GRAPHES ALÉATOIRES Table des matières 1 Arbres de Galton

GRAPHES ALÉATOIRES
Cours de B. Blaszczyszyn (M2 PMA, 2016).
Table des matières
1 Arbres de Galton-Watson. 1
1.1 Descriptiondel’arbre. ....................................... 1
1.2 Fonctiongénératrice. ........................................ 2
1.3 Probabilitéd’extinction. ...................................... 2
1.4 Explorationd’unarbre........................................ 3
1.5 Lecassur-critique. ......................................... 4
1.6 Taille de l’arbre dans le cas sous-critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Graphes d’Erdös-Rényi. 7
2.1 Lemodèle............................................... 8
2.2 Exploration du voisinage d’un noeud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Structure locale d’arbre de Galton-Watson poissonnien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Transitiondephase.......................................... 10
2.5 Les nœuds isolés dans G(n, p). .................................. 11
2.6 Seuilpourlaconnexité........................................ 14
2.7 Exercices sur le modèle d’Erdös-Rényi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1Arbres de Galton-Watson.
1.1. Description de l’arbre.
On se donne une famille de variables aléatoires {ξi,j:i,j∈N}, indépendantes et toutes distribuées
selon une même loi ξsur N, admettant une variance et une espérance. On note
pk=P(ξ=k).
On définit une suite de variables aléatoires Z0,Z1, ... par Z0=1 (la racine de l’arbre) et
Zn+1=ξn+1,1 +... +ξn+1,Znsi Zn>0
0 sinon.
La variable Znest la taille de la génération n; le noeud ide la génération nmeurt, et engendre
ξn+1,idescendants directs. Pour rendre cela rigoureux, il faut décrire une manière un peu plus formelle
d’explorer le graphe : nous le ferons quelques pages plus loin.
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Graphes aléatoires.
1.2. Fonction génératrice.
Soit φ(s) = P∞
k=0skpk=E[sξ]la fonction génératrice de ξ. Elle est bien définie si s∈[0, 1]et c’est
une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à 1. En particulier, elle est de clase C∞sur
son domaine de définition.
Notons ψnla fonction génératrice de Zn, c’est-à-dire ψn(s) = E[sZn]. On a
ψn+1(s) = EsPZn
i=1ξn+1,i
=∞
X
k=0
Eh1Zn=ksPk
i=1ξn+1,ii
=∞
X
k=0
P(Zn=k)φ(s)k
=ψnφ(s)
On vient donc de montrer par récurrence que ψn=φ◦... ◦φ=φn(au sens de la composition).
REMARQUE 1.1. C’est cette propriété cruciale qui va permettre d’étudier les probabilités d’extinction
de l’arbre. Elle n’est pas du tout évidente, et en particulier elle repose sur l’identité E[sX+Y] = E[sX]E[sY]
qui fait intervenir de la commutativité (dans R) et de l’indépendance.
1.3. Probabilité d’extinction.
Notons τ=inf{n∈N,Zn=0}l’instant d’extinction (noter que l’on peut avoir τ= +∞). On veut
calculer la probabilité d’extinction p==P(τ < ∞). Il est clair que si p0=0, chaque noeud possède au
moins un enfant et il n’est pas possible que l’arbre meure. On supposera donc que p0>0.
Remarquons que les événements {Zn=0}sont croissants, donc la suite P(Zn=0)nest croissante
et majorée (par 1), donc elle est convergente. Comme P(Zn=0) = ψn(0), on a
p==P(∃n:Zn=0) = lim
n→∞
ψn(0).
Comme ψn=φnet que φest continue, on en déduit que p=est un point fixe dans [0, 1]de φ.
On sait que φ(1) = p0+p1+... =1, donc 1 est un point fixe de φ, et c’est la limite de la suite récurrence
associée à φet issue de 0. Comme la fonction φest convexe, p=est le plus petit point fixe de φdans [0, 1].
Plusieurs cas de se présentent en fonction de la dérivée de φen 1. Notons que φ0(1) = E[ξ] := m.
– Si m61, le seul point fixe de φdans [0, 1]est 1, donc p==1 et la population s’éteint presque
sûrement.
– Si m > 1, il existe un unique point fixe distinct de 1 et il est dans ]0, 1[.
m > 1m=1m < 1
FIGURE 1 – Les trois cas possibles.
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Graphes aléatoires.
THÉORÈME 1.2. — Si E[ξ]61, l’abre de Galton-Watson est fini presque sûrement. Si E[ξ]>1, l’arbre de
Galton-Watson est fini avec probabilité p=∈]0, 1[et p=est la plus petite solution de l’équation φ(x) = x.
On adoptera dorénavant les termes suivants :
DÉFINITION 1.3. On dit que l’arbre de Galton-Watson est dans le cas
–sur-critique lorsque E[ξ]>1,
–critique lorsque E[ξ] = 1,
–sous-critique lorsque E[ξ]<1.
On donne maintenant quelques exemples de calculs dans le cas « intéressant » où m > 1 et l’arbre
n’est pas forcément fini.
EXEMPLE 1.4. Si ξest une loi de Poisson de paramètre λ > 1, alors un calcul classique donne φ(s) =
eλ(s−1), et ainsi p=vérifie
p==eλ(p=−1). (1)
En particulier, si l’on note p?la probabilité de survie éternelle (p?=1−p=), on a
p?=1−e−λp?.
Il n’y a pas de solution explicite. On remarque cependant que p?est une fonction croissante de λ, ce
qui se comprend facilement : plus λest élevé, plus il y a de descendants, plus la probabilité de survie est
élevée.
EXEMPLE 1.5. Si ξest une loi binomiale de paramètres (n,p)alors un calcul classique donne φ(s) =
(ps +1−p)n, et donc p=vérifie
p== (p=s+1−p=)n.
1.4. Exploration d’un arbre.
On pose A0=1 et on définit par récurrence les An. Si, à l’instant n, on a An6=0, on choisit un nœud
actif 1, on le désactive, et on active ses hnenfants. La variable Anreprésente le nombre de noeuds actifs
à l’instant n, elle obéit à la récurrence suivante :
An+1=0 si An=0
An−1+hnsinon.
On pose T=inf{t∈N:At=0}. C’est le premier moment où il n’y a plus de noeuds actifs, donc
l’arbre s’est éteint et sa taille est T.
Une récurrence immédiate permet de vérifier que An=1+h1+h2+... +hn−nlorsque n6T. On
en déduit notamment que si Test fini, on a la relation
T=1+
T
X
i=1
hi(2)
REMARQUE 1.6. Lorsque l’arbre est un arbre aléatoire de Galton-Watson, A−1 est une marche aléatoire
issue de 0, dont les incréments sont de loi ξ−1.
DÉFINITION 1.7 (historique d’exploration). L’historique d’exploration d’un arbre, noté H, est la suite
H= (h1,h2, ..., hT).
1. Par exemple, en prenant le plus à gauche.
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Graphes aléatoires.
Toutes les suites ne sont pas des historiques d’exploration : il est nécessaire et suffisant qu’une suite
vérifie la relation (2) pour être un historique d’exploration. Dans ce cas, l’historique Hcaractérise par-
faitement l’arbre.
Dans le cadre des arbres aléatoires de Galton-Watson, le processus d’exploration est aléatoire. Chaque
hia pour loi ξ−1 et Test le temps (aléatoire) d’atteinte de 0 par la marche aléatoire A, qui est issue de
1.
1.5. Le cas sur-critique.
Dans toute cette partie, on se place dans le cas sur-critique. On va s’intéresser à la loi de l’arbre
conditionnellement à son extinction. Nous allons voir que la loi d’un arbre de Galton-Watson sur-
critique conditionné à s’éteindre est encore la loi d’un arbre de Galton-Watson pour une loi de des-
cendance modifiée.
1.5.1. La loi duale.
LEMME 1.8. — Il existe un unique s0dans ]0, 1[tel que φ(s0)/s0=φ0(s0). De plus, pour tout s∈]0, s0[
on a φ(s)/s > φ0(s)et pour tout s∈]s0, 1[on a φ(s)/s < φ0(s).
s0
φ
s7→ φ0(s0)·s
FIGURE 2 – Illustration du lemme 1.8.
Démonstration. La fonction g:s7→ φ(s)/s est strictement convexe (on peut l’écrire comme une somme
de fonctions convexes positives en développant φ) et dérivable sur ]0, 1[. De plus, on a g(p=) = 1 et
g(1) = 1, donc il existe nécessairement un s0∈]p=, 1[vérifiant g0(s0) = 0. En dérivant g, on obtient
φ0(s0)s0−φ(s0) = 0 et donc φ0(s0) = φ(s0)/s0. La dernière assertion résulte de la stricte convexité de
g.J
DÉFINITION 1.9 (loi recadrée). Soit p={pk:k∈N}une loi de probabilité sur N. La loi λ-recadrée de p
est la loi p(λ) = {pk(λ) : k∈N}sur Ndéfinie par
pk(λ) = pk
(s0λ)k
φ(s0λ).
On notera p=(λ)la probabilité d’extinction pour la loi λ-recadrée.
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Graphes aléatoires.
s0s0λ
φ
φ(s0λ)
¯
φ
s0
p=(λ)
FIGURE 3 – La loi λ-recadrée. Dans la figure de droite, le cadre jaune de la figure de gauche a été renor-
malisé.
La fonction génératrice ¯ φde p(λ)est donnée par
¯
φ(s) = φ(ss0λ)
φ(s0λ).
Autrement dit, c’est la fonction génératrice de φrestreinte à l’intervalle [0, s0λ]et convenablement
renormalisée, d’où la terminologie « loi recadrée » . Dans la figure 3 de gauche, la loi λ-recadrée est
correspond à la portion dans le rectangle jaune. Elle est renormalisée dans la figure de droite.
Lorsque λ < 1, c’est la fonction génératrice d’une loi sous-critique : en effet, dans ce cas ¯ φ0(1) =
φ0(s0λ)s0λ/φ(s0λ), et tout cela est strictement inférieur à 1 d’après le lemme précédent.
Par le même raisonnement, lorsque λ > 1, on voit que ¯ φest la fonction génératrice d’une loi sur-
critique.
LEMME 1.10. — Pour tout λ > 1, il existe un unique µ6=λdans ]0, 1[tel que
φ(s0λ)
λ=φ(s0µ) µ
et de plus, on a la formule
µ=λp=(λ). (3)
Démonstration. Là encore, tout résulte de la stricte convexité de la fonction g:s7→ φ(s)/s. Nous avons
déjà vu qu’elle atteint son minimum en s0. De plus, lims→0g(s) = +∞: ainsi, pour tout λ > 1 il existe
un unique t∈]0, s0[tel que g(t) = g(s0λ)et le lemme est vérifié avec µ=s/s0. On voit bien les choses
sur la figure 4. J
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