PROPRIETES DES TRIANGLES I) Triangles 1) Vocabulaire B C A

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PROPRIETES DES TRIANGLES
I) Triangles
1) Vocabulaire
C
ABC est un triangle.
A, B et C sont ses 3 sommets.
[AB], [AC] et [BC] sont ses 3 cotés.
A
A est le sommet opposé au coté [BC].
[AB] est le coté opposé au sommet C.
R
B
2) Trianglerectangle
P
Voir activité 1 p 205 : connaître le vocabulaire
L
C
Dans le triangle MNP, les cotés [MN] et [MP] forment un angle droit.
On dit que MNP est un triangle rectangle en M.
M
[MN] et [MP] sont les cotés de l’angle droit.
[NP] est appelé l’hypoténuse.
3) Triangle isocèle
N
T
Voir activité 1 p 205 : connaître le vocabulaire
Dans le triangle TGV, les deux cotés [TV] et [TG] sont de même longueur.
On dit que TGV est un triangle isocèle en T.
T est le sommet principal.
[VG] est la base.
V
4) Triangle équilatéral
G
R
Voir activité 1 p 205 : connaître le vocabulaire
Dans le triangle ART, les 3 cotés sont de même longueur.
On dit que ART est un triangle équilatéral.
T
II) Triangles particuliers et propriétés
1) Triangle isocèle
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.
Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
A
P
2) Triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont même mesure.
Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie : les médiatrices de sescôtés.
G
S
3) Angles
Voir activité coupage d’angles
La somme des angles dans un triangle est toujours égale à 180°.
Les angles d’un triangle équilatéral mesurent tous 60°.
180 : 3 = 60
HAUTEURS, MEDIANES ET MEDIATRICE D’UN TRIANGLE
I) Hauteurs d’un triangle
Voir activité : « hauteurs d’un triangle »
1) Définition
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à
ce sommet.
A’
A
B
C’
C
B’
Pour distinguer les différentes hauteurs d’un triangle, on parle de hauteur issue de A ou hauteur relative au coté
[BC] et de hauteur issue de A’ ou hauteur relative au coté [B’C’]. Il s’agit de deux façons différentes de
désigner la même hauteur !
2) Propriétés et définition
Voir activité : « concourance des hauteurs » à l’aide de géoplan
Les supports des trois hauteurs d’un triangle sont concourants en un point.
Ce point de concours est appelé l’orthocentre du triangle.
A’
A
H
B’
B
C’
CorrectionB3 ou C3 ; E4 ; C5 ; A1 ; B1
II) Médianes d’un triangle
1) Définition
Dans un triangle, une médiane est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé à ce sommet.
A
B
I
C
Tracer un triangle ABC, placer I le milieu de [BC], [AI] est la médiane issue de A ou relative à [BC].
2) Propriétés et définition
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point.
Ce point de concours est appelé le centre de gravité du triangle (en posant une pointe sous ce point, on se rend
compte que celui-ci est en équilibre)
A
CorrectionD3 ; A2 ; E3 ; B4 ; B4
M
T
III) Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit
1) Propriétés / Définition (rappels)
Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.
Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice de ce segment.
Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.
2) Cercle circonscrit à un triangle
Voir activité 5 page 164
1 et 2 : « Médiatrices d’un triangle et cercle circonscrit »
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Le point de concours des trois médiatrices d’un triangle est le centre du cercle qui passe par les trois sommets
de ce triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle.
E
L
O
O
L
A
E
A
Les médiatrices des triangles LEA sont concourantes. Leur point de concours O vérifie OL = OE = OA.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle LEA.
CorrectionE4 ; B3 ; B1 ; B2 ; A1
Pour approfondir
Droite d’Euler !!!
CONSTRUCTION DE TRIANGLES ET INEGALITE TRIANGULAIRE
I) Inégalité triangulaire
1) B   AC 
Cas 1 et 2 de l’activité
B
Propriété
Si B n’appartient pas au segment [AC] alors
A
AC  AB  BC
Conséquence : Dans un triangle, la longueur de
chaque côté est inférieure à la somme des
longueurs des deux autres côtés
A
C
C
B
2) B   AC 
Cas 3 de l’activité
C
Propriété
Si B appartient au segment [AC] alors
AC = AB + BC
Si un point B vérifie : AB + BC = AC alors
B appartient au segment [AC]
B
A
Propriété de l’inégalité triangulaire
Si A, B, et C sont trois points quelconques alors AC  AB  BC
II) Construction de triangles
Combien de méthodes existe-il pour construire un triangle ? Les citer.
Il y a trois types de constructions de triangles
Voir fiche méthodes Constructions de triangles
PROPORTIONNALITE DES LONGUEURS DANS UN TRIANGLE
I) Comment calculer la longueur d’un segment ?
Voir activité à l’aide de géoplan
Propriété :
Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB] et N est un point du côté [AC] et si les droites (MN) et
A
AM AN MN
(BC) sont parallèles alors


AB AC BC
N
M
Remarque :
C
AM AN MN 1
1
B
Si


 M est le milieu de [AB], N est le milieu de [AC] et MN  BC .
AB AC BC 2
2
La propriété vue dans le chapitre triangle et droites parallèles est donc un cas particulier de cette dernière
propriété.
Exemple :
Tracer un triangle ABC tel que
AB = 5
AC = 4
BC = 6
AM = 3
(MN) // (BC)
Calculer AN. (produit en croix, construction du triangle au compas)
On sait
AMN et ABC sont deux triangles
A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre
(MN) // (BC)
AM AN MN


alors par la proportionnalité des longueurs
AB AC BC
3 AN MN

donc 
5
4
6
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