Tutorats - fascicule 2

D´epartement des Sciences de la Mati`ere 2002-2003
Magist`ere de Sciences de la Mati`ere, 1`ere ann´ee
Tutorats de M´ecanique Quantique
Fascicule d’exercices n◦2
Exercice I : Soient A,Bdeux op´erateurs hermitiques. A quelle condition ce produit est-il hermitique ?
Exercice II : On suppose que |iiet |jisont des kets propres d’un op´erateur hermitique A.` A quelle
condition peut-on conclure que |ii+|jiest aussi un ket propre de A?
Exercice III : Projecteurs
1) Montrer qu’un projecteur Pa=|aiha|est un op´erateur hermitique. (|aiest un ket
norm´e)
2) Montrer que P2
a=Pa.
3) On consid`ere un ket quelconque |bi.
3.1) Montrer que Pa|biest un vecteur propre de Paet d´eterminer la valeur propre
correspondante.
3.2) Trouver un second vecteur propre de Paet la valeur propre associ´ee.
3.3) Montrer que Paest une observable.
Exercice IV : On appelle |Φniles kets propres (non d´eg´en´er´es) d’un op´erateur hermitique Het Enles
valeurs propres correspondantes ( Hest par exemple l’op´erateur hamiltonien d’un syst`eme
physique). On d´efinit l’op´erateur U(m, n) = |ΦmihΦn|.
1) Calculer l’adjoint U†(m, n) de U(m, n).
2) Calculer le commutateur [H, U(m, n)].
3) D´emontrer la relation U(m, n)U†(p, q) = δn,q U(m, p)
Exercice V : Soit Aun op´erateur hermitique dont les valeurs propres, not´ees ai, sont connues. Donner
l’expression sur la base propre de Ade :
i) A2
ii) L’op´erateur exp[if(A)] o`u f(A) est un polynˆome en A. (L’exponentielle d’un op´erateur
est d´efinie `a partir du d´eveloppement en s´erie de l’exponentielle exp(x) = 1+x+x2/2!+...)
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Exercice VI : L’op´erateur hamiltonien d’un syst`eme `a deux ´etats est donn´e par :
H=a(|1ih1|−|2ih2|+|1ih2|+|2ih1|)
o`u aest un nombre qui a les dimensions d’une ´energie et |1iet |2isont deux kets ortho-
norm´es.
Trouver les ´energies propres de ce syst`eme et les kets propres correspondants. On pourra
utiliser une repr´esentation de l’espace des ´etats pour faire le calcul.
Exercice VII : On consid`ere un syst`eme physique dont l’espace des ´etats `a 3 dimensions est rapport´e `a
une base ( |φ1i,|φ2i,|φ3i). Dans cette base, l’op´erateur hamiltonien Hdu syst`eme et un
op´erateur Asont repr´esent´es par :
H=~ω0
100
020
002
A=a
100
001
010
o`u ω0et asont des constantes positives.
1) Het Asont-ils hermitiques ? Commutent-ils ?
2) Le syst`eme physique est `a l’instant t= 0 dans l’´etat :
|ψi=1
√2|φ1i+1
2|φ2i+1 2|φ3i
On mesure l’´energie `a cet instant. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles
probabilit´es ? Calculer hHiet l’´ecart quadratique moyen ∆H.
3) Le syst`eme ´etant toujours dans l’´etat |ψi, on mesure A. Quelle est la valeur de hAi?
Quels r´esultats peut-on trouver et avec quelles probabilit´es ? Quel est le ket d’´etat du
syst`eme imm´ediatement apr`es la mesure ?
4) On mesure Het on trouve 2~ω0, puis on mesure Aet on trouve a. Quel est l’´etat du
syst`eme apr`es ces deux mesures ? On mesure `a nouveau H. Combien trouve-t-on ?
Exercice VIII : Soit un syst`eme physique dont l’espace des ´etats est `a 4 dimensions. Soient deux op´erateurs
agissant dans cet espace et dont les repr´esentations matricielles sont :
A=
a0 0 0
0−a0 0
0 0 −a0
0 0 0 a
B=
0 0 0 b
0 0 ib 0
0−ib 0 0
b0 0 0
o`u aet bsont des constantes r´eelles.
1) Aet Bsont-ils hermitiques ? Commutent-ils ?
2) D´eterminer les valeurs propres de A.
3) D´eterminer les valeurs propres et kets propres de B(sans diagonaliser une matrice
4×4 !)
4) Donner les notations de Dirac pour la base commune `a Aet B.Aet Bforment-ils
un “ensemble complet d’observables qui commutent” (ECOC), c’est-`a-dire leur base
propre commune est-elle d´etermin´ee de mani`ere unique ?
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Exercice IX : Une mol´ecule est form´ee de 6 atomes A1, A2, ..., A6formant un hexagone r´egulier. On
consid`ere un ´electron qui peut ˆetre localis´e sur le ni`eme atome (n= 1,2, ..., 6). L’´etat
correspondant est alors not´e |φni. On se limitera pour les ´etats de l’´electron `a l’espace
engendr´e par les |φni, qui sont suppos´es orthonorm´es.
1) On d´efinit l’op´erateur Rpar les relations :
R|φ1i=|φ2iR|φ2i=|φ3i... R|φ6i=|φ1i
Trouver les valeurs propres et les ´etats propres de R. Montrer que les vecteurs propres
de Rforment une base orthonorm´ee de l’espace des ´etats.
2) Lorsqu’on n´eglige la possibilit´e pour l’´electron de passer d’un site `a l’autre, son ´energie
est d´ecrite par l’hamiltonien H0qui admet pour ´etats propres les ´etats |φni, avec la
mˆeme valeur propre E0. On d´ecrit la possibilit´e pour l’´electron de sauter d’un atome
`a l’autre en ajoutant une perturbation W`a l’hamiltonien H0.West d´efinie par :
W(|φ1i) = −a|φ6i − a|φ2i
W(|φ2i) = −a|φ1i − a|φ3i
...
W(|φ6i) = −a|φ5i − a|φ1i
Montrer que Rcommute avec l’hamiltonien total H=H0+W. En d´eduire les ´etats
propres et les valeurs propres de H. Dans les ´etats propres, l’´electron est-il localis´e ?
Appliquer ces consid´erations `a la mol´ecule de benz`ene.
Exercice X : On appelle op´erateur unitaire Uun op´erateur tel que U†U=UU†= 1
1) Monter qu’un op´erateur unitaire conserve le produit scalaire, c’est-`a-dire que le pro-
duit scalaire de U|αipar U|βiest ´egal au produit scalaire de |αipar |βi.
2) Montrer que les valeurs propres d’un op´erateur unitaire sont de la forme λ= exp(iθ)
o`u θest un nombre r´eel.
3) Montrer que, dans la repr´esentation matricielle d’un op´erateur unitaire sur une base,
la somme des produits des ´el´ements d’une colonne ipar les conjugu´es des ´el´ements
correspondants d’une colonne jest ´egale `a δij .
4) Soit { |uii } une base orthonorm´ee de l’espace des ´etats. On pose |vii=U|uii. Montrer
que les |viiforment une base orthonorm´ee de l’espace des ´etats.
Exercice XI : 1) Soit F(z) une fonction de la variable z, d´eveloppable en s´erie enti`ere dans un domaine
donn´e :
F(z) =
∞
X
n=0
fnzn
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Par d´efinition, la fonction correspondante de l’op´erateur Aest l’op´erateur F(A), d´efini
par une s´erie ayant les mˆemes coefficients :
F(A) =
∞
X
n=0
fnAn
1.1) D´eterminer les commutateurs [X, F (PX)] et [PX, F (X)].
1.2) Si |ψaiest un vecteur propre de A avec la valeur propre a, montrer que |ψaiest
vecteur propre de F(A) et d´eterminer la valeur propre correspondante.
2) On consid`ere, dans un probl`eme `a une dimension, le hamiltonien Hd’une particule,
d´efini par :
H=P2
X
2m+V(X)
Les vecteurs propres de Hsont d´esign´es par |φni, tels que H|φni=En|φni.
2.1) Montrer que :
hφn|PX|φn0i=αhφn|X|φn0i
o`u αest un coefficient qui ne d´epend de Enet En0que par l’interm´ediaire de leur
diff´erence.
Il est conseill´e pour la d´emonstration de consid´erer le commutateur [X, H].
2.2) V´erifier que si {|φni} est une base de l’espace des ´etats, alors X
n|φnihφn|est ´egal
`a l’op´erateur identit´e. Cette relation est appel´ee relation de fermeture de la base.
2.3) En utilisant cette relation de fermeture, d´eduire l’´egalit´e :
m2
~2X
n0
(En−En0)2|hφn|X|φn0i|2=hφn|P2
X|φni
3) Nous allons maintenant ´etablir un ´equivalent quantique du th´eor`eme du viriel.
3.1) Soit Aun op´erateur quelconque. Montrer que :
hφn|[A, H]|φni= 0
3.2) Calculer en fonction de PX,Xet V(X) les commutateurs : [H, PX],[H, X]et [H, XPX].
3.3) Montrer que hφn|PX|φni= 0.
3.4) ´ Etablir une relation entre :
Ec=hφn|P2
X
2m|φniet hφn|X. dV dX|φni
Relier alors Ec`a la valeur moyenne de l’´energie potentielle dans l’´etat |φnilorsque
le potentiel Vest de la forme :
V(X) = V0Xkavec k= 2,4,6, ... et V0>0
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Exercice XII : 1) Soient Aet Bdeux op´erateurs. Montrer que si λest un nombre et si [A, [A, B]] = 0
alors :
[eλA, B] = λ[A, B]eλA
2) Montrer que si [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 on a :
eAeB=eA+B+[A,B]/2
Pour cela on cherchera une ´equation diff´erentielle pour la fonction : f(λ) = eλA eλB
3) Calculer e−iλBAeiλB lorsque Aet Bsont des op´erateurs qui v´erifient : [A, B] = i
Exercice XIII : On consid`ere deux op´erateurs hermitiques Aet Bqui v´erifient : [A, B] = i.
Pour tout nombre r´eel λon d´efinit :
S(λ) = e−iλB
1) V´erifier que Sest unitaire et montrer que [A, S(λ)] = λS(λ).
2) On suppose que le spectre de Aest l’ensemble des nombres r´eels et que les valeurs
propres sont non d´eg´en´er´ees. Soit |aiun ´etat propre de A:A|ai=a|ai, montrer que :
S(λ)|ai=eiφ|a+λi
o`u φest un nombre r´eel. Comment d´efinir les ´etats propres de A pour que cette phase
soit nulle ?
3) En supposant la condition pr´ec´edente r´ealis´ee, d´eterminer la repr´esentation de l’op´erateur
Bdans la base des ´etats propres de A. Pour cela, on pourra calculer pour un ket |ψi
quelconque l’´el´ement de matrice ha|B|ψi, en utilisant la fonction d’onde ψ(a) d´efinie
comme : ψ(a) = ha|ψi.
4) Application : montrer que si ~ Pest l’op´erateur d’impulsion et {|~ri} une base propre
de l’op´erateur position, on a :
h~r|~ P|ψi=~
i~
∇ψ(~r)
o`u la fonction d’onde ψ(~r) est d´efinie par : ψ(~r) = h~r|ψi
Exercice XIV : On cherche `a d´eterminer les composantes de la base {|pi} dans la base {|xi}.
1) Rappeler l’action de l’op´erateur Pen base {|pi}.
2) En d´eveloppant sur la base {|xi} la relation rappel´ee en 1), d´eterminer une ´equation
diff´erentielle dont l’´el´ement de matrice hx|pi, consid´er´e comme une fonction de xpa-
ram´etr´ee par p, est solution.
3) R´esoudre cette ´equation diff´erentielle et normaliser la solution en utilisant la trans-
form´ee de Fourier de la distribution δ.
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