Algèbre – 1ère Partie Théorie des Groupes

LICENCE DE MATHÉMATIQUES
3ème année
Algèbre – 1ère Partie
Théorie des Groupes
C.-A. PILLET

Bibliographie
1. J.M. Arnaudiès, H. Fraysse : Cours de Mathématiques I, Algèbre. Dunod Univer-
sité, Paris, 1990.
2. R. Godement : Cours d’Algèbre. Hermann, Paris, 1969.
3. B. Bigonnet : Algèbre pour la licence. Dunod, Paris, 2000.
4. L. Schwartz : Mathématiques pour la licence, Algèbre. Dunod, Paris, 1999.
5. B.L. van der Waerden : Algebra. Springer, New York, 1991.
6. S. Lang : Undergraduate Algebra. Springer, New York, 2004.
7. S. Lang : Algebra. Springer, New York, 2002.
8. P.R. Halmos : Introduction à la théorie des ensembles. Gauthier-Villars, Paris, 1988.

Table des matières
1 Rappels et compléments 5
1.1 Applications ............................... 5
1.2 Relations ................................ 7
1.3 Ensembles finis, cardinal ........................ 11
2 Groupes 15
2.1 Définition et exemples ......................... 15
2.2 Sous-groupes .............................. 18
2.2.1 Définition et caractérisation .................. 18
2.2.2 Classes, quotients et indices .................. 21
2.3 Morphismes ............................... 23
2.3.1 Définition et propriétés élémentaires ............. 23
2.3.2 Sous-groupes distingués .................... 25
2.3.3 Les théorèmes d’isomorphisme ................ 28
2.3.4 Groupes cycliques ....................... 30
2.3.5 Groupes diédraux ........................ 32
2.3.6 Produit direct .......................... 33
2.4 Actions de groupe ............................ 37
2.4.1 Groupes de transformations .................. 37
2.4.2 Action d’un groupe sur un ensemble ............. 39
2.4.3 Classes de conjugaison ..................... 43
2.5 Groupes finis .............................. 45
2.5.1 Exposant d’un groupe fini ................... 45
2.5.2 Exposant d’un groupe abélien fini ............... 46
2.5.3 p-groupes ............................ 47
2.5.4 p-groupes abéliens ....................... 49
2.5.5 Structure des groupes abéliens finis .............. 52
2.6 Groupes symétriques .......................... 55
2.6.1 Cycles .............................. 56
2.6.2 Transpositions, signature .................... 59
2.6.3 Conjugaison dans les groupes symétriques .......... 61
2.6.4 Groupes alternés ........................ 62
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4TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Rappels et compléments
1.1 Applications
1.1.1 Une application d’un ensemble non-vide Xdans un ensemble non-vide Yest
un sous-ensemble f⊂X×Yayant la propriété suivante :
pour tout x∈Xil existe un seul y∈Ytel que (x,y)∈f.
Xest l’ensemble de départ et Yl’ensemble d’arrivée de l’application f, ce que l’on
exprime par f:X→Y. Si (x,y)∈f, on dit que yest l’image de xpar fet on écrit
y=f(x)ou encore f:xy. L’ensemble des applications de Xdans Yest noté YX.
1.1.2 L’image par fd’un sous-ensemble A⊂Xest le sous-ensemble de Ydéfini
par f(A) = {f(x)|x∈A}. La pré-image par fd’un sous-ensemble B⊂Yest le sous
ensemble de Xdéfini par f−1(B) = {x∈X|f(x)∈B}. En particulier, si y∈Yet
x∈f−1({y})on dit que xest une pré-image de ypar f. L’image de Xpar fest appelé
image de fet noté Imf. Un élément y∈Yadmet une pré-image par fsi et seulement
si y∈Imf.
1.1.3 Une application f:X→Yest dite surjective si Imf=Y, elle est dite injective
si tout y∈Yadmet au plus une pré-image par f, c’est-à-dire si tout élément y∈Imf
admet exactement une pré-image x∈X. Dans ce cas on dit que xest la pré-image de
ypar f. L’application fest dite bijective si elle est surjective et injective.
fest surjective si et seulement si, pour tout b∈Yl’équation f(x) = badmet au
moins une solution x∈X.
fest injective si et seulement si, pour tout b∈Yl’équation f(x) = badmet au
plus une solution x∈X.
fest bijective si et seulement si, pour tout b∈Yl’équation f(x) = badmet une
et une seule solution x∈X.
On appelle permutation d’un ensemble Xune application bijective de Xdans
lui-même et on dénote par SXl’ensemble de toutes les permutations de X.
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