Algorithme des moindres carrés récursif – MCR (recursive least

Algorithme des moindres carr´es
r´ecursif – MCR (recursive
least-squares – RLS)
On d´eveloppera un algorithme r´ecursif qui, `a partir des
coefficients du filtre `a l’instant n−1, estimera ces
coefficients `a l’instant n`a l’aide des nouvelles donn´ees
disponibles.
INRS-EMT J. Benesty

Plan
•Formulation du probl`eme
•Les ´equations normales
•Le lemme d’inversion d’une matrice
•L’algorithme MCR (ou RLS)
•Analyse de la convergence de l’algorithme MCR (ou
RLS)
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Formulation du probl`eme
Onalemod`ele lin´eaire suivant:
d(i)=
L−1
l=0
hs,lx(i−l)+u(i)
=hT
sx(i)+u(i),(1)
d(i)est le signal observ´e(d´esir´e) `a l’instant iobtenu `a
partir du signal d’entr´ee x(i).hs,l sont les param`etres
inconnus du mod`ele et u(i)repr´esente le bruit de
mesure qui est une variable al´eatoire (non observable).
Il est d’usage de supposer que u(i)est blanc de
moyenne nulle, et dont la variance est σ2
u.
Notre objectif est d’estimer les param`etres hs,l en
utilisant le crit`ere des moindres carr´es suivant:
J(n)=
n
i=0
λn−id(i)−hT(n)x(i)2 ,(2)
o`u
x(i)=x(i)x(i−1) ··· x(i−L+1) T
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est le signal d’entr´ee `a l’instant i,et
h(n)=h0(n)h1(n)··· hL−1(n)T
est le fitre RIF `a l’instant n.λest un facteur de
pond´eration qui prend toujours une valeur positive:
0λ≤1. Ce facteur est aussi appel´e facteur d’oubli
carilsert`a oublier les donn´ees qui correspondent `aun
pass´e distant. Le cas particulier λ=1correspond `a
une m´emoire infinie.
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Les ´equations normales
Le probl`eme pos´eestded´eterminer le vecteur des
coefficients h(n)qui minimise J(n).La solution est
obtenue en calculant les d´eriv´ees de la fonction coˆut
J(n)par rapport aux ´el´ements hl(n)et en les ´egalant
`az´ero:
n
i=0
λn−id(i)−hT(n)x(i)x(i)=0L×1,(3)
soit:
n
i=0
λn−id(i)x(i)=
n
i=0
λn−ix(i)xT(i)h(n).(4)
Il vient alors:
p(n)=R(n)h(n),(5)
h(n)=R−1(n)p(n),(6)
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