Sciences physiques

C30233 Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230 CACHAN
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Concours d’admission en 3ème année
PHYSIQUE
Session 2010
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Épreuve de
SCIENCES PHYSIQUES
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Durée : 5 heures
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Aucun document n’est autorisé
L’usage de calculatrice électronique d e po che à al imentation aut onome, non i mprimante et
sans doc ument d’ accompagnement, e st aut orisé s elon l a c irculaire n°99018 du 1 er février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange n’est autorisé
entre les candidats.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et p oursuit sa composition e n expliquant les raisons des initiatives qu’il
est amené à prendre.
Le candidat traitera les deux parties de l’épreuve sur deux copies séparées.
PREMIERE PARTIE : PHYSIQUE
Cette partie compte pour 2/3 de l’épreuve.
La partie comporte 8 pages.
DEUXIEME PARTIE : CHIMIE
Cette partie compte pour 1/3 de l’épreuve.
La partie comporte 5 pages.

- 1 -
PHYSIQUE
Ce sujet est composé de quatre problèmes totalement indépendants. On s’intéresse d’abord
aux accélérateurs de particules de type cyclotron (problème I). On étudie ensuite la déviation
induite par la force de Coriolis dans le référentiel terrestre (problème II). On poursuit sur
l’étude des courants induits dans un conducteur plongé dans un champ magnétique variable
(problème III). Enfin nous nous intéressons à la détente d’un liquide dans une enceinte
préalablement vidée à l’aide d’une pompe à condensation (problème IV).
I) Cyclotron, synchrocyclotron, synchrotron
On se propose d’accélérer des particules au moyen d’un cyclotron. Cet appareil est
constitué de deux demi-cylindres métalliques (D) et (D’), d’axe vertical (Oz), placés dans le
vide et dans lesquels règne un champ magnétique
!
B
uniforme et constant. On applique entre
(D) et (D’) une différence de potentiel alternative
!
U(t)=Umsin(
" t)
délivrée par un générateur
haute fréquence.
Une particule de masse m, de charge q, est injectée dans l’appareil au voisinage du
point O, à la vitesse
!
v1
sur une trajectoire circulaire centrée sur O et de rayon
!
R
1
. Dès que la
particule sort d’un demi-cylindre pour pénétrer dans l’autre, elle est soumise dans l’intervalle
étroit qui les sépare à l’action du champ électrique correspondant à la valeur extrémale de la
différence de potentiel délivrée par le générateur.
Dans un premier temps, l’étude est faite dans le cadre de la mécanique newtonienne, la
vitesse des particules ne dépassant pas
!
v=3.104km /s
. L’effet des hautes vitesses est envisagé
dans un second temps.
On négligera le temps de passage de la particule d’un demi-cylindre à l’autre devant le
temps passé par la particule dans les demi-cylindres. On raisonnera de plus comme si les
portions de trajectoires étaient centrées en O.
(D’)
(D)
O
U(t)
!
B
!
B

- 2 -
I.1) Soit une particule de charge q, de masse m, pénétrant avec une vitesse
!
v1
dans une zone de
l’espace où règne champ magnétique
!
B
uniforme et constant,
!
v1
étant pris orthogonal à
!
B
.
Montrer que la trajectoire obtenue est circulaire, et déterminer le rayon R du cercle obtenu en
fonction de
!
q
, B, m et
!
v1=v1
. On posera
!
"
c=qB
m
(appelée « pulsation cyclotron »).
I.2) Déterminer la fréquence f de la tension U(t) à appliquer pour que la particule soit
effectivement accélérée à chaque passage. Faire l’application numérique avec un proton, puis
un électron.
Application numérique : B=1T ; proton : m=1,67.10-27 kg ; électron : m=9,1.10-31 kg ;
I.3) La trajectoire est formée de demi-cercles, centrés au voisinage O, de rayons R1, R2,
R3…Rn et reliés par des éléments de trajectoires rectilignes. Déterminer Rn en fonction de q, m,
B, n,
!
v1
et Um.
I.4.a) Des protons sont injectés sur la trajectoire de rayon R1=52 mm, avec B=1T. Le diamètre
du cyclotron est D=62,5cm et Um=2.104 V. Evaluer :
• la vitesse maximale atteinte par les protons, sortant tangentiellement du cyclotron
• l’énergie cinétique des protons en sortie de cyclotron
• le nombre de tours effectués
• le temps de transit dans l’appareil
I.4.b) Pour augmenter l’énergie cinétique des protons en sortie de cyclotron, sur quels
paramètres peut-on jouer ?
I.4.c) Quels sont les champs magnétiques les plus intenses que l’on sait obtenir aujourd’hui, et
dans quelles conditions ?
I.4.d) La taille des pièces polaires peut à priori être augmentée indéfiniment, mais quel
problème technique cela pose-t-il ? Par ailleurs quelle limite rencontrera-t-on de toute façon ?
Dans la suite du problème, on travaille dans un cadre relativiste. On notera K l’énergie
cinétique des particules relativistes, E0=mc2 leur énergie interne propre (avec c vitesse de la
lumière, égale à
!
3"108m#s$1
) et E leur énergie totale. On note
!
v=v
la norme du vecteur
vitesse
!
v
de la particule.
I.5.a) Rappeler l’expression du facteur de Lorentz
!
"
, puis l’expression de l’énergie cinétique K
pour des particules relativistes. Montrer que l’on retrouve
!
K=1
2
mv 2
pour
!
v=v<< c
.
I.5.b) Que devient le rayon R de la trajectoire pour des particules relativistes ? Comment
évolue la pulsation cyclotron lorsque
!
"
augmente ? Quel problème rencontre-t-on alors ?
I.5.c) Généralement on considère que le problème peut être traité de façon non relativiste tant
que
!
" #1$0,01
. Pourquoi les cyclotrons sont-ils finalement si peu utilisés pour accélérer des
électrons ? Quel dispositif préfèrera-t-on utiliser pour accélérer des électrons ?
Avec des protons on peut atteindre des énergies cinétiques K de l’ordre de 10 à 100 MeV tout
en restant dans le domaine non relativiste (accélérateurs de faible énergie). Pour atteindre des
énergies plus élevées, il faut avoir recours à des « synchrocyclotrons ». Ces accélérateurs de
moyenne énergie (100 à 1000 MeV) permettent d’étudier la structure du noyau atomique, les
interactions nucléaires…

- 3 -
I.6.a) Rappeler l’expression de l’énergie E d’une particule en fonction de son énergie propre E0
et de son énergie cinétique K, puis en fonction de m, γ, et c.
I.6.b) Donner une autre expression de E en fonction de E0 et de la quantité de mouvement
!
p=p
de la particule, puis en fonction de m, c, et p.
I.6.c) Donner enfin une expression de E en fonction de m, c, q, B et R le rayon de la trajectoire
circulaire dans le synchrocyclotron.
I.6.d) Application numérique : on injecte des protons dans un synchrocyclotron dont l’aimant
mesure 5m de diamètre, le champ magnétique B vaut 2T, et on limite le rayon R de la
trajectoire à 90% du rayon maximal. Déterminer :
• l’énergie cinétique K et le facteur γ en sortie d’accélérateur
• la plage de variation de la fréquence
Si on veut obtenir des faisceaux de plus haute énergie, essentiellement des protons de 1 à 100
GeV (pour produire de nouvelles particules par exemple), les accélérateurs circulaires utilisés
sont des « synchrotrons ». Cette fois-ci on accélère les particules par paquets groupés en les
maintenant sur une orbite circulaire de rayon R0 constant. Une fois par tour, les particules
traversent une cavité, où un champ électrique radiofréquence leur communique un incrément
d’énergie ε de l’ordre de 1 à 10 keV. Au fur et à mesure que l’énergie augmente, le champ
magnétique, variable dans le temps, doit augmenter, puisque R=R0 est maintenant fixé. Il faut
faire varier simultanément la radiofréquence pour qu’elle soit constamment en résonance avec
la fréquence de révolution des particules. Le Bevatron de Berkeley fut l’un des premiers
synchrotrons à protons construits dans les années 1950, l’énergie cinétique maximale Kmax des
protons y est de 6,2 GeV.
I.7.a) Quel est le principal avantage du synchrotron par rapport aux accélérateurs vus
précédemment ?
I.7.b) Montrer que le rayon R de la trajectoire circulaire des protons dans le synchrotron peut
se mettre sous la forme :
!
R=K(K+2E0)
c B
(avec K et E0 exprimées en eV)
I.7.c) Dans le Bevatron, le champ peut croître en même temps que K jusqu’à une valeur
maximum B2 de 1,54T. En déduire la valeur de R0.
I.7.d) Les protons sont injectés avec une énergie cinétique initiale K1 voisine de 10 MeV.
Calculer le champ B1 correspondant.
I.7.e) Déterminer la plage de variation de la fréquence de révolution
!
"
1
2 #
;
"
2
2 #
$
%
&
'
(
)
lors d’une
montée en énergie.
I.7.f) A chaque tour l’énergie d’un proton dans le Bevatron augmente de
!
" =1,5 keV
. Montrer
que la montée complète en énergie prend le temps :
!
t2"t1=2
# R0
2
$ (eV )(B2"B
1)
I.7.g) Calculer t2-t1.

- 4 -
II) Déviation induite par la force de Coriolis
dans le référentiel terrestre
II.1) Définir les référentiels de Copernic, géocentrique, terrestre.
II.2) Préciser le vecteur rotation
!
"
caractérisant la rotation du référentiel terrestre par rapport
au référentiel géocentrique. En justifiant le calcul, donner la valeur de
!
"
avec 4 chiffres
significatifs.
Description de l’expérience : On se place en un point O de la surface de la Terre de latitude
!
" =51°
. On introduit un repère direct (O,x,y,z) lié à la Terre défini comme sur le schéma ci-
dessous (Ox est tangent au méridien, Oy est tangent au parallèle, Oz passe par le centre de la
Terre). On s’intéresse à la déviation d’un point matériel M, de masse m, lâché initialement
d’une hauteur h=158 m à la verticale du point O. On fera les approximations suivantes :
• Les frottements de l’air sont négligeables ;
• La Terre est assimilée à une sphère parfaite ;
II.3) Montrer que le champ de pesanteur
!
g(M)
s’écrit :
!
g(M)=
"
T(M)+
#
2HM +
"
A(M)$
"
A(C)
[ ]
avec :
• H le projeté orthogonal du point M sur l’axe de rotation Nord/Sud
• (1) :
!
"
T(M)
le champ de gravitation exercée par la Terre en M
• (2) :
!
"
2HM
le terme centrifuge, dû à la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles
• (3) :
!
"
A(M)#
"
A(C)
le terme différentiel ou terme de marée (
!
"
A
étant le champ de
gravitation exercée par les astres autres que la Terre, les contributions principales de ce
terme étant dues à la Lune et au Soleil).
Nord
Sud
z
C
x
O
x
y
λ