Variantes de l`algorithme LMS

Variantes de l’algorithme LMS
Il existe de tr`es nombreuses variantes de l’algorithme
LMS. Nous allons voir quelques unes qui sont tr`es
utiles.
INRS-EMT J. Benesty

Plan
•L’algorithme LMS normalis´e (normalized LMS –
NLMS)
•Les algorithmes du signe
•L’algorithme “leaky” LMS
•L’algorithme L-vecteur
•L’algorithme de projection affine (APA)
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L’algorithme LMS normalis´e (normalized
LMS – NLMS)
Rappelons l’algorithme LMS:
e(n)=d(n)−y(n)=d(n)−hT(n)x(n),(1)
h(n+1) = h(n)+µx(n)e(n),(2)
o`uµest le pas d’adaptation de l’algorithme [qui d´epend
de l’´energie du signal x(n)].
Pour des signaux non stationnaires (l’´energie du signal
x(n)varie avec le temps), l’algorithme LMS aura du
mal `a fonctionner correctement puisque µest constant.
L’algorithme LMS normalis´e(normalized LMS –
NLMS) est obtenu en minimisant la fonction coˆut
suivante:
J(n)=h(n+1)−h(n)2(3)
avec la contrainte:
hT(n+1)x(n)=d(n).(4)
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Cela revient `a minimiser la mise `a jour des coefficients
du filtre tout en minimisant le signal d’erreur pour
x(n).
La solution de ce probl`eme est obtenue en utilisant la
technique des multiplieurs de Lagrange. En effet, on
cherchera `a minimiser par rapport `ah(n+1):
J(n)=h(n+1)−h(n)2+λ[d(n)−hT(n+1)x(n)],
o`uλest le multiplieur de Lagrange. On obtient:
∂J(n)
∂h(n+1) =2[h(n+1)−h(n)] −λx(n)(5)
=0L×1,
soit
h(n+1)=h(n)+λ
2x(n).(6)
Or, d’apr`es la contrainte:
d(n)=hT(n+1)x(n)(7)
=hT(n)x(n)+λ
2xT(n)x(n).
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Ce qui donne:
λ=2e(n)
xT(n)x(n).(8)
Finalement, on obtient l’algorithme NLMS:
h(n+1) = h(n)+λ
2x(n)
=h(n)+ 1
xT(n)x(n)x(n)e(n).(9)
En pratique, pour mieux controler la mise `ajourdes
coefficients du filtre, on introduit un facteur positive α
(0<α<2):
h(n+1)=h(n)+ α
xT(n)x(n)x(n)e(n).(10)
En fait, pour Lassez grand et pour un signal
stationnaire, on a:
α
xT(n)x(n)=α
L−1
l=0 x2(n−l)(11)
≈α
Lσ2
x
=µ, (12)
qui est le pas d’adaptation du LMS.
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