Chapitre 1 : AMPLITUDE DE PROBABILITE

PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse Chapitre 1 : AMPLITUDE DE PROBABILITE 1. Fonction d’onde associée à une particule : La description complete de l’état d’une particule de masse m dans l’espace à l’instant t se fait au moyen d’une fonction complexe Ψ(𝑟,t) ( « psi »). Cette fonction d’onde est nommée amplitude de probabilité. La probabilité de trouver la particule dans un volume dV de l’espace est : !
𝑑𝑝 = Ψ(𝑟, t) . 𝑑𝑉 2. Densité linéique de probabilité. Pour un problème unidimensionnel ( ne dépendant que de x ) l’amplitude de probabilité est : Ψ(x,t) La probabilité de trouver la particule dans une région dx de l’espace est : !
𝑑𝑝 = Ψ(𝑥, t) . 𝑑𝑥 La densité linéique de probabilité est donc : !
𝑑𝑝
= Ψ(𝑥, t) 𝑑𝑥
La probabilité de trouver la particule entre x = -­‐∞ et x = +∞ est de 1, ainsi : !!
!
Ψ(𝑥, t) . 𝑑𝑥 = 1 !!
Cette condition est appelée condition de normalisation. 3. Principe de superposition. Toute combinaison linéaire de fonctions d’onde est également une fonction d’onde possible. Expérience des trous d’Young avec des photons, puis des électrons (Tonomura 1989) . http://rdg.ext.hitachi.co.jp/rd/moviee/doubleslite.wmv http://www.youtube.com/watch?v=ZJ-­‐0PBRuthc PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse Experience avec des molecules de phtalocyanine. http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=vCiOMQIRU7I On considère une expérience d’interférences de fentes d’Young (avec source lumineuse ou de particules matérielles) en s’appuyant sur l’interprétation probabiliste, c’est à dire exploitant la fonction d’onde. Les trous sont toujours considérés identiques et « éclairés » exactement de la même façon. On note : • Ψ1 la fonction d’onde associée à un quanton avec le trou supérieur ouvert seul ; • Ψ2 la fonction d’onde associée à un quanton avec le trou inférieur ouvert seul ; • Ψ la fonction d’onde associée à un quanton avec les deux trous ouverts. Si seul le trou supérieur est ouvert, alors la probabilité qu’un quanton parvienne sur un élément de surface dS infinitésimal placé en M sur l’écran à l’instant t est : dP1(M, t) = |Ψ1(M, t)|2 dS Si seul le trou inférieur est ouvert, alors la probabilité qu’un quanton parvienne sur un élément de surface dS infinitésimal placé en M sur l’écran à l’instant t est : dP2(M, t) = |Ψ2(M, t)|2 dS À présent, on ouvre les deux trous et la probabilité devient : dP(M, t) = |Ψ(M, t)|2 dS Par analogie avec la superposition des amplitudes d’ondes cohérentes en optique et les deux trous jouant des rôles symétriques, on peut donc proposer la fonction d’onde totale : 𝛹 𝑀, 𝑡 = 𝛹! 𝑀, 𝑡 + 𝛹! 𝑀, 𝑡 Alors, la probabilité de détection sur l’écran devient !
𝑑𝑝 = 𝛹! 𝑀, 𝑡 + 𝛹! 𝑀, 𝑡 . 𝑑𝑆 𝑑𝑝 = 𝛹! 𝑀, 𝑡
!
. 𝑑𝑆+ 𝛹! 𝑀, 𝑡
En posant : !
. 𝑑𝑆 + 𝛹! 𝑀, 𝑡 𝛹 ∗ ! 𝑀, 𝑡 . 𝑑𝑆 + 𝛹 ∗! 𝑀, 𝑡 . 𝛹! 𝑀, 𝑡 . 𝑑𝑆 Ψ1(M, t) = |Ψ1(M, t)| ej φ1(M) Ψ2(M, t) = |Ψ2(M, t)| ej φ2(M) Et ∆φ(M) = φ2(M) − φ1(M) le déphasage en M entre les ondes de probabilité, on obtient : 𝑑𝑝 = 𝛹! 𝑀, 𝑡
!
. 𝑑𝑆+ 𝛹! 𝑀, 𝑡
!
. 𝑑𝑆 + 2
𝛹! 𝑀, 𝑡
!
!
𝛹! 𝑀, 𝑡
!
. cos 𝛥𝜑 . 𝑑𝑆 soit : 𝑑𝑝 = 𝑑𝑝! + 𝑑𝑝! + 2 𝑑𝑝! 𝑑𝑝! . cos 𝛥𝜑 Une telle loi correspond bien aux observations : les détections se répartissent suivant une loi de probabilité dont le profil est celui de la figure d’interférences à deux ondes de Young. PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse Chapitre 2 : EQUATION DE SCHRÖDINGER POUR UNE PARTICULE LIBRE 1. Equation de Schrodinger : L’équation de Schrödinger est l’équation régissant les variations de la fonction d’onde Ψ(𝑟, t). C’est un postulat. 𝜕Ψ(𝑟, t)
ℏ!
𝑖ℏ
=−
𝛥Ψ 𝑟, t + V r, 𝑡 . Ψ 𝑟, t 𝜕𝑡
2𝑚
Cette équation est linéaire, en accord avec le principe de superposition. Cette équation ne doit pas être mémorisée. On ne considère dans la suite du cours que des fonctions d’onde a une dimension : Ψ 𝑟, t = Ψ(x, t) L’équation de Schrödinger s’écrit alors : 𝜕Ψ(𝑥, t)
ℏ! 𝜕 ! Ψ 𝑥, t
𝑖ℏ
=−
+ V x, 𝑡 . Ψ 𝑥, t 𝜕𝑡
2𝑚 𝜕𝑥 !
2. Particule libre : Définition : une particule libre est une particule qui n’est soumise à aucune interaction ; on peut considérer que : V(x,t) = 0. Dans la suite de ce chapitre on ne considère que des particules libres. L’équation de Schrödinger s’écrit alors : 𝜕Ψ(𝑥, t)
ℏ! 𝜕 ! Ψ 𝑥, t
𝑖ℏ
=−
𝜕𝑡
2𝑚 𝜕𝑥 !
3. Cas des états stationnaires ; ondes de de Broglie : Définition : on appelle états stationnaires des états pour lesquels la fonction d’onde peut s’écrire : Ψ 𝑥, t = 𝜑 𝑥 . 𝑓(𝑡) φ(x) et f(t) étant à priori des fonctions à valeurs complexes. On montre alors que : 𝑓 𝑡 = 𝑒 !!"# L’énergie de cet état stationnaire est : E = ℏ. 𝜔 Pour un état stationnaire cette énergie est fixée. La densité de probabilité est alors : !
Ψ 𝑥, t = 𝜑 𝑥 . 𝑓(𝑡) ! = 𝜑 𝑥 ! PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse La densité de probabilité d’un état stationnaire est indépendante du temps. L’équation vérifiée par la partie spatiale de la fonction d’onde est : ℏ!
−
𝛥φ x = 𝐸. 𝜑(𝑥) 2𝑚
dont la solution est : φ x = 𝐴. 𝑒 !!"# + 𝐵. 𝑒 !"# avec : 𝑘 = 2𝑚𝐸
=
ℏ!
2𝑚𝜔
ℏ
La fonction d’onde d’un état stationnaire d’une particule libre s’écrit donc : Ψ 𝑥, t = 𝐴. 𝑒 !!(!"!!") + 𝐵. 𝑒 !!(!"!!") = 𝐴. 𝑒 !!(!"!!")/ℏ + 𝐵. 𝑒 !!(!"!!")/ℏ On remarque que cette fonction d’onde est analogue à une onde plane électromagnétique. Relation de dispersion : ℏ𝑘 !
𝜔 = 2𝑚
Vitesse de phase : 𝜔 ℏ𝑘
𝑣! = =
𝑘 2𝑚
La propagation d’une particule libre est dispersive. 4. Paquet d’ondes ; relation d’incertitude. L’onde monochromatique représente mal les particules quantiques, car la condition de normalisation diverge. On doit considérer un paquet d’ondes constitué d’ondes élémentaires de la forme : Ψ 𝑥, t = 𝐴! . 𝑒 !!(!! !!!! !) En général on considère un paquet d’ondes formé d’un ensemble continu de vecteurs d’ondes et de pulsations associées, voisins d’un vecteur d’onde central k0 d’une pulsation centrale ω0 correspondant à k0, et comprises dans un intervalle [k1, k2]. Dans un intervalle dk autour d’une valeur k, l’amplitude est g(k).dk, et le paquet d’onde peut s’écrire : !!
Ψ 𝑥, t =
𝑔 𝑘 . 𝑒 !!(!"!!(!)!) 𝑑𝑘 !!
La vitesse de groupe est : 𝑣! =
𝑑𝜔 ℏ𝑘 𝑝
=
= = 𝑣 𝑑𝑘
𝑚 𝑚
La vitesse de groupe du paquet d’onde s’identifie à la vitesse de la particule. Largeur spatiale du paquet d’onde en nombre d’onde ( CT ) : g(k) Considérons un paquet dont la fonction g(k) a l’allure ci-­‐contre : La largeur du paquet d’ondes est ∆k (c’est par exemple la largeur à mi-­‐hauteur). ∆k k0 k PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse Supposons le paquet constitué de la somme discrète de trois ondes planes de vecteurs k0, k0-­‐∆k/2 et k0+∆k/2 d’amplitudes respectives A, A/2 et A/2. Remarque : A est proportionnelle à g(k0). A l’instant t=0, on a : ∆!
∆!
1
1
Ψ 𝑥, 0 = 𝐴. 𝑒 ! !! ! + 𝑒 !(!! ! ! )!) + 𝑒 !(!! ! ! )!) 2
2
∆k
Ψ 𝑥, 0 = 𝐴. 𝑒 ! !! ! 1 + cos ( x) 2
On constate que Ψ 𝑥, 0 est maximale pour x = 0 ; les trois ondes interfèrent alors constructivement. ∆!
∆!
L’interférence est destructive pour ! x = π ou ! x = −π ; la largeur du paquet d’ondes est donc : 4π
∆x = ∆k
⟺ ∆k. ∆x = 4π On constate que l’extension spatiale du paquet d’ondes est d’autant plus grande que son extension en k est petite, conformément à l’inégalité de Heisenberg : ∆k. ∆x ≧ 1/2 Remarque : la forme du paquet d’ondes donné est périodique en x, et présente donc une série de maximas et de mimimas. Ceci provient du fait que Ψ(x,0) est la superposition d’un nombre fini d’ondes ; pour une superposition continue, ceci ne se produit pas et Ψ(x,0) ne peut avoir qu’un seul maximum. PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse 5. Courant de probabilité associé à un état stationnaire : Le courant de probabilité associé à un état stationnaire d’énergie E est défini par : ! ℏ𝑘
𝐽 = Ψ 𝑥, t
𝑚
ℏ!
On a vu que ! représente la vitesse de la particule ; ainsi 𝐽 représente un débit surfacique de probabilité de présence : le flux de 𝐽 à travers une surface S est le débit de probabilité de présence. Le vecteur 𝐽 est l’analogue quantique du vecteur de Poynting en électromagnétisme. PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse Chapitre 3 : EQUATION DE SCHRÖDINGER DANS UN POTENTIEL UNIFORME PAR MORCEAUX Les modèles de potentiels rectangulaires (appelés « puits ») permettent de modéliser simplement beaucoup de situations. Exemple : les forces qui lient les neutrons et les protons dans le noyau sont des forces très intenses mais à très courte portée, qu’on peut modéliser par un potentiel de la forme : V(x) V0 0 a x a ≈ 10-­‐15 m est la taille du noyau. 1. Puits rectangulaire de profondeur infinie : Ce potentiel est une modélisation simple du précédent dans la situation où l’énergie E de la particule quantique est telle que : E < < V0, V0 étant la profondeur du puits. On considère donc que V0⇾∞. 1.1. Recherche des états stationnaires : On cherche des états stationnaires, de fonction d’onde : Ψ(x,t) = φ(x).exp(-­‐iEt/ℏ) La fonction d’onde spatiale φ(x) obéit à l’équation stationnaire: ℏ!
−
𝛥φ x = (𝐸 − 𝑉). 𝜑(𝑥) 2𝑚
Pour x > a ou x< 0, l’équation de Schrödinger stationnaire impose : Ψ = 0. Pour 0< x < a, l’équation de Schrödinger stationnaire a pour solutions : φ x = 𝐴. e!"# + 𝐵. e!!"# avec : 2𝑚𝐸
𝑘 = 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸 > 0 ℏ
NB : on peut montrer que le cas E < 0 ne donne pas de solutions. PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse 1.2. Conditions aux limites : φ 0 = φ a = 0 On en déduit : φ x = 2𝑖𝐴. sin (𝑘! 𝑥) avec : 𝑘! = 𝑛𝜋
𝑎
1.3. Energie de confinement quantique. 𝑛 ! 𝜋 ! ℏ!
𝐸! =
2𝑚𝑎!
E E4 E3 E2 E1 On constate que l’énergie de la particule est quantifiée. http://www.quantum-­‐physics.polytechnique.fr : 2.2.4. On peut faire une analogie avec la corde vibrante fixée en x=0 et x=L, dont les modes propres correspondent à : 𝑛𝜋
𝑘! = 𝑎
Néanmoins l’énergie de la corde n’était pas quantifiée ! En effet dans le cas des énergies élevées, on a : 𝐸!!! − 𝐸! 2𝑛 + 1
=
⟶ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ⟶ ∞ 𝐸!
𝑛!
1.4. Energie minimale : interprétation par l’inégalité de Heisenberg : Dans le puits ; 𝑝! = 0 d’où : (∆px)2 = <px2> L’énergie ayant une valeur constante, on a : 𝑝!!
Δ𝑝! !
ℏ!
𝐸= 𝐸 =
=
≥
2𝑚
2𝑚
2m(Δ𝑥)!
d’après l’inégalité de Heisenberg. On a de plus : ∆x < a d’où : ℏ!
𝐸≥
2𝑚𝑎!
PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse 2. Puits de profondeur finie. Pour symétriser le problème, on considère cette fois un puits compris entre –a et a, qui définit trois régions de l’espace. V(x) V0 1 2 0 3 a x 2.1.
Etats liés, états de diffusion : Définition : on appelle états de diffusion les états pour lesquels E ≥ V0 ,et états liés les états pour lesquels : 0 ≤ E < V0. On ne s’intéresse ici qu’aux états liés. On peut montrer qu’il n’existe pas de solution pour E < 0. 2.2. Comportement classique : On doit avoir : Ec > 0, soit E > V : une particule classique d’énergie 0< E< V0 ne peut exister que dans le domaine ⏐x⏐< a. 2.2. Solutions stationnaires de l’équation : Pour ⏐x⏐< a (région 2) , la forme générale des solutions est identique au cas précédent : φ! x = 𝐴! . e!!! ! + 𝐵! . e!!!! ! avec : 2𝑚𝐸
𝑘! = 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸 > 0 ℏ
Pour ⏐x⏐> a , la fonction d’onde spatiale φ(x) obéit à l’équation stationnaire : ℏ!
−
𝛥φ x = (𝐸 − 𝑉! ). 𝜑(𝑥) 2𝑚
qui a pour solution dans la région 1 : φ! x = 𝐴! . e!! ! + 𝐵! . e!!! ! et dans la région 3 : φ! x = 𝐴! . e!! ! + 𝐵! . e!!! ! avec : 2𝑚 𝑉! − 𝐸
𝑘! = 𝑟é𝑒𝑙 ℏ
PC/PC* 14/15 2.3.
Lycée SCHWEITZER Mulhouse Conditions aux limites : Pour que Ψ(x,t) soit normalisable, φ! x doit rester finie lorsque x tend vers -­‐∞, ce qui impose : B1 = 0 De même , φ! x doit rester finie lorsque x tend vers +∞, ce qui impose : A3 = 0 De plus, la fonction d’onde doit être continue en x = -­‐a et x = a, ainsi que sa dérivée spatiale (admis) . Ces conditions aux limites donnent 4 équations. Pour que A1, A2, B2 et B3 ne soient pas nulles, on doit vérifier les conditions suivantes : k1a = k2.a tan(k2a) (1) Ou : k1 a = -­‐k2.a.cotan(k2a) (2) avec 2𝑚𝑉!
𝑘!! + 𝑘!! = ! ℏ
2.4. Résolution graphique : modes pairs et impairs : a) Modes pairs (en rouge ) : correspondent à des solutions telles que : Ψ(x) = Ψ(-­‐x) (le calcul montre que A1 = B3 et A2 = B2 ) On obtient des valeurs de l’énergie quantifiées, d’autant plus nombreuses que V0 est élevé. On remarque qu’il existe toujours au moins une valeur non nulle de l’énergie . b) Modes impairs (en noir ) : correspondent à des solutions telles que : Ψ(x) = -­‐Ψ(-­‐x) (le calcul montre que A1 = -­‐B3 et A2 = -­‐B2 ) Les solutions pour une valeur de V0 donnée sont successivement paires et impaires. PC/PC* 14/15 Lycée SCHWEITZER Mulhouse 2.4.
Elargissement par les ondes évanescentes : Les ondes dans les régions 1 et 3 sont dites évanescentes. Contrairement au cas classique, la particule quantique peut exister dans les domaines 1 et 3. La profondeur de pénétration est : 𝟏
ℏ
𝜹=
= 𝒌𝟏
𝟐𝒎 𝑽𝟎 − 𝑬
Cette profondeur de pénétration est d’autant plus grande : • Que E est proche de V0 ; • Que la particule a une masse faible. 2.5. Comparaison puits infini/puits fini : Le puits infini correspond à k1 infini, soit tan(k2a) infinie, soit : k2a = π/2 [π] On constate sur le graphique précédent que les valeurs de k2 sont donc plus élevées dans le cas du puits infini, donc que : Les valeurs de l’énergie pour le puits de profondeur finie sont inférieures à celles du puits infini. On peut interpréter ce résultat en remarquant que la particule dans le puits voit une largeur effective 2a + 2δ Le puits étant plus large, les valeurs de l’énergie sont abaissées, en vertu de l’inégalité de Heisenberg.