classique

PARTIE I
PAR Simon Richard
[02 172 500]
1.1. Introduction
1.2. Historique
1.3. Le formalisme Lagrangien comme base de la théorie de jauge
1.4. La jauge dans le formalisme hamiltonien et les grandeurs
physiques véritables
1.5. L’invariance de jauge dans la théorie de Maxwell
1.1. Introduction
Ce travail, est un survol des différentes théories de jauge dans le contexte des progrès
scientifiques importants dans le domaine de la physique des particules. De la physique classique
au modèle standard, nous verrons que ce principe dit d’invariance de jauge, est à la base de notre
compréhension dynamique de la nature. La puissance de cette approche, permettra même dans le
futur de dicter ce que devrait être une théorie physique ce voulant complète et rigoureuse. Les
multiples théories de cordes en sont d’ailleurs un exemple éloquent, que ces théories représentent
l’avenir de la physique ou non.
Pour me faire moins abstrait, voici le contenu de ce travail qui se veut je le rappelle très
généraliste. Dans la première partie du travail, en plus d’un cours historique, il sera fait mention
des différentes théories de jauges classiques. De la mécanique classique dans son formalisme
hamiltonien à l’électromagnétisme, nous verrons que l’invariance de jauge était déjà un principe
présent à l’intérieur de la physique du 19ieme siècle. Cette première introduction nous permettra
d’être familier avec une nouvelle théorie de jauge, la mécanique quantique d’avant la théorie de
champs quantique. Dans la seconde partie du travail nous aborderons le travail de Weyl sur la
relativité générale et sa vision géométrique des théories de jauge. Ces dans cette partie que nous

aborderons aussi l’électrodynamique quantique et l’unification électrofaible, les deux première
théorie directement inspiré de l’invariance de jauge.
La troisième partie concernera l’isospin et la théorie de Yang-Mills, la toute première théorie de
jauge à s’intéresser à l’interaction forte. Finalement, la quatrième partie traitera de la
chromodynamique quantique, théorie qui complète le modèle standard. Il est bien d’ajouter que
les différente théorie de cordes peuvent elle aussi être considérer comme des théories de jauge,
mais elle seront déjà traité dans un travail indépendant par M. Nguyen Dang et M. Gingras
1.2. Historique
La jauge est une référence de mesure permettant d’étalonner l’échelle qui va servir à mesurer une
quantité. De fait, le terme vient des tablettes de jauge utilisées comme étalons de longueur dans
les ateliers d’usinage. En physique, ces théories concernent l’usage systématique de certaines
transformations de symétrie et l’invariance de la dynamique sous ces transformations. Ce petit
historique fera le pont entre les nombreuses théories qui seront abordé dans ce travail. Bien que
non inclus dans un contexte historique il faut mentionné que le formalisme lagrangien et
hamiltonien, par extension, présente le cadre parfait pour l’élaboration de théories de jauges. Par
ailleurs, ces formalismes étant antérieur à la découverte formelle de la symétrie de jauge, nous
aborderons directement l’électromagnétisme selon Maxwell.
La première personne à mettre directement en évidence la symétrie de jauge fut James Clerk
Maxwell par l’entremise de sa théorie électromagnétique. Comme nous le verrons un peu plus
bas, la symétrie des équations de Maxwell permet effectivement un choix de jauge (par
l’entremise des potentiels scalaire et vecteur) ne modifiant pas la physique des équations. Par
contre, l’importance de cette symétrie demeure inexploitée jusqu’à la formulation complète de la
relativité générale. En 1919, Hermann Weyl dans un essai pour unifier l’électromagnétisme et la
relativité générale, découvre que l’invariance d’échelle (ou de jauge) devient locale lors du passage
de la relativité restreinte à la relativité générale. Le caractère géométrique de ce résultat sera par la
suite largement étudié. Après la mise en place de la mécanique quantique, Weyl avec l’aide de
Vladimir Fock et de Fritz London, travaillera à l’élaboration d’un nouveau type de jauge, qu’ils
appliqueront à cette nouvelle mécanique. Le passage d’une jauge de type facteur d’échelle à une
jauge complexe de type changement de phase, permettra d’expliquer les effets du champ
électromagnétique sur la fonction d’onde d’une particule chargé. Cette première théorie de jauge
a proprement parlé, sera mise de l’avant par Wolfgang Pauli, l’un des pionniers de la mécanique
quantique.
De 1935 à 1955 environ, la recherche scientifique se tourne vers l’explication quantique des
phénomènes classiques. L’électrodynamique n’est pas épargnée et le problème est résolu par
Feynman, Schwinger et Tomonaga indépendamment. L’électrodynamique quantique, permet de
faire un pas en avant instaurant la théorie de champ quantique comme l’une des pierres d’assises
de la physique des particules. Le premier essai visant à résoudre le problème de l’interaction forte
ce produit dans les années 50. Chen Ning Yang et Robert Mills introduisent une jauge non

abélienne pour expliquer l’interaction entre nucléons. Bien que très fructueuse, cette théorie
s’avéra incomplète en ce qui concerne la masse des bosons d’interaction, masse qui doit être nul
pour avoir invariance de jauge. Cette théorie eu tout de même des conséquences positive
puisqu’elle permis d’intégrer des jauge matricielle rendant compte de phénomène jusqu’alors
inexpliqué comme la liberté asymptotique. Elle allait aussi ouvrir la voie à l’unification
électrofaible. Via le mécanisme de Higgs qui allait résoudre le problème de la masse, Weinberg et
Salam remportèrent le prix Nobel de 1979 pour leur découverte. Finalement, encore plus
récemment, Gross, Wilczek et Politzer remportait en 2004 le Nobel pour leur contribution, la
chromodynamique quantique. Dernière grande théorie de jauge, utilisant une symétrie SU(3),
cette théorie représente le dernier grand morceau du modèle standard.
1.3. Le formalisme Lagrangien comme base de la théorie de jauge
Le formalisme Lagrangien, à la base de la mécanique analytique, permet une simplification
importante des concepts appartenant à la théorie de jauge. Cette approche nous permettra
d’atteindre des résultats généraux qui nous conduirons ensuite sur la piste du formalisme
hamiltonien et de l’électromagnétisme.
Premièrement, on définit le Lagrangien comme la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie
potentielle d’un système en coordonnées généralisées.
),(),,( tqVTtqqL iii
−
=
&
Le Lagrangien permet de définir S(α), l’action sur des trajectoires partant d’un point P1 au temps
t1 vers un point P
2 au temps t2. En appliquant le principe de moindre action, on peut choisir
laquelle des trajectoires possibles est physiquement acceptable. Mathématiquement l’action se
formule ainsi :
dtttqtqLS i
t
ti)),(,)(()( 1
2
αα
α
&
∫
=
Et l’action la moindre est donné par
α
α
d
dS )( =0 pour d’une trajectoire α donné, que l’on note aussi 0
=
∂
S
Voici maintenant où intervient la transformation de jauge qui intervient via la dérivée d’une
fonction arbitraire appliquée au lagrangien original pour en faire un nouveau lagrangien.
),( tqF
dt
d
LL i +=
′
Si on applique le principe de moindre action on voit que

dttqF
dt
d
dttqqLS i
t
t
i
t
ti),(),,( 1
2
1
2
∫∫ +=
′&
= S + F(qi(t2),t2) - F(qi(t1),t1)
Mais puisque que toute les trajectoires envisagés ont le même point de départ et d’arrivé
(respectivement au temps t1 et t2)
SS
FF
∂=
′
∂⇒
=
∂
=
∂
⇒0)1()2(
Ce qui laisse la physique inchangée puisque c’est S
∂
qui sert au choix de la trajectoire. On voit
donc qu’ajouter une valeur au Lagrangien (choix de la jauge) ne change pas la physique. C’est ce
que l’on nomme l’invariance de jauge. Si cette jauge est identique en tout point de l’espace on
parle d’invariance globale, mais si cette jauge dépend de l’espace cette invariance est locale.
L’invariance locale étant beaucoup plus restrictive, elle produit tout de même des changements au
Lagrangien qui pourront s’interpréter par la suite comme des interactions. Pour le reste de
l’exposé, à moins d’avis contraire nous parlerons d’invariance de jauge locale.
Regardons à nouveau ce qu’apporte une transformation de jauge :
),( tqF
dt
d
LL i +=
′= ttqF
q
qtqF
tqVT i
i
ii
i
i∂
∂
+
∂
∂
+− ∑),(),(
),( &
Mais puisque le potentiel ne dépend pas des vitesses mais uniquement de la position on peut
créer un nouveau potentiel
ttqF
tqVtqV i
ii ∂
∂
−=
′),(
),(),(
i
ii
i
iq
qtqF
tqVTL &
∑∂
∂
+
′
−=
′
⇒),( ),(
C’est le dernier terme qui fait que
L
′ est différent de L. Ce dernier terme est nommé interaction
de jauge. Cependant, si on fait une seconde transformation de jauge sur
L
′
, à l’aide de la fonction
),( tqG i
i
iii qGF
qtqVTL ∂
+
∂
+
′′
−=
′′ ∑)(
),( &
On voit que
L
′′ est de la même forme que
L
′
sachant que
)(),( GF
t
tqVV i+
∂
∂
−=
′′
Ce qui permet de constater que le Lagrangien est invariant de jauge lorsque accompagner d’une
interaction de jauge. Donc, si l’on veut écrire le Lagrangien le plus générale possible :

),(),(),(),,( tqAqtqVqqTtqqL iiiiii
r
r
&&& ⋅+−=
Le champ vectoriel était précédemment représenté par le gradient de la fonction F. Par contre
dans le cas générale,
A
r
n’est pas un gradient. Voici ce qui arrive lors d’une transformation de
jauge pour ce Lagrangien généralisé
AqVLL
r
r
&′
⋅+
′
−=
′
On voit que le Lagrangien demeure identique lorsque l’on applique les transformations suivantes
à l’aide de la fonction génératrice F.
FAA
t
F
VV
∇
+
=
′
⇒
∂
∂
−=
′
⇒
rr
C’est exactement ce genre de transformation que l’on retrouvera lorsque nous
regarderons l’électromagnétisme.
Ce qui permet d’émettre un principe directeur : Les seule interaction possible sont des interaction
de jauge, puisque la nature telle qu’observée est invariante de jauge. Cet axiome sera à la base des
théories physique moderne.
1.4. La jauge dans le formalisme hamiltonien et les grandeurs
physiques véritables
Faisons maintenant un pas de plus vers la grande théorie de jauge classique : l’électromagnétisme.
En utilisant le formalisme hamiltonien, nous obtiendrons des informations précieuses sur la
signification physique de certaines variables.
La force de Lorentz appliqué à une seule particule chargé (de charge q) correspond à la relation
suivante :
[
]
),(),( trBvtrEqf
r
r
r
r
r
r⋅+=
Où
E
r
et
B
r
représentent les champs électrique et magnétique s’appliquant sur la particule. Ces
deux champs peuvent être construit par deux potentiels l’un scalaire et l’autre vecteur noté
et . Nous reviendrons amplement plus tard sur ces deux potentiels. L’important
pour la présente discussion est de savoir que plusieurs couples de potentiels peuvent donner lieu
aux mêmes champs électrique et magnétique. La relation reliant champs et potentiels n’est donc
pas biunivoque. La transformation générant ces potentiels est une transformation de jauge.
),( trV r),( trA r
r