Introduction - Nathalie Rion

Montage n° 22
Étude expérimentale des oscillations forcées en électricité, à fréquence
variable.
Introduction
Un oscillateur est un système dont un paramètre au moins, varie au cours du temps selon une
loi sinusoïdale. Nous rencontrons des phénomènes oscillatoires aussi bien en mécanique qu’en
électricité.
Il existe 2 catégories d’oscillations :
 Les oscillations libres (3 régimes différents : critique, pseudo-périodique et apériodique)
 Les oscillations forcées (soumis à une excitation extérieure. Dans le montage, ce sera la
tension du GBF)
Nous n’étudierons, au cours de ce montage, que les oscillations forcées. Lors de la fermeture
du circuit électrique, la réponse d’un système à une tension sinusoïdale est composée d’un
régime transitoire puis d’un régime permanent. Nous limiterons notre étude à celle du régime
permanent.
Nous étudierons plus particulièrement le phénomène de résonance (une des caractéristiques
étudiée (tension ou courant) est maximale pour une fréquence donnée. Il sera donc intéressant
de faire l’étude du circuit à fréquence variable.
Prendre GBF à fréquence affichable… Attention : ne pas prendre les bobines à boutons
(r trop élévée !!!). Pendre les grosses bobines varaibles (type rhéostat)
I. Etude du circuit RLC série en régime permanent [3]
I.1 Mise en évidence du phénomène de résonance [3] p.397
mesure r à l’ohmmètre. On prendra R=r.
 Tout d’abord, sans oscillo.
en position 1 (sans circuit oscillant) : la lampe
brille (ajuster GBF)
en position 2 (dans le circuit oscillant), la lampe
ne brille plus. (car le courant est trop faible.) Si
on fait varier f, on remarque que la lampe brille
pour une certaine fréquance que l’on va noter
(attention à la tension max admise par le
condensateur. S’il le faut, mettre voltmètre sur le
condo) - f0=1/2π
 Visualisation à l’oscillo.
On fait remarquer que i est max pour cette fréquence et que u et i sont en phase. C’est ce qu’on
appelle la résonance.
I.2 Etude de la résonance en intensité [3] p.398
I.2.1 Variation du gain avec la fréquence
G=Vs/Ve
I.2.1.1 Estimation de la fréquence de résonance
A la résonance, u et i sont en phase. On peut donc
estimer la fréquence de résonance à l’aide des courbes
de Lissajous (oscillo en mode XY). Quand on aura une
droite, on sera en phase.
f0=
I.2.1.2 Tracé de la courbe de gain au voisinage de f0
On trace Vs/Ve=f(f) (Regressi)
y1
R
y2
GBF
L=0,1 H
r=11,6
C=0,1F
10 
6 V
1
2
y2=Vs
R
y1=Ve
GBF
L=0,1 H
r=32
C=0,5F
110 
i

15 points environ tous les 25 Hz
Ve=ZI=
I=
Le gain sera maximal pour L=1/C
(à faire en préparation. On ne prend qu’un point devant le jury)
On constate bien un pic de courant à la fréquence de résonance. (on a en fait un filtre
passe bande)
Déterminer f0 – calcul d’erreur
Comparer à la théorie : f0=1/2π
I.2.1.3 Notion de bande passante
La bande passante permet de caractériser l’étroitesse du signal aux niveau de la
résonance. On la note f. Elle représente les fréquences pour lesquelles on a une
puissance divisé par 2, soit un gain divisé par  . On repère la valeur de Gmax (sur la
courbe). On divise Gmax par  et on repère f2>f0 et f1<f0 pour lesquelles on obtient cette
valeur. On ne peut le faire qu’avec la courbe !!!
A comparer avec la théorie : f=Rtot/2πL
On augmente R : recalculer f et vérifier que f augmente (la résonance est moins
aigue).
I.2.1.4 Facteur de qualité
On introduit la notion de facteur de qualité : Q= f0/f= 
Calculer et comparer à la théorie.
Q représente l’acuité de la résonance. + Q est grand, + la bande passante est étroite.
I.2.2 Variation du déphasage avec la fréquence
I.2.2.1 Observation
Observations faites à l’oscillo. On dessine pour chacun des cas Vs et Ve en fonction de t
et on fait les constatations suivantes :
f> f0 Vs en retard sur Ve (Vs passer par 0 après Ve) <0
f< f0 Vs en avance sur Ve (Vs passer par 0 avant Ve) >0
I.2.2.2 Mesure du déphasage
On fait la mesure de  soit en mode normal, soit en mode Lissajous:
=d/D. Et on trace =f(f)
(Quaranta vol III 1992 : 1. centrer la figure : X et Y à la masse et mettre le
spot à la croisée du réticule; 2. Mesurer d sur la règle centrale verticale ; 3.
X à la masse, on a segment vertical dont on mesure la longueur sur la
règle centrale verticale)
Ne faire qu’une seule mesure en direct. Le reste en prépa.
Discuter le fonctionnement du circuit en fonction de la fréquence :
 =0 circuit purement résistif. =0 car Uc et Ul sont égales et en opposition de
phase, donc elles s’annulent
 En HF () : circuit inductif car 1/C0 Z=R+jL
 En BF (0) : circuit capacitif car L<<1/C Z=R+1/jC
I.2.3 Surtension aux bornes de C
A la résonance en intensité, Uc = QVe
Uc= Ve= Q=

On augmente R : vérifier que la fréquence de résonance est la même. Mesurer Ve et Uc.
On en déduit Q. (la résonance est moins aigue).
L’inverse si on diminue R. Uc peut devenir très grand dans un circuit pour lequel Q est
grand. Attention à ne pas détériorer le circuit !!!
La résonance peut être un phénomène dangereux en électricité aussi.
II. Circuit LC parallèle : résonance en tension [1]
II.1 Détermination de la fréquence de résonance
R=1 k (attention ≠ du Bellier) (pour avoir meilleur Q)
L=16 mH et C=0,1F variables (boîte à bouton)
fthéorique=1/2π
Lorsque Ve et Vs sont en phase, Vs est max. On en déduit f0
C’est un filtre passe bande. (utilisé pour la réception des ondes
électromagnétique hertziennes.)
II.2 Influence de la valeur de L et C sur la fréquence de résonance
L (mH)
C (F)
f0 (kHz)
16
0,1
4
64
0,1
2,1
16
0,1
4
16
0,4
2
Conclusion
On a abordé dans ce montage, la résonance en tension et en intensité. On a vu que les
caractéristiques de la résonance (fréquence, bande passante, facteur de qualité) dépendent
des composants utilisés dans le circuit (R, L et C). Il est donc assez aisé de maîtriser le
phénomène de résonance, c’est à dire de l’éviter, ou au contraire, le provoquer.
Nous avons abordé dans ce montage, des filtres du 2nd ordre : filtres passe bande. Il faut
savoir qu’il existe d’autres types de filtres : les filtres passe haut, passe bas et réjecteur de
bande.
Les applications sont nombreuses : sélectionner un fréquence (radio par exemple) ou
l’allumage des bougies.
BIBLIO
 Bellier Dunod chap 9 p.150 [1]
 Duffait capes p.48 et p.54 pour les différents régimes [2]
 Quaranta IV p.389 [3]
Questions
1. Pourquoi prend-on Vs/Ve ? car Ve n’est pas constant car l’impédance du cricuit varie (à la résonance,
l’impédance est mini (environ 70 ). On demande donc de + en + de courant au GBF. Donc sa tension
diminue (ce n’est pas un géné idéal : il possède une résistance interne). Donc Vs est + fort à la résonance
car courant fort.
2. Autre façon de maintenir Ve constant ? réajuster manuellement Ve sur le GBF ou utiliser un AO
suiveur. (impédance d’entrée infinie pour l’AO. Le GBF voit donc toujours la même impédance, donc Ve
reste constant. Mais attention, en pratique ça ne fonctionne pas toujours car AO est limité en courant (20
mA)
3. Pourquoi Imax/ ? car la puissance est divisée par 2. P=UI. U=Umax/ et I=Imax/. P=Pmax/2
4. Quel est l’intérêt de Q ? quand Q petit, f large et quand Q grand, f étroit. Donc sélection + facile de la
fréquence.
les oscillations
Présentes dans presque tous les domaines de la physique, les oscillations font partie de notre univers
quotidien. Cependant, la compréhension fine et rigoureuse des phénomènes périodiques n'a débuté qu'au
Vs
R
Ve
GBF

XVIIe siècle avec l'avènement des grands principes de la mécanique. La méthode développée s'est avérée
très fructueuse, car, quelle que soit la nature du système, la description utilisée a une portée générale. Cet
outil est aujourd’hui fondamental en acoustique, en électricité ou en construction technique.
Le mouvement périodique
Un phénomène est qualifié de «périodique» s'il se reproduit identiquement à des instants séparés par une
durée constante, appelée période. Par exemple, les battements de cœur d'un individu au repos sont
périodiques, avec une période de l'ordre d'une seconde.
L'inverse de la période s'appelle la fréquence. Son unité physique est le hertz (Hz). On donne parfois les
fréquences en «périodes» car elles représentent le nombre d'oscillations par seconde. Ainsi, on appelle
familièrement «le cinquante périodes» le courant alternatif du réseau, dont la fréquence est de 50 Hz.
L'approche la plus simple consiste en l'étude d'un système qui peut être décrit complètement par une seule
variable. On parle alors de système à un seul degré de liberté.
L'oscillateur harmonique On appelle oscillateur harmonique un mobile dont le mouvement est régi par une
relation de proportionnalité entre son accélération et sa position par rapport à un point de référence. Le fait que
la vitesse soit absente dans l'équation du mouvement a pour conséquence la conservation de l'énergie
mécanique. Dans le modèle de l'oscillateur harmonique, on suppose que le mouvement n'est pas amorti.
Cependant, quand l'amortissement est très faible, on peut l'utiliser et calculer le mouvement sur un intervalle
de temps assez court, ce qui permet de négliger tout effet de dissipation. De plus, le terme de proportionnalité
de la relation doit être négatif. L'équation mathématique du mouvement est donc: γ = Ax, où γ est l'accélération
du mobile, x son déplacement, avec A < 0. En posant A = − ω2 (ce qui est toujours possible, car A est négatif),
on obtient l'équation de l'oscillateur harmonique: γ + ω2 x = 0. Cette forme est intéressante, car elle permet de
dire que le déplacement x du mobile, solution de cette équation, est une fonction sinusoïdale du temps, de
pulsation ω.
Le système masse ‑ ressort L'oscillateur harmonique le plus simple et le plus facile à étudier est le système
composé d'une masse et d'un ressort. Dans un premier temps, nous supposerons que ce système est installé
sur un plan horizontal. Le ressort, dont la masse est négligeable, est fixé à l'une de ses extrémités en un point
du plan; on attache la masse à son autre extrémité. Pour que l'on puisse négliger l'amortissement du
mouvement, il faut que le contact entre la masse et le plan se fasse avec le moins de frottements possible. On
repère la position d'équilibre de la masse, puis on la déplace et on la lâche. Pour décrire le mouvement, on
utilise le principe fondamental de la dynamique, lequel suppose l'égalité entre le produit de la masse par
l'accélération et la somme de toutes les forces extérieures qui s'exercent sur le système. Quelles sont donc les
forces qui agissent sur la masse?
Il y a, bien sûr, l'action du ressort, mais aussi le poids et la réaction du plan sur la masse. Comme celui-ci est
horizontal, ces deux dernières forces s'équilibrent; il ne reste que l'action du ressort sur la masse. C'est une
force de rappel, car elle tend à ramener la masse vers sa position d'équilibre, dont l'intensité est
proportionnelle au déplacement par rapport à cette position. L'écriture mathématique du principe de la
dynamique donne donc: mγ = − kx.
On a noté par m la valeur de la masse, par γ l'accélération du mobile, par k la raideur caractéristique du
ressort, et par x le déplacement de la masse par rapport à sa position d'équilibre.
En divisant les deux termes par la masse, on exprime l'équation sous la forme classique des oscillateurs
harmoniques:
Le système est donc un oscillateur harmonique dont la pulsation est égale à la racine carrée du rapport de la
raideur du ressort sur la masse:
Le mouvement de la masse est sinusoïdal, de pulsation ω. Il est intéressant de constater que cette dernière
est indépendante des conditions initiales du mouvement. Il en est évidemment de même de la période des
oscillations, qui est proportionnelle à l'inverse de cette pulsation. Au lieu de faire osciller la masse sur un plan
horizontal, on peut la suspendre au ressort et la faire osciller verticalement. On montre facilement que le
système est encore un oscillateur harmonique, de même pulsation que précédemment.
Le pendule simple Un pendule simple est formé d'une petite masse suspendue à un fil de longueur donnée.
Si on l'écarte de sa position d'équilibre, il oscille en décrivant un arc de cercle. En examinant soigneusement
les différentes forces qui s'exercent sur la masse puis en les reliant à l'accélération angulaire, on trouve que le
pendule simple n'est pas un oscillateur harmonique pour toutes les amplitudes de mouvement. Cependant, le
comportement du pendule se rapproche très fortement de celui d'un oscillateur harmonique pour de petites
oscillations autour de la position verticale d'équilibre. Dans cette limite d'amplitude, le pendule simple est
presque un oscillateur harmonique, dont la pulsation est égale à la racine carrée du rapport de l'accélération
terrestre sur la longueur du fil:
La période d'oscillation dépend également des mêmes grandeurs physiques mais pas de l'amplitude initiale du
mouvement, tant qu'elle reste petite. Galilée semble avoir été le premier à remarquer cet isochronisme des
petites oscillations, en regardant, si l'on en croit la légende, un lustre se balancer pendant une messe
interminable... C'est en tout cas cette propriété qui amène Christiaan Huygens, dès 1655, à utiliser le pendule
pour réguler une horloge, dont la précision gagne ainsi, d'un seul coup, un facteur mille; les modèles
précédents, régulés par l'élasticité d'une lame, étaient moins précis encore que les horloges à eau. L'horloge à
pendule parvient rapidement à tenir la seconde pendant vingt‑quatre heures. Quant aux montres, elles vont
aussi être régulées par un pendule, mais d'un tout autre type: un volant mobile autour d'un axe est rappelé
vers sa position d'équilibre par un ressort spiral. Ce système est plutôt la transposition, dans un mouvement de

rotation, du système masse‑ressort traité plus haut. Le carré de sa pulsation est encore égal au rapport du
terme de rappel sur le terme d'inertie. Le premier, toujours caractéristique du ressort, est un couple par angle
de torsion, au lieu d'une force par mètre d'allongement. Le second, à la place de la masse, est le moment
d'inertie du volant.
Le pendule près de l'équateur En 1671, l'astronome français Jean Richer installe à Cayenne, en Guyane, un
observatoire qui doit lui permettre d'effectuer, en collaboration avec Jean Dominique Cassini à Paris, la
première mesure des dimensions du système solaire. Or Richer constate que le pendule d'une horloge bat plus
lentement à Cayenne qu'à Paris. C'est donc que la pesanteur y est plus faible. Cette découverte permet à
Isaac Newton, quelques années plus tard, de prédire l'aplatissement de la Terre aux pôles, ce qui implique, en
effet, que Paris est plus près du centre de la Terre que Cayenne.
L'analogie électrique Si l'on branche un condensateur chargé sur une bobine de résistance négligeable, on
obtient un circuit où la charge électrique oscille entre les deux plaques du condensateur. L'égalité des tensions
aux bornes de chacun des deux dipôles permet d'écrire une équation qui relie la charge q à sa dérivée
seconde par rapport au temps:
Le système est bien un oscillateur harmonique. Sa pulsation est l'inverse de la racine carrée du produit des
caractéristiques des dipôles (L est l'auto‑induction de la bobine, et C la capacité du condensateur):
La charge électrique q, l'intensité i et la différence de potentiel U varient donc en fonction du temps de façon
sinusoïdale:
q = +
i = = +
U = = +
Outre ses nombreuses applications en électronique, ce circuit permet de modéliser simplement un système
masse‑ressort; la masse peut être représentée par l'auto‑induction de la bobine, et la raideur du ressort par
l'inverse de la capacité du condensateur. De la même façon, des circuits plus sophistiqués permettent de
modéliser des systèmes de masses et de ressorts plus complexes, et donc de les étudier plus commodément;
il est en effet plus simple de tourner le bouton d'un condensateur variable que de modifier la raideur d'un
ressort...
Par ailleurs, de même que le contact entre la masse et le plan était sans frottements, on remarque que la
bobine est sans résistance. Dans les deux cas, il s'agit d'éviter l'amortissement.
L'amortissement
Si l'on ne néglige plus les frottements (ou la résistance globale, dans le cas du circuit), on introduit dans
l'équation de la dynamique un terme supplémentaire, lié, le plus souvent, à la vitesse. Bien que les frottements
puissent être dus à des causes très diverses, on ne s'intéresse ici qu'aux frottements visqueux, que l'on
exprime dans l'équation du mouvement sous la forme d'une force dissipative, liée à la vitesse. On fait
généralement l'hypothèse de proportionnalité entre cette force et la vitesse du mobile. Il existe, de façon
analogue, un composant électrique, la résistance, qui provoque une chute de tension, proportionnelle à
l'intensité de courant qui la traverse. Si la comparaison entre système mécanique et circuit électrique est
encore possible, il n'y a cependant plus de comportement harmonique. La fonction décrivant le déplacement
du mobile et celle décrivant la charge électrique ne sont plus sinusoïdales; chacun des systèmes transforme
en chaleur une partie de son énergie mécanique ou électrique, et les oscillations s'amortissent. Elles peuvent
même disparaître si l'amortissement est suffisamment important. La limite de l'amortissement au‑delà de
laquelle il n'y a plus d'oscillations s'appelle l'amortissement critique. Dans le cas où il y a encore des
oscillations, leur pseudo‑période est plus grande que la période de l'oscillateur non amorti. Cette différence
augmente avec l'amortissement.
Le temps de relaxation Le temps de relaxation est une caractéristique de l'oscillateur amorti. Pour
comprendre son rôle, on peut reprendre le système masse‑ressort en ajoutant une force de frottement. Cette
dernière, qu'on suppose proportionnelle à la vitesse, s'oppose toujours à l'avancement du système; on justifie
ainsi le signe négatif de cette force dans l'équation du mouvement. L'application du principe fondamental de la
dynamique donne donc: m γ = −; Av − kx,
ou encore:
Comme on l'a vu pour l'oscillateur harmonique, le coefficient du déplacement correspond au carré de la
pulsation de l'oscillateur non amorti. On le note ω2.
On définit le temps de relaxation du système par l'inverse du coefficient de la vitesse. En le notant par τ,
l'équation du mouvement devient:
La pulsation de l'oscillateur non amorti ω et le temps de relaxation τ décrivent complètement l'oscillateur
amorti. Si l'amortissement est faible, la multiplication de ces deux caractéristiques donne une valeur très
supérieure à l'unité. Ainsi, pour une corde de piano, qui doit être peu amortie pour émettre un son, ce produit
est de l'ordre du millier. Un autre calcul montre que l'on atteint l'amortissement critique lorsque ce produit vaut
la résonance
La résonance d'un oscillateur se caractérise par l'augmentation de l'amplitude d'oscillations entretenues
lorsque la fréquence des impulsions excitatrices correspond à la fréquence du système.