classique

PARTIE I
PAR Simon Richard
[02 172 500]
1.1. Introduction
1.2. Historique
1.3. Le formalisme Lagrangien comme base de la théorie de jauge
1.4. La jauge dans le formalisme hamiltonien et les grandeurs
physiques véritables
1.5. L’invariance de jauge dans la théorie de Maxwell
1.1. Introduction
Ce travail, est un survol des différentes théories de jauge dans le contexte des progrès
scientifiques importants dans le domaine de la physique des particules. De la physique classique
au modèle standard, nous verrons que ce principe dit d’invariance de jauge, est à la base de notre
compréhension dynamique de la nature. La puissance de cette approche, permettra même dans le
futur de dicter ce que devrait être une théorie physique ce voulant complète et rigoureuse. Les
multiples théories de cordes en sont d’ailleurs un exemple éloquent, que ces théories représentent
l’avenir de la physique ou non.
Pour me faire moins abstrait, voici le contenu de ce travail qui se veut je le rappelle très
généraliste. Dans la première partie du travail, en plus d’un cours historique, il sera fait mention
des différentes théories de jauges classiques. De la mécanique classique dans son formalisme
hamiltonien à l’électromagnétisme, nous verrons que l’invariance de jauge était déjà un principe
présent à l’intérieur de la physique du 19ieme siècle. Cette première introduction nous permettra
d’être familier avec une nouvelle théorie de jauge, la mécanique quantique d’avant la théorie de
champs quantique. Dans la seconde partie du travail nous aborderons le travail de Weyl sur la
relativité générale et sa vision géométrique des théories de jauge. Ces dans cette partie que nous
aborderons aussi l’électrodynamique quantique et l’unification électrofaible, les deux première
théorie directement inspiré de l’invariance de jauge.
La troisième partie concernera l’isospin et la théorie de Yang-Mills, la toute première théorie de
jauge à s’intéresser à l’interaction forte. Finalement, la quatrième partie traitera de la
chromodynamique quantique, théorie qui complète le modèle standard. Il est bien d’ajouter que
les différente théorie de cordes peuvent elle aussi être considérer comme des théories de jauge,
mais elle seront déjà traité dans un travail indépendant par M. Nguyen Dang et M. Gingras
1.2. Historique
La jauge est une référence de mesure permettant d’étalonner l’échelle qui va servir à mesurer une
quantité. De fait, le terme vient des tablettes de jauge utilisées comme étalons de longueur dans
les ateliers d’usinage. En physique, ces théories concernent l’usage systématique de certaines
transformations de symétrie et l’invariance de la dynamique sous ces transformations. Ce petit
historique fera le pont entre les nombreuses théories qui seront abordé dans ce travail. Bien que
non inclus dans un contexte historique il faut mentionné que le formalisme lagrangien et
hamiltonien, par extension, présente le cadre parfait pour l’élaboration de théories de jauges. Par
ailleurs, ces formalismes étant antérieur à la découverte formelle de la symétrie de jauge, nous
aborderons directement l’électromagnétisme selon Maxwell.
La première personne à mettre directement en évidence la symétrie de jauge fut James Clerk
Maxwell par l’entremise de sa théorie électromagnétique. Comme nous le verrons un peu plus
bas, la symétrie des équations de Maxwell permet effectivement un choix de jauge (par
l’entremise des potentiels scalaire et vecteur) ne modifiant pas la physique des équations. Par
contre, l’importance de cette symétrie demeure inexploitée jusqu’à la formulation complète de la
relativité générale. En 1919, Hermann Weyl dans un essai pour unifier l’électromagnétisme et la
relativité générale, découvre que l’invariance d’échelle (ou de jauge) devient locale lors du passage
de la relativité restreinte à la relativité générale. Le caractère géométrique de ce résultat sera par la
suite largement étudié. Après la mise en place de la mécanique quantique, Weyl avec l’aide de
Vladimir Fock et de Fritz London, travaillera à l’élaboration d’un nouveau type de jauge, qu’ils
appliqueront à cette nouvelle mécanique. Le passage d’une jauge de type facteur d’échelle à une
jauge complexe de type changement de phase, permettra d’expliquer les effets du champ
électromagnétique sur la fonction d’onde d’une particule chargé. Cette première théorie de jauge
a proprement parlé, sera mise de l’avant par Wolfgang Pauli, l’un des pionniers de la mécanique
quantique.
De 1935 à 1955 environ, la recherche scientifique se tourne vers l’explication quantique des
phénomènes classiques. L’électrodynamique n’est pas épargnée et le problème est résolu par
Feynman, Schwinger et Tomonaga indépendamment. L’électrodynamique quantique, permet de
faire un pas en avant instaurant la théorie de champ quantique comme l’une des pierres d’assises
de la physique des particules. Le premier essai visant à résoudre le problème de l’interaction forte
ce produit dans les années 50. Chen Ning Yang et Robert Mills introduisent une jauge non
abélienne pour expliquer l’interaction entre nucléons. Bien que très fructueuse, cette théorie
s’avéra incomplète en ce qui concerne la masse des bosons d’interaction, masse qui doit être nul
pour avoir invariance de jauge. Cette théorie eu tout de même des conséquences positive
puisqu’elle permis d’intégrer des jauge matricielle rendant compte de phénomène jusqu’alors
inexpliqué comme la liberté asymptotique. Elle allait aussi ouvrir la voie à l’unification
électrofaible. Via le mécanisme de Higgs qui allait résoudre le problème de la masse, Weinberg et
Salam remportèrent le prix Nobel de 1979 pour leur découverte. Finalement, encore plus
récemment, Gross, Wilczek et Politzer remportait en 2004 le Nobel pour leur contribution, la
chromodynamique quantique. Dernière grande théorie de jauge, utilisant une symétrie SU(3),
cette théorie représente le dernier grand morceau du modèle standard.
1.3. Le formalisme Lagrangien comme base de la théorie de jauge
Le formalisme Lagrangien, à la base de la mécanique analytique, permet une simplification
importante des concepts appartenant à la théorie de jauge. Cette approche nous permettra
d’atteindre des résultats généraux qui nous conduirons ensuite sur la piste du formalisme
hamiltonien et de l’électromagnétisme.
Premièrement, on définit le Lagrangien comme la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie
potentielle d’un système en coordonnées généralisées.
L(qi , q&i , t ) = T − V (qi , t )
Le Lagrangien permet de définir S(α), l’action sur des trajectoires partant d’un point P1 au temps
t1 vers un point P2 au temps t2. En appliquant le principe de moindre action, on peut choisir
laquelle des trajectoires possibles est physiquement acceptable. Mathématiquement l’action se
formule ainsi :
t1
S (α ) = ∫ L(qiα (t ), q&iα (t ), t )dt
t2
Et l’action la moindre est donné par
dS (α )
=0 pour d’une trajectoire α donné, que l’on note aussi ∂S = 0
dα
Voici maintenant où intervient la transformation de jauge qui intervient via la dérivée d’une
fonction arbitraire appliquée au lagrangien original pour en faire un nouveau lagrangien.
L′ = L +
d
F (qi , t )
dt
Si on applique le principe de moindre action on voit que
t1
t1
d
F (qi , t )dt
dt
t2
t2
= S + F(qi(t2),t2) - F(qi(t1),t1)
S ′ = ∫ L(qi , q&i , t )dt + ∫
Mais puisque que toute les trajectoires envisagés ont le même point de départ et d’arrivé
(respectivement au temps t1 et t2)
⇒ ∂F (2) = ∂F (1) = 0
⇒ ∂S ′ = ∂S
Ce qui laisse la physique inchangée puisque c’est ∂S qui sert au choix de la trajectoire. On voit
donc qu’ajouter une valeur au Lagrangien (choix de la jauge) ne change pas la physique. C’est ce
que l’on nomme l’invariance de jauge. Si cette jauge est identique en tout point de l’espace on
parle d’invariance globale, mais si cette jauge dépend de l’espace cette invariance est locale.
L’invariance locale étant beaucoup plus restrictive, elle produit tout de même des changements au
Lagrangien qui pourront s’interpréter par la suite comme des interactions. Pour le reste de
l’exposé, à moins d’avis contraire nous parlerons d’invariance de jauge locale.
Regardons à nouveau ce qu’apporte une transformation de jauge :
∂F (qi , t )
∂F (qi , t )
d
q&i +
F (qi , t ) = T − V (qi , t ) + ∑
dt
∂t
∂qi
i
Mais puisque le potentiel ne dépend pas des vitesses mais uniquement de la position on peut
créer un nouveau potentiel
L′ = L +
V ′(qi , t ) = V (qi , t ) −
∂F (qi , t )
∂t
∂F (qi , t )
q&i
∂qi
i
C’est le dernier terme qui fait que L′ est différent de L. Ce dernier terme est nommé interaction
de jauge. Cependant, si on fait une seconde transformation de jauge sur L′ , à l’aide de la fonction
G ( qi , t )
⇒ L′ = T − V ′(qi , t ) + ∑
∂( F + G)
∂qi
i
On voit que L′′ est de la même forme que L′ sachant que
L′′ = T − V ′′(qi , t ) + ∑ q&i
V ′′ = V (qi , t ) −
∂
( F + G)
∂t
Ce qui permet de constater que le Lagrangien est invariant de jauge lorsque accompagner d’une
interaction de jauge. Donc, si l’on veut écrire le Lagrangien le plus générale possible :
r r
L(qi , q&i , t ) = T (qi , q&i ) − V (qi , t ) + q& ⋅ A(qi , t )
Le champ vectoriel était précédemment représenté par le gradient de la fonction F. Par contre
r
dans le cas générale, A n’est pas un gradient. Voici ce qui arrive lors d’une transformation de
jauge pour ce Lagrangien généralisé
r r
L′ = L − V ′ + q& ⋅ A′
On voit que le Lagrangien demeure identique lorsque l’on applique les transformations suivantes
à l’aide de la fonction génératrice F.
∂F
⇒V′ =V −
∂t
r
r
⇒ A′ = A + ∇F
C’est exactement ce genre de
regarderons l’électromagnétisme.
transformation
que
l’on
retrouvera
lorsque
nous
Ce qui permet d’émettre un principe directeur : Les seule interaction possible sont des interaction
de jauge, puisque la nature telle qu’observée est invariante de jauge. Cet axiome sera à la base des
théories physique moderne.
1.4. La jauge dans le formalisme hamiltonien et les grandeurs
physiques véritables
Faisons maintenant un pas de plus vers la grande théorie de jauge classique : l’électromagnétisme.
En utilisant le formalisme hamiltonien, nous obtiendrons des informations précieuses sur la
signification physique de certaines variables.
La force de Lorentz appliqué à une seule particule chargé (de charge q) correspond à la relation
suivante :
[
r
r r
r r r
f = q E (r , t ) + v ⋅ B (r , t )
]
r
r
Où E et B représentent les champs électrique et magnétique s’appliquant sur la particule. Ces
deux champs peuvent être construit par deux potentiels l’un scalaire et l’autre vecteur noté
r r
r
V ( r , t ) et A( r , t ) . Nous reviendrons amplement plus tard sur ces deux potentiels. L’important
pour la présente discussion est de savoir que plusieurs couples de potentiels peuvent donner lieu
aux mêmes champs électrique et magnétique. La relation reliant champs et potentiels n’est donc
pas biunivoque. La transformation générant ces potentiels est une transformation de jauge.
La force de Lorentz étant donné, on peut appliqué la célèbre équation de Newton :
m
r
d2 r
r (t ) = f
2
dt
La dynamique du problème ne dépend donc que des champs E et B.Ce qui signifie que la
position et la vitesse ne dépendent pas de la jauge choisie. Par contre, si on utilise le formalisme
hamiltonien, on doit passer par les potentiels V et A. Pour faire bref, l’hamiltonien de ce
problème à une particule est le suivant :
[
]
r r 2
r
r
r
1 r
H (r (t ), p (t ), t ) =
p − qA(r , t ) + qV (r , t )
2m
r
Où p , le moment conjugué, est défini par la relation suivante provenant du Lagrangien,
r r
r
r
p = mv + qA( r , t )
Ce qui signifie que la quantité de mouvement est :
r
r
r r
r
π (t ) = p − qA(r , t ) = mv
r
r
On voit tout de suite que même si r (t ) et π (t ) ne dépendent pas de la jauge comme nous l’a
r
r
montré l’équation de Newton, p en dépend à cause de A . C’est-à-dire qu’un même champ
électrique et magnétique, pourrait être construit à partir de deux potentiels différents A et A′ . Ce
qui signifie que les valeurs des variables dynamiques décrivant une trajectoire change selon la
jauge choisie. Ce résultat est évident lorsque l’on regarde directement les équations d’Hamilton :
r
r
d r
r (t ) = ∇ pr H (r (t ), p (t ), t )
dt
r
r
d r
p (t ) = −∇ rr H (r (t ), p (t ), t )
dt
r
Où H dépend directement de A et V. Cette dépendance de la jauge amène donc une
interrogation sur les quantités véritablement physique. Puisque le formalisme Lagrangien nous
indique que la nature est invariante de jauge, il faut que les quantités ayant un sens physique le
soit également. On peut donc formuler le principe suivant :
-Les quantités démontrant une invariance de jauge locale sont de véritable grandeur physique. Par
exemple, la position ou la quantité de mouvement, le lagrangien généralisé etc..
-Les quantités ne démontrant pas cette invariance de jauge n’ont pas de sens physique réel et
peuvent être considéré comme des instruments servant au calcul de grandeurs physique réel.
r
Dans le cas de l’électrodynamique d’une particule p (t ) en serait un bon exemple.
Comme ont peut le constater, cette notion se rapproche beaucoup de celle d’observable en
mécanique quantique.
1.5. L’invariance de jauge dans la théorie de Maxwell
L’invariance de jauge globale était un phénomène depuis longtemps connu en électrostatique.
Puisque le champ électrique peut être évalué à l’aide de la dérivée d’un potentiel scalaire, le choix
d’un comptage absolu du potentiel est inutile. On peut donc y ajouter n’importe quelle fonction
indépendante de l’espace. Mais comme mentionné un peu plus haut, la première grande théorie à
présenter une invariance de jauge locale est la théorie électromagnétique de Maxwell, finalisée
vers 1865. Cette reformulation de Maxwell regroupant, en quatre équations, l’ensemble de la
science ayant attrait au magnétisme et à l’électricité est une véritable réussite. Voici ces quatre
équations dans le vide :
r r
∇⋅E = ρ
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r r
∇⋅B = 0
r
r r r ∂E
∇× B = j +
∂t
La première est la loi de Gauss, la deuxième la loi de Faraday sur l’induction. La troisième
représente l’absence de monopole magnétique dans la nature et la quatrième est la loi d’ampère
modifiée par le courant de déplacement. Cette modification est d’ailleurs apportée par Maxwell
pour que cette équation soit cohérente avec l’équation de continuité que voici :
∂ρ r r
+∇⋅ j = 0
∂t
r
∂E
Si le terme en
est absent de la quatrième équation, l’équation de continuité devient :
∂t
∂ρ r r r
+ ∇ ⋅∇× B = 0
∂t
∂ρ
⇒
=0
∂t
Puisque la divergence d’un rotationnel est toujours égale à 0. Ce qui n’est manifestement pas vrai
dans la plus par des situations. Cette modification implique que la charge est conservée
localement.
Ces 5 équations représentent l’ensemble de l’électromagnétisme classique. Comme mentionné
dans la partie précédente, il est possible de construire les champs magnétique et électrique à l’aide
de deux potentiels. Cette nouvelle définition ne modifie en aucun point les équations de Maxwell
cité précédemment.
r
r
B = ∇× A
r
r
∂A
E = −∇V −
∂t
L’invariance de jauge provient du fait qu’il est possible comme dans le cas du lagrangien de
r
trouver une fonction génératrice qui permettra de modifier localement V et A . Comme dans la
r
première partie nous nommerons cette fonction F ( r , t ) . Cette transformation de jauge est la
suivante :
r r
A′ = A + ∇F
∂F
V′ =V −
∂t
De toute évidence, ces nouveaux potentiels laisseront les champs électrique et magnétique
inchangé. Le tout est de savoir qu’une modification locale d’un des potentiels doit être compensé
par la modification locale de l’autre potentiel. Ce genre d’approche servira notamment à la
construction des théories de jauge moderne.
Suite à la discussion précédente concernant le Lagrangien on voit que la transformation de jauge
r
est tout à fait similaire. Les potentiels V et A sont donc des quantités sans signification
dynamique mais plutôt des intermédiaires de calcul. En effet, l’invariance de jauge
électromagnétique n’avait pas paru fondamentalement utile à l’époque de Maxwell. Le seul
avantage que l’on n’y voyait était le fait que l’on puisse ajuster les potentiels de façons à faciliter le
calcul pour certain problème
Le fait que l’invariance de jauge soit implicitement à l’intérieur des équations de Maxwell est un
fait remarquable. De fait, il serait possible de reconstruire complètement les équations de Maxwell
en stipulant uniquement que l’électromagnétisme doit être indépendante de la jauge utilisé pour
r
construire V et A .
Pour terminer, nous allons introduire ici un formalisme tensoriel qui nous sera utile pour les 3
dernières parties. Pour commencer, on peut définir un potentiel généralisé en notation tensoriel :
r
A μ ≡ (V , A)
La transformation de jauge devient alors :
r
r
r
A′ μ = A μ − ∂ μ F (r , t )
Où la dérivé covariante est défini comme étant
∂
,−∇)
∂t
Ce qui permet de réécrire les équations de Maxwell sous la forme tensorielle suivante :
∂ μ T μν = jν
∂μ = (
où T représente un tenseur de champs et j μ un vecteur quadri-courant.
F μν = ∂ μ Aν − ∂ν A μ
r
j μ = (ρ , j )
Encore une fois puisque F μν n’est pas modifier après la transformation de jauge, on peu dire que
les équations de Maxwell sont invariantes de jauge, évidemment.
1.6. Conclusion de la première partie
Dans cette première partie, il nous a été possible de constater un principe important. Les lois
dynamiques de la nature semblent indépendantes de la jauge choisie, même si celle-ci est locale.
Que se soit en mécanique classique où en électromagnétisme, nous avons pu constater que cette
invariance de jauge locale permet d’émettre certaine hypothèse sur la signification réelle de
certaines quantités. Finalement, grâce à ce petit tout de table classique, il sera plus aisé de
comprendre ce qui a poussé les théoriciens modernes à fonder une grande partie de la physique
des particules, sur ce principe d’invariance de jauge.