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Chapitre 1 : Mécanisme de transfert de matière
Il y a un transfert de matière dès qu’il y a une différence de concentration. On trouvera de la diffusion moléculaire
(molécule migrant dans un solide) et de la convection (transfert de la molécule par un fluide vers une surface solide).
On distingue la convection naturelle (chauffage) et la convection forcée (agitation).
I-
Diffusion moléculaire
A- Définition
Soit J̇ le débit (allure du transfert en kg/s ou mol/s) et J’’ le flux (débit rapporté à la surface en kg.m²/s ou mol/m²/s)
B- Loi de Fick
𝐝𝐂
𝐝𝐂
𝐉̇ = −𝐃𝐀 𝐝𝐱 ou encore 𝐉 ′′ = −𝐃 𝐝𝐱 avec D la diffusibilité molaire (m²/s)
D dans gaz >> D dans liquide > D dans un solide
Plus M augmente, plus D diminue.
𝐃𝐀
Formule de diffusion à travers d’une membrane plane : 𝐉̇ = − 𝐋 (𝐂𝟐 − 𝐂𝟏 ) avec L épaisseur de la membrane
𝐋
Soit la résistance de la membrane 𝐑 = 𝐃𝐀 (en débit)
Formule de diffusion à travers un cylindre : 𝐉̇ =
𝟐𝛑𝐃𝐋
𝐫
𝐥𝐧( 𝟏)
(𝐂𝟏 − 𝐂𝟐 ) r1 >r2
𝐫𝟐
Soit la résistance dans le cylindre 𝐑 =
𝐫
𝐥𝐧( 𝟏 )
𝐫𝟐
𝟐𝛑𝐃𝐋
C- Prédiction de la diffusivité dans un liquide
𝐃𝐀𝐁 =
𝟗,𝟒.𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝐓
𝟏
avec MA > 1000 D et T en k
𝟏𝟎𝟑 𝛈𝐬 (𝐌𝐀 )𝟑
D- Diffusion dans des membranes ou des films
1- Cas du solide homogène
On considère trois grandeurs :
 Diffusivité (D)
 Solubilité (S)
 Perméabilité (P)
On considère la solubilité dans un film c’est-à-dire dans un solide (mol/m3).
Dans le cas d’un gaz, on exprime souvent la solubilité en cm3gaz/cm3solide/Ppartiel (en atmosphère).
Soit la perméabilité P = D x S
2- Cas du solide hétérogène (poreux)
On considère que la membrane est constituée de 2 phases.
𝐝𝐂
Pour la diffusion d’une molécule on a 𝐉 ′′ = −𝐃𝐞𝐟𝐟 𝐝𝐱
𝛆
Avec 𝐃𝐞𝐟𝐟 = 𝐃𝐞𝐟𝐟𝐞𝐜𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞 = 𝐃𝐝𝐚𝐧𝐬 𝐞𝐚𝐮 × 𝛕
𝐕
𝐕𝐯𝐢𝐝𝐞
= 𝐩𝐨𝐫𝐞
𝐕𝐭𝐨𝐭
𝐕𝐭𝐨𝐭
𝐩𝐚𝐫𝐜𝐨𝐮𝐫𝐬 𝐫é𝐞𝐥
𝛕=
é𝐩𝐚𝐢𝐬𝐬𝐞𝐮𝐫
La porosité est la fraction de vide : 𝛆 =
La tortuosité (écart à la ligne droite) :
Soluté
II-
Transfert à l’interface fluide/solide : convection
A- Introduction
En régime agité, les mouvements des fluides entrainant les
molécules sont tellement rapides que les processus
diffusionnel peuvent être négligés.
B- Cinétique de convection
𝐉 ′′ = 𝐤(𝐂𝐦 − 𝐂𝐬 )
k : coefficient de transfert ou de convection (m/s)
̇𝐉 = 𝐤𝐀(𝐂𝐦 − 𝐂𝐬 )
Attention à l’ordre des concentrations, il faut que la différence soit positive !
k = f(Nature du fluide d ’écoulement, Régime d ’écoulement du fluide, Diffusivité du soluté)
Il faudra :
 Déterminer la géométrie impliquée dans le transfert
 Déterminer le régime d’écoulement
 Utiliser les bonnes corrélations pour déterminer k
C- Détermination de K
Reynolds : 𝐑𝐞 =
𝛒𝐮𝐝
𝛈
𝐤
Stanton : 𝐒𝐭 = 𝐮
𝛈
Schmidt : 𝐒𝐜 = 𝛒𝐃
Sherwood : 𝐒𝐡 =
𝐤
𝐤𝐝
𝐃
𝟐
Facteur J ou Colburn : 𝐣 = 𝐮 (𝐒𝐜)𝟑
Remarque : Si le nombre de Sherwood > 200, la résistance externe est négligeable, il n’y a de couche limite de
convection. La concentration est homogène partout dans le fluide.
D- Corrélation en convection forcée
1- Dans une conduite circulaire

Régime laminaire (Re < 2 100) :
𝑑
𝑅𝑒𝑆𝑐 𝐿 ≤ 1  Sh = 3,66
Sinon on utilise l’abaque ci-dessous
𝑑
𝟏
𝐝
𝑅𝑒𝑆𝑐 𝐿 ≥ 50  𝐒𝐡 = 𝟏, 𝟖𝟔 (𝐑𝐞𝐒𝐜 𝐋)𝟑
 Régime turbulent (Re > 10 000) :
𝐒𝐡 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑(𝐑𝐞)𝟎,𝟖𝟑 (𝐒𝐜)𝟎,𝟑𝟑

Régime intermédiaire :
2- Sur une surface plane
La grandeur caractéristique est la longueur de la plaque.
 Cas d’un gaz :
Si Re < 15 000 𝐣 = 𝟎, 𝟔𝟔𝐑𝐞−𝟎,𝟓
Si 15 000 < Re < 300 000 𝐣 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝐑𝐞−𝟎,𝟐
 Cas d’un liquide
600 < Re < 50 000 𝐣 = 𝟎. 𝟗𝟗𝐑𝐞−𝟎.𝟓
3- Cas d’une sphère
Cas limite : Si le fluide est immobile, Re = 0,
ReSc1/3 = 0 et Sh = 2
 Cas d’un gaz
1 < Re < 48 000  𝐒𝐡 = 𝟐 + 𝟎, 𝟓𝟓𝐑𝐞𝟎,𝟓𝟑 𝐒𝐜 𝟏⁄𝟑
 Cas d’un liquide
2 < Re < 2 000  𝐒𝐡 = 𝟐 + 𝟎, 𝟗𝟓𝐑𝐞𝟎,𝟓 𝐒𝐜 𝟏⁄𝟑
2 000 < Re < 17 000  𝐒𝐡 = 𝟎, 𝟑𝟓𝐑𝐞𝟎,𝟔𝟐 𝐒𝐜 𝟏⁄𝟑
4- Cas d’un lit fixe
𝐑𝐞 =
Porosité : 0,3 < ε < 0,5

𝛒𝐮𝐭 𝐝𝐩
𝛈
avec ut vitesse en fut vide et dp diamètre de les particules.
Cas d’un gaz
𝟐
90 < Re < 4 000  𝐣 = 𝛆 𝐑𝐞−𝟎.𝟓𝟕𝟓

Cas d’un liquide
0,001 < Re < 55  𝐣 =
55 < Re < 1 500  𝐣 =
𝟏,𝟏
𝐑𝐞−𝟐/𝟑
𝛆
𝟎,𝟐𝟓
𝐑𝐞−𝟎.𝟑𝟏
𝛆
Si le garnissage n’est pas sphérique, on applique un coefficient de correction :
𝐣𝐜𝐲𝐥𝐢𝐧𝐝𝐫𝐞 = 𝟎, 𝟕𝟗 𝐣𝐬𝐩𝐡è𝐫𝐞
𝐣𝐜𝐮𝐛𝐞 = 𝟎, 𝟕𝟏 𝐣𝐬𝐩𝐡è𝐫𝐞
5- Cas d’un lit fluidisé
𝟎,𝟖𝟔
20 < Re < 3 000  𝐣 = 𝟎, 𝟎𝟏 + 𝐑𝐞𝟎,𝟖𝟔−𝟎,𝟒𝟖
III-
Transfert gaz/liquide
A- Rappel sur les équilibres gaz/liquide
La répartition de la molécule A entre deux phases est décrite par la loi de Henry : 𝐏𝐀 = 𝐇𝐱𝐚
PA pression partielle ; H coefficient de Henry ; xA fraction molaire dans le liquide.
B- Gradients de concentrations
On va étudier le cas avant qu’il y ai équilibre il y a deux zones de convection.
C- Coefficients de transfert individuels
Dasn le gaz : 𝐉′′𝐠 = 𝐤 𝐠 (𝐏𝐠 − 𝐏𝐢 )
Dans le liquide : 𝐉′′𝐥 = 𝐤 𝐥 (𝐏𝐢 − 𝐏𝐥 )
A l’équilibre il y a une équilibre des deux flux, et on obtient la relation suivante :
D- Coefficients de transfert globaux
Dans un système biphaseique c’st l’écart à
l’équilibre qui provoque le transfert. J’’ est
proportionnel a cet écart.
𝐉 ′′ = 𝐊 𝐠 (𝐏𝐠,𝟎 − 𝐏 ∗ ) = 𝐊 𝐥 (𝐂 ∗ − 𝐂𝐥,𝟎 )
−𝐤 𝐥
𝐤𝐠
=
𝐏𝐠 −𝐏𝐢
𝐏𝐢 −𝐏𝐥
E- Relation entre coefficients globaux et individuels
On trouve après calcul que :
𝟏
𝐊𝐠
𝟏
𝐇
=𝐤 +𝐤
𝐠
𝟏
𝐊𝐥
et
𝐥
𝟏
𝟏
= 𝐇𝐤 + 𝐤
𝐠
𝐥
F- Cas limites
Pour les gaz très solubles dasn le liquide : 𝐊 𝐠 = 𝐤 𝐠 car H est très petit.
Pour les ggaz très peu soluble dasn le liquide : 𝐊 𝐥 = 𝐤 𝐥 car H est très grand.
G- Transfert d’oxygène dans un fermenteur
Soit le flux d’oxygène 𝐉 ′′ = 𝐊 𝐥 (𝐎∗𝟐 − 𝐎𝟐 ) = 𝐤 𝐥 (𝐎∗𝟐 − 𝐎𝟐 ) (kg/m²/s)
Soit la vitesse d’oxygénation par volume de milieu : 𝐫𝐎′′𝟐 = 𝐤 𝐥 𝐚(𝐎∗𝟐 − 𝐎𝟐 )
Avec a : l’air interfacial (m²/m3)
On considèrera plutôt 𝐤 𝐥 𝐚 caractérise la capacité de transfert d’oxygène du système d’aération. (h-1)
𝐦𝐠
)
𝐋
Soit la relation empirique utile pour l’eau : 𝐎∗𝟐 (
𝟒𝟔𝟖,𝟒𝟏
= 𝟑𝟏,𝟔𝟒+𝐓
Détermination du 𝐤 𝐥 𝐚 :
Méthode 1 :
On élimine l’oxygène dissout (billage azote ou chauffage). Puis on remet l’aération et on suit grâce à une sonde à
oxygène l’évolution de la concentraton d’oxygène. On trace 𝐋𝐧
𝐂∗ −𝐂
𝐂∗
= 𝐟(𝐭) et on détemrine k l a.
Méthode 2 :
On fait un fermentation en régulant le pourcentage de saturation du milieu à un valeur définie (par exemple 70%).
On arrête au temps t l’alimentation d’air. On suit la chute de la concentration d’oxygène dans le milieu. Au temps t1
on aère à nouveau à la même saturation. On détermine la k l a en traçant %O2 = f(t)
Méthode 3 :
𝐏
𝟎,𝟒𝟓
Dans une cuve agitée on a la relation empirique 𝐤 𝐥 𝐚 = 𝟐, 𝟔. 𝟏𝟎−𝟐 ( 𝐠 )
𝐕𝐥
𝐮𝐠 𝟎,𝟓
Pg = puissance mécanique consommée en présence d’une aération (W) ; Vl = volume liquide (m3) ; ug = vitesse
̇
𝐆
superficielle du gaz (m/s) avec 𝐮𝐠 = 𝐀 ; Ġ = débit volumique gazeux (m3/s) ; A = section de la cuve (m²).
Détermination de la puissance consommée en présence d’aération :
P2 Nd3
0,45
Pg = 0,34√np ( Ġ0,56a)
Avec np nombre de pales
N : vitesse de rotation (tr/s)
P : puissance mécanique consommée en absence d’aération (déterminer sur abaque)
da : diamètre de l’agitateur (m)
La puissance mécanique consommée se calcule par l’intermédiaire du nombre de puissance :
P
N P = ρ N 3 d5
l
a