Introduction - Nathalie Rion
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Montage n° 22 Étude expérimentale des oscillations forcées en électricité, à fréquence variable. Introduction Un oscillateur est un système dont un paramètre au moins, varie au cours du temps selon une loi sinusoïdale. Nous rencontrons des phénomènes oscillatoires aussi bien en mécanique qu’en électricité. Il existe 2 catégories d’oscillations : Les oscillations libres (3 régimes différents : critique, pseudo-périodique et apériodique) Les oscillations forcées (soumis à une excitation extérieure. Dans le montage, ce sera la tension du GBF) Nous n’étudierons, au cours de ce montage, que les oscillations forcées. Lors de la fermeture du circuit électrique, la réponse d’un système à une tension sinusoïdale est composée d’un régime transitoire puis d’un régime permanent. Nous limiterons notre étude à celle du régime permanent. Nous étudierons plus particulièrement le phénomène de résonance (une des caractéristiques étudiée (tension ou courant) est maximale pour une fréquence donnée. Il sera donc intéressant de faire l’étude du circuit à fréquence variable. Prendre GBF à fréquence affichable… Attention : ne pas prendre les bobines à boutons (r trop élévée !!!). Pendre les grosses bobines varaibles (type rhéostat) Etude du circuit RLC série en régime permanent [3] I. I.1 Mise en évidence du phénomène de résonance [3] p.397 mesure r à l’ohmmètre. On prendra R=r. y1 Tout d’abord, sans oscillo. en position 1 (sans circuit oscillant) : la lampe GBF brille (ajuster GBF) en position 2 (dans le circuit oscillant), la lampe L=0,1 H R 10 ne brille plus. (car le courant est trop faible.) Si r=11,6 on fait varier f, on remarque que la lampe brille pour une certaine fréquance que l’on va noter 1 (attention à la tension max admise par le 2 condensateur. S’il le faut, mettre voltmètre sur le condo) - f0=1/2π√𝐿𝐶 C=0,1F 6V y2 Visualisation à l’oscillo. On fait remarquer que i est max pour cette fréquence et que u et i sont en phase. C’est ce qu’on appelle la résonance. I.2 Etude de la résonance en intensité [3] p.398 I.2.1 y1=Ve Variation du gain avec la fréquence G=Vs/Ve I.2.1.1 Estimation de la fréquence de résonance A la résonance, u et i sont en phase. On peut donc estimer la fréquence de résonance à l’aide des courbes de Lissajous (oscillo en mode XY). Quand on aura une droite, on sera en phase. f0= I.2.1.2 Tracé de la courbe de gain au voisinage de f0 On trace Vs/Ve=f(f) (Regressi) i L=0,1 H r=32 GBF C=0,5F R y2=Vs 110 15 points environ tous les 25 Hz 1 𝑉𝑠 1 Ve=ZI=√𝑅𝑇 2 + (𝐿𝜔 − 𝐶𝜔)2I= 𝑅 √𝑅𝑇 2 + (𝐿𝜔 − 𝐶𝜔)2 𝑉𝑠 𝑉𝑒 = 𝑅 2 √𝑅𝑇 +(𝐿𝜔− 1 2 ) 𝐶𝜔 Le gain sera maximal pour L=1/C (à faire en préparation. On ne prend qu’un point devant le jury) On constate bien un pic de courant à la fréquence de résonance. (on a en fait un filtre passe bande) Déterminer f0 – calcul d’erreur Comparer à la théorie : f0=1/2π√𝐿𝐶 I.2.1.3 Notion de bande passante La bande passante permet de caractériser l’étroitesse du signal aux niveau de la résonance. On la note f. Elle représente les fréquences pour lesquelles on a une puissance divisé par 2, soit un gain divisé par √2 . On repère la valeur de Gmax (sur la courbe). On divise Gmax par √2 et on repère f2>f0 et f1<f0 pour lesquelles on obtient cette valeur. On ne peut le faire qu’avec la courbe !!! A comparer avec la théorie : f=Rtot/2πL On augmente R : recalculer f et vérifier que f augmente (la résonance est moins aigue). I.2.1.4 Facteur de qualité On introduit la notion de facteur de qualité : Q= f0/f=𝑅 1 𝑡𝑜𝑡 𝐿 √ 𝐶 Calculer et comparer à la théorie. Q représente l’acuité de la résonance. + Q est grand, + la bande passante est étroite. I.2.2 Variation du déphasage avec la fréquence I.2.2.1 Observation Observations faites à l’oscillo. On dessine pour chacun des cas Vs et Ve en fonction de t et on fait les constatations suivantes : f> f0 Vs en retard sur Ve (Vs passer par 0 après Ve) <0 f< f0 Vs en avance sur Ve (Vs passer par 0 avant Ve) >0 I.2.2.2 Mesure du déphasage On fait la mesure de soit en mode normal, soit en mode Lissajous: =d/D. Et on trace =f(f) (Quaranta vol III 1992 : 1. centrer la figure : X et Y à la masse et mettre le spot à la croisée du réticule; 2. Mesurer d sur la règle centrale verticale ; 3. X à la masse, on a segment vertical dont on mesure la longueur sur la règle centrale verticale) Ne faire qu’une seule mesure en direct. Le reste en prépa. Discuter le fonctionnement du circuit en fonction de la fréquence : =0 circuit purement résistif. =0 car Uc et Ul sont égales et en opposition de phase, donc elles s’annulent En HF () : circuit inductif car 1/C0 Z=R+jL En BF (0) : circuit capacitif car L<<1/C Z=R+1/jC I.2.3 Surtension aux bornes de C A la résonance en intensité, Uc = QVe Uc= Ve= Q= On augmente R : vérifier que la fréquence de résonance est la même. Mesurer Ve et Uc. On en déduit Q. (la résonance est moins aigue). L’inverse si on diminue R. Uc peut devenir très grand dans un circuit pour lequel Q est grand. Attention à ne pas détériorer le circuit !!! La résonance peut être un phénomène dangereux en électricité aussi. II. Circuit LC parallèle : résonance en tension [1] II.1 Détermination de la fréquence de résonance R=1 k (attention ≠ du Bellier) (pour avoir meilleur Q) L=16 mH et C=0,1F variables (boîte à bouton) fthéorique=1/2π√𝐿𝐶 Lorsque Ve et Vs sont en phase, Vs est max. On en déduit f 0 C’est un filtre passe bande. (utilisé pour la réception des ondes électromagnétique hertziennes.) II.2 R Ve GBF Influence de la valeur de L et C sur la fréquence de résonance L (mH) 16 64 16 16 C (F) 0,1 0,1 0,1 0,4 f0 (kHz) 4 2,1 4 2 Conclusion On a abordé dans ce montage, la résonance en tension et en intensité. On a vu que les caractéristiques de la résonance (fréquence, bande passante, facteur de qualité) dépendent des composants utilisés dans le circuit (R, L et C). Il est donc assez aisé de maîtriser le phénomène de résonance, c’est à dire de l’éviter, ou au contraire, le provoquer. Nous avons abordé dans ce montage, des filtres du 2nd ordre : filtres passe bande. Il faut savoir qu’il existe d’autres types de filtres : les filtres passe haut, passe bas et réjecteur de bande. Les applications sont nombreuses : sélectionner un fréquence (radio par exemple) ou l’allumage des bougies. BIBLIO Bellier Dunod chap 9 p.150 [1] Duffait capes p.48 et p.54 pour les différents régimes [2] Quaranta IV p.389 [3] Questions 1. Pourquoi prend-on Vs/Ve ? car Ve n’est pas constant car l’impédance du cricuit varie (à la résonance, l’impédance est mini (environ 70 ). On demande donc de + en + de courant au GBF. Donc sa tension diminue (ce n’est pas un géné idéal : il possède une résistance interne). Donc Vs est + fort à la résonance car courant fort. 2. Autre façon de maintenir Ve constant ? réajuster manuellement Ve sur le GBF ou utiliser un AO suiveur. (impédance d’entrée infinie pour l’AO. Le GBF voit donc toujours la même impédance, donc Ve reste constant. Mais attention, en pratique ça ne fonctionne pas toujours car AO est limité en courant (20 mA) 3. Pourquoi Imax/√𝟐 ? car la puissance est divisée par 2. P=UI. U=Umax/√2 et I=Imax/√2. P=Pmax/2 4. Quel est l’intérêt de Q ? quand Q petit, f large et quand Q grand, f étroit. Donc sélection + facile de la fréquence. les oscillations Présentes dans presque tous les domaines de la physique, les oscillations font partie de notre univers quotidien. Cependant, la compréhension fine et rigoureuse des phénomènes périodiques n'a débuté qu'au Vs XVIIe siècle avec l'avènement des grands principes de la mécanique. La méthode développée s'est avérée très fructueuse, car, quelle que soit la nature du système, la description utilisée a une portée générale. Cet outil est aujourd’hui fondamental en acoustique, en électricité ou en construction technique. Le mouvement périodique Un phénomène est qualifié de «périodique» s'il se reproduit identiquement à des instants séparés par une durée constante, appelée période. Par exemple, les battements de cœur d'un individu au repos sont périodiques, avec une période de l'ordre d'une seconde. L'inverse de la période s'appelle la fréquence. Son unité physique est le hertz (Hz). On donne parfois les fréquences en «périodes» car elles représentent le nombre d'oscillations par seconde. Ainsi, on appelle familièrement «le cinquante périodes» le courant alternatif du réseau, dont la fréquence est de 50 Hz. L'approche la plus simple consiste en l'étude d'un système qui peut être décrit complètement par une seule variable. On parle alors de système à un seul degré de liberté. L'oscillateur harmonique On appelle oscillateur harmonique un mobile dont le mouvement est régi par une relation de proportionnalité entre son accélération et sa position par rapport à un point de référence. Le fait que la vitesse soit absente dans l'équation du mouvement a pour conséquence la conservation de l'énergie mécanique. Dans le modèle de l'oscillateur harmonique, on suppose que le mouvement n'est pas amorti. Cependant, quand l'amortissement est très faible, on peut l'utiliser et calculer le mouvement sur un intervalle de temps assez court, ce qui permet de négliger tout effet de dissipation. De plus, le terme de proportionnalité de la relation doit être négatif. L'équation mathématique du mouvement est donc: γ = Ax, où γ est l'accélération du mobile, x son déplacement, avec A < 0. En posant A = − ω2 (ce qui est toujours possible, car A est négatif), on obtient l'équation de l'oscillateur harmonique: γ + ω2 x = 0. Cette forme est intéressante, car elle permet de dire que le déplacement x du mobile, solution de cette équation, est une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation ω. Le système masse‑ressort L'oscillateur harmonique le plus simple et le plus facile à étudier est le système composé d'une masse et d'un ressort. Dans un premier temps, nous supposerons que ce système est installé sur un plan horizontal. Le ressort, dont la masse est négligeable, est fixé à l'une de ses extrémités en un point du plan; on attache la masse à son autre extrémité. Pour que l'on puisse négliger l'amortissement du mouvement, il faut que le contact entre la masse et le plan se fasse avec le moins de frottements possible. On repère la position d'équilibre de la masse, puis on la déplace et on la lâche. Pour décrire le mouvement, on utilise le principe fondamental de la dynamique, lequel suppose l'égalité entre le produit de la masse par l'accélération et la somme de toutes les forces extérieures qui s'exercent sur le système. Quelles sont donc les forces qui agissent sur la masse? Il y a, bien sûr, l'action du ressort, mais aussi le poids et la réaction du plan sur la masse. Comme celui-ci est horizontal, ces deux dernières forces s'équilibrent; il ne reste que l'action du ressort sur la masse. C'est une force de rappel, car elle tend à ramener la masse vers sa position d'équilibre, dont l'intensité est proportionnelle au déplacement par rapport à cette position. L'écriture mathématique du principe de la dynamique donne donc: mγ = − kx. On a noté par m la valeur de la masse, par γ l'accélération du mobile, par k la raideur caractéristique du ressort, et par x le déplacement de la masse par rapport à sa position d'équilibre. En divisant les deux termes par la masse, on exprime l'équation sous la forme classique des oscillateurs harmoniques: Le système est donc un oscillateur harmonique dont la pulsation est égale à la racine carrée du rapport de la raideur du ressort sur la masse: Le mouvement de la masse est sinusoïdal, de pulsation ω. Il est intéressant de constater que cette dernière est indépendante des conditions initiales du mouvement. Il en est évidemment de même de la période des oscillations, qui est proportionnelle à l'inverse de cette pulsation. Au lieu de faire osciller la masse sur un plan horizontal, on peut la suspendre au ressort et la faire osciller verticalement. On montre facilement que le système est encore un oscillateur harmonique, de même pulsation que précédemment. Le pendule simple Un pendule simple est formé d'une petite masse suspendue à un fil de longueur donnée. Si on l'écarte de sa position d'équilibre, il oscille en décrivant un arc de cercle. En examinant soigneusement les différentes forces qui s'exercent sur la masse puis en les reliant à l'accélération angulaire, on trouve que le pendule simple n'est pas un oscillateur harmonique pour toutes les amplitudes de mouvement. Cependant, le comportement du pendule se rapproche très fortement de celui d'un oscillateur harmonique pour de petites oscillations autour de la position verticale d'équilibre. Dans cette limite d'amplitude, le pendule simple est presque un oscillateur harmonique, dont la pulsation est égale à la racine carrée du rapport de l'accélération terrestre sur la longueur du fil: La période d'oscillation dépend également des mêmes grandeurs physiques mais pas de l'amplitude initiale du mouvement, tant qu'elle reste petite. Galilée semble avoir été le premier à remarquer cet isochronisme des petites oscillations, en regardant, si l'on en croit la légende, un lustre se balancer pendant une messe interminable... C'est en tout cas cette propriété qui amène Christiaan Huygens, dès 1655, à utiliser le pendule pour réguler une horloge, dont la précision gagne ainsi, d'un seul coup, un facteur mille; les modèles précédents, régulés par l'élasticité d'une lame, étaient moins précis encore que les horloges à eau. L'horloge à pendule parvient rapidement à tenir la seconde pendant vingt‑quatre heures. Quant aux montres, elles vont aussi être régulées par un pendule, mais d'un tout autre type: un volant mobile autour d'un axe est rappelé vers sa position d'équilibre par un ressort spiral. Ce système est plutôt la transposition, dans un mouvement de rotation, du système masse‑ressort traité plus haut. Le carré de sa pulsation est encore égal au rapport du terme de rappel sur le terme d'inertie. Le premier, toujours caractéristique du ressort, est un couple par angle de torsion, au lieu d'une force par mètre d'allongement. Le second, à la place de la masse, est le moment d'inertie du volant. Le pendule près de l'équateur En 1671, l'astronome français Jean Richer installe à Cayenne, en Guyane, un observatoire qui doit lui permettre d'effectuer, en collaboration avec Jean Dominique Cassini à Paris, la première mesure des dimensions du système solaire. Or Richer constate que le pendule d'une horloge bat plus lentement à Cayenne qu'à Paris. C'est donc que la pesanteur y est plus faible. Cette découverte permet à Isaac Newton, quelques années plus tard, de prédire l'aplatissement de la Terre aux pôles, ce qui implique, en effet, que Paris est plus près du centre de la Terre que Cayenne. L'analogie électrique Si l'on branche un condensateur chargé sur une bobine de résistance négligeable, on obtient un circuit où la charge électrique oscille entre les deux plaques du condensateur. L'égalité des tensions aux bornes de chacun des deux dipôles permet d'écrire une équation qui relie la charge q à sa dérivée seconde par rapport au temps: Le système est bien un oscillateur harmonique. Sa pulsation est l'inverse de la racine carrée du produit des caractéristiques des dipôles (L est l'auto‑induction de la bobine, et C la capacité du condensateur): La charge électrique q, l'intensité i et la différence de potentiel U varient donc en fonction du temps de façon sinusoïdale: q= + i= = + U= = + Outre ses nombreuses applications en électronique, ce circuit permet de modéliser simplement un système masse‑ressort; la masse peut être représentée par l'auto‑induction de la bobine, et la raideur du ressort par l'inverse de la capacité du condensateur. De la même façon, des circuits plus sophistiqués permettent de modéliser des systèmes de masses et de ressorts plus complexes, et donc de les étudier plus commodément; il est en effet plus simple de tourner le bouton d'un condensateur variable que de modifier la raideur d'un ressort... Par ailleurs, de même que le contact entre la masse et le plan était sans frottements, on remarque que la bobine est sans résistance. Dans les deux cas, il s'agit d'éviter l'amortissement. L'amortissement Si l'on ne néglige plus les frottements (ou la résistance globale, dans le cas du circuit), on introduit dans l'équation de la dynamique un terme supplémentaire, lié, le plus souvent, à la vitesse. Bien que les frottements puissent être dus à des causes très diverses, on ne s'intéresse ici qu'aux frottements visqueux, que l'on exprime dans l'équation du mouvement sous la forme d'une force dissipative, liée à la vitesse. On fait généralement l'hypothèse de proportionnalité entre cette force et la vitesse du mobile. Il existe, de façon analogue, un composant électrique, la résistance, qui provoque une chute de tension, proportionnelle à l'intensité de courant qui la traverse. Si la comparaison entre système mécanique et circuit électrique est encore possible, il n'y a cependant plus de comportement harmonique. La fonction décrivant le déplacement du mobile et celle décrivant la charge électrique ne sont plus sinusoïdales; chacun des systèmes transforme en chaleur une partie de son énergie mécanique ou électrique, et les oscillations s'amortissent. Elles peuvent même disparaître si l'amortissement est suffisamment important. La limite de l'amortissement au‑delà de laquelle il n'y a plus d'oscillations s'appelle l'amortissement critique. Dans le cas où il y a encore des oscillations, leur pseudo‑période est plus grande que la période de l'oscillateur non amorti. Cette différence augmente avec l'amortissement. Le temps de relaxation Le temps de relaxation est une caractéristique de l'oscillateur amorti. Pour comprendre son rôle, on peut reprendre le système masse‑ressort en ajoutant une force de frottement. Cette dernière, qu'on suppose proportionnelle à la vitesse, s'oppose toujours à l'avancement du système; on justifie ainsi le signe négatif de cette force dans l'équation du mouvement. L'application du principe fondamental de la dynamique donne donc: m γ = −; Av − kx, ou encore: Comme on l'a vu pour l'oscillateur harmonique, le coefficient du déplacement correspond au carré de la pulsation de l'oscillateur non amorti. On le note ω2. On définit le temps de relaxation du système par l'inverse du coefficient de la vitesse. En le notant par τ, l'équation du mouvement devient: La pulsation de l'oscillateur non amorti ω et le temps de relaxation τ décrivent complètement l'oscillateur amorti. Si l'amortissement est faible, la multiplication de ces deux caractéristiques donne une valeur très supérieure à l'unité. Ainsi, pour une corde de piano, qui doit être peu amortie pour émettre un son, ce produit est de l'ordre du millier. Un autre calcul montre que l'on atteint l'amortissement critique lorsque ce produit vaut la résonance La résonance d'un oscillateur se caractérise par l'augmentation de l'amplitude d'oscillations entretenues lorsque la fréquence des impulsions excitatrices correspond à la fréquence du système. Au lieu d'abandonner l'oscillateur à lui-même après l'avoir écarté de sa position d'équilibre, on peut exercer sur lui une action périodique de forme sinusoïdale, si on le souhaite. On peut, par exemple, imposer de petites oscillations horizontales au point d'attache d'un pendule, ou bien de petites oscillations verticales au point de suspension d'un ressort supportant une masse. On constate, dans ce cas, que le système répond et oscille à la même pulsation que celle de l'excitation. Cependant, l'amplitude des oscillations du système change très fortement lorsqu'on fait varier la pulsation du déplacement excitateur. Celle-ci atteint un maximum pour la valeur de la pulsation qui correspond à la résonance du système. Cette valeur est d'autant plus proche de la pulsation naturelle du système et le pic de résonance est d'autant plus pointu que l'amortissement est faible. À la résonance, les frottements dissipent une grande quantité d'énergie, car les mouvements du système ont une grande amplitude. Puisque le mouvement est périodique, cette perte est compensée par l'énergie fournie au système par l'action excitatrice. L'absorption efficace de l'énergie demande que la force excitatrice s'exerce toujours au bon moment et dans le bon sens. Dans le cas du système masse‑ressort, par exemple, l'impulsion doit avoir le même sens que la vitesse de la masse. Pour cela, il suffit de remarquer que l'excitation et la réponse doivent être décalées d'un quart de période: on dit qu'elles sont en quadrature. On peut d'ailleurs const Le circuit résonant Le circuit résonant est obtenu en montant en série une résistance variable, une bobine, un condensateur, ainsi qu'un générateur produisant une tension sinusoïdale de petite amplitude dont on peut régler la pulsation à volonté. Par un second montage, il est facile d'afficher simultanément les courbes de tension et d'intensité, ce qui permet une comparaison directe. On constate ainsi que l'amplitude maximale de l'intensité est obtenue exactement à la pulsation naturelle du circuit non amorti. Le pic est d'autant plus pointu que la résistance variable est faible. On remarque également que la tension et le courant sont en phase à la résonance. Or l'intensité du courant est la dérivée de la charge électrique par rapport au temps. Ces deux grandeurs électriques sont effectivement décalées d'un quart de période, ce qui implique que la tension d'excitation est également en quadrature par rapport à la charge électrique qui constitue la réponse du système. On peut s'étonner de voir que la résonance se produit exactement à la pulsation naturelle du circuit. En fait, l'opération de dérivation par rapport au temps décale l'intensité du courant par rapport à la charge électrique. Cet écart tend à s'annuler quand l'amortissement diminue. Système à deux degrés de liberté Le phénomène de résonance est extrêmement fréquent, et peut être observé dans un grand nombre de domaines. Mais les systèmes où il se manifeste sont en général plus compliqués que l'oscillateur à une seule dimension. On dit qu'un système possède deux degrés de liberté si deux variables sont nécessaires pour décrire son état. On peut, par exemple, réaliser un tel système en réunissant par un fil horizontal les fils de deux pendules identiques. Modes du système Si l'on lance ce système d'une façon quelconque, aucun des deux pendules n'a de mouvement sinusoïdal. Ils oscillent avec des amplitudes variables, et il arrive même que l'un d'eux s'arrête avant de recommencer à vibrer. En négligeant l'amortissement, on constate par l'expérience ou par le calcul qu'il existe deux situations, appelées modes du système, où les mouvements sont sinusoïdaux, de même pulsation pour les deux pendules. Le premier mode correspond à un mouvement identique des deux pendules. Dans ce cas, on devine sans peine que le fil horizontal ne joue aucun rôle, et que la pulsation associée à ce mode est la même que celle des oscillations libres de l'un des deux pendules. Dans le second mode, les deux pendules oscillent en opposition de phases. Le fil horizontal a un rôle actif puisqu'il exerce sur chacun des deux pendules une force de rappel. La conséquence de cette action supplémentaire est que la pulsation associée à cette vibration est plus importante que celle du premier mode. Si l'on s'arrange pour lancer le système dans une situation compatible avec l'un ou l'autre de ces deux modes, il va osciller indéfiniment dans ce mode de façon sinusoïdale, à condition qu'il n'y ait pas d'amortissement. En écartant simplement l'un des pendules avant de le lâcher, on génère un mouvement non sinusoïdal; on voit les pendules s'arrêter à tour de rôle, avec un intervalle de temps correspondant à la différence des fréquences associées à chacun des deux modes. Résonance Ici encore, on peut soumettre le système à une petite excitation de forme sinusoïdale. Le mouvement qui en résulte est faible et désordonné, sauf si la pulsation d'excitation est voisine de celle de l'un ou de l'autre mode de vibration. Dans ce cas, si l'amortissement est faible, le système oscille de manière conforme au mode correspondant avec une amplitude qui peut devenir considérable. On a donc deux résonances différentes, correspondant chacune à l'un des modes du système. Cela se produit Systèmes à grand nombre de modes Si le nombre de degrés de liberté d'un système augmente, son nombre de modes croît de la même façon car il y a toujours un mode de vibration par degré de liberté du système. La corde La corde élastique homogène tendue est un système oscillant particulièrement important. Son étude permet de décrire le comportement aussi bien des instruments de musique que des lignes électriques ou des ponts suspendus, par exemple. Enfin, c'est un modèle très fructueux pour tous les corps mécaniques élancés, comme les poutres, dont l'une des dimensions est largement supérieure aux deux autres. Physiquement, la corde élastique est un milieu continu qui contient un nombre gigantesque de molécules. On peut considérer que chacune de ces particules, de masse non négligeable, est reliée à ses voisines par un élastique. Si le «collier» ainsi formé comporte un nombre suffisamment élevé d'éléments de base, son comportement sera proche de celui d'une vraie corde. Aux premiers modes, pour la déformation comme pour la pulsation, les valeurs déterminées par le modèle discontinu sont très proches de celles mesurées sur une corde réelle. Cette représentation du milieu continu est physiquement satisfaisante, car l'énergie totale de vibration de la corde se retrouve presque intégralement dans les premiers modes. La pulsation augmente avec le numéro du mode, comme pour le modèle à deux degrés de liberté. D'ailleurs, pour les premiers modes, cet accroissement se fait de manière proportionnelle à la première pulsation; ainsi, la deuxième vaut le double de la première, la troisième vaut le triple de la deuxième... Son de la guitare classique Dans les applications de la corde élastique à la musique, ces modes ont reçu des noms particuliers. Le premier mode est qualifié de «fondamental», tout comme sa fréquence associée. Les modes suivants s'appellent les «harmoniques»; l'harmonique 2 a une fréquence double de celle du fondamental, l'harmonique 3 pincée au clavecin, la corde oscille avec un mouvement qui est une superposition de plusieurs modes. On retrouve surtout le fondamental, mais aussi certains harmoniques, dont l'amplitude dépend des qualités de la corde et de l'endroit où la corde est attaquée. Le timbre de l'instrument est partiellement déterminé par l'importance de ces harmoniques. Quant à l'effet de l'archet sur les cordes d'un violon ou d'un violoncelle (il ne s'agit ni d'une attaque nette ni d'une excitation réellement entretenue), son étude est très complexe. La résonance paramétrique Comment, avec une balançoire, monter de plus en plus haut, sans aide extérieure? Il suffit d'élever et d'abaisser son centre de masse au bon moment. En l'élevant au passage de la position verticale et en l'abaissant en bout de course, le corps fournit plus de travail qu'il n'en récupère. La différence sert à accroître, puis à entretenir le balancement. Cette résonance, obtenue sans action périodique extérieure, s'appelle résonance paramétrique. De la même façon, une montre oignon suspendue à un fil peut se mettre peu à peu à osciller si la longueur du fil communique au pendule ainsi formé une période égale à celle de l'échappement de la montre. Le résonateur Si l'on excite un système de telle sorte que, dans la superposition des fréquences, l'une corresponde à un mode de résonance, l'oscillation associée à ce mode est amplifiée. Ainsi, en soufflant dans le goulot d'une bouteille, on parvient à produire un son assez pur, généralement grave, évoquant la corne de brume d'un navire. Comme le verre amortit très peu ces vibrations, la fréquence du son est très proche de la fréquence propre du système, que l'on peut modéliser aisément lorsque la bouteille a un goulot de forme simple. Dans ce cas, le système est équivalent à un oscillateur harmonique, dans lequel l'air du goulot est la masse, et l'air de la bouteille le ressort. Ce modèle donne donc, par un calcul simple, la fréquence de l'oscillateur correspondant, que l'on peut comparer à celle de la note obtenue à la résonance. L'accord entre ces deux valeurs est souvent excellent, malgré le caractère très rudimentaire de la représentation du problème. La résonance paramagnétique électronique (RPE) C'est un phénomène de résonance ayant lieu entre un système d'atomes paramagnétiques, ‑à‑dire ayant un moment magnétique non nul (dû à la présence d'électrons célibataires), soumis à un champ magnétique H, et une onde électromagnétique dont la fréquence est exactement égale à celle du mouvement de précession du moment magnétique des atomes autour de la direction de H. En chimie, on utilise la résonance paramagnétique électronique pour élucider la structure de certaines molécules (des radicaux notamment).
