Devoir surveillé 2 - Université de Rennes 1

L1 MIEE 2014-2015 PS1 Université de Rennes 1
Devoir surveillé 2
Documents et calculatrices interdits
Exercice 1
Un test médical dont le but est de détecter la présence d’une bactérie B dans l’organisme
d’une personne a les propriétés suivantes. Si on l’applique quand la bactérie B est présente
le test est positif dans 95% des cas. Si on l’applique quand la bactérie est absente le test
est négatif dans 99% des cas. Dans la population globale seul une personne sur 100 est
porteuse de la bactérie. On fait subir le test à un personne prise au hasard.
1) Si le test est négatif, quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas porteuse de la bactérie ?
2) Si le test est positif, quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas porteuse de la bactérie ?
Exercice 2
Une urne contient trois boules noires et deux boules blanches. On tire au hasard, sans
remise, quatre boules de cette urne. On désigne par Xle nombre de boules noires obtenues.
Quelle est la loi de X?
Exercice 3
Soit Xune variable aléatoire de loi donnée par le tableau suivant.
k0123
P(X=k)1/8 3/8 3/8 1/8
Calculer l’espérance et la variance de X. Calculer l’espérance de 2X−1.
Exercice 4
Soit Zune variable aléatoire. Montrer l’égalité
E(Z−E(Z))2=E(Z2)−E(Z)2.
Indication : utiliser les propriétés de l’espérance.
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