Champ électrostatique
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Champ électrostatique PC Lycée Dupuy de Lôme E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 1 / 21 1 2 Distribution de charges Porteurs de charge Champ électrostatique Définition Cas d’une charge ponctuelle Équations locales Énergie potentielle d’une charge Lignes de champ Définition Exemple Exemple Exemple Exemple Propriété Propriétés de symétrie Symétries planes Invariances Théorème de Gauss Énoncé Application E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 2 / 21 Distribution de charges Porteurs de charge Description d’une distribution de charges statique La distribution de charges pourra être ponctuelle, linéïque, surfacique ou volumique. Charge ponctuelle : q placée en P Répartition linéïque : Pour un élt dl(P ) de la courbe de dens. linéïque de charge λ(P ) : dq(P ) = λ(P ).dl(P ) Répartition surfacique : Pour un élt dS(P ) de la surface de dens. surfacique de charge σ(P ) : dq(P ) = σ(P ).dS(P ) Répartition volumique : Pour un élt dτ (P ) du volume de dens. volumique de charge ρ(P ) : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) dq(P ) = ρ(P ).dτ (P ) Électromagnétisme 3 / 21 Champ électrostatique Définition Champ électrostatique Une distribution de charges crée en un point M de l’espace un champ Ð → électrostatique E (M ) tel que l’action de cette distribution sur une charge q ′ placée en M a pour expression E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → Ð → F = q ′ . E (M ) Électromagnétisme 4 / 21 Champ électrostatique Cas d’une charge ponctuelle qO b Loi de Coulomb Une charge ponctuelle q en O crée en M un champ électrique r ǫ0 = Ð → E= 1 q ÐÐ→ . .OM 4.π.ǫ0 OM 3 1 S.I : permittivité du vide 4.π.109 b → (M ) Ð E M E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 5 / 21 Champ électrostatique Équations locales Équations locales en électrostatique Un tout point M où la densité volumique de charge est ρ(M ), le champ électrique vérifie les équations locales : → Ð → Ð→Ð rot E = 0 Ð → ρ(M ) div E = ǫ0 Ð → Ð→ → Ð→ → Pour l’opérateur rotationnel : ∬S rotÐ a ⋅ dS = ∮ Ð a ⋅ dl ÐÐ→ Ð → Pour l’opérateur gradient : gradA ⋅ dl = dA Potentiel électrostatique Le champ électrostatique dérive d’un potentiel tel que E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) ÐÐ→ Ð → E = −gradV Électromagnétisme 6 / 21 Champ électrostatique Énergie potentielle d’une charge Ð → Une charge q ′ est placée dans une zone de champ E (M ) et se déplace. Travail de la force : Énergie potentielle pour la charge : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 7 / 21 Champ électrostatique Énergie potentielle d’une charge Ð → Une charge q ′ est placée dans une zone de champ E (M ) et se déplace. → Ð → Ð Travail de la force : WA↷B = ∫A↷B q ′ . E ⋅ dl Énergie potentielle pour la charge : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 7 / 21 Champ électrostatique Énergie potentielle d’une charge Ð → Une charge q ′ est placée dans une zone de champ E (M ) et se déplace. Travail de la force : Énergie potentielle pour la charge : Ep (M ) = q ′ .V (M ) E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 7 / 21 Champ électrostatique Énergie potentielle d’une charge Ð → Une charge q ′ est placée dans une zone de champ E (M ) et se déplace. Travail de la force : Énergie potentielle pour la charge : Circulation conservative Ð → Le champ E (M ) est à circulation conservative, la force électrostatique dérive donc d’une énergie potentielle. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ep (M ) = q ′ .V (M ) Électromagnétisme 7 / 21 Champ électrostatique Lignes de champ Définition ligne de champ ÐÐÐ→ Tout déplacement élémentaire dOM le long d’une ligne de champ est Ð → colinéaire au champ électrique en M , E (M ) ÐÐÐ→ ÐÐÐ→ Ð → Ð → E (M ) = α.dOM ou E (M ) ∧ .dOM = 0 Équipotentielle L’ensemble des points de même potentiel forme une surface équipotentielle E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 8 / 21 Champ électrostatique Lignes de champ Définition + UA B − E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 9 / 21 Champ électrostatique Lignes de champ ÐÐ gra→ dV Définition + UA B − E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 9 / 21 Champ électrostatique Lignes de champ ÐÐ gra→ dV Lig n Définition Ð → E ed e cha mp + UA B − E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 9 / 21 Champ électrostatique ip Équ n ote t e iell Lignes de champ ÐÐ gra→ dV Lig n Définition Ð → E ed e cha mp + UA B − E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 9 / 21 Champ électrostatique Lignes de champ Propriété Lignes de champ électrique Les lignes de champ sont orthogonales aux équipotentielles, orientées dans le sens des potentiels décroissants. Topographie Les lignes de champ électrique sont nécessairement ouvertes E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 10 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x Propriétés de symétries Ð → Si M ∈ Πsym , alors E (M ) ∈ Πsym E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Propriétés de symétrie Symétries planes y z −q q x Propriétés de symétries Ð → Si M ∈ Πsym , alors E (M ) ∈ Πsym Ð → Si M ∈ Πanti−sym , alors E (M ) ⊥ Πsym E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 11 / 21 Champ électrostatique Invariances Invariance par translation Si la distribution est invariante pour un observateur par translation → colinéairement à une direction Ð u , l’intensité du champ électrique sera ÐÐ→ → indépendante de la coordonnée OM ⋅ Ð u Invariance par rotation Si la distribution est invariante pour un observateur par rotation par rapport à un axe ∆ d’un angle θ, l’intensité du champ électrique sera indépendante de la coordonnée θ Il sera important de choisir un système de coordonnées en fonction des invariances de la distribution. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 12 / 21 Champ électrostatique Théorème de Gauss Énoncé Ð → ρ : Forme intégrale de div E = ǫ0 Avec le théorème de Green-Ostrogradski : Theorème de Gauss Ð → Le flux sortant de E à travers une surface fermée S enfermant une charge Qint est tel que E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → ÐÐ→ Qint ΦE = ∬P ∈S E ⋅ dSP = ǫ0 Électromagnétisme 13 / 21 Champ électrostatique Théorème de Gauss Énoncé Ð → ρ : Forme intégrale de div E = ǫ0 Ð → ρ(M ) .dτM ∭M ∈V div E (M ).dτM = ∭M ∈V ǫ0 Avec le théorème de Green-Ostrogradski : Ð → ÐÐ→ ρ(M ) .dτM ΦE = ∬P ∈S div E ⋅ dSP = ∭M ∈V ǫ0 Theorème de Gauss Ð → Le flux sortant de E à travers une surface fermée S enfermant une charge Qint est tel que E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → ÐÐ→ Qint ΦE = ∬P ∈S E ⋅ dSP = ǫ0 Électromagnétisme 13 / 21 Champ électrostatique Théorème de Gauss Application Déterminer le champ crée en M avec le théorème de Gauss : La distribution doit avoir les symétries et invariances suffisantes Le choix de la surface de Gauss se fait en fonction des symétries de la distribution. Elle doit contenir le point M Ð → Calculer le flux de E à travers la surface fermée choisie Repérer et calculer la charge à l’intérieur de cette surface. E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 14 / 21 Dipôle électrostatique Domaine d’étude b b (−q)A O b B(q) Dipôle et Approximation dipolaire Deux charges opposées −q et A et q en B constituent un dipôle électrostatique dont le moment dipolaire, exprimé en Debye, est Ð→ Ð → p = q.AB On se placera dans l’approximation dipolaire OM ≫ AB E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 15 / 21 Dipôle électrostatique Potentiel crée par un dipôle Principe de superposition : Dans l’approximation dipôlaire : AM 2 = Ð→ 1 = AM De même E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 16 / 21 Dipôle électrostatique Potentiel crée par un dipôle Principe de superposition : V (M ) = Dans l’approximation dipôlaire : −q q + 4.π.ǫ0 .AM 4.π.ǫ0 .BM AM 2 = Ð→ 1 = AM De même E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 16 / 21 Dipôle électrostatique Potentiel crée par un dipôle Principe de superposition : V (M ) = −q q + 4.π.ǫ0 .AM 4.π.ǫ0 .BM Dans l’approximation dipôlaire : Ð→ ÐÐ→ AM 2 = AO2 + OM 2 + 2.OA ⋅ OM a2 + r 2 + r.a.cosθ 4 r 1 r 2 . (1 + .cosθ) Ð→ = a AM De même E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 16 / 21 Dipôle électrostatique Potentiel crée par un dipôle Principe de superposition : V (M ) = −q q + 4.π.ǫ0 .AM 4.π.ǫ0 .BM Dans l’approximation dipôlaire : Ð→ ÐÐ→ AM 2 = AO2 + OM 2 + 2.OA ⋅ OM a2 + r 2 + r.a.cosθ 4 r 1 1 r r 2 . (1 + .cosθ) Ð→ = . (1 − .cosθ) a AM r 2.a De même E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 16 / 21 Dipôle électrostatique Potentiel crée par un dipôle Principe de superposition : V (M ) = −q q + 4.π.ǫ0 .AM 4.π.ǫ0 .BM Dans l’approximation dipôlaire : Ð→ ÐÐ→ AM 2 = AO2 + OM 2 + 2.OA ⋅ OM a2 + r 2 + r.a.cosθ 4 r 1 1 r r 2 . (1 + .cosθ) Ð→ = . (1 − .cosθ) a AM r 2.a 1 1 r De même = . (1 + .cosθ) BM r 2.a E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 16 / 21 Dipôle électrostatique Potentiel crée par un dipôle Principe de superposition : V (M ) = −q q + 4.π.ǫ0 .AM 4.π.ǫ0 .BM Dans l’approximation dipôlaire : Ð→ ÐÐ→ AM 2 = AO2 + OM 2 + 2.OA ⋅ OM a2 + r 2 + r.a.cosθ 4 r 1 1 r r 2 . (1 + .cosθ) Ð→ = . (1 − .cosθ) a AM r 2.a 1 1 r De même = . (1 + .cosθ) BM r 2.a Potentiel crée par un dipôle Dans l’approximation dipôlaire, le potentiel crée en M (r, θ, ϕ) par un dipôle placé en O a pour expression : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) V (M ) = Électromagnétisme p.cosθ 4.π.ǫ0 .r 2 16 / 21 Dipôle électrostatique Champ électrique Relation champ-potentiel : E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 17 / 21 Dipôle électrostatique Champ électrique ÐÐ→ Ð → Relation champ-potentiel : E (M ) = −gradV (M ) ÐÐ→ 1 ∂A Ð ∂A Ð . e→r + . e→θ gradA(r, θ) = ∂r r ∂θ Pour le potentiel : ∂A = ∂r ∂A = ∂θ E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 17 / 21 Dipôle électrostatique Champ électrique ÐÐ→ Ð → Relation champ-potentiel : E (M ) = −gradV (M ) ÐÐ→ 1 ∂A Ð ∂A Ð . e→r + . e→θ gradA(r, θ) = ∂r r ∂θ Pour le potentiel : ∂A 2.p.cosθ =− ∂r 4.π.ǫ0 .r 3 ∂A p.sinθ =− ∂θ 4.π.ǫ0 .r 2 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 17 / 21 Dipôle électrostatique Champ électrique ÐÐ→ Ð → Relation champ-potentiel : E (M ) = −gradV (M ) ÐÐ→ 1 ∂A Ð ∂A Ð . e→r + . e→θ gradA(r, θ) = ∂r r ∂θ Pour le potentiel : ∂A 2.p.cosθ =− ∂r 4.π.ǫ0 .r 3 ∂A p.sinθ =− ∂θ 4.π.ǫ0 .r 2 Champ électrique crée par un dipôle On déduit de l’expression du potentiel dans l’approximation dipolaire : Ð → p.cosθ . (2.cosθ.Ð e→r + sinθ.Ð e→θ ) E (M ) = 4.π.ǫ0 .r 3 E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 17 / 21 Dipôle électrostatique E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Topographie Électromagnétisme 18 / 21 Dipôle électrostatique Action d’un champ sur un dipôle Ð → E ext Position initiale du dipôle + - Action d’un champ extérieur uniforme sur un dipôle On considère un champ extérieur uniforme dans la zone du dipôle. Pour le dipôle placé en M , on aura : Ð → → Ð → Moment: Γ = Ð p ∧ E ext Ð → Ð → Résultante: F = 0 Ð → → Énergie potentielle: Ep = −Ð p ⋅ E ext E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 19 / 21 Dipôle électrostatique Action d’un champ sur un dipôle Ð → E ext Position initiale du dipôle + - Action d’un champ extérieur uniforme sur un dipôle On considère un champ extérieur uniforme dans la zone du dipôle. Pour le dipôle placé en M , on aura : Ð → → Ð → Moment: Γ = Ð p ∧ E ext Ð → Ð → Résultante: F = 0 Ð → → Énergie potentielle: Ep = −Ð p ⋅ E ext E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 19 / 21 Dipôle électrostatique Action d’un champ sur un dipôle Ð → E ext Position à l’équilibre du dipôle - + Action d’un champ extérieur uniforme sur un dipôle On considère un champ extérieur uniforme dans la zone du dipôle. Pour le dipôle placé en M , on aura : Ð → → Ð → Moment: Γ = Ð p ∧ E ext Ð → Ð → Résultante: F = 0 Ð → → Énergie potentielle: Ep = −Ð p ⋅ E ext E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 19 / 21 Dipôle électrostatique Liaisons de Van de Waals Dipôle induit Polarisabilité Ð → Sous l’action d’un champ électrique E ext , des atome ou molécule non → polaires acquièrent un moment dipolaire Ð p . On définit la polarisabilité α de l’atome ou de la molécule telle que E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Ð → Ð → p = ǫ0 .α. E ext Électromagnétisme 20 / 21 Dipôle électrostatique Liaisons de Van de Waals Solvatation E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 21 / 21
