Devoir surveillé 2 - Université de Rennes 1

L1 MIEE 2014-2015
PS1
Université de Rennes 1
Devoir surveillé 2
Documents et calculatrices interdits
Exercice 1
Un test médical dont le but est de détecter la présence d’une bactérie B dans l’organisme
d’une personne a les propriétés suivantes. Si on l’applique quand la bactérie B est présente
le test est positif dans 95% des cas. Si on l’applique quand la bactérie est absente le test
est négatif dans 99% des cas. Dans la population globale seul une personne sur 100 est
porteuse de la bactérie. On fait subir le test à un personne prise au hasard.
1) Si le test est négatif, quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas porteuse de la bactérie ?
2) Si le test est positif, quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas porteuse de la bactérie ?
Exercice 2
Une urne contient trois boules noires et deux boules blanches. On tire au hasard, sans
remise, quatre boules de cette urne. On désigne par X le nombre de boules noires obtenues.
Quelle est la loi de X ?
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire de loi donnée par le tableau suivant.
k
0
1
2
3
P(X = k) 1/8 3/8 3/8 1/8
Calculer l’espérance et la variance de X. Calculer l’espérance de 2X − 1.
Exercice 4
Soit Z une variable aléatoire. Montrer l’égalité
E (Z − E(Z))2 = E(Z 2 ) − E(Z)2 .
Indication : utiliser les propriétés de l’espérance.
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