. Soit H Ie quotient de universe 1 00 1\ = ~ ILn[H]. W(K/K) par Ker(x). II suffix de traiter Ie cas Ce cas se releve en caracteristique 0, et 10.12.1 s'obtient par reduction. 10.13. Prenons par exemp1e pour 1\ 1es nombres duaux sur ~ ILn : (e 2 = 0), pour a un homomorphisme continu du groupe des classes n d'ideles IA*Ij(fr dans Ie groupe additif ~ IL , et po sons 1\ z ~ ILn[e] X .. La ramification de 1 + a.E: a est automatiquement moderee. Soit S un ensemble fini de places en dehors desque11es a est non ramifie. Appliquant 10.4 pour X et pour Ie caractere trivial, et faisant Ie rapport, on trouve (10.13.1) 1a serie formelle -592Del-92 L vE S est dans a (TT ) v v tdeg(v) L: deg(v) In 1_tdeg( v) a v (TTv ) 7Z / J,n( t). Pour toute place Adjoignons a v de K, choisissons une uniformisante une racine primitive 7Z /J,n caractere additif non trivial de A/K, a pieme de l'unite, et soit valeur dans 1es racines l'unite. Prenons Ie quotient de (10.7.4) pour TT v X et de (10.7.4) p ~ iemes un de pour Ie caractere trivial, et uti1isons (10.12.1). Apres simplifications, on obtient l'identite suivante. Dans Ie premier membre, 1es deux premieres sommes (infinies) sont sommees par (10.13.1). Les sommes portent toutes sur toutes 1es places de (10.13.2) Lav (TT)v L nv a(TT) v On verifie de -deg(v) tdeg(v) q t + ...... y _ _~....,......,.. 1_tdeg (v) -L L fa~on x E k* v a(x)~o). nu1s si J,,, 2. Lav (-1) 1 1-q t-deg(v) v av (x) e1ementaire que 1a va1idite de (10.13.2) ne depend TT (se rappe1er que, pour x E k~, on a v Dans Ie premier membre, 1es a (-1) sont d'ordre 2, donc pad du choix des uniformisantes (q-1) ~ v K -593- 11. Appendice. Le calcul de Del-93 e modulo les racines de l'unit~. Cet appendice est une variation sur un theme de Lakkis et Dwork. Mon attention a ~t~ attir~e Nous noterons sur leurs a _ b r~sultats par J.P. Serre. la relation suivante entre nombres complexes in- versibles: a _ b : alb est produit d'une racine de Soit K un corps local non l'unit~ archim~dien 2.2.1, 2.2.2 et 3.1. La mesure de Haar dx sera avec n entier. Soient , et Gal (K/K) V une par une puissance de repr~sentation q 1/2 et reprenons les notations de suppos~e telle que f = qn/2 dx & complexe (d'un quotient fini) de les invariants sous l'inertie sauvage. C'est une sous-repr~sen- V tation de TMoreme 11. 1 Modulo Lenune 11.2 R~sulte l'~guivalence ~, dx) est ind~pendant de $ et dx aussit6t de 5.3 et 5.4. Ce lenune nous permettra Si Ie caractere de Lenune 11. 3 _, e(v, On peut supposer que d'abr~ger V est J~ dx r~el, 1 e(v, $, dx) i.e. si et que en e(v) V est isomorphe a n(~) v* o . On applique alors ,W une 5.7.1,5.4 et 5.5. Soient de Gal (K/L) Soit L et une extension finie de Ind(W) W' la K dans la repr~sentation induite de repr~sentation K repr~sentation Gal(K/K) triviale de m@me dimension que W . Pour -594Del-94 W = ~ L Tr / L K 0 ,on a (5.6.1) a et on conc1ut en app1iquant 11.3 Soient 11. 5. L et a et Ind(W') W comme ci-dessus, comme une et regardons W' P L repr~sentation Ie groupe d'inertie sauvage de de H = P.Ga1(K/L). trivia1e sur P. Dna D'apres 11.4, Ie th~oreme pour W Brauer, ceci nous ramene au cas ou d'ordre fini Si X de K* . Si Pour de valuation m Ie conducteur de -m-n(w) X(l+a) w(a y) X en d'ordre une puissance de (a) pour d~fini = [X] Ind(W) ; par par un caractere , et 11.1 est trivial. e:(x, W, dx) X , n = [m+1] ~ 1 et 2 (n-n-n(w» y l'eIement de ,tel que K lf , (cf 4.16) v(a) "' n X = Xl 'X:1 ,avec Xl d 'ordre premier a p et 'X:1 . Comme en 4.16, on prouve que e:( X, t, dx) 01. 6. I) m est pair m impair p [xi pour et 11.1 resu1te du lemme suivant. ,bien defini modulo Decomposons Si [X! = 0 X sauvagement ramifie, Soient th~oreme Vest de dimension un, X est modere, X est sauvagement ramifie, Lemme 11. 6 donc au ~quivaut (m=2n) (m=2n-1) X-I (x) W(x) ,1a fonction integree est constante et 11.6 clair. Pour ,voici deux fa~ons de proc~der. est un caractere quadratique non degen~re sur -595- n n y(l+(nf- »/(l+(TI » (b) Del-95 ; d'apres Weil, la somme de ses valeurs est D'apres (11.6.1), il suffit de prouver que de ce nombre, de racines multipli~ pN-iemes de *, e(~, par une puissance convenable de _ 1 dx) _ 1 q . Le ,appartient carr~ a un corps l'unit~, et est de valuation 1 en toutes les places de ce corps, sauf peut-@tre en l'unique place divisant p . C'est done une racine de 1 'unit~. Corollaire 11.7 *, e(v, Alots, Prenons dx) D~composant * et dx est un entier V en tels que n( *) -1 P dx J(TI) et que 1 alg~brique. , on voit qu'il suffit de traiter les deux cas suivants. (a) V est induites de mod~r~ment ramifi~e. repr~sentations Dans ce cas, Vest une somme de de dimension un de sous-groupes, et e repr~sentations est. au signe pres, un produit de sommes de Gauss (cf 5.10). Dans ce cas, complexe dx'/dx =q lei ). e _ 1 et il suffit de prouver que la valeur absolue est une puissance positive de q . Ceci r~sulte de 5.7.2 (ou - 5 96- Del-96 BIBLIOGRAPHIE. [1 J E. ARTIN - Zur Theorie der L - Reihen mi t allgemeinen Gruppencharakteren Hamb.Abh. ~ (1930) p. 292-306 (Collected Papers p. 165-179). [2J E. ARTIN and J. TATE [3J P. DELIGNE - Class field theory - Benjamin, N.Y. Les constantes des Delange-Pisot-Poitou [4J ~quations fonctionnelles - S~minaire 1969/70, 19 bis P. DELIGNE - Formes modu1aires et repr~sentations de GL(2) ce volume [5J H. DAVENPORT and H. HASSE - Die Nullste11en der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen F~1len. ~ reine und angewandte Math !1l (1935) p. 151-182. [6J B. DWORK - On the Artin root number - Amer. J. Math [7J A. GROTHENDIECK - Formu1e de Lefschetz et S~minaire [8J Bourbaki 279 (d~cembre ~ rationalit~ (1956) p444-472. des fonctions L 1964). H. JACQUET and R.P. LANGLANDS - Automorphic forms o.n GL(2). Lectures Notes in Math. 114, Springer-Verlag 1970. [9J R.P. LANGLANDS - On the functional equation of the Artin L-functions. Notes polycopi~es -Yale University (incomplet). [lOJ J. P. SERRE - Corps locaux - Hermann - Paris 1962 [llJ J.P. SERRE Repr~sentations lin~aires des groupes finis - (2ieme ed. re- fondue) - Hermann - Paris 1971. [12J J.P. SERRE - Abelian t-adic representations and elliptic curves - N.Y.1968. (13J J.P. SERRE and J. TATE - Good reduction of abelian varieties - Ann. of Math. 88 3 (1968) p. 492-517. -597Del-97 [14J J. TATE - Fourier analysis in number fields and Heeke's zeta functions (thesis) in Algebraic Number Theory - edited by Cassels and Frohlich - Academic Press, 1967. [15J A. WElL Basic Number Theory - Springer Verlag 1967. [16J A. WElL Dirichlet series and automorphic forms - Lecture Notes in Math. 189 - Springer Verlag 1971. [17J A. WElL - [18J A. WElL Vari~t~s ab~liennes et courbes alg~briques - Hermann - Paris 1948. Number of solutions of equations in finite fields - Bull. Amer. Math. Soc. [19J A. WElL (1949) p.497-508. Sur la th~orie du corps de classes. J of the Math. Soc. of Japan - SGA ~ S~minaire de 1 (1951) g~o~trie alg~brique du Bois-Marie. SGA 4 est dans les Lecture Notes (269,270,305). diffus~ 20] SGA 5 publi~ est par l'IHES. P. X. GALLAGHER - Determinants of representations of finite groups. Abh. math. Seminar Univ. Hamburg ~ 3/4 (1965), p. 162-167. Le prob1eme mentionne dans l'introduction (p. 4) de prouver 1a conclusion de 9.9 pour une representation A-adique a ete reso1u: G. LAUMON - Les constantes des equations fonctionne11es des fonctions sur un corps global de caracteristique positive. L C.R. Acad. Sci. Paris 298 8 (1984), p. 181-184. Un bel expose du theoreme d'existence des constantes locales est donne dans J. TATE - Local constants - in: Algebraic Number Fields, edited by A. Frohlich, Acad. Press, 1977, (p. 89-137).