59 Exemple 89. La fonction f : x → x 2 est deux fois dérivable sur R

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Exemple 89. La fonction f : x �→ x2 est deux fois dérivable sur R, et a pour dérivée et dérivée
seconde sur R :
et
f �� (x) = 2
f � (x) = 2x
Puisque sa dérivée seconde est positive sur R, la fonction f est convexe sur R.
En un point x0 où la dérivée seconde f �� d’une fonction f change de signe, le graphe de cette
fonction traverse sa tangente. Par exemple si f �� est positive avant x0 alors f est convexe avant x0
et donc son graphe est au-dessus de ses tangentes, et si f �� est négative après x0 alors f est concave
après x0 et son graphe est au-dessous de ses tangentes : dans ce cas, le graphe de f est au-dessus de sa
tangente au point (x0 , f (x0 )) avant x0 et au-dessous après, donc il "traverse" sa tangente en ce point.
On donne un nom particulier à ce type de points :
Définition 51. Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, un point x0 de I est
appelé point d’inflexion de f si sa dérivée seconde f �� change de signe au point x0 .
Exemple 90. Si on considère la fonction sinus sin : x �→ sin(x) alors elle est deux fois dérivable sur
[0, 2π] et sa dérivée seconde est sin�� (x) = − sin(x) qui change de signe en π : sur [0, π] la dérivée
seconde − sin est négative et donc sin est concave, et sur [π, 2π] cette dérivée seconde est positive et
donc sin est convexe. Au point x0 = π, la tangente de sin est y = (−1) ∗ (x − π) + 0 et le graphe de
sin passe donc de au-dessous de sa tangente à au-dessus :
y
y = sin(x)
x
y =π−x
4.6.5
Tracé du graphe d’une fonction
En vue de tracer le graphe d’une fonction numérique f , on procède selon les étapes suivantes :
— on détermine le domaine de définition de f ;
— on calcule les limites de f aux bords de son domaine de définition ;
— on étudie les asymptotes éventuelles de f en −∞ et +∞ ;
— on calcule la dérivée f � et on donne le tableau de variations de f , en faisant apparaitre les
extrema (locaux et/ou globaux) ;
— on calcule la dérivée seconde f �� , on étudie son signe pour déterminer les intervalles sur lesquels
f est convexe ou concave, et on trouve les points d’inflexion.
— enfin pour tracer le graphe de f on reporte les asymptotes, les directions asymptotiques, les tangentes horizontales aux points où f atteint un extremum et les tangentes aux points d’inflexion :
on a alors suffisamment d’indications pour tracer l’allure du graphe.
60
2
On traitera de manière étendue en cours le cas de la fonction Gaussienne f : x �→ e −x , pour
obtenir le graphe suivant :
y
y = e−x
x
2
61
5
5.1
Intégrale et primitive
Intégrale d’une fonction continue
Soit a et b deux nombres réels tels que a < b, et soit f une fonction continue sur le segment [a, b],
le graphe de f , l’axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b délimitent une région du plan
(qui peut être en plusieurs morceaux si f s’annule), représentée en gris dans l’exemple ci-dessous :
y
y = f (x)
a
b
x
On peut associer à cette région du plan comprise entre le graphe de f et l’axe des abscisses son
aire signée : on dit signée parcequ’on compte en positif l’aire de la zone qui se trouve au-dessus de
l’axe des abscisses, et en négatif la partie qui se trouve au-dessous.
Exemple 91. On considère par exemple le cas a = −1, b = 2 et f (x) = x. L’aire signée de la partie
du plan comprise entre le graphe de f (x) = x et l’axe des abscisses sur [−1, 2] vaut alors 32 :
y
y=x
l’aire du petit triangle sous l’axe des abscisses est
égale à 12 , elle est comptée pour − 12 , et l’aire du
grand triangle au-dessus de l’axe des abscisses est
égale à 2, elle est comptée pour +2. L’aire signée
vaut donc − 12 + 2 = 32 .
x
Comme on va le voir, cette aire signée a une grande importance en mathématiques, c’est pour
cette raison qu’on introduit la notion suivante :
Définition 52. Soit a et b deux nombres réels tels que a < b et soit f une fonction continue sur le
segment [a, b], on appelle intégrale de f sur le segment [a, b] l’aire signée de la partie du plan qui
se trouve entre le graphe de la fonction f sur [a, b] et l’axe des abscisses. On note ce nombre
Remarque 40. Par convention on pose
le nombre −
� b
a
f (t)dt.
� a
a
f (t)dt = 0, et si a < b alors la notation
� a
b
� b
a
f (t)dt.
f (t)dt désigne
62
On déduit les propriétés suivantes de la définition l’intégrale en terme d’aire signée :
5.1.
Propriété – Intégrale 1.
Soit a < b et soit f une fonction continue sur le segment [a, b], alors :
— Relation de Chasles : pour tout c ∈ [a, b] on a
� b
a
f (t)dt =
� c
a
f (t)dt +
� b
f (t)dt
c
— Intégrale d’une constante : si α est un nombre réel fixé et f (x) = α
pour tout x ∈ [a, b] alors
� b
a
f (t)dt =
� b
a
α dt = α(b − a)
— Si g est continue sur [a, b] et f (x) ≤ g(x) pour tout x dans [a, b] alors
� b
a
f (t)dt ≤
� b
g(t)dt
a
En particulier, si m et M sont deux constantes telles que m ≤ f (x) ≤ M
pour tout x ∈ [a, b] alors
m≤
�
1
b−a
� b
a
f (t)dt ≤ M
b
1
f (t)dt est appelé valeur moyenne de f sur [a, b].
b−a a
— Lien avec la parité : on suppose a ≥ 0, si f est une fonction paire sur
[−a, a] alors
�
�
Le nombre
a
−a
f (t)dt = 2
et si f est impaire sur [−a, a] alors
� a
a
0
−a
f (t)dt
f (t)dt = 0.
Exemple 92. Si on reprend l’exemple 91, comme f (x) = x alors on a −1 ≤ f (x) ≤ 2 pour tout x dans
� 2
1 3
1
1
f (t)dt = × =
[−1, 2] et on voit que la valeur moyenne de f sur [−1, 2], qui vaut
2 − (−1) −1
3 2
2
est bien entre −1 et 2.
Une autre manière de définir l’intégrale de f sur [a, b] est la suivante : on associe à la fonction f
la suite (In )n≥1 de terme général
In =
�
�
b − a n−1
b−a
f a+k
n k=0
n
�
Géométriquement, In est la somme des aires des n rectangles construits à partir de f de la manière
suivante :
63
y
y = f (x)
a
x
b
Exemple 93. Si on reprend à nouveau l’exemple 91 on a alors b − a = 2 − (−1) = 3 et on peut
calculer
I2
I3
�
�
3
3
= 3f (−1) = 3 × (−1) = −3
f −1 + 0 ×
1
1
�
�
�
�
� �
1
3
3
3
3
3
3
3
=
+ f −1 + 1 ×
= f (−1) + f
=−
f −1 + 0 ×
2
2
2
2
2
2
2
4
�
�
�
�
�
�
3
3
3
3
3
3
=
+ f −1 + 1 ×
+ f −1 + 2 ×
f −1 + 0 ×
3
3
3
3
3
3
= f (−1) + f (0) + f (1) = 0
I1 =
In =
=
�
�
3 n−1
3
f −1 + k
n k=0
n
�
�
=
�
�
�
3 n−1
3
−1 + k
n k=0
n
�
�
�
�
�
3 n−1
9
3 n−1
3
3 (n − 1)n
3
(−1) +
k =
−n +
= −
n k=0
n k=0
n
n
2
2 2n
Dans ce cas la suite (In )n≥1 est la suite de terme général In =
3
2
−
9
2n .
On peut démontrer que la suite (In )n≥1 ainsi définie est toujours convergente, et plus précisément
que sa limite est l’aire signée de la partie du plan qui se trouve entre le graphe de la fonction f sur
[a, b] et l’axe des abscisses : c’est donc l’intégrale de f sur [a, b]. On a alors la propriété :
5.2.
Propriété – Intégrale 2.
Soit a < b et soit f une fonction continue sur le segment [a, b], alors :
� b
a
f (t)dt =
�
�
b − a n−1
b−a
f a+k
n→+∞ n
n
k=0
lim
�
Exemple 94. On reprend l’exemple 91 : dans ce cas, puisque la suite (In )n≥1 est la suite de terme
9
on voit que sa limite est bien 32 , qui est effectivement l’aire signée de la partie du
général In = 32 − 2n
plan comprise entre le graphe de f (x) = x et l’axe des abscisses sur [−1, 2].