Notions générales sur la formation des images

Classe de PCSI Optique - Chapitre N˚2
Notions g´en´erales sur la formation des images -
Syst`eme centr´e et approximation de Gauss
Table des mati`eres
1 Notion d’objet et d’image - Illustration sur
l’exemple du dioptre plan 1
1.1 D´efinition d’un syst`eme optique . . . . . . . . . . 1
1.2 Notions d’objets et d’images - r´eels et virtuels . . 2
1.2.1 Notion d’objet . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Notion d’image . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Relativit´e de la notion d’objet et d’image 3
1.3 Notions de stigmatisme rigoureux et approch´e . . 3
1.3.1 Stigmatisme rigoureux . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Stigmatisme approch´e . . . . . . . . . . . 4
2 Cas des syst`emes centr´es - Approximation de
Gauss 5
2.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Notion d’aplan´etisme . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Conditions d’approximation de Gauss . . . . . . 6
2.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 Cons´equences (admises).......... 6
2.4 Propri´et´es et ´el´ements optiques d’un syst`eme op-
tique centr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.1 Propri´et´es imm´ediates . . . . . . . . . . . 6
2.4.2 Relation de conjugaison . . . . . . . . . . 6
2.4.3 Foyer objet et plan focal objet . . . . . . 7
2.4.4 Foyer image et plan focal image . . . . . . 7
1 Notion d’objet et d’image - Illustration sur l’exemple du dioptre
plan
1.1 D´efinition d’un syst`eme optique
un syst`eme optique est g´en´eralement constitu´e d’une succession de milieux homog`enes transparents, s´epar´es
par des dioptres (surfaces r´efractantes) ou des surfaces r´eflechissantes comme des miroirs (catadioptres).
Syst`eme dioptrique : ils ne comportent que des dioptres. Usuellement, on ´etudie les syst`emes dioptriques
en transmission c’est-`a-dire que la lumi`ere ´emergente du syst`eme optique se propage dans le mˆeme sens
que la lumi`ere incidente.
Exemple
Syst`eme catadioptrique : Ils comportent `a la fois des dioptres et des miroirs. On est amen´e `a ´etudier ces
syst`emes en r´eflexion c’est-`a-dire le sens de propagation de la lumi`ere ´emergente est oppos´e `a celui de la
lumi`ere incidente.
Exemple
1

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1.2 Notions d’objets et d’images - r´eels et virtuels
Usuellement, lorsque l’on s’int´eresse `a la formation des images `a l’aide d’un instrument d’optique, les objets
utilis´es sont visibles par l’oeil. On distingue :
– les objets ou sources primaires qui produisent ou ´emettent spontan´ement de la lumi`ere (lampe, ampoule,
flamme,...)
– es objets ou sources secondaires, qui r´e´emettent de la lumi`ere lorsqu’ils sont pr´ealablement ´eclair´e (bureau,
voiture....)
1.2.1 Notion d’objet
a)-D´efinition d’un point objet
C’est un point (que nous noterons A) par lequel peuvent passer plusieurs rayons lumineux ou leur prolonge-
ment (appel´es ”rayons virtuels” et repr´esent´es par des pointill´es) incidents sur un syst`eme optique par rapport
au sens de propagation de la lumi`ere. En pratique :
– Si, par rapport au sens de propagation de la lumi`ere, A se trouve avant la face d’entr´ee du syst`eme optique
sur les rayons lumineux ou leur prolongement, A est appel´e point objet r´eel.
– Si, par rapport au sens de propagation de la lumi`ere, A se trouve sur le prolongement des rayons, apr`es
la face d’entr´ee du syst`eme optique, A est appel´e point objet virtuel.
Remarque : les rayons virtuels repr´esentent le rajet du rayon lumineux s’il n’interceptait aucun syst`eme optique.
b)-Vocabulaires
Point objet `a l’infini : La taille de l’objet est ”n´egligeable” et la distance qui s´epare l’objet du syst`eme
optique est tr`es sup´erieure `a la taille caract´eristique du syst`eme optique.
ÄTous les rayons incidents sur le syst`eme optique, issus d’un point objet `a l’infini sont parall`eles entre
eux et indiquent en fait la direction dans laquelle se trouve le point objet.
Point objet `a distance finie : La taille de l’objet est ”n´egligeable” mais la distance qui s´epare l’objet du
syst`eme optique est comparable aux dimensions caract´eristiques du syst`eme optique.
Äles rayons incidents sur le syst`eme optique provenant de ce point ont dans ce cas tous une direction
diff´erente.
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Objet ´etendu (non ponctuel) : c’est le cas lorsque les dimensions de l’objet ne sont plus n´egligeables et sont
nettement perceptibles sur la formation de l’image obtenue par le syst`eme optique. Il peut ˆetre consid´erer
comme un ensemble de points objet.
1.2.2 Notion d’image
D´efinition d’un point image
En toute rigueur (voir la notion de stigmatisme), on dira que A’ est le point image du point objet A si tous
les rayons issus de A ou leur prolongement, ´emergent du syst`eme optique en passant par A’ .
– Si A’ est sur les rayons ´emergents ou leur prolongement apr`es la face de sortie du syst`eme optique par
rapport au sens de propagation de la lumi`ere, on dit que A’ est une image r´eelle.
– Si A’ est situ´e sur le prolongement des rayons avant la face de sortie du syst`eme optique par rapport au
sens de propagation de la lumi`ere, A’ est une image virtuelle.
1.2.3 Relativit´e de la notion d’objet et d’image
La notion d’objet et d’image est relative `a un syst`eme optique donn´ee et un mˆeme ´el´ement peut jouer des
rˆoles diff´erents pour 2 syst`emes optiques diff´erents.
Exemple :
1.3 Notions de stigmatisme rigoureux et approch´e
Pour un syst`eme optique donn´e et pour un point objet A choisi arbitrairement (r´eel ou virtuel), l’en-
semble des rayons ou leur prolongement, issus de A, apr`es avoir travers´e le syst`eme optique, ne convergent pas
n´ecessairement tous rigoureusement au mˆeme point image A’ (r´eelle ou virtuelle) d’o`u difficult´e de d´efinir une
image unique.
Exemple de cas de non stigmatisme :
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1.3.1 Stigmatisme rigoureux
a)-D´efinition
Il y a stigmatisme rigoureux lorsque tous rayons ou leur prolongement issus d’un point objet A (r´eel ou
virtuel), apr`es avoir travers´e le syst`eme optique, convergent tous en un mˆeme point image A’ (r´eelle ou virtuelle).
On dit que le syst`eme optique est rigoureusement stigmatique pour le couple de points (A,A’) ou bien
que les points A et A’ sont conjugu´es par le syst`eme optique (au sens du stigmatisme rigoureux).
b)-Cons´equences et cas du miroir plan
Pour un syst`eme rigoureusement stigmatique pour le couple de points (A,A’), l’image A’ d’un point objet A
est unique. Pour la d´eterminer, il suffit donc de 2 rayons (non parall`eles ! !).
Exemple du miroir plan :
Le miroir plan pr´esente la propri´et´e d’ˆetre rigoureusement stigmatique pour tous couples de points (A,A’)
sym´etriques par rapport au miroir. Pour tout point A objet (r´eel ou virtuel), l’image A’ est obtenue par :
OA +OA′= 0 relation de conjugaison
Si A est r´eel, alors A’ est virtuel et r´eciproquement.
Äle fait qu’un syst`eme optique soit rigoureusement stigmatique pour un point objet particulier et son
image, ne signifie pas qu’il le soit pour n’importe quel point objet de l’espace.
Contre-exemple : Cas du miroir parabolique ou elliptique
1.3.2 Stigmatisme approch´e
Malheureusement, pour un syst`eme optique quelconque, tous les rayons ou leur prolongement issus d’un
point objet A ne convergent pas rigoureusement, apr`es avoir travers´e le syst`eme optique, en un point image
unique A’.
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D´efinition
Si pour un point objet A (r´eel ou virtuel), tous rayons ou leur prolongement issus de A, apr`es avoir travers´e le
syst`eme optique, convergent dans un ”voisinage” d’un point A’, alors on dit que le syst`eme pr´esente la propri´et´e
de stigmatisme approch´e pour le couple de points (A,A’).
Toute la difficult´e consiste `a pr´eciser le terme ”voisinage” c’est-`a-dire `a d´efinir math´ematiquement un crit`ere
d’approximation portant sur la convergence des rayons. Exp´erimentalement, la convergence des rayons dans un
voisinage du point image A’ se manifeste par l’existence d’un tˆache lumineuse. Plus cette tˆache est de dimensions
faibles, plus la propri´et´e de stigmatisme approch´e est justifi´ee (meilleur nettet´e de l’image).
2 Cas des syst`emes centr´es - Approximation de Gauss
2.1 D´efinition et exemples
D´efinition
Un syst`eme optique centr´e est un syst`eme optique qui poss`ede un axe de sym´etrie de r´evolution not´e
(∆) appel´e axe optique du syst`eme ; en particulier, tout plan contenant l’axe (∆) est un plan de sym´etrie.
Exemples :
– miroir et dioptre plan
– miroir parabolique ou sph´erique
– dioptre sph´erique (il s’agit d’une portion de sph`ere s´eparant 2 milieux d’indice optique diff´erent)...
L’association de syst`emes optiques centr´es est un syst`eme optique centr´e si les axes optiques de chaque
syst`eme sont confondus. Tout plan perpendiculaire `a l’axe optique est appel´e plan de front.
2.2 Notion d’aplan´etisme
D´efinition
•Un syst`eme optique centr´e sera dit aplan´etique si pour tout objet AB (r´eel ou virtuel) plan et perpendi-
culaire `a l’axe optique (donc appartenant `a un plan de front), son image A’B’ est plane et aussi perpendiculaire
`a l’axe optique (appartenant aussi `a un plan de front).
Exemple : Pour le miroir plan, tout axe perpendiculaire au miroir est un axe optique. Le miroir est aplan´etique
au sens rigoureux.
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