2x4

Math´ ematiques assist´ ees par ordinateur
Chapitre 8 : Int´ egration num´ erique
Michael Eisermann
Mat249, DLST L2S4, Ann´ ee 2008-2009
www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/cours # mao
Document mis ` a jour le 6 juillet 2009
1/47
Motivation et objectifs
a b
G´ eom´ etriquement, l’int ´ egrale Rb
af(x)dx
d’une fonction continue f: [a, b]→R
mesure l’aire entre l’axe des abscisses et f.
L’int´ egration est aussi l’op´ eration «inverse »
`
a la d´ erivation. Si F: [a, b]→Rv´ erifie
F0=f, alors Rb
af(x)dx =F(b)−F(a).
Dans des rares cas favorables on arrive ` aexpliciter une telle fonction
F, dite primitive de f. Ceci permet de calculer certaines int ´ egrales.
En g´ en´ eral c’est trop dur, voire impossible : la plupart des fonctions
n’admet pas de primitives s’exprimant ` a l’aide des fonctions usuelles.
Motiv´ e par cette probl´ ematique, ce cours pr´ esente quelques
m´ ethodes pour calculer num´ eriquement de telles int´ egrales.
Comme toujours, avant de calculer quoi que ce soit, il faut d’abord
d´ efinir l’objet en question, puis ´ etablir ses principales propri ´ et´ es.
On commencera donc avec une r´ evision de l’int´ egrale de Riemann.
2/47
Sommaire
1L’int´ egrale de Riemann : construction et propri ´ et´ es
Construction de l’int ´ egrale de Riemann
Propri ´ et´ es principales de l’int ´ egrale
Diff´ erentiation et int´ egration
2M´ ethodes num´ eriques basiques
M´ ethodes des rectangles, majoration d’erreur
M´ ethode des trap` ezes, majoration d’erreur
Comparaison des m´ ethodes basiques
3M´ ethodes de Newton-Cotes
M´ ethodes ´ el´ ementaires, majoration d’erreur
M´ ethodes compos´ ees, majoration d’erreur
M´ ethodes de Simpson, Boole, Weddle
4La m´ ethode de Romberg
La formule d’Euler-Maclaurin
Extrapolation de Richardson
La m´ ethode de Romberg
3/47
Qu’est-ce que l’int´ egrale ?
On veut associer ` af:R→Ret a<bun nombre r´ eel Rb
af, appel´
e
l’int´ egrale de fsur [a, b], v´ erifiant quelques exigences naturelles :
Constantes : Rb
aλ= (b−a)λpour tout λ∈R
Subdivision : Rc
af=Rb af+Rc bfpour tout a<b<c
Monotonie : Rb
af≤Rb agsi f(x)≤g(x)pour a<x<b
De ces axiomes d´ ecoulent toutes les propri ´ et´ es de l’int´ egrale !
Tout d’abord, ils d´ efinissent l’int´ egrale pour toute fonction en escalier :
a b
a b
a b
Puis tout s’´ etend aux autres fonctions int´ egrables par encadrement.
§1.1 4/47
Construction de l’int ´ egrale : fonctions en escaliers
Une subdivision de [a, b]en nsous-intervalles est une famille
s={s0< s1<· · · < sn−1< sn}telle que s0=aet sn=b.
Pour toute fonction born´ ee f: [a, b]→Ron d´ efinit
I∗(f, s) := Pn
k=1(sk−sk−1) inf[sk−1,sk]f,
I∗(f, s) := Pn
k=1(sk−sk−1) sup[sk−1,sk]f.
Ces deux formules explicitent notre heuristique :
I∗(f, s)
a b
a b
I∗(f, s)
Observation : Si s0⊃sest une subdivision plus fine de [a, b], alors
I∗(f, s)≤I∗(f, s0)≤I∗(f, s0)≤I∗(f, s).
§1.1 5/47
Construction de l’int ´ egrale : passage ` a la limite
On passe alors ` a des subdivisions de plus en plus fines :
I∗(f) := sup{I∗(f, s)|sune subdivision de [a, b]}
I∗(f) := inf{I∗(f, s)|sune subdivision de [a, b]}
Si jamais l’int´ egrale de fexiste, elle est encadr´ ee par I∗(f)et I∗(f).
On a toujours I∗(f)≤I∗(f), mais cette in´ egalit´ e peut ˆ etre stricte !
Dans ce cas on n’arrive pas ` a d´ efinir l’int´ egrale cherch´ ee.
Si I∗(f) = I∗(f), alors on n’a qu’une seule possibilit´ e pour l’int´ egrale !
Ce cas favorable m´ erite une d ´ efinition digne de son importance :
D´ efinition (int´ egrale de Riemann)
On dit que f: [a, b]→Rest int´ egrable si I∗(f) = I∗(f).
Dans ce cas son int´ egrale est Rb
af(x)dx := I∗(f) = I∗(f).
§1.1 6/47
Caract´ erisation des fonctions int´ egrables
Proposition
Une fonction f: [a, b]→Rest int´ egrable si et seulement si pour tout
ε > 0il existe une subdivision stelle que I∗(f, s)−I∗(f, s)≤ε.
D´ emonstration. Supposons fint´ egrable et notons I:= Rb
af(x)dx.
Alors pour ε > 0il existe des subdivisions s∗et s∗de [a, b]telles que
I∗(f, s∗)≤I+ε/2et I∗(f, s∗)≥I−ε/2.
Pour la subdivision s=s∗∪s∗on obtient ainsi
I∗(f, s∗)≤I∗(f, s)≤I≤I∗(f, s)≤I∗(f, s∗).
R´ eciproquement, I∗(f, s)−I∗(f, s)≤εet
I∗(f, s)≤I∗(f)≤I∗(f)≤I∗(f, s),
entraˆ ınent 0≤I∗(f)−I∗(f)≤ε. Si cette in´ egalit´ e est vraie pour tout
ε > 0, alors I∗(f)−I∗(f) = 0, et on conclut que fest int´ egrable.
§1.2 7/47
Fonctions monotones, fonctions continues
Th´ eor` eme
Toute fonction monotone f: [a, b]→Rest int´ egrable.
D´ emonstration. Supposons que fest croissante. Soit sk=a+kh
la subdivision ´ equidistante o` uh=b−a
net k= 0, . . . , n.
I∗(f, s)−I∗(f, s) = Pn
k=1(sk−sk−1)f(sk)−f(sk−1)
=h[f(b)−f(a)] →0pour n→ ∞.
On conclut en faisant appel ` a la caract´ erisation pr ´ ec´ edente.
Th´ eor` eme
Toute fonction continue f: [a, b]→Rest int ´ egrable.
D´ emonstration. Puisque [a, b]est compact, la fonction fest
uniform´ ement continue, c ` ad pour tout ε > 0il existe δ > 0tel que
|x−x0| ≤ δimplique |f(x)−f(x0)| ≤ ε. Pour un pas h≤δon obtient
I∗(f, s)−I∗(f, s) = Pn
k=1(sk−sk−1)ε≤(b−a)ε.
On conclut en faisant appel ` a la caract´ erisation pr ´ ec´ edente.
§1.2 8/47

C Exemples de fonctions discontinues
Exemple (trop sauvage pour ˆ etre Riemann-int´ egrable)
La fonction de Dirichlet f: [0,1] →Rest d´ efinie par
f(x) = (1si x∈Q,
0si x /∈Q.
On trouve I∗(f)=0et I∗(f)=1, donc fn’est pas int´ egrable.
Exemple (encore sauvage mais Riemann-int´ egrable)
Consid´ erons g: [0,1] →Rd´ efinie par
g(x) = (1
bsi x=a bo`
ua, b ∈Z,b > 0,pgcd(a, b) = 1,
0si x /∈Q.
On trouve I∗(g)=0et I∗(g)=0, donc gest int´ egrable et R1
0gdx = 0.
`
A noter que gn’est continue sur aucun intervalle [a, b]o` ua<b.
Surprenant mais vrai : gest continue en tout x∈[0,1] \Q.
§1.2 9/47
Propri ´ et´ es de l’int´ egrale
Th´ eor` eme (propri ´ et´ es caract´ erisantes)
Soit Rb
al’ensemble des fonctions int´
egrables f: [a, b]→R.
Si f(x) = λ, alors f∈Rb
aet Rb
afdx =λ·(b−a).
Pour a<b<con a f∈Rc
a⇐⇒ f|[a,b]∈Rb a∧f|[b,c]∈Rc
b.
Dans ce cas Rc
afdx =Rb afdx +Rc bfdx.
Si f, g ∈Rb
aet f≤gsur ]a, b[, alors Rb
afdx ≤Rb agdx.
Autrement dit, l’int´ egrale de Riemann satisfait aux exigences
naturelles formul´ ees au d´ ebut. On r´ ecolte bien plus encore :
Th´ eor` eme (lin´ earit ´ e et monotonie)
Si f∈Ret λ∈R, alors λf ∈Ret Rb
aλfdx =λRb afdx.
Si f, g ∈R, alors f+g∈Ret Rb
a(f+g)dx =Rb afdx +Rb agdx.
Si f, g ∈R, alors f g ∈R. En g ´ en´ eral Rb
afgdx 6=Rb afdx ·Rb agdx !
Si f∈R, alors |f| ∈ Ret Rb
afdx≤Rb a|f|dx.
§1.2 10/47
Diff´ erentiation et int´ egration
Th´ eor` eme
Supposons que f: [a, b]→Rest int´ egrable. Si f=F0pour une
fonction d´ erivable F: [a, b]→R, alors Rb
af(x)dx =F(b)−F(a).
D´ emonstration. Pour toute partition s={s0< s1<· · · < sn−1< sn}
de [a, b]il existe s0< t1< s1<· · · < sn−1< tn< sntels que
F(sk)−F(sk−1)=(sk−sk−1)f(tk),
par le th´ eor` eme des accroissements finis. Ainsi
F(b)−F(a) =
n
X
k=1
F(sk)−F(sk−1) =
n
X
k=1
(sk−sk−1)f(tk).
On en d´ eduit que I∗(f, s)≤F(b)−F(a)≤I∗(f, s).
Puis I∗(f)≤F(b)−F(a)≤I∗(f)par passage aux limites.
Si fest int´ egrable, alors on a l’´ egalit´ eF(b)−F(a) = Rb
af(x)dx.
§1.3 11/47
La propri ´ et´ e de la moyenne
Th´ eor` eme
Soit f: [a, b]→Rune fonction continue. Pour toute fonction int´ egrable
φ: [a, b]→Rv´ erifiant φ≥0il existe ξ∈[a, b]tel que
(∗)Zb
a
f(x)φ(x)dx =f(ξ)Zb
a
φ(x)dx.
En particulier, pour φ= 1, on obtient Rb
af(x)dx =f(ξ)(b−a).
Si f=F0c’est le th´ eor` eme des accroissements finis appliqu´ e` aF.
D´ emonstration.
Pour m= min fet M= max fon a mφ ≤fφ ≤M φ. Ainsi
mZb
a
φ(x)dx ≤Zb
a
f(x)φ(x)dx ≤MZb
a
φ(x)dx.
Si Rb
aφ(x)dx = 0, alors l’´
equation (∗) est vraie pour tout ξ∈[a, b].
Sinon, il existe ξ∈[a, b]tel que f(ξ) = Rb
af(x)φ(x)dx Rb aφ(x)dx.
§1.3 12/47
Int´ egration et diff´ erentiation
Th´ eor` eme
Pour f:R→Rcontinue on peut d´ efinir F:R→Rpar
F(x) := Rx
af(t)dt. Alors Fest d´
erivable et F0=f.
D´ emonstration. Pour tout x∈Ret h > 0on trouve
F(x+h)−F(x) = Zx+h
a
f(t)dt −Zx
a
f(t)dt
=Zx+h
x
f(t)dt =hf(ξh)
pour un ξh∈[x, x +h]d’apr` es la propri ´ et´ e de la moyenne.
Pour h→0on a donc ξh→x, puis
F(x+h)−F(x)
h=f(ξh)→f(x)
par continuit´ e de f. Ceci prouve le th´ eor` eme.
§1.3 13/47
R´ esum´ e : construction de l’int ´ egrale de Riemann
Si f: [a, b]→Rest continue (ou mod´ er´ ement discontinue)
nous savons d´ efinir l’int´ egrale (dite de Riemann)
Zb
a
f(x)dx.
Th´ eor` eme fondamental : si nous disposons d’une fonction primitive
F: [a, b]→Rv´ erifiant F0=f, alors Rb
af(x)dx =F(b)−F(a).
Toute fonction continue fadmet une telle primitive F.
Cette relation entre diff´ erentiation et int´ egration est tr` es utile pour le
calcul, notamment elle m` ene directement ` a
l’int´ egration par partie,
la substitution des variables,
le calcul explicite de certaines int ´ egrales.
R´ evisez votre cours d’int´ egration pour un d´ eveloppement complet.
Dans ce cours-ci on utilise ces outils sans retenue si besoin en est.
§1.3 14/47
`
A quoi sert l’int ´ egration num´ erique ?
Pour f: [a, b]→Rnous souhaitons calculer l’int´ egrale Rb
af(x)dx .
Si nous disposons d’une primitive F, alors Rb
af(x)dx =F(b)−F(a),
ce qui r´ esout notre probl` eme d’une mani` ere tr` es satisfaisante.
ÀPeut-on toujours expliciter une primitive sous «forme close »?
Non ! Pour f(x) = exp(−x2/2), par exemple, il n’existe pas de
fonction primitive exprimable par des fonctions usuelles exp,ln, . . ..
ÁDans ce cas, comment ˆ etre sˆ ur que l’int´ egrale existe ?
Heureusement, la construction pr ´ ec´ edente prouve que l’int´ egrale
existe, mˆ eme si nous n’arrivons pas ` a expliciter une formule close.
ÂPeut-on au moins calculer des valeurs approch´ ees de l’int´ egrale ?
Oui ! Dans la suite nous d´ eveloppons des m´ ethodes d’int´ egration
num´ erique qui sont plus profitables et plus efficaces dans la pratique
que les formules utilis´ ees pour la construction ci-dessus.
§2.0 15/47
M´ ethodes des rectangles
On approche l’int´ egrale par Pn
k=1(sk−sk−1)f(ξk)o`
uξk∈[sk−1, sk].
a b
a b
a b
point ` a gauche point au milieu point ` a droite
n
X
k=1
(sk−sk−1)f(sk−1)
n
X
k=1
(sk−sk−1)f`sk−1+sk
2´
n
X
k=1
(sk−sk−1)f(sk)
Cas particulier d’une subdivision ´ equidistante sk=a+kh o` uh=b−a
n:
h
n−1
X
k=0
f(a+kh)h
n−1
X
k=0
f`a+h
2+kh´h
n
X
k=1
f(a+kh)
Exemple : Pour f(x) = x3on connaˆ ıt l’int´ egrale R1
0f(x)dx = 0.25.
Une subdivision ´ equidistante ` an= 10 pas donne respectivement les
approximations 81
400 = 0.2025 et 199 800 = 0.24875 et 121 400 = 0.3025.
On constate que l’approximation par le point au milieu est nettement
plus pr´ ecise. Ceci n’est pas un hasard, et on verra pourquoi. . .
§2.1 16/47

Point ` a gauche ou ` a droite : majoration de l’erreur
Proposition
Soit f: [a, b]→Rde classe C1. Pour n≥1soit h=b−a
net soit
Rgauche
n(f) := h
n−1
X
k=0
f(a+kh)
l’approximation obtenue par le point ` a gauche.
Alors on a la majoration d’erreur
Zb
a
f(x)dx −Rgauche
n(f)
≤(b−a)2
2·1 n·max
[a,b]|f0|.
La mˆ eme majoration est valable pour le point ` a droite.
Pour augmenter la pr´ ecision obtenue on augmentera n,
ce qui revient ` a passer ` a des subdivisions de plus en plus fines.
Or, la pr´ ecision n’augmente que tr` es lentement : ∼1
n.
Pour gagner un bit de pr´ ecision il faut deux fois plus de travail.
§2.1 17/47
Point ` a gauche ou ` a droite : majoration de l’erreur
D´ emonstration.
On consid` ere l’intervalle [α, β]o` uα=a+ (k−1)het β=a+kh.
Le th´ eor` eme des accroissements finis (Taylor d’ordre 0) assure que
f(x)−f(α) = f0(ξ)(x−α)
pour un ξ∈[α, x]. En particulier on a
|f(x)−f(α)| ≤ max
[α,β]|f0| · (x−α).
On en d´ eduit que
Zβ
α
f(x)dx −(β−α)f(α) =Zβ
α
f(x)dx −Zβ
α
f(α)dx
=Zβ
α
f(x)−f(α)dx ≤Zβ
αf(x)−f(α)dx
≤max
[α,β]|f0| · Zβ
α
(x−α)dx = max
[α,β]|f0| · (β−α)2
2.
La proposition s’en d´ eduit en sommant sur k= 1, . . . , n.
§2.1 18/47
Point au milieu : majoration de l’erreur
Proposition
Soit f: [a, b]→Rde classe C2. Pour n≥1soit h=b−a
net soit
Rn(f) := h
n−1
X
k=0
f(a+h
2+kh)
l’approximation obtenue par le point au milieu.
Alors on a la majoration d’erreur
Zb
a
f(x)dx −Rn(f) ≤(b−a)3
24 ·1 n2·max
[a,b]|f00|.
Pour augmenter la pr´ ecision obtenue on augmentera n,
ce qui revient ` a passer ` a des subdivisions de plus en plus fines.
Ici la pr´ ecision augmente un peu plus rapidement : ∼1
n2.
Pour gagner deux bits de pr´ ecision il faut deux fois plus de travail.
§2.1 19/47
Point au milieu : majoration de l’erreur
D´ emonstration.
On consid` ere l’intervalle [α, β]o` uα=a+ (k−1)het β=a+kh.
On fait un d´ eveloppement d’ordre 1autour du milieu x0=α+β
2:
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x−x0) + 1
2f00(ξ)(x−x0)2.
Ainsi |f(x)−f(x0)−f0(x0)(x−x0)| ≤ 1
2max |f00|(x−x0)2.
On constate que Rβ
αf0(x0)(x−x0)dx = 0. Par cons ´
equent
Zβ
α
f(x)dx −(β−α)f(x0) =Zβ
α
f(x)−f(x0)−f0(x0)(x−x0)dx
≤Zβ
αf(x)−f(x0)−f0(x0)(x−x0)dx ≤1
2max
[α,β]|f00|Zβ
α
(x−x0)2dx
=1
2max
[α,β]|f00| · 1
3(x−x0)3β
α
dx =1
24 max
[α,β]|f00| · (β−α)3.
La proposition s’en d´ eduit en sommant sur k= 1, . . . , n.
§2.1 20/47
M´ ethode des trap` ezes
Id´ ee : on interpole entre les points gauche et droite par un segment.
La figure obtenue est un trap` eze d’aire (sk−sk−1)f(sk−1)+f(sk)
2.
sk sk−1
f(sk)
f(sk−1)
a b
Pour une subdivision ` a pas constant hon obtient h
2f(sk−1) + h 2f(sk).
Dans la somme sur k= 1, . . . , n tout terme apparaˆ ıt deux fois,
`
a l’exception des termes h
2f(a)et h 2f(b)aux bords. Ainsi
Tn(f) = h1
2f(a) + f(a+h) + · · · +f(b−h) + 1 2f(b)
Dans notre exemple R1
0x3dx on trouve l’approximation 101
400 = 0.2525.
§2.2 21/47
M´ ethode des trap` ezes : majoration de l’erreur
Lemme
Soit f: [α, β]→Rde classe C2. Alors il existe ξ∈[α, β]tel que
Zβ
α
f(x)dx =β−α
2f(α) + f(β)−(β−α)3 12 f00(ξ).
D´ emonstration. La fonction φ(x) = −1
2(x−α)(x−β)v´
erifie φ(x)≥0
pour tout x∈[α, β]. On a φ0(x) = 1
2(α+β)−xpuis φ00(x) = −1. Ainsi
Zβ
α
f(x)dx =Zβ
α
−φ00(x)f(x)dx =h−φ0(x)f0(x)iβ
α+Zβ
α
φ0(x)f0(x)dx
=β−α
2f(α) + f(β)+hφ(x)f0(x)iβ
α−Zβ
α
φ(x)f00(x)dx
=β−α
2f(α) + f(β)−f00(ξ)Zβ
α
φ(x)dx
=β−α
2f(α) + f(β)−f00(ξ)(β−α)3 12 .
§2.2 22/47
M´ ethode des trap` ezes : majoration de l’erreur
Proposition
Soit f: [a, b]→Rde classe C2. Pour n≥1soit h=b−a
net soit
Tn(f) := h1
2f(a) + f(a+h) + · · · +f(b−h) + 1 2f(b)
l’approximation obtenue par la m ´ ethode des trap` ezes. Alors on a
Zb
a
f(x)dx −Tn(f) ≤(b−a)3
12 ·1 n2·max
[a,b]|f00|.
D´ emonstration. Le lemme s’applique ` a chaque sous-intervalle :
Za+kh
a+(k−1)h
f(x)dx −1
2fa+ (k−1)h−fa+kh
≤h3
12 max |f00|
Le th´ eor` eme s’en d´ eduit en sommant sur k= 1, . . . , n.
`
A nouveau la pr´ ecision augmente proportionnellement ` a1
n2.
Pour gagner deux bits de pr´ ecision il faut deux fois plus de travail.
§2.2 23/47
Comparaison des m´ ethodes basiques
Approximation de Rb
af(x)dx avec npas de longueur h=b−a
n.
M´ ethode Ordre Majoration d’erreur
Point ` a gauche d= 0 (b−a)2
2·1 n·max |f0|
Point ` a droite d= 0 (b−a)2
2·1 n·max |f0|
Point au milieu d= 1 (b−a)3
24 ·1 n2·max |f00|
Trap` ezes d= 1 (b−a)3
12 ·1 n2·max |f00|
On suppose tacitement que fest suffisamment d´ erivable.
Les bornes sont atteintes pour un polyn ˆ ome de degr´ ed+ 1.
Exemple : Pour approcher R1
0exp(−x2/2)dx avec ces m´
ethodes
`
a10−6pr` es il faudra environ n= 106respectivement n= 103,
`
a10−12 pr` es il faudra environ n= 1012 respectivement n= 106,
`
a10−18 pr` es il faudra environ n= 1018 respectivement n= 109.
(C’est souvent trop lent, mˆ eme sur des ordinateurs puissants.)
§2.3 24/47

M´ ethodes ´ el´ ementaires d’int´ egration
On cherche des formules pour approcher l’int´ egrale Rβ
αf(x)dx.
Or, l’int´ egrale est un «proc´ ed´ e infini »qui ne s’impl´ emente pas tel
quel sur ordinateur : on ne peut effectuer qu’un nombre fini
d’op´ erations.
Nos formules approch´ ees d’int´ egration seront donc de la forme
S(f)=(β−α)
m
X
j=0
wjf(ξj).
Ici ξ0, . . . , ξm∈[α, β]sont les points o ` u l’on ´ evalue la fonction f,
et w0, . . . , wm∈Rsont certains poids tels que wj>0et Pm
j=0 wj= 1.
Une telle somme d´ efinit une application S:C([α, β]) →R.
Lin´ earit ´ e : S(λf +µg) = λS(f) + µS(g), par d´ efinition.
Constantes : S(λ)=(β−α)λ, parce que Pm
j=0 wj= 1.
Monotonie : Si f≤galors S(f)≤S(g), parce que wj>0.
En particulier on a l’in´ egalit´ e|S(f)| ≤ S(|f|).
§3.1 25/47
Ordre d’une m´ ethode d’int´ egration
Dans la suite notre objectif est de choisir les points ξjet les poids wj
dans le souci de minimiser le travail et l’erreur de l’approximation.
On a d´ ej` a vu dans les exemples basiques que ce choix d´ etermine la
qualit´ e de l’approximation et la vitesse de convergence pour n→ ∞.
La classification suivante nous guidera dans notre d ´ emarche :
D´ efinition
Une m´ ethode d’int´ egration S:C([α, β]) →Rest d’ordre dsi elle est
exacte pour tout polynˆ ome fde degr´ e≤d, c` ad S(f) = Rβ
αf(x)dx.
Grˆ ace ` a notre convention Pwj= 1 nos formules sont exactes pour
les constantes (degr´ e≤0). Elles sont donc au moins d’ordre 0.
Les m´ ethodes du point au milieu et des trap` ezes sont d’ordre 1.
On construira judicieusement des m´ ethodes d’ordre sup´ erieur.
Tout d’abord on montre comment l’ordre se traduit en pr´ ecision.
§3.1 26/47
Majoration d’erreur d’une m´ ethode ´ el´ ementaire (1/2)
Proposition
Soit S:C([α, β]) →Rune m ´ ethode d’int´ egration d’ordre d. Alors
Zβ
α
f(x)dx −S(f) ≤(β−α)d+2
2d(d+ 1)! max
[α,β]f(d+1)
pour toute fonction f: [α, β]→Rde classe Cd+1.
D´ emonstration. Soit x0=α+β
2le centre de l’intervalle [α, β]et soit
g(x) = f(x0) + f0(x0)(x−x0) + · · · +f(d)(x0)
d!(x−x0)d
le polynˆ ome de Taylor en x0. Nous avons la majoration d’erreur
f(x)−g(x)≤|x−x0|d+1
(d+ 1)! maxf(d+1)
≤(β−α)d+1
2d+1(d+ 1)! maxf(d+1).
§3.1 27/47
Majoration d’erreur d’une m´ ethode ´ el´ ementaire (2/2)
Puisque Sest d’ordre don a Rβ
αg(x)dx −S(g)=0. Ainsi
Zβ
α
f(x)dx −S(f) =Zβ
α
f(x)−g(x)dx −S(f−g)
≤Zβ
αf(x)−g(x)dx +S(|f−g|).
En majorant |f−g|deux fois par (β−α)d+1
2d+1(d+1)! maxf(d+1)on obtient
Zβ
α
f(x)dx −S(f) ≤(β−α)d+2
2d(d+ 1)! maxf(d+1).
On obtient ainsi la majoration souhait´ ee.
!
On ne pr´ etend pas que la constante 1
2d(d+1)! soit optimale.
Le polynˆ ome de Taylor peut ˆ etre remplac´ e par une meilleure
approximation : c’est le probl` eme de l’approximation polynomiale.
Pour optimiser la constante il faudra ´ etudier de plus pr` es la
m´ ethode d’int´ egration, comme le point milieu, les trap` ezes, etc.
§3.1 28/47
M´ ethodes compos´ ees d’int´ egration
L’erreur d’approximation d’une m´ ethode ´ el´ ementaire d’int´ egration
d’ordre dd´ epend de deux quantit´ es : max |f(d+1)|et (β−α)d+2.
On a int´ erˆ et ` a l’appliquer ` a des petits intervalles [α, β]!
Pour un grand intervalle [a, b]on choisit une subdivision assez fine
a=s0< s1<· · · < sn−1< sn=b.
Souvent on prend des points ´ equir´ epartis sk=a+kh o` uh=b−a
n.
Ceci permet de d´ ecomposer l’int´ egrale en une somme
Zb
a
f(x)dx =
n
X
k=1 Zsk
sk−1
f(x)dx.
On est ainsi ramen´ e` a int´ egrer fsur un petit intervalle [sk−1, sk].
Sur chacun des petits intervalles, l’int´ egrale sera approch´ ee par
une m´ ethode ´ el´ ementaire d’int´ egration :
Zsk
sk−1
f(x)dx ≈(sk−sk−1)
mk
X
j=0
wk,j f(ξk,j )
pour certains points ξk,j ∈[sk−1, sk]et des poids wk,j ∈R.
§3.2 29/47
M´ ethodes compos´ ees d’int´ egration
On obtient ainsi une m´ ethode compos´ ee d’int´ egration :
Zb
a
f(x)dx =
n
X
k=1 Zsk
sk−1
f(x)dx ≈
n
X
k=1
(sk−sk−1)
mk
X
j=0
wk,j f(ξk,j )
A priori on pourrait prendre une subdivision s0, . . . , snquelconque
et une m´ ethode ´ el´ ementaire diff´ erente sur chacun des intervalles.
Pour simplifier nous prenons la subdivision ` a pas constant h=b−a
n
et la «mˆ eme »m´ ethode ´ el´ ementaire sur chaque sous-intervalle :
S:C([α, β]) →R, S(f)=(β−α)
m
X
j=0
wjf(ξj),
se transporte sur n’importe quel intervalle [α0, β0]par la bijection
affine φ: [α, β]→[α0, β0],φ(x)=(x−α)β0−α0
β−α+α0. On obtient ainsi
S0:C([α0, β0]) →R, S0(g)=(β0−α0)
m
X
j=0
wjg(ξ0
j),
avec les mˆ emes poids wjmais g´ etant ´ evalu´ ee en ξ0
j=φ(ξj).
§3.2 30/47
Majoration d’erreur d’une m´ ethode compos´ ee
Proposition
Soit Sune m´ ethode ´ el´ ementaire d’int´ egration d’ordre d.
Soit Sn:C([a, b]) →Rla m´ ethode compos´ ee associ´ ee ` a
la subdivision ´ equidistante sk=a+kh o` uh=b−a
n. Alors
Zb
a
f(x)dx −Sn(f) ≤(b−a)d+2
2d(d+ 1)! ·1 nd+1 ·max
[a,b]f(d+1)
= 2(b−a)·h
2d+1 ·max
[a,b]
f(d+1)
(d+ 1)!
pour toute fonction f: [a, b]→Rde classe Cd+1.
D´ emonstration. Cette majoration d´ ecoule de celle obtenue pour la
m´ ethode ´ el´ ementaire Sen sommant sur k= 1, . . . , n.
Pour approcher Rb
af(x)dx on proc`
ede donc comme suit :
On d´ etermine ou majore max |f(d+1)|, qui ne d´ epend que de f.
On choisit nassez grand pour assurer que l’erreur soit petite.
Il reste encore ` a trouver des m´ ethodes d’ordre plus ´ elev´ e.
§3.2 31/47
M´ ethodes de Newton-Cotes
On souhaite construire des m ´ ethodes ´ el´ ementaires d’int´ egration
S:C([α, β]) →R, S(f) = (β−α)
m
X
j=0
wkf(ξj)
pour des points ´ equir´ epartis ξj=α+jh o` uh=β−α
m.
L’id´ ee est d’interpoler fpar son polyn ˆ ome de Lagrange
p=
m
X
j=0
f(ξj)pjo` upj(x) = Y
i6=j
x−ξi
ξj−ξi
puis d’int´ egrer p(de mani` ere exacte) sur [α, β]:
Zβ
α
p(x)dx = (β−α)
m
X
j=0
f(ξj)wjo` uwj=1
β−αZβ
α
pj(x)dx.
Exemple. Prenons [−1,+1] et les extr´ emit´ es ξ0=−1,ξ1= +1.
On a p=f(ξ0)p0+f(ξ1)p1o` up0(x) = 1−x
2et p1(x) = x+1 2.
On trouve w0=w1=1
2et ainsi S(f) = (β−α)1 2f(α) + 1 2f(β).
C’est la m´ ethode des trap` ezes !
§3.3 32/47

La m´ ethode de Simpson
Appliquons cette recette ` a[−1,+1] et ξ0=−1,ξ1= 0,ξ2= +1.
p0(x) = x−0
−1−0·x−1 −1−1=1 2x(x−1) ⇒w0=1
2Z1
−1
p0(x)dx =1
6
p1(x) = x−(−1)
0−(−1) ·x−1 0−1= (x+ 1)(1 −x)⇒w1=1
2Z1
−1
p1(x)dx =4
6
p2(x) = x−(−1)
1−(−1) ·x−0 1−0=1 2(x+ 1)x⇒w2=1
2Z1
−1
p2(x)dx =1
6
On obtient ainsi la m´ ethode de Simpson :
S(f)=(β−α)1
6f(α) + 4 6fα+β 2+1 6f(β)
Elle interpole fpar une parabole.
La m´ ethode de Simpson est d’ordre 3:
Par construction elle est exacte si fest un polynˆ ome de degr´ e≤2.
Petit miracle : par sym´ etrie elle est aussi exacte pour f(x) = x3car
Z1
−1
f(x)dx = 0 = S(f).
§3.3 33/47
Majoration d’erreur : cas g´ en´ eral
On consid` ere une m´ ethode de Newton-Cotes
S:C([α, β]) →R, S(f) = Zβ
α
p(x)dx = (β−α)
m
X
j=0
wjf(ξj).
utilisant le polynˆ ome interpolateur pen m+ 1 points ´ equir´ epartis.
Pour tout x∈[α, β]on a la majoration d’approximation de Lagrange
f(x)−p(x)≤(β−α)m+1
mm+2 max
[α,β]f(m+1).
Pour l’int´ egration approch´ ee on en d´ eduit la majoration
Zβ
α
f(x)dx −S(f) ≤(β−α)m+2
mm+2 max
[α,β]f(m+1).
Pour la m´ ethode compos´ ee Sn:C([a, b]) →Ron conclut que
Zb
a
f(x)dx −Sn(f) ≤(b−a)m+2
mm+2 ·1 nm+1 ·max
[α,β]f(m+1).
§3.3 34/47
Majoration d’erreur : cas o` umest pair
Proposition
Si mest un nombre pair (par exemple m= 2 pour Simpson), alors la
m´ ethode de Newton-Cotes S:C([α, β]) →Rest d’ordre m+ 1.
Pour la m´ ethode compos´ ee Sn:C([a, b]) →Ron conclut que
Zb
a
f(x)dx −Sn(f) ≤(b−a)m+3
2m+1(m+ 2)! ·1 nm+2 ·max
[α,β]f(m+2).
D´ emonstration. La m´ ethode Sest exacte si fest un polynˆ ome de
degr´ e≤m: par construction on a f=pet donc Rβ
αf(x)dx =S(f).
Pour simplifier consid´ erons l’intervalle [−1,+1]. Si mest pair, alors
f(x) = xm+1 est impaire, donc f(−x) = −f(x)et R1
−1f(x)dx = 0.
D’un autre cot´ e on a wm−j=wjet ξm−j=−ξj, donc S(f)=0.
On ne pr´ etend pas que la constante (b−a)m+3
2m+1(m+2)! soit optimale.
Une analyse plus fine am´ eliorera l´ eg` erement cette majoration.
§3.3 35/47
R´ esum´ e des m´ ethodes de Newton-Cotes
Pour tout m≥1on construit une m ´ ethode ´ el´ ementaire d’int´ egration
S:C([α, β]) →R, S(f)=(β−α)Pm
j=0 wjf(ξj)
en des points ´ equir´ epartis ξj=α+jh o` uh=β−α
m.
M´ ethode mPoids (w0, . . . , wm)Ordre Majoration d’erreur
Trap` ezes 11
2,1 21(b−a)3 12 ·1 n2·max |f00|
Simpson 21
6,4 6,1 63(b−a)5 2880 ·1 n4·max |f(4)|
Boole 47
90 ,32 90 ,12 90 ,32 90 ,7 90 5(b−a)7 945·211 ·1 n6·max |f(6)|
Weddle 641
840 ,216 840 ,27 840 ,272 840 , . . . 7(b−a)9 5600·67·1 n8·max |f(8)|
!
Pour m≥8les m´ ethodes de Newton-Cotes font apparaˆ ıtre aussi
des poids n´ egatifs. On perd ainsi la monotonie et risque des erreurs
num´ eriques d’annulation. Ces m´ ethodes sont donc peu utilis´ ees.
§3.3 36/47
La formule d’Euler-Maclaurin
Th´ eor` eme (Euler-Maclaurin)
Soit f: [a, b]→Rde classe C2m+1. Pour n≥1soit h=b−a
net soit
A(h) := h1
2f(a) + f(a+h) + · · · +f(b−h) + 1 2f(b)
l’approximation obtenue par la m ´ ethode des trap` ezes. Il existe des
constantes c2, c4, . . . , c2m, c ∈Rind´ ependantes de fet htelles que
A(h) = Zb
a
f(x)dx +c2h2f0b
a+· · · +c2mh2mf(2m−1)b a+r2m(h)
avec un reste major ´ e par |r2m(h)| ≤ c(b−a)·h2m+1 ·max |f(2m+1)|.
Dans la suite nous n’aurons pas besoin d’expliciter les constantes.
Il nous suffira de connaˆ ıtre la forme du d ´ eveloppement en h:
A(h) = Zb
a
f(x)dx +a2h2+· · · +a2mh2m+O(h2m+1).
Pour un d´ eveloppement d´ etaill´ e voir Demailly, chapitre 3, §4.
§4.1 37/47
C D´ emonstration d’Euler-Maclaurin (1/2)
Consid´ erons d’abord l’intervalle [−1 /
2,1
/
2]de longueur 1centr´
e en 0.
Soit (ek)k∈Nla famille de polynˆ omes commenc¸ant par
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = 1
2x2−1 24 , . . .
d´ efinis r´ ecursivement par e0
k=ek−1et R+1
/
2
−1 /
2ekdx = 0 pour k≥1.
On voit que ekest de degr ´ ek, de monˆ ome dominant 1
k!xk.
Les polynˆ omes e0, e2, e4, . . . sont pairs, e2j(−x) = e2j(x),
alors que e1, e3, e5, . . . sont impairs, e2j+1(−x) = −e2j+1(x).
Pour k≥2on trouve ek(1 /
2)−ek(−1
/
2) = R+1
/
2
−1 /
2ek−1(x)dx = 0.
Par cons ´ equent e2j+1(−1 /
2) = e2j+1(1
/
2)=0pour tout j≥1.
Pour les indices pairs on pose c2j:= e2j(−1 /
2) = e2j(1
/
2).
Consid´ erons ensuite un intervalle quelconque [α, β]
de longueur h=β−α, centr´ e en x0=α+β
2.
Pour gk(x) := hkekx−x0
hon a g0= 1 et g0
k=gk−1et Rβ
αgkdx = 0.
On g1(α) = g1(β) = h
2. Ensuite, pour j≥1, on trouve
g2j(α) = g2j(β) = c2jh2jet g2j+1(α) = g2j+1(β) = 0.
§4.1 38/47
C D´ emonstration d’Euler-Maclaurin (2/2)
Par int ´ egration par partie nous obtenons successivement
Zβ
α
fdx =Zβ
α
g0fdx =g1fβ
α−Zβ
α
g1f0dx
=g1fβ
α−g2f0β α+Zβ
α
g2f00dx =. . .
=g1fβ
α−g2f0β α+g3f00β α− · · · − Zβ
α
g2m+1f(2m+1)dx
=h
2f(α) + f(β)−c2h2f0β
α−c4h4f000β α−. . .
−c2mh2mf(2m−1)β
α−Zβ
α
g2m+1f(2m+1)dx
Le reste est major´ e par h·max
[α,β]|g2m+1| · max [α,β]|f(2m+1)|.
On trouve max
[α,β]|g2m+1|=c·h2m+1 o`
uc:= max
[−1 /
2,1
/
2]|e2m+1|.
L’´ enonc´ e s’en d´ eduit en sommant sur les sous-intervalles
[a, a +h],[a+h, a + 2h], . . ., [b−2h, b −h],[b−h, b].
§4.1 39/47
Acc´ el´ eration de la convergence
Principe : Toute information sur l’erreur peut ˆ etre utilis´ ee pour
augmenter la pr´ ecision et acc´ el´ erer la convergence.
Application : Dans notre cas nous avons le d´ eveloppement
A(h) = Rb
af(x)dx +a2h2+a4h4+· · · +a2mh2m+O(h2m+1).
Ceci veut dire que l’erreur est d’ordre h2, donc ∼1
n2.
En passant du pas hau pas h/2, nous obtenons
Ah
2=Rb
af(x)dx +a2h4
4+a4h4 16 +· · · +a2mh2m 4m+O(h2m+1).
Astuce. — On peut maintenant ´ eliminer le terme d’ordre h2:
4A(h
2)−A(h)
4−1=Rb
af(x)dx +a0
4h4+· · · +a0 2mh2m+O(h2m+1)
Avantage. — Cette nouvelle formule r´ eduit l’erreur ` a l’ordre h4.
Mieux encore, cette astuce peut ˆ etre it´ er´ ee pour ´ eliminer
successivement les termes d’ordre h4,h6, . . ., h2m.
§4.2 40/47