Algorithme des moindres carrés récursif rapide – MCRR (fast

Algorithme des moindres carr´es
r´ecursif rapide – MCRR (fast
recursive least-squares – FRLS)
L’algorithme RLS n´ecessite une complexit´e de calcul
proportionnelle `aL2(L´etant la longueur du filtre) `a
chaque it´eration. Nous d´eveloppons ici un algorithme
rapide dont la complexit´e arithm´etique est seulement
proportionnelle `aL.
INRS-EMT J. Benesty

Plan
•Equations de r´ecurrence pour le filtre d’ordre L
•Relations entre les variables de moindres carr´es
•Algorithme MCR rapide bas´e sur les erreurs a priori
•Algorithme MCR rapide bas´e sur l’ensemble des
erreurs de pr´ediction
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Equations de r´ecurrence pour le filtre
d’ordre L
Le signal d’erreur pour le filtre adaptatif d’ordre Lest
d´efini par:
e(n+1) = d(n+1)−xT(n+1)h(n),(1)
o`u les vecteurs x(n+1) et h(n)comportent L´el´ements.
La fonction coˆut,d´efinie comme l’´energie de l’erreur
et qui s’´ecrit:
JL(n)=
n
i=0
λn−id(i)−hT(n)x(i)2 ,(2)
conduit `a la solution suivante (d´ej`a vue):
h(n)=R−1
L(n)p(n),(3)
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avec:
RL(n)=
n
i=0
λn−ix(i)xT(i),(4)
p(n)=
n
i=0
λn−id(i)x(i).(5)
On se souvient de la relation de r´ecurrence sur les
coefficients du filtre:
h(n+1)=h(n)+R−1
L(n+1)x(n+1)e(n+1).(6)
On peut mettre en ´evidence une autre relation de
r´ecurrence sur les coefficients. Au temps n+1,la
d´efinition des coefficients donne:
λRL(n)+x(n+1)xT(n+1)
h(n+1)=
λp(n)+x(n+1)d(n+1),(7)
ce qui, apr`es quelques manipulations conduit `a:
h(n+1)=h(n)+λ−1R−1
L(n)x(n+1)ε(n+1),(8)
o`u
ε(n+1) = d(n+1)−xT(n+1)h(n+1).(9)
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Dans ces expressions, la matrice R−1
L(n+1) peut ˆetre
mise `a jour par r´ecurrence grˆace `a l’identit´e matricielle
appel´ee lemme d’inversion. Consid´erant la r´ecurrence:
RL(n+1)=λRL(n)+x(n+1)xT(n+1),(10)
on en d´eduit:
R−1
L(n+1) = λ−1R−1 L(n)(11)
−
λ−2R−1
L(n)x(n+1)xT(n+1)R−1 L(n)
1+λ−1xT(n+1)R−1
L(n)x(n+1) .
Il est commode de d´efinir le gain d’adaptation k(n+1)
par:
k(n+1) = R−1
L(n+1)x(n+1),(12)
ce qui, en utilisant (11) et apr`es simplification, donne:
k(n+1)= R−1
L(n)x(n+1)
λ+xT(n+1)R−1
L(n)x(n+1)
.(13)
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