Tutorats - fascicule 2

Département des Sciences de la Matière
Magistère de Sciences de la Matière, 1ère année
2002-2003
Tutorats de Mécanique Quantique
Fascicule d’exercices n◦ 2
Exercice I : Soient A, B deux opérateurs hermitiques. A quelle condition ce produit est-il hermitique ?
Exercice II : On suppose que |ii et |ji sont des kets propres d’un opérateur hermitique A. À quelle
condition peut-on conclure que |ii + |ji est aussi un ket propre de A ?
Exercice III : Projecteurs
1) Montrer qu’un projecteur Pa = |aiha| est un opérateur hermitique. (|ai est un ket
normé)
2) Montrer que Pa2 = Pa .
3) On considère un ket quelconque |bi.
3.1) Montrer que Pa |bi est un vecteur propre de Pa et déterminer la valeur propre
correspondante.
3.2) Trouver un second vecteur propre de Pa et la valeur propre associée.
3.3) Montrer que Pa est une observable.
Exercice IV : On appelle |Φn i les kets propres (non dégénérés) d’un opérateur hermitique H et En les
valeurs propres correspondantes ( H est par exemple l’opérateur hamiltonien d’un système
physique). On définit l’opérateur U (m, n) = |Φm ihΦn |.
1) Calculer l’adjoint U † (m, n) de U (m, n).
2) Calculer le commutateur [H, U (m, n)].
3) Démontrer la relation U (m, n)U † (p, q) = δn,q U (m, p)
Exercice V : Soit A un opérateur hermitique dont les valeurs propres, notées ai , sont connues. Donner
l’expression sur la base propre de A de :
i) A2
ii) L’opérateur exp[if (A)] où f (A) est un polynôme en A. (L’exponentielle d’un opérateur
est définie à partir du développement en série de l’exponentielle exp(x) = 1+x+x2 /2!+...)
1
Exercice VI : L’opérateur hamiltonien d’un système à deux états est donné par :
H = a( |1ih1| − |2ih2| + |1ih2| + |2ih1| )
où a est un nombre qui a les dimensions d’une énergie et |1i et |2i sont deux kets orthonormés.
Trouver les énergies propres de ce système et les kets propres correspondants. On pourra
utiliser une représentation de l’espace des états pour faire le calcul.
Exercice VII : On considère un système physique dont l’espace des états à 3 dimensions est rapporté à
une base ( |φ1 i, |φ2 i, |φ3 i ). Dans cette base, l’opérateur hamiltonien H du système et un
opérateur A sont représentés par :


1 0 0
H = ~ω0  0 2 0 
0 0 2


1 0 0
A = a 0 0 1 
0 1 0
où ω0 et a sont des constantes positives.
1) H et A sont-ils hermitiques ? Commutent-ils ?
2) Le système physique est à l’instant t = 0 dans l’état :
1
1
1
|ψi = √ |φ1 i + |φ2 i + |φ3 i
2
2
2
On mesure l’énergie à cet instant. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles
probabilités ? Calculer hHi et l’écart quadratique moyen ∆H.
3) Le système étant toujours dans l’état |ψi, on mesure A. Quelle est la valeur de hAi ?
Quels résultats peut-on trouver et avec quelles probabilités ? Quel est le ket d’état du
système immédiatement après la mesure ?
4) On mesure H et on trouve 2~ω0 , puis on mesure A et on trouve a. Quel est l’état du
système après ces deux mesures ? On mesure à nouveau H. Combien trouve-t-on ?
Exercice VIII : Soit un système physique dont l’espace des états est à 4 dimensions. Soient deux opérateurs
agissant dans cet espace et dont les représentations matricielles sont :


a 0
0 0
 0 −a 0 0 

A=
 0 0 −a 0 
0 0
0 a

0 0 0
 0 0 ib
B=
 0 −ib 0
b 0 0

b
0 

0 
0
où a et b sont des constantes réelles.
1) A et B sont-ils hermitiques ? Commutent-ils ?
2) Déterminer les valeurs propres de A.
3) Déterminer les valeurs propres et kets propres de B (sans diagonaliser une matrice
4 × 4 !)
4) Donner les notations de Dirac pour la base commune à A et B. A et B forment-ils
un “ensemble complet d’observables qui commutent” (ECOC), c’est-à-dire leur base
propre commune est-elle déterminée de manière unique ?
2
Exercice IX : Une molécule est formée de 6 atomes A1 , A2 , ..., A6 formant un hexagone régulier. On
considère un électron qui peut être localisé sur le nième atome (n = 1, 2, ..., 6). L’état
correspondant est alors noté |φn i. On se limitera pour les états de l’électron à l’espace
engendré par les |φn i, qui sont supposés orthonormés.
1) On définit l’opérateur R par les relations :
R|φ1 i = |φ2 i R|φ2 i = |φ3 i ... R|φ6 i = |φ1 i
Trouver les valeurs propres et les états propres de R. Montrer que les vecteurs propres
de R forment une base orthonormée de l’espace des états.
2) Lorsqu’on néglige la possibilité pour l’électron de passer d’un site à l’autre, son énergie
est décrite par l’hamiltonien H0 qui admet pour états propres les états |φn i, avec la
même valeur propre E0 . On décrit la possibilité pour l’électron de sauter d’un atome
à l’autre en ajoutant une perturbation W à l’hamiltonien H0 . W est définie par :
W (|φ1 i) = −a|φ6 i − a|φ2 i
W (|φ2 i) = −a|φ1 i − a|φ3 i
...
W (|φ6 i) = −a|φ5 i − a|φ1 i
Montrer que R commute avec l’hamiltonien total H = H0 + W . En déduire les états
propres et les valeurs propres de H. Dans les états propres, l’électron est-il localisé ?
Appliquer ces considérations à la molécule de benzène.
Exercice X : On appelle opérateur unitaire U un opérateur tel que U † U = U U † = 1
1) Monter qu’un opérateur unitaire conserve le produit scalaire, c’est-à-dire que le produit scalaire de U |αi par U |βi est égal au produit scalaire de |αi par |βi.
2) Montrer que les valeurs propres d’un opérateur unitaire sont de la forme λ = exp(iθ)
où θ est un nombre réel.
3) Montrer que, dans la représentation matricielle d’un opérateur unitaire sur une base,
la somme des produits des éléments d’une colonne i par les conjugués des éléments
correspondants d’une colonne j est égale à δij .
4) Soit { |ui i } une base orthonormée de l’espace des états. On pose |vi i = U |ui i. Montrer
que les |vi i forment une base orthonormée de l’espace des états.
Exercice XI :
1) Soit F (z) une fonction de la variable z, développable en série entière dans un domaine
donné :
F (z) =
∞
X
n=0
3
fn z n
Par définition, la fonction correspondante de l’opérateur A est l’opérateur F (A), défini
par une série ayant les mêmes coefficients :
F (A) =
∞
X
fn An
n=0
1.1) Déterminer les commutateurs [X, F (PX )] et [PX , F (X)].
1.2) Si |ψa i est un vecteur propre de A avec la valeur propre a, montrer que |ψa i est
vecteur propre de F (A) et déterminer la valeur propre correspondante.
2) On considère, dans un problème à une dimension, le hamiltonien H d’une particule,
défini par :
H=
PX2
+ V (X)
2m
Les vecteurs propres de H sont désignés par |φn i, tels que H|φn i = En |φn i.
2.1) Montrer que :
hφn |PX |φn0 i = αhφn |X|φn0 i
où α est un coefficient qui ne dépend de En et En0 que par l’intermédiaire de leur
différence.
Il est conseillé pour la démonstration de considérer le commutateur [X, H].
X
2.2) Vérifier que si {|φn i} est une base de l’espace des états, alors
|φn ihφn | est égal
n
à l’opérateur identité. Cette relation est appelée relation de fermeture de la base.
2.3) En utilisant cette relation de fermeture, déduire l’égalité :
m2 X
(En − En0 )2 |hφn |X|φn0 i|2 =
~2 n0
hφn |PX2 |φn i
3) Nous allons maintenant établir un équivalent quantique du théorème du viriel.
3.1) Soit A un opérateur quelconque. Montrer que :
hφn |[A, H]|φn i = 0
3.2) Calculer en fonction de PX , X et V (X) les commutateurs : [H, PX ], [H, X]et [H, XPX ].
3.3) Montrer que hφn |PX |φn i = 0.
3.4) Établir une relation entre :
Ec = hφn |
PX2
|φn i
2m
et
hφn |X.
dV
|φn i
dX
Relier alors Ec à la valeur moyenne de l’énergie potentielle dans l’état |φn i lorsque
le potentiel V est de la forme :
V (X) = V0 X k
avec
4
k = 2, 4, 6, ...
et
V0 > 0
Exercice XII :
1) Soient A et B deux opérateurs. Montrer que si λ est un nombre et si [A, [A, B]] = 0
alors :
[eλA , B] = λ[A, B]eλA
2) Montrer que si [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 on a :
eA eB = eA+B+[A,B]/2
Pour cela on cherchera une équation différentielle pour la fonction : f (λ) = eλA eλB
3) Calculer e−iλB AeiλB lorsque A et B sont des opérateurs qui vérifient : [A, B] = i
Exercice XIII : On considère deux opérateurs hermitiques A et B qui vérifient : [A, B] = i.
Pour tout nombre réel λ on définit :
S(λ) = e−iλB
1) Vérifier que S est unitaire et montrer que [A, S(λ)] = λS(λ).
2) On suppose que le spectre de A est l’ensemble des nombres réels et que les valeurs
propres sont non dégénérées. Soit |ai un état propre de A : A|ai = a|ai, montrer que :
S(λ)|ai = eiφ |a + λi
où φ est un nombre réel. Comment définir les états propres de A pour que cette phase
soit nulle ?
3) En supposant la condition précédente réalisée, déterminer la représentation de l’opérateur
B dans la base des états propres de A. Pour cela, on pourra calculer pour un ket |ψi
quelconque l’élément de matrice ha|B|ψi, en utilisant la fonction d’onde ψ(a) définie
comme : ψ(a) = ha|ψi.
4) Application : montrer que si P~ est l’opérateur d’impulsion et {|~ri} une base propre
de l’opérateur position, on a :
~~
r)
h~r|P~ |ψi = ∇ψ(~
i
où la fonction d’onde ψ(~r) est définie par : ψ(~r) = h~r|ψi
Exercice XIV : On cherche à déterminer les composantes de la base {|pi} dans la base {|xi}.
1) Rappeler l’action de l’opérateur P en base {|pi}.
2) En développant sur la base {|xi} la relation rappelée en 1), déterminer une équation
différentielle dont l’élément de matrice hx|pi, considéré comme une fonction de x paramétrée par p, est solution.
3) Résoudre cette équation différentielle et normaliser la solution en utilisant la transformée de Fourier de la distribution δ.
5
4) Déduire du résultat précédent une relation entre les fonctions d’onde en base {|xi} et
en base {|pi}.
5) A la lumière de ces résultats, commenter l’aspect spécifiquement quantique des relations d’incertitude d’Heisenberg.
Exercice XV : Forme générale de la relation d’incertitude.
(Remarque : cet exercice faisait partie de l’examen de maths 2001-2002.)
Pour deux observables quantiques  et B̂, on se propose de déduire la relation d’incertitude
E
1 D
∆A · ∆B ≥ [Â, B̂] (1)
2
D
E
où hAi = hψ|Â|ψi et (∆A)2 = (Â − 1hAi)2 (1 est l’opérateur identité). ∆A est l’incertitude sur l’observable A quand le système est dans un état |ψi quelconque de l’espace des
états (on supposera |ψi normé).
ˆ = Â − 1hAi et δB
ˆ = B̂ − 1hBi. Vérifier que ce sont des
1) On définit les opérateurs δA
ˆ δB].
ˆ
opérateurs hermitiques et que [Â, B̂] = [δA,
2
ˆ
.
2) Vérifier que (∆A)2 = δA|ψi
3) On rappelle
l’inégalité
triangulaire |a + b| ≤ |a| + |b| et l’inégalité de Cauchy-Schwarz
hα|βi ≤ |αi · |βi. En déduire la relation d’incertitude (1).
Exercice XVI : On considère une particule de masse m, à une dimension, dans un puits de potentiel infini :

si 0 ≤ x ≤ a
 0
V (x) =

+∞ ailleurs
Les états stationnaires sont décrits par les fonctions :
r
nπx 2
φn (x) =
sin
associées à
a
a
1) A t = 0, la particule est dans l’état d’énergie E1 =
En =
n 2 π 2 ~2
2ma2
~2 π 2
.
2ma2
1.1) Quelle est la fonction d’onde à l’instant t > 0 ?
1.2) Quels sont les résultats possibles d’une mesure de l’énergie à t ?
2) À t = 0, la particule est dans l’état :
1
πx
3πx
+ sin
ψ(x, 0) = √
sin
a
a
a
pour
0≤x≤a
2.1) Quelle est la fonction d’onde à l’instant t > 0 ? Quels sont les résultats possibles
d’une mesure de l’énergie à t et avec quelles probabilités ?
9~2 π 2
2.2) On mesure effectivement l’énergie à l’instant t et on trouve E3 =
. Quel
2ma2
résultat trouvera-t-on lors d’une mesure à un instant t1 > t ?
6
3) A t = 0, la particule est décrite par :

 Ax(a − x) si 0 ≤ x ≤ a
ψ(x) =

0
ailleurs
3.1) Quelle est la probabilité de trouver l’énergie E1 lors d’une mesure à t = 0 ?
3.2) Quelle serait la valeur moyenne des mesures effectuées sur un grand nombre de
systèmes identiques, tous dans l’état ψ(x) ?
4) On suppose que la particule dans le puits se trouve dans l’état stationnaire d’énergie
En .
4.1) Quelle est la probabilité pour qu’une mesure de l’impulsion P donne un résultat
entre p et p + dp ?
4.2) En déduire la valeur moyenne de l’impulsion dans cet état et l’écart quadratique
moyen ∆p.
1
5) Si, à t = 0, la particule est dans l’état non stationnaire : ψ(x) = p (φ1 (x) + φ2 (x)),
(2)
quelle est l’évolution dans le temps de la valeur moyenne de l’impulsion ?
Exercice XVII : Oscillateur harmonique.
Cet exercice propose d’effectuer les calculs permettant d’établir le spectre d’énergie d’un
oscillateur harmonique d’hamiltonien
Ĥ =
1 2 1
P̂x + mω 2 X̂ 2 .
2m
2
(2)
1) On définit les opérateurs
mω P̂x X̂ + i
2~
mω
r
mω
P̂x X̂ − i
=
2~
mω
â =
â†
r
(3)
(4)
Vérifier que ↠est bien l’opérateur adjoint de â et donc que ces deux opérateurs ne
sont pas hermitiques.
Montrer que [â, ↠] = 1
2) On définit l’opérateur N̂ = ↠â. Vérifier que N̂ est hermitique et que l’hamiltonien
peut s’écrire
1
Ĥ = ~ω N̂ +
.
(5)
2
Si l’on note n les valeurs propres de l’opérateur N̂ , les valeurs propres de Ĥ s’écriront
donc
1
,
(6)
En = ~ω n +
2
et les opérateurs N̂ et Ĥ auront les mêmes kets propres. On notera |ni le ket propre
correspondant à la valeur propre n de N̂ .
7
A ce niveau, la seule information dont on dispose sur n est qu’il est réel puisque
l’opérateur N̂ est hermitique. On se propose de montrer que n est entier positif ou
nul. Il faut d’abord établir des résultats intermédiaires.
3) Signification des opérateurs â et ↠.
3.1) Montrer que
[N̂ , â] = −â
et
[N̂ , ↠] = â†
(7)
3.2) Montrer que les opérateurs ↠et â permettent de “monter” ou de “descendre”
dans les valeurs propres de N̂ (ou Ĥ) en transformant un ket propre associé à la
valeur propre n en un ket propre associé à la valeur propre n ± 1
N̂ ↠|ni = (n + 1) ↠|ni et N̂ â|ni = (n − 1) â|ni .
(8)
A chaque opération l’énergie de l’oscillateur augmente (ou diminue) de la quantité
~ω. Ainsi ~ω apparat comme le quantum d’énergie que l’oscillateur peut gagner
ou perdre.
4)
4.1) En calculant hn|N̂ |ni et en pensant à l’expression de N̂ , montrer que
n≥0.
(9)
4.2) Les kets propres de l’hamiltonien Ĥ sont non dégénérés (résultat général
pour
les états localisés d’une particule mobile à une dimension). En calculant â|ni,
montrer que
√
â|ni = n |n − 1i
(10)
où |n − 1i est le ket propre de N̂ associé à la valeur propre n − 1.
Démontrer de même que
√
↠|ni = n + 1 |n + 1i .
(11)
On notera que l’obtention de l’équation (10) nécessite le choix d’un facteur de
phase. Un fois que l’on a choisi le facteur de phase liant les kets associés aux
valeurs propres n aux kets associés aux valeurs propres inférieures d’une unité,
on ne doit plus faire un choix arbitraire de facteur de phase quand on passe de
n à n + 1. Il faut donc établir la relation (11) par calcul direct sans passer par le
calcul d’une norme.
4.3) On applique l’opérateur de descente â de manière itérative à un ket |ni. Montrer
que si n est un nombre entier le processus s’arrête au bout d’un certain nombre
d’applications de â alors que si n est non entier on parvient à un résultat en
contradiction avec la condition (9).
On en déduit donc que n doit être un entier positif ou nul. L’état fondamental
est donc le ket |0i (attention ce n’est pas le ket nul !) et les énergies des états
stationnaires de l’oscillateur harmonique sont
En = n +
1
~ω
2
8
avec n = 0, 1, 2, 3, . . .
(12)
5) On peut obtenir tous les kets propres de l’hamiltonien à partir du ket propre
de l’état
1
fondamental. Montrer que le ket normé correspondant à l’énergie n + 2 ~ω est
n
1
|ni = √ ↠|0i .
n!
(13)
6) Donner les expressions des éléments matriciels des opérateurs X̂ et P̂x dans la base
|ni (base propre de l’hamiltonien).
7) Fonctions d’ondes de l’oscillateur harmonique.
La résolution directe de l’équation de Schrdinger en terme de fonctions d’ondes n’est
pas immédiate car on obtient une équation du second ordre à coefficients non constants
(elle est présentée dans le livre de Mécanique Quantique de Cohen-Tannoudji, Diu,
Lalo). Il y a une méthode beaucoup plus simple pour obtenir les fonctions d’ondes de
l’oscillateur harmonique. Elle consiste à chercher d’abord celle de l’état fondamental
puis à former les autres par application de l’opérateur de montée ↠.
7.1) L’équation donnant le ket propre de l’état fondamental est
â|0i = 0 .
(14)
Compte tenu de l’expression de â en fonction de X̂ et P̂x , écrire cette équation
en terme de fonctions d’ondes, c’est à dire l’équation différentielle donnant la
fonction ψ0 (x), représentation x de |0i. C’est une équation différentielle du 1er
ordre. Montrer que sa solution est
mω 1/4
1 mω 2
exp −
x
.
(15)
ψ0 (x) =
π~
2 ~
7.2) On peut obtenir les autres fonctions d’onde par action de l’opérateur de montée.
Montrer par exemple que la fonction d’onde du 1er état excité est
1/4
1 mω 2
4 mω 3
x exp −
x
ψ1 (x) =
π ~
2 ~
(16)
en écrivant en termes de fonction d’ondes la relation |1i = ↠|0i.
On notera que, tandis que ψ0 (x) n’avait pas de racine et était paire, ψ1 (x) a une
racine et est impaire. On retrouve un résultat général pour les états liés d’une
particule à une dimension : les fonctions d’ondes sont alternativement paires et
impaires (l’état fondamental étant pair) et le nombre de racines correspond au
degré d’excitation.
9
Exercice XVIII : États quasi-classiques de l’oscillateur harmonique.
On considère un oscillateur harmonique d’hamiltonien :
H=
1 2 1
P + mω 2 X 2 .
2m
2
On se propose d’étudier les états propres |αi de l’opérateur annihilation a =
iP/(mω)], tels que a|αi = α|αi.
p
mω/2~ [X +
Question préliminaire : citer un exemple physique pouvant être décrit par cet hamiltonien
et une expérience mettant en évidence les propriétés quantiques de cet oscillateur.
1) On décompose |αi sur la base |ni des états stationnaires de H,
|αi =
∞
X
cn (α)|ni.
n=0
√
En utilisant la relation a|ni = n|n − 1i, montrer que, pour toute valeur de α complexe, il existe une relation de récurrence simple entre les cn (α) permettant de les
calculer tous à partir de co (α).
En déduire que tout nombre complexe α est valeur propre de a associée à un état
propre |αi. Calculer les cn (α) correspondants pour que |αi soit normé.
2) Quelle est la probabilité de trouver En = (n + 1/2)~ω lors de la mesure de l’énergie
de l’oscillateur s’il est dans l’état |αi ?
Calculer la valeur moyenne de l’énergie hEi, hE 2 i et l’écart quadratique ∆E dans
l’état |αi et vérifier que la valeur relative de l’énergie est d’autant mieux définie que
|α| est grand.
A.N. : calculer ∆E et hEi pour un pendule de longueur 1 m auquel est suspendue
une masse de 10 g et dont l’amplitude maximale d’oscillation est de 10o .
3) Calculer hxi, ∆x, hpi et ∆p dans l’état |αi. Que vaut dans cet état ∆x × ∆p ? Que
pensez-vous de ce résultat ?
4) On suppose qu’à l’instant to , l’oscillateur est dans un état |αi avec α(to ) = αo exp(iφ).
Montrer qu’à un instant ultérieur t, il est dans un autre état propre de l’opérateur a,
|α(t)i, et donner la valeur de α(t).
5) Que valent, à l’instant t, hxi, ∆x, hpi et ∆p ? Exprimer les résultats en fonction du
nombre hN i de quanta excités dans l’état |αi.
Pourquoi, d’après vous, appelle-t-on les états |αi, pour α 1, états “quasi-classiques” ?
10
Exercice XIX : États comprimés de l’oscillateur harmonique (“squeezed states”).
Dans l’exercice précédent, nous avons étudié les états semi-classiques (ou “cohérents”) de
l’oscillateur harmonique, pour lesquels nous avons vu que l’écart quadratique sur la position, ∆x, a la même valeur que dans l’état fondamental |0i de l’oscillateur.
Nous allons voir qu’on peut obtenir des “états comprimés” pour lesquels ∆x peut devenir
beaucoup plus petit que dans l’état fondamental. En raison de l’analogie formelle entre le
traitement quantique des ondes électromagnétiques et une assemblée d’oscillateurs harmoniques, les états comprimés peuvent aussi être générés en électromagnétisme. C’est dans ce
domaine qu’ils ont été observés (voir Squeezing the quantum noise limits, Physics Today,
Mars 1986).
1) On considère l’opérateur :
b = A(a − µa† ),
où µ est complexe (|µ| < 1) et A est une constante. Déterminer A pour que l’on ait
[b, b† ] = 1.
2) On considère un état |βi de l’oscillateur tel que b|βi = β|βi, que l’on décompose sur
la base |ni en :
|βi =
∞
X
dn |ni.
n=0
Déterminer les relations liant les coefficients dn et montrer qu’on peut tous les déterminer
à partir de do . On suppose dans la suite que do est choisi de façon à ce que |βi soit
normé.
3) L’oscillateur est à l’instant initial to dans l’état |β(to )i. Montrer qu’à un instant
ultérieur t il sera dans un état propre |β(t)i d’un opérateur de type b défini par
(1), avec une valeur propre β(t) et un paramètre µ(t) que l’on déterminera.
4) Vérifier que l’état |βi est bien un état “comprimé” en calculant l’écart quadratique
∆x sur la position de l’oscillateur dans l’état |β(t)i. Montrer qu’on peut rendre ∆x
aussi petit que l’on veut.
11