Les régulateurs de base

Chapitre 2
Les régulateurs de base
Ce chapitre présente les régulateurs de rétroaction les plus employés ainsi que quelques tech-
niques efficaces pour les régler.
2.1 La commande PID
Le régulateur utilisé dans plus de 90% des asservissements est du type proportionnel-intégrale-
dérivée (PID) [1]. L’histoire de ces régulateurs remonte au début du vingtième siècle [2, 3]. Les
applications du PID sont extrêmement nombreuses et variées. Ce compensateur est utilisé en com-
mande des procédés industriels et des moteurs, dans le monde de l’aéronautique et de l’automobile,
en robotique, dans plusieurs appareils courants (lecteurs CD, etc.), etc. Il est donc inévitable de bien
étudier le régulateur PID.
La fonction de transfert d’un régulateur PID est :
Gc(s)=U(s)
(s)=Kp+Ki s+Kds(2.1)
où Kp,Kiet Kdsont les gains de proportionnalité, d’intégration et de dérivation. On constate que
la variable manipulée est la somme pondérée de l’erreur (P), de l’intégration de l’erreur (I) et de la
35

36 Chapitre 2. Les régulateurs de base
dérivée de l’erreur (D). Une interprétation du PID est qu’il agit selon les erreur présente, passée et
future. En effet, la partie proportionnelle de la commande se base sur l’erreur présente. L’intégrale
de l’erreur cumule les erreurs passées. La dérivée de l’erreur (donc sa pente) prédit en quelque sorte
vers où se dirige l’erreur dans le futur.
La fonction de transfert du PID peut être écrite comme suit :
Gc(s)=Kps+Ki+Kds2
s(2.2)
On constate que la fonction de transfert est impropre à cause de la dérivée qui y est présente. Pour
concevoir un PID réel, un filtre passe-bas doit donc être ajouté :
Gc(s)=Kps+Ki+Kds2
s(1 +Tfs)(2.3)
Si on effectue les changements de variables suivants :
Kp=Kc(Ti+Td)
Ti(2.4)
Ki=Kc
Ti(2.5)
Kd=KcTd(2.6)
alors la fonction de transfert 2.3 devient :
Gc(s)=Kc(1 +Tis)(1 +Tds)
Tis(1 +Tfs)= Kc(Ti+Td) Ti
+Kc
Tis+KcTds!1 1+Tfs(2.7)
Il s’agit en fait d’un régulateur proportionnel-intégrale-dérivée avec filtre (PIDF). Les paramètres
Ti,Tdet Tfne sont pas négatifs. Les cas particuliers de ce régulateur sont :
– Le régulateur proportionnel (P) :
Gc(s)=Kc(2.8)
La variable manipulée est donc simplement proportionnelle au signal d’erreur.

2.2. La réponse en fréquences des régulateurs de base 37
– Le régulateur avance de phase ou proportionnel-dérivée avec filtre (PDF) :
Gc(s)=Kc(1 +Tds)
1+Tfs=(Kc+KcTds)1 1+Tfs(2.9)
La commande est la somme filtrée passe-bas d’une proportion de l’erreur et de la dérivée de
l’erreur.
– Le régulateur proportionnel-intégrale (PI) :
Gc(s)=Kc(1 +Tis)
Tis=Kc+Kc Tis(2.10)
La variable manipulée s’obtient en additionnant une proportion de l’erreur et l’intégration de
l’erreur. Il s’agit du régulateur le plus populaire. Il possède une action intégrale assurant une
erreur statique nulle (voir les notes du cours Systèmes et commande linéaires) tout en n’ayant
que deux paramètres (Kcet Ti) à régler.
– Le régulateur proportionnel-intégrale avec filtre (PIF) :
Gc(s)=Kc(1 +Tis)
Tis(1 +Tfs)= Kc+Kc Tis!1 1+Tfs(2.11)
L’action s’obtient comme avec un PI en filtrant passe-bas toutefois le résultat.
Bien que les régulateurs de la famille PID soient simples, leur succès et leur popularité résistent
au fil du temps. Ils forment la base des régulateurs de rétroaction et par conséquent sont disponibles
dans tous les logiciels de commande automatique. La littérature décrivant ces compensateurs est
abondante (dont des livres tels [4, 5, 3, 6, 7, 8], des conférences comme [9] et des numéros spéciaux
de revues dont [10, 11]).
2.2 La réponse en fréquences des régulateurs de base
La figure 1.1 montre un système asservi. Selon le chapitre 1, G(s) et par conséquent Gc(s)

38 Chapitre 2. Les régulateurs de base
– doivent avoir un grand rapport d’amplitude aux fréquences auxquelles on désire obtenir
|H(jω)|près de l’unité (aux basses et moyennes fréquences). Plus cette zone de fréquence
est large et plus l’asservissement est rapide.
– ne doivent pas avoir un grand rapport d’amplitude aux hautes fréquences car la commande
sera brusque.
– ne doivent pas avoir un grand rapport d’amplitude aux fréquences contenues dans le bruit de
mesure (typiquement aux hautes fréquences) car il se fera sentir sur la commande et la sortie
du procédé.
– ne doivent pas avoir un grand rapport d’amplitude aux fréquences auxquelles la précision
du modèle est faible (typiquement aux hautes fréquences) car le système asservi ne sera pas
robuste.
– ne doivent pas avoir une phase trop négative car la marge de phase se trouve diminuée d’au-
tant.
Le régulateur idéal Gc(s) aurait donc un très grand rapport d’amplitude aux basses et moyennes
fréquences (dont un rapport d’amplitude infini à la fréquence zéro pour éliminer les erreurs sta-
tiques), un faible rapport d’amplitude aux hautes fréquences et une phase positive. Malheureuse-
ment, il n’existe pas une fonction de transfert qui respecte ces trois caractéristiques, comme le
montreront les diagrammes de Bode qui suivent (sur lesquels on suppose toujours Kc>0) :
– Le régulateur proportionnel (P) (fonction de transfert 2.8). La figure 2.1 est le diagramme de
Bode de ce régulateur. Il y a absence d’une action intégrale qui est souvent fortement souhai-
table sinon nécessaire. Si on tente d’augmenter le rapport d’amplitude aux basses fréquences,
le rapport d’amplitude aux hautes fréquences évidemment sera lui aussi plus élevé. Par contre,
la phase est nulle.
– Le régulateur avance de phase ou proportionnel-dérivée avec filtre (PDF) (fonction de trans-
fert 2.9). La réponse en fréquences du compensateur PDF est tracée à la figure 2.2. La seule
qualité de ce régulateur est sa phase positive (d’où son appellation régulateur à avance de
phase). Pour l’obtenir, il faut cependant Td>Tf.

2.2. La réponse en fréquences des régulateurs de base 39
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
0
2
4
6
8
Fréquence [rad/s]
Rapport d'amplitude [dB]
20 log
10
K
c
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
-10
-5
0
5
10
Fréquence [rad/s]
Phase [
o
]
F. 2.1 – Réponse en fréquences d’un régulateur P
– Le régulateur proportionnel-intégrale (PI) (fonction de transfert 2.10). La figure 2.3 est le
diagramme de Bode de ce régulateur. L’action intégrale assure un gain tendant vers l’infini
aux basses fréquences. Par contre la phase est négative aux basses et moyennes fréquences.
– Le régulateur proportionnel-intégrale avec filtre (PIF) (fonction de transfert 2.11). La figure
2.4 montre le diagramme de Bode d’un compensateur PIF. La phase est moindre que celle
d’un régulateur PI mais, par contre, le rapport d’amplitude aux hautes fréquences est plus
faible.
– Le régulateur proportionnel-intégrale-dérivée avec filtre (PIDF) (fonction de transfert 2.7).
Habituellement, comme c’est le cas sur la figure 2.5, on a Td>Tf. Le régulateur PIDF a
l’avantage par rapport au régulateur PI d’avoir une phase moins négative. Le rapport d’am-
plitude aux hautes fréquences est cependant plus élevé.