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Exercice 4 physique
ÉTUDE D’UN MOTEUR À COMBUSTION INTERNE
On considère un moteur à combustion interne à allumage par bougies. On se limite à l’étude de l’un des
cylindres du moteur.
Le cycle thermodynamique décrit par le fluide est le cycle Beau de Rochas. On en donne la représentation dans
un diagramme (voir figure 1 ci-dessous) où l’on porte en ordonnée la pression P du fluide et en abscisse le
volume V du gaz contenu dans la chambre cylindrique.
Les différentes étapes du cycle sont les suivantes :
• M-A : admission du mélange gazeux air-essence à la pression constante P0.
En A, il y a fermeture de la soupape d’admission et le volume V est alors égal à Vmax.
• A-B : compression, adiabatique réversible, du mélange. Dans l’état B, le volume est égal à Vmin.
• B-C : échauffement isochore du gaz.
• C-D détente adiabatique réversible du gaz.
• D-A : refroidissement isochore du gaz.
• A-M : refoulement des gaz vers l’extérieur, à la pression P0.
On convient de nommer “taux de compression”, le rapport τ = max
min
V
V ; ici τ = 10.
Le système envisagé est le gaz qui décrit le cycle ABCD. La quantité de gaz n (en mol) considérée est celle qui
a été admise dans l’état A.
L’échauffement de l’étape BC est dû à la combustion “interne” du mélange gazeux admis. Les réactifs et les
produits de la réaction de combustion sont gazeux.
Dans une approche simplifiée, on admettra que la quantité de gaz n’est pas modifiée par la combustion interne.
Le gaz est assimilé à un gaz parfait, pour lequel les capacités thermiques molaires m
P
C et m
V
C sont constantes.
On rappelle que pour un gaz parfait m
V
C = R
1γ− avec γ = m
m
P
V
C
C, γ = 1,33.
Les températures notées T sont des températures absolues, en K.
1) Soit Q1 la quantité de chaleur échangée dans l’étape B−C. Exprimer Q1 en fonction de n, m
V
C, TB et TC.
Préciser le signe de cette grandeur.
2) Soit Q2 la quantité de chaleur échangée dans l’étape D−A. Exprimer Q2 en fonction de n, m
V
C, TA et TD.
Préciser le signe de Q2.
3) On note W le travail total échangé au cours du cycle ABCD. Exprimer W en fonction de Q1 et Q2.
4) Définir l’efficacité η du moteur. Exprimer η en fonction de Q1 et Q2.
5) À l’aide des relations relatives aux transformations adiabatiques, exprimer η en fonction de TA, TB, TC et TD,
puis montrer que l’efficacité peut se mettre sous la forme : η = 1 − τ1 − γ, τ étant le taux de compression.
Calculer η.
6) La cylindrée Cy du moteur est égale à 2,0 litres.
On raisonnera sur un seul cylindre, possédant la cylindrée Cy du moteur définie selon: Cy = Vmax − Vmin.

Le mélange air−essence est admis à une température TA = 320 K et sous la pression PA = 100 kPa. La
proportion de carburant dans le mélange est de 1 pour 60 (en moles).
6.1) Calculer les valeurs de Vmax et Vmin.
6.2) Calculer la quantité de gaz n’ (en mol) de carburant consommée par cycle.
On prendra R = 8,31 J.K−1.mol−1.
Correction physique
1) On admet que la quantité de matière n (en mol) de gaz (le système étudié) qui subit les différentes
transformations du cycle ABCDA reste constante. Lors de la transformation B→C isochore (à volume
constant), la chaleur échangée par le système avec le milieu extérieur est égale à sa variation d’énergie interne
∆UBC, or l’énergie interne U d’un gaz parfait ne dépend que de sa température (première loi de Joule) ; La
capacité thermique molaire m
V
Cdu gaz étant constante, on écrit donc :
Q1 = ∆UBC = n m
V
C(TC - TB)
Cette transformation correspond pour le système à un échauffement (l’énergie thermique apportée est due à la
combustion du carburant dans le cylindre grâce à l’étincelle produite par la bougie) : on a donc TC > TB.
On en déduit que le signe de Q1 est positif.
2) La transformation D→A est également une transformation isochore ce qui permet d’écrire que la chaleur Q2
échangée par le système avec le milieu extérieur est égale à la variation d’énergie interne entre les états D et A :
Q2 = ∆UDA = n m
V
C(TA - TD)
La transformation envisagée produit un refroidissement du gaz donc TA < TD. Le signe de Q2 est négatif.
3) Le premier principe de la thermodynamique appliqué au cycle s’écrit :
∆Ucycle = W + Qcycle
où W est le travail total échangé entre le système et le milieu extérieur au cours d’un cycle et Qcycle est la
chaleur totale échangée entre le système et le milieu extérieur au cours du même cycle.
Les transformations A→B et C→D sont adiabatiques et au cours de chacune de ces transformations, les n
moles de gaz n’échangent pas de chaleur avec le milieu extérieur : QAB = 0 et QCD = 0. Donc :
Qcycle = Q1 + Q2
Comme il a été dit, l’énergie interne U d’un gaz parfait ne dépend que de sa température donc au cours du cycle
de transformations qui ramène le système dans son état initial A, ∆Ucycle = 0.
L’écriture du premier principe devient donc :
0 = W + (Q1 + Q2)
Ce qui donne :
W = − (Q1 + Q2)
Le cycle est décrit dans le sens horaire donc le signe de W est négatif. (il s’agit d’un cycle moteur).
4) L’efficacité η du moteur est le rapport entre le travail fourni par le système au milieu extérieur au cours d’un
cycle (c'est-à-dire − W) et la chaleur dépensée (énergie thermique reçue lors de la combustion B→C) :
η =
1
W
Q
−
Puisque : W + Q1 + Q2 = 0, l’efficacité s’écrit :
η = 12
1
Q + Q
Q
C'est-à-dire :
η = 1 + 2
1
Q
Q
5) En remplaçant Q1 et Q2 par leurs expressions, l’efficacité η s’écrit :
η = 1 + nm
V
C
(
)
AD
T T
n
−
m
V
C
()
CB
T T−

Soit :
η = 1 +
(
)
()
AD
CB
T T
T T
−
−
Il est possible de transformer cette expression en tenant compte des propriétés des transformations A→B et
C→D. En effet, la transformation A→B est adiabatique et réversible et le gaz est parfait : les conditions pour
appliquer la relation de Laplace sont réunies. Celle-ci s’écrit : PVγ = constante. L’efficacité s’exprimant en
fonction des températures des états A,B C et D, il est nécessaire de chercher la relation entre la température T et
le volume V occupé par le gaz au cours de ce type de transformation.
L’équation d’état relative à n moles de gaz parfait donne : P = nR T
V. La relation de Laplace s’écrit donc :
nR T
VVγ = constante
Le terme nR étant constant, la relation précédente devient :
T V γ − 1 = constante
Pour la transformation A→B, on a :
TA VAγ − 1 = TB VBγ − 1
Puisque VA = Vmax et VB = Vmin, l’expression de la température du gaz dans l’état B est :
TB = TA
1
max
min
V
V
γ
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Le rapport max
min
V
V est noté τ dans l’énoncé et constitue le rapport volumétrique du cylindre. On en déduit :
TB = TA τγ − 1
La transformation C→D étant aussi une transformation adiabatique et réversible d’un gaz parfait, on a :
TC VCγ − 1 = TD VDγ − 1
Or, VD = Vmax et VC = Vmin, l’expression de la température du gaz dans l’état C est :
TC = TD
1
max
min
V
V
γ
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Soit encore en fonction du rapport volumétrique t :
TC = TD τγ − 1
L’efficacité du moteur devient alors :
η = 1 +
(
)
()
AD
1
DA
T T
T T
γ−
−
τ−
C'est-à-dire :
η = 1 − 1
1
γ
−
τ
Ou encore :
η = 1 − τ1 - γ
Application numérique :
η = 1 − 10(1 − 1,33) = 0,53
L’efficacité théorique de ce moteur est environ égale à 53 %.
6.1) Le rapport volumétrique τ permet d’exprimer le volume Vmax occupé par les n moles de gaz dans l’état A
(après la phase d’admission) :
Vmax = τ Vmin
D’après la relation exprimant la cylindrée du moteur :
Cy = τ Vmin − Vmin
Soit :
Cy = Vmin (τ − 1)
On en déduit le volume occupé par le gaz en fin de compression :
Vmin = Cy
1
τ
−
L’expression de Vmax est donc :

Vmax = Cy
1
τ
τ
−
Application numérique :
Vmin = 2,0
10 1
−
= 0,22 L
Vmax = 0 2,0
10 1
1×
−
= 2,2 L
6.2) À la fin de la phase d’admission, la quantité nmélange de gaz du mélange air-essence contenue dans le
cylindre occupe le volume Vmax à la température TA sous la pression PA. Cette quantité nmélange de gaz parfait est
donc :
nmélange = Amax
A
P V
R T
Or, la proportion de carburant dans le mélange est de 1 pour 60 (en moles) donc :
mélange
n'
n = 1
60
ce qui donne pour la quantité de matière n’ de carburant :
n' = mélange
n
60
Soit :
n' = 1
60 ×Amax
A
P V
R T
Application numérique :
n' = 1
60 × 33
100.10 2,22.10
8,31 320
−
×
× = 1,4.10−3 mol